求离心率的取值范围解题策略精编

求离心率的取值范围策略圆锥曲线共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线L（F不在定直线L上）的距离之比是一个常数e。

椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。

求椭圆与双曲线离心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。

下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。

一、利用曲线的范围，建立不等关系例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。

解：设?因为，所以将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得例2．双曲线在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点，求离心率e的取值范围。

解：设在双曲线右支上，它到右焦点的距离等于它到左准线的距离，即=二、利用曲线的几何性质数形结合，构造不等关系例3．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。

若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。

解：如图1，若，则L与双曲线只有一个交点；若，则L与双曲线的两交点均在右支上，???????????????????????????????例4. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。

若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。

解：如图2，因为△ABF2是等腰三角形，所以只要∠AF2B是锐角即可，即∠AF2F1<45°。

则三、利用定义及圆锥曲线共同的性质，寻求不等关系例5．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，且，求此双曲线的离心率e的取值范围。

?解：因为P在右支上，所以又?? 得??? 所以??? 又所以例6．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。

解：由题意得因为，所以，从而?，。

又因为P在右支上，所以。

? 。

四、利用判断式确定不等关系例7．例1的解法一：解：由椭圆定义知例8．设双曲线与直线相交于不同的点A、B。

椭圆离心率取值范围解题策略离心率是高中“圆锥曲线”的一个重要几何性质，是三种圆锥曲线统一定义的桥梁和纽带，是研究圆锥曲线其他性质的基础，它是一个比值椭圆的离心率是刻画椭圆“扁圆”程度的基本量之一.在我们的教材中直接给出了离心率的定义，并没有明确解释为什么把这个比值作为椭圆的离心率.如果教师在教学中只是告诉学生这是“人为规定”，学生没有经历概念的产生和发展过程，就很难理解概念的本质，因此在运用概念解题时无从下手.本节课就是希望通过数学文化背景深入认识椭圆的离心率，从而更好地解决和椭圆离心率有关的问题.一、离心率定义的内涵在教材中焦距与长轴长的比值定义为椭圆的离心率.在教学中，许多学生会有这样的疑问：也可以刻画椭圆的扁圆程度，为什么不用它们定义椭圆的离心率？”其实作为椭圆的离心率更有优势，我们知道椭圆是平面上到两个定点F1，F2距离的和为常数2a的动点的轨迹(其中|F1F2|=2c，且2a>2c)，此定义中涉及的参数是a和c，为了和椭圆的定义保持一致，所以用表示椭圆的离心率；另外，椭圆的第二定义是“到定点的距离与到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹”，而这个常数恰好是即椭圆的离心率.其实说椭圆的离心率是“人为规定”也未尝不可，因为在天文学中把天体运行轨道的离心率也叫作偏心率，描述的是某一天体椭圆轨道与理想圆形的偏离程度.天文学家发现太阳系中，行星是围绕着以太阳为焦点的椭圆形轨道运行的，所以行星和太阳之间的距离不是恒定的，其中离太阳最近的距离为a-c，离太阳最远的距离为a+c，也就是说偏心率就是衡量行星偏离太阳的程度，所以用表示椭圆的偏心率更符合客观实际.二、椭圆离心率取值范围的几种求法求椭圆离心率的取值范围是高考经常考查的热点问题之一，这类题涉及解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强、方法灵活，解题关键是构造关于a，c或e的不等式，下面用几个实例通过构造不等式求椭圆离心率的取值范围.1.利用椭圆的范围构造不等式例1 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=90°，求椭圆离心率e的取值范围.解：设点P的坐标为(x，y)，点F1的坐标为(-c，0)，点F2的坐标为(c，0)，则有因为∠F1PF2=90°，得则即(x+c)(x-c)+y2=0，整理得x2+y2=c2，将其与椭圆方程联立，消去y，可得由椭圆上点的坐标的范围可知，0≤x2<a2，解得c2≥b2，即所以2.利用二次方程判别式构造不等式以上题为例.解：由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a，所以有+2|PF1|·|PF2|=4a2，又因为∠F1PF2=90°，所以=4c2，由此可得|PF1|·|PF2|=2(a2-c2)，所以|PF1|，|PF2|可以看作二次方程x2-2ax+2(a2-c2)=0的两实根.所以Δ=4a2-8(a2-c2)≥0，整理得所以3.利用焦半径的取值范围构造不等式例2 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在一点P，使得线段PF1的中垂线经过焦点F2，则椭圆离心率e的取值范围是______.图1解：如图1，因为线段PF1的中垂线经过焦点F2，所以|PF2|=|F1F2|=2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|=2c.所以|PF2|=2c≥a-c，所以a≤3c，所以即4.利用均值不等式构造不等式例3 设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点M都满足∠F1MF2为锐角，则椭圆离心率的取值范围是( ).解：因为又因为∠F1MF2为锐角，所以又因为-4c2=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|-4c2>0，所以|MF1||MF2|<2a2-2c2，由均值不等式得所以a2<2a2-2c2，解得所以图25.利用椭圆中重要结论构造不等式以上题为例.解：如图2，当M移动到椭圆的短轴的端点B时，∠F1MF2最大.由已知可知，∠F1BF2为锐角，即∠F1BO<45°，在Rt△F1BO中，所以6.利用题设中的已知条件构造不等式例4 已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：5x-12y=0交椭圆于A，B两点，若|AF|+|BF|=6，点M到直线l的距离不小于则该椭圆E的离心率的取值范围是( ).图3解：如图3所示，设F1为椭圆的左焦点，连接AF1，BF1，则四边形AFBF1为平行四边形，所以6=|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a，所以a=3.取M(0，b)，因为点M到直线l的距离不小于所以解得b≥1，所以又因为0<e<1，所以椭圆E的离心率的取值范围是故选A.在新一轮课改的实施过程中，作为数学教师，需要在平时的教学中，适时地引导学生探究出问题的本源，只有这样深入才能使学生更容易掌握解决问题的方法.而椭圆离心率取值范围的解法灵活多样，综合性强，需要我们认真分析题意，探究问题本源，才能找到最佳突破口，从而准确、快速地解决问题.参考文献：[1]王侠.椭圆离心率的深入认知及基本求法[J].中小学数学，2013(4).[2]黄贻淦.如何建立不等式求离心率的范围[J].数理化解题研究，2012(2).[3]林风，林善柱.数学概念教学要重视其生成过程——“椭圆离心率及其应用”的教学思考[J].中学数学教学参考(上)，2017(12).*基金项目：本文系2018年度甘肃省教育科学“十三五”规划重点课题“基于核心素养下的数学史融入高中数学教学的实践”(课题编号：GS[2018]GHB3863)的阶段性成果之一.。

19个题讲透离心率的求值和取值范围问题一、求离心率的值问题求离心率的值需要构造一个含有或数字的等式，而等式关系如何构造，只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招，没套路可言。

1、基本方法：从定义出发，特别注意第一定义中的焦点三角形问题，以椭圆为例，在焦点三角形中三条边中蕴含了的关系，因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。

2、几何法，几何方法不是方法，而是分析几何图形的能力，根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如题目中给出的等腰，中垂线，垂直等条件都可能是破解题目的入手点。

上图中A,B两点不是焦点，,且条件中没有b和c的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。

【解析】题目中未出现焦点三角形，则与定义无关，且A,B均不在双曲线上，因此求点坐标无用，题目双曲线中唯一出现的与有关系的量就只有渐近线了，因此题目中必定用到渐近线方程，题目中还给出了[垂心的概念，因此垂直关系就很明显了。

而题目中的等量关系就是垂直，二、求离心率范围问题与求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等关系，且不等关系中含有或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四种思考方向：1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：（3）焦点三角形面积的取值范围：当点P处于B位置时，焦点三角形面积最大，例：2.从直线和圆锥曲线的位置关系或点和圆锥曲线的位置关系入手（1）点和圆锥曲线的位置关系若能用表示出某点的坐标，则根据点在椭圆内/外，将点代入椭圆内就有相应的不等关系，而这个点一般是特殊位置点，如三心、中垂线上的点等。

例：（2）直线和圆锥曲线位置关系。

在开放式问题中如果问存在不存在或者求直线方程时求出多个斜率，则必定要对所求的值进行验证，若在离心率的取值范围问题中使用位置关系的判定方法，例如判别式法只能求出某个参数的取值范围，求离心率的取值范围其实是将离心率转化为关于所求出参数的函数的取值范围，例：3、最难的几何法，通过分析题目中的几何条件得出不等关系，例如三角形两边之和大于第三边，例如出现的钝角锐角或者出现的三角形的形状，中垂线等，这也是求离心率取值范围中最难的一种，考察队几何图形和已知条件的关联性。

离心率问题的解题策略及方法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN离心率问题的解决策略及方法河北省正定县第一中学-----赵志军离心率是圆锥曲线的一个重要知识点，同时也是也是圆锥曲线的重要几何性质，是刻画椭圆扁平程度，双曲线形状扁狭还是开阔的一种量度，纵观近几年高考，求离心率的值或范围的问题在高考中屡见不鲜,其表现是：题型多样，解法灵活. 本文介绍一些常用的方法，供同行参考。

一．定义法利用圆锥曲线的统一定义，知离心率e 是动点到焦点的距离与到其准线的距离之比。

故可以把一二定义结合灵活解决一些问题。

例1. 设21,F F 是离心率为e 的双曲线12222=-by a x 的左右焦点，若在双曲线的左支上存在点P ，使1PF 是2PF 与点P 到左准线的距离d 的 等比中项，求双曲线的离心率e 的取值范围解析：1PF 是2PF 与d 的等比中项等价于e dPF PF PF ==112,ed PF =∴1(1),d e PF 22=(2),又因为1PF-2PF =2a,∴a ed d e 22=-,∴e e a d -=22⇒e e a -22≥ca a 2-(左支上的点到准线的最小距离为ca a 2-）0122≤--∴e e （e >1),解得1<e 12+≤此题也可这样来解：由双曲线的第二定义，知e PF PF PF ==121d，即12PF e PF = (1)又由双曲线的第一定义，得a 212=-PF PF (2) ,由（1）（2）解得，1a21-=e PF 122-=e ae PF . 在21F PF ∆中，,2121F F PF PF >+当21,,F P F三点共线时，2121F F PF PF =+.∴c e ae e a 21212≥-+- （3）)3(,∴=ac e 式可化为0122≤--∴e e 解得2121+≤≤-e ，1>e ，∴，211+≤<e 即双曲线的离心率e 的取值范围是.211+≤<e点评 ：本题的两种解法巧妙的将双曲线的第一与第二定义结合起来，通过构造离心率e 的不等式，从而顺利实现求解目的.二．公式法圆锥曲线离心率的公式为ac e =例2. 若双曲线的渐近线方程为y=x 3±,则它的离心率可能是 A.3 B. 2 C.332或2 D. 3或332 解析：由题意可知双曲线的焦点不确定，所以应有3=a b （1），或31=a b （2），由（1）得12+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b a c =2，由（2）的12+⎪⎭⎫⎝⎛=a b a c =332，故选C例3，已知21,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若∆2ABF 是正三角形，则这个椭圆的离心率是 A.32 B.33 C.22 D.23解析由椭圆的定义可知,a AF AF 221=+, 2ABF ∆是正三角形，∴122AF AF =,∴a AF 342=,从而cos 030=342a c ,∴33=e ,选B 点评：以上两例将求离心率问题转化为求关系的问题，其中例2运用了整体思想将a b 看做一个整体,利用离心率e 与ab的关系.三．函数法例4. 若直线l 过双曲线12222=-by a x （a>0,b>0)的右焦点，斜率k=2且它与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率的取值范围是 A. 2>e B.31<<e C.51<<e D. 5>e 解：双曲线的一条渐近线x a b y =要满足题意须2>ab，由51222222>+=+=ab a b a e所以5>e ，选D例5.（2004年全国I .21）设双曲线C:12222=-by a x （a>0)与直线l: x+y=1相交于两个不同的点A,B,求双曲线C 的离心率e 的取值范围。

离心率的求值或取值范围问题【方法技巧】方法1 定义法解题模板：第一步 根据题目条件求出,a c 的值 第二步 代入公式ce a=，求出离心率e . 方法2 方程法解题模板：第一步 设出相关未知量；第二步 根据题目条件列出关于,,a b c 的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率.方法3 借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步 将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式， 第三步 解不等式，确定离心率的范围.方法4 借助题目中给出的不等信息解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等；第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.方法5 借助函数的值域求解范围解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步 通过确定函数的定义域；第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【应用举例】【例题1】若椭圆经过原点，且焦点分别为12(0,1),(0,3)F F ，则其离心率为（ ）A ．34 B ．23 C ．12 D ．14【答案】C 【解析】试题分析：根据椭圆定义，原点到两焦距之和为2a=1＋2，焦距为2c=2，所以离心率为12. 考点：椭圆的定义. 【难度】较易【例题2】点P （-3，1,过点P 且方向为a =（2，-5）的光线经直线y=－2反射后通过椭圆的左焦点，则此椭圆离心率为（ ）【答案】A 【解析】试题分析：因为给定点P （-3，1根据光线的方向为a =（2，-5）y=-2与入射光线的斜率互为相反数可知焦点的坐标为（1，0），因此可知 A 考点：本试题考查了椭圆性质的知识点。

点评：解决该试题的关键是利用椭圆的反射原理得到直线斜率的特点，结合平面反射光线与入射光线的斜率互为相反数，得到c 的值，同时得到a,b,c 的关系式，进而得到结论，属于基础题。

七法破解椭圆离心率的取值范围问题ʏ贵州省仁怀市周林高中 孔祥庆椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度,是椭圆的一个重要的几何特征㊂求离心率的范围是比较棘手的问题,本文就此类问题提出七种求解策略,供同学们参考㊂一㊁由题设直接得a ,b ,c 的齐次不等关系例1 过椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为k 的直线l ,直线l 与椭圆C 的另一个交点B 在x 轴上的射影为椭圆C 的左焦点F ㊂若32ɤk ɤ53,则椭圆C 的离心率e 的取值范围是㊂解析:设F (-c ,0),B (-c ,y ),将x =-c 代入x 2a 2+y 2b 2=1,得(-c )2a 2+y 2b2=1㊂又y >0,则y =b 2a ,即B -c ,b 2a㊂从而k =b 2a (a -c )=a 2-c 2a (a -c )=a +c a =1+e ㊂由32ɤk ɤ53,解得12ɤe ɤ23㊂评注:此类题型中不等关系很明显,一般先将不等关系中的参变量用a ,b ,c 表示,得到齐次不等式再解之,应注意b 2=a 2-c 2的转换及0<e <1的范围限制㊂二㊁利用平面几何知识例2 已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,若满足M F 1ʅM F 2的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂解析:因为M F 1ʅM F 2,所以点M 在以F 1F 2为直径的圆上㊂要使点M 总在椭圆内部,则圆的半径c <b ,即c 2<a 2-c 2,解得离心率e 的取值范围是0,22㊂评注:求解本题时将抽象的语言描述转化为椭圆与圆的位置关系问题,得到的不等关系使得求解过程简单明了,可见平面几何知识可以简化复杂的计算过程㊂三㊁利用椭圆的取值范围例3 已知椭圆M :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)与圆N :x 2+y 2=b 2,若在椭圆M 上存在点P ,使得由点P 所作的圆N 的两条切线互相垂直,则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )㊂A.12,1B .22,32C .22,1D .32,1解析:设两切点分别为A ,B ,坐标原点为O ,P (x 0,y 0),连接O A ,O B ,O P ,易知四边形O A P B 是边长为b 的正方形㊂则|O P |=2|O A |,即x 20+y 20=2b ,化简整理可得y 20=2b 2-x 20㊂由x 20a 2+y 20b2=1,得y 20=b 2-b 2x 20a2=2b 2-x 20,则x 20=a 2(a 2-c 2)c2㊂由椭圆的取值范围知0ɤx 20ɤa 2,结合0<e <1,解得22ɤe <1,即e 的取值范围是22,1㊂故选C ㊂评注:本题是从坐标的角度考虑,先将x 20分离出来,再利用-a ɤx 0ɤa 获得关于a ,c 的不等关系㊂事实上也可以将y 20分离,再利用-b ɤy 0ɤb 获得不等关系㊂四㊁利用不等式的性质例4 已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆上一点,若øF 1P F 2=120ʎ,则此椭圆离心率e 的取22 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年11月值范围是㊂解析:由余弦定理,得|F 1F 2|2=|P F 1|2+|P F 2|2-2|P F 1||P F 2|c o s øF 1P F 2,即(2c )2=(|P F 1|+|P F 2|)2-|P F 1||P F 2|㊂从而4a 2-4c 2=|P F 1||P F 2|ɤ|P F 1|+|P F 2|22=a 2,即3a 2ɤ4c 2,得e =c 2a2ȡ32,当且仅当|P F 1|=|P F 2|=a 时,e 取最小值32㊂又0<e <1,故椭圆离心率e 的取值范围是32,1㊂评注:本题通过基本不等式的变形式x y ɤx +y22获取不等关系,解此类最值问题,应判断等号成立的条件是否满足㊂五㊁转化为函数的值域例5 若椭圆C 1:x 2(m +1)2+y 2m 2=1与椭圆C 2:x 23m -1+y2n =1有相同的焦点,求椭圆C 1的离心率e 的取值范围㊂解析:由椭圆C 2的方程知,m >13㊂又由椭圆C 1的方程知,椭圆C 1的焦点在x 轴上,设椭圆C 1的焦距为2c ,长轴长为2a ,离心率为e ,则c 2=(m +1)2-m 2=2m +1㊂因为椭圆C 1与椭圆C 2的焦点相同,所以(3m -1)-n =2m +1,且3m -1>n =m -2>0,即m >2㊂则e 2=c 2a 2=2m +1(m +1)2=-1(m +1)2+2m +1㊂设1m +1=t ,则0<t <13,e 2=-t 2+2t ㊂又设f (t )=-t 2+2t ,则f (t )在0,13上为增函数,即f (0)<f (t )<f 13 ,即f (0)<e 2<f 13 ,则0<e <53㊂又0<e <1,故椭圆C 1的离心率e 的取值范围是0,53㊂评注:解决本题的关键是将离心率e 的范围问题转化为一元二次函数的值域问题,求解时应注意自变量t 的限制条件㊂六㊁利用三角形的三边关系例6 已知F 1㊁F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左㊁右焦点,若椭圆上存在一点M ,使得|M F 1|=3|M F 2|,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂解析:由椭圆的定义,得|M F 1|+|M F 2|=2a ㊂联立|M F 1|=3|M F 2|,得|M F 1|=32a ,|M F 2|=12a ㊂设椭圆的焦距为2c ,根据三角形的两边之差小于第三边,得|M F 1|-|M F 2|<2c ㊂当M 在椭圆右顶点时,|M F 1|-|M F 2|=2c ,故32a -12a ɤ2c ,解得12ɤe <1,即椭圆离心率e 的取值范围是12,1㊂评注:本题利用三角形三边关系及三点共线关系,得到|M F 1|-|M F 2|ɤ|F 1F 2|,从而获取关于a ,c 的齐次不等关系式,可得离心率e 的取值范围㊂七㊁利用判别式例7 已知F 1㊁F 2是椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左㊁右焦点㊂若椭圆上存在一点M ,使得|M F 1|㊃|M F 2|=3b 2,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂解析:由椭圆的定义,得|M F 1|+|M F 2|=2a ㊂又|M F 1|㊃|M F 2|=3b 2,所以|M F 1|,|M F 2|是方程x 2-2a x +3b 2=0的两个正实数根㊂Δ=(-2a )2-4ˑ3b 2ȡ0,即4a 2-12(a 2-c 2)ȡ0,解得63ɤe <1,即椭圆离心率e 的取值范围是63,1㊂评注:利用判别式的符号得到不等关系式,应考虑方程中实根的分布情况,即结合对应的一元二次函数图像,才能得到椭圆离心率的取值范围㊂(责任编辑 徐利杰)32解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年11月。

求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。

2.利用线段长度的大小建立不等关系。

F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。

4.利用题目不等关系建立不等关系。

5. 利用判别式建立不等关系。

6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。

7.利用基本不等式，建立不等关系。

二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。

I教学一得iJiaoXuel■YiDe参数的范围何题是数学中的一大类问题，是高考中的常见题型，圆锥曲 线中离心率取值范围问题更是高考中 解析几何试题的一个备受青睐的考点，其求解策略的关键是建立目标参数的不等式，而建立目标参数不等式的方法一般有：利用圆锥曲线定义、圆锥曲线 的几何性质、题设指定条件、函数的 有界性等。

下面,我就圆锥曲线中离心 率取值范围的求解策略作一些探讨和归纳策略一:利用圆锥曲线的定义例1:若双曲线a b〇)上横坐标为|的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离 心率的取值范围是（夂A.(1,2)B.(2，+ 〇〇)C.(1,5；)D.(5, + 〇〇!【解析】：•••e%〇-a=e X+ ^-o^3e3—5e—2 >0，.’■:e>2 或 e<务(會去)s/.eG(2，+〇〇 )，故选 B。

例 2:双曲线a b的心支L存-点，它到^焦点及左准 线的距离相等，则双曲线离心率的取值 雜围是（A.(1,V T)B.)c. (1,V^+1)D. [V T+\, +〇〇 )【解析】V e^f«=*.a+^=>(e-l—i-ac c=> —+a^(e^l)a,e-1 ^1+ — =1+ —c'c e1^0=> 1—S^%^r^I+ \>2 .而双曲线的离心率e>1，/.e e(1，#+1 )，故选c.【点评】:例1、例2均是利用定义及 焦半径公式列出方程。

例1根据题设到 右焦点的距离大于它到.左准线的距离建 立不等式;例2是根据&的范围将等式 转化为不等式，从而求解。

策略二:利用圆锥曲线的几何性质例己知巧、Fs是椭圆的两个焦点，满足M厂X=()的点财总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（)&刘梅A.(0,1)B.(0士C .(0, )D,【解析】：由题，M的轨迹为以焦距为直径的圆,由财总在椭圆内部，知：c<b=>.c%〈.b1=(^-e2=>e2<^，又_(0，1)，所以《£(0，^^)，故选（:.,【点评】:利用圆的几何性质判定点M轨迹为圆，再利用椭圆和圆的几何性质建立不等式~例知已知双曲线冬-‘=i(a>〇,a b/>>〇)的右焦点为心若过点^且倾斜角貴60°的直线与双丨丨丨丨线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（}。

微重点　离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．知识导图考点一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点三　利用几何图形的性质求离心率的范围考点分类讲解考点一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围规律方法　此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a ，b ，c 的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．1(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.35,1 B.14,35C.12,1D.0,14【答案】A【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出PF 1 ,PF 2 ，再利用线段和差关系建立不等式求解即得.【详解】点P 在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，令半焦距为c ，由PF 1 =4PF 2 及PF 1 +PF 2 =2a ，得PF 1 =8a 5,PF 2 =2a5，显然PF 1 -PF 2 ≤|F 1F 2|，当且仅当点F 1,F 2,P 共线，且F 2在线段PF 1上时取等号，因此2c ≥8a 5-2a 5=6a 5，即e =c a ≥35，又0<e <1，则35≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围是35,1 .故选：A2(23-24高三上·云南曲靖·阶段练习)已知F 1，F 2，分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，M 为双曲线左支上任意一点，若MF 22MF 1 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,72B.2,4C.1,3D.3,5【答案】C【分析】由双曲线定义MF 2 2MF 1=MF 1 +2a2MF 1，变形后由基本不等式得最小值，从而得MF 1 =2a ，再利用双曲线中的范围有MF 1 ≥c -a ，由此结合可得离心率的范围．【详解】F 1，F 2是左、右焦点，M 为双曲线左支上的任意一点，则MF 2 -MF 1 =2a ，即MF 2 =MF 1 +2a ，代入MF 22MF 1得MF 22MF 1=MF 1 +2a2MF 1=MF 1 +4a 2MF 1+4a ≥2MF 1 ×4a 2MF 1+4a =8a ，当且仅当MF 1 =2a 时取等号，即MF 1 =2a ，又点M 是双曲线左支上任意一点，所以MF 1 ≥c -a ，即2a ≥c -a ，解得e ≤3，所以双曲线离心率e 的取值范围是1,3 .故选：C ．3(23-24高三上·陕西安康·阶段练习)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与双曲线E 的左、右两支分别交于点A ，B ，弦AB 的中点为M 且MF 1⊥MF 2.若过原点O 与点M 的直线的斜率不小于3，则双曲线E 的离心率的取值范围为()A.1,2 B.2,+∞C.1,5D.5,+∞【答案】B【分析】方法一：连接AF 2，BF 2，结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果；方法二：连接AF 2，BF 2，可得AF 2 =BF 2 ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，表示出k OM ，列出不等式，即可得到结果.【详解】方法一：如图，设双曲线E 的半焦距为c ，连接AF 2，BF 2，因为MF 1⊥MF 2，所以AF 2 =BF 2 .设AF 2 =m ，由双曲线的定义，得AF 1 =m -2a ，BF 1 =2a +m ，所以AB =4a ，AM =BM =2a ，MF 1 =m ，所以MF 2 2=m 2-4a 2=4c 2-m 2，即m 2=2c 2+2a 2.设∠BF 1F 2=α，则∠MOF 2=2α，所以tan2α=2tan α1-tan 2α≥3，解得13≤tan 2α<1.又tan α=MF 2 MF 1 ，所以13≤m 2-4a 2m 2<1，解得m 2≥6a 2，所以2c 2+2a 2≥6a 2，即c 2≥2a 2，所以e =ca≥ 2.故选：B .方法二：如图，设双曲线E 的半焦距为c ，连接AF 2，BF 2，因为MF 1⊥MF 2，所以AF 2 =BF 2 .设AF 2 =m ，由双曲线的定义，得AF 1 =m -2a ，BF 1 =2a +m ，所以AB =4a .设直线l 的方程为x =ty -c ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 .由x =ty -cx 2a2-y 2b2=1，消去x 并整理，得b 2t 2-a 2 y 2-2b 2tcy +b 4=0.422422242242因为直线l 与双曲线E 的两支相交，所以-b a <1t <ba，即b 2t 2-a 2>0.由y 1+y 2=2b 2tc b 2t 2-a2y 1y 2=b 4b 2t 2-a 2，得AB =1+t 2y 1-y 2 =2ab 21+t 2 b 2t 2-a 2.结合AB =4a ，化简得t 2=b 2+2a 2b 2①.由x 21a 2-y 21b 2=1x 22a 2-y 22b 2=1，两式相减，得x 1-x 2y 1-y 2=a 2b 2⋅y 1+y 2x 1+x 2，即t =a 2b 2⋅k OM ②，②代入①化简，得k 2OM=b 4+2a 2b 2a 4≥3，所以b 2≥a 2，即c 2≥2a 2，所以e ≥ 2.故选：B .4(2023·亳州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y =x 有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则双曲线离心率的取值范围为．【答案】　(2，2)【解析】双曲线C 与直线y =x 有交点，则b a >1，b 2a 2=c 2-a 2a 2>1，解得e =ca>2，双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则P 点在双曲线右支上，设PF 1与y 轴交于点Q ，由对称性得|QF 1|=|QF 2|，所以∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，所以∠PF 2Q =∠PF 2F 1-∠QF 2F 1=2∠PF 1F 2=∠PQF 2，所以|PQ |=|PF 2|，所以|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，由|QF 1|>|OF 1|得2a >c ，所以e =ca<2，又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2+∠PF 2F 1=4∠PF 1F 2<180°，∠PF 1F 2<45°，所以c 2a =cos ∠PF 1F 2>22，即e =ca>2，综上，2<e <2.考点二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围规律方法　利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．1(2024·陕西·模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，抛物线C2：x2=2py(p>0)，椭圆C1与抛物线C2相交于不同的两点A,B，且四边形ABF1F2的外接圆直径为5c2，若b>c，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.55,2 2B.22,255C.55,255D.255,1【答案】A【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，再利用正弦定理求得sin∠F1BF2，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到∠F1MF2=θ的取值范围，从而得到关于a,b,c的齐次不等式，解之即可得解.【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点A,B关于y轴对称，四边形ABF1F2是等腰梯形，易知四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，设四边形ABF1F2的外接圆半径为R.在△BF1F2中，由正弦定理，知2csin∠F1BF2=2R=5c2,∴sin∠F1BF2=45，记椭圆C1的上顶点为M,∠F1MF2=θ，坐标原点为O，易知∠F1BF2<θ，又b>c，则tan θ2=tan∠F1MO=cb<1，0<θ2<π2，∴0<θ2<π4,∴0<∠θ<π2，即θ为锐角，∴45=sin∠F1BF2<sinθ，又sinθ=2sinθ2cosθ2sin2θ2+cos2θ2=2tanθ2tan2θ2+1,∴2tanθ2tan2θ2+1>45,∴12<tanθ2<2.又0<θ2<π4，∴12<tanθ2<1,∴12<cb<1，则14<c2b2<1，所以14<c2a2-c2<1，则55<ca<22，即55<e<22，则椭圆C1的离心率的取值范围是55,22，故选：A.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式e=c a；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．2(2024高三·全国·专题练习)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1,A2,B1,B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()A.5-22,0B.0,5-22C.0,5-12D.5-12,1【答案】D【分析】利用椭圆的性质及平面向量数量积的坐标表示构造齐次式计算即可.【详解】解：如图所示，∠B 1PA 2是B 2A 2 与F 2B 1的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ,b ,c ，则B 2A 2 =a ,-b ,F 2B 1=-c ,-b ，∵向量的夹角为钝角时，B 2A 2 ⋅F 2B 1=-ac +b 2<0，又b 2=a 2-c 2,∴a 2-ac -c 2<0，两边除以a 2得1-e -e 2<0，解得e >5-12或e <-5-12；又∵0<e <1，∴1>e >5-12．故选：D ．3(23-24高三下·陕西安康·阶段练习)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，抛物线C 2:x 2=2py (p >0)，且椭圆C 1与抛物线C 2相交于A ,B 两点，若F 1A ⋅F 1B=3c 2，则椭圆C 1的离心率的取值范围是()A.0,33B.0,33C.33,1D.33,1 【答案】B【分析】由椭圆和抛物线的对称性可知A ,B 两点关于y 轴对称，设出两点坐标，代入条件计算，将结果与椭圆联立可求解A 点纵坐标，结合点在椭圆上纵坐标的范围即可求出离心率的范围.【详解】解：设A x 0,y 0 ，则B -x 0,y 0 ，因为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由F 1A ⋅F 1B =3c 2，得：x 0+c ⋅-x 0+c +y 20=3c 2，即x 20-y 20=-2c 2，点A ,B 在椭圆上，所以满足x 20a 2+y 20b2=1，代入上式可得：y 20-2c 2a 2+y 20b 2=1，即b 2y 20-2c 2 +a 2y 20=a 2b 2，即y 20=a 2b 2+2b 2c 2a 2+b 2，因为点在椭圆上，所以y 20=a 2b 2+2b 2c 2a 2+b 2≤b 2，解得：2c 2≤b 2，即3c 2≤a 2，解得：0<e ≤33.故选：B4已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=ac ，则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,1+2) B.(1,1+3)C.(1,1+2]D.(1,1+3]【答案】A【解析】若点P 是双曲线的顶点，a sin ∠PF 1F 2=csin ∠PF 2F 1无意义，故点P 不是双曲线的顶点，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1=|PF 2|sin ∠PF 1F 2，又a sin ∠PF 1F 2=c sin ∠PF 2F 1，∴|PF 1||PF 2|=c a ，即|PF 1|=ca ·|PF 2|，∴P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF 1|-|PF 2|=2a ，∴c a |PF 2|-|PF 2|=2a ，即|PF 2|=2a 2c -a ，由双曲线的几何性质，知|PF 2|>c -a ，∴2a 2c -a>c -a ，即c 2-2ac -a 2<0，∴e 2-2e -1<0，解得-2+1<e <2+1，又e >1，∴双曲线离心率的取值范围是(1,1+2)．考点三　利用几何图形的性质求离心率的范围规律方法　利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．1(2023·无锡模拟)已知点P 在双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)上，P 到两渐近线的距离分别为d 1，d 2，若d 1d 2≤12|OP |2恒成立，则C 的离心率的最大值为()A.2B.3C.2D.5【答案】　A【解析】双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，设双曲线上的点P (x 0，y 0)，所以x 20a 2-y 20b2=1，即b 2x 20-a 2y 20=a 2b 2，则P (x 0，y 0)到两条渐近线bx ±ay =0的距离分别为d 1=bx 0+ay 0a 2+b2，d 2=bx 0-ay 0a 2+b2，所以d 1d 2=b 2x 20-a 2y 2a 2+b 2=a 2b 2a 2+b2，又|OP |2=x 20+y 20=a 2+a 2b2y 20+y 20=a 2+a2b2+1y 20，y 0∈R ，所以|OP |2≥a 2，因为d 1d 2≤12|OP |2恒成立，所以a 2b 2a 2+b2≤12a 2，整理得b 2≤a 2，即b 2a2≤1，所以离心率e =c a =c 2a 2=1+b 2a2≤2，则C 的离心率的最大值为 2.2(2022高三上·河南·专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为2c ，直线y =b a x +b2与椭圆C 交于点P ,Q ，若PQ ≤7c ，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22 C.105,1 D.0,13【答案】C【分析】联立椭圆与直线方程，利用韦达定理与弦长公式得到关于a ,b ,c 的齐次不等式，从而得解.【详解】联立方程y =b a x +b 2x 2a2+y 2b2=1，消去y ，整理得8x 2+4ax -3a 2=0，则Δ=4a 2-4×8×-3a 2 =112a 2>0，设P ,Q 的横坐标分别为x 1,x 2，则x 1+x 2=-a 2，x 1⋅x 2=-3a 28，所以PQ =1+b a 2⋅x 1-x 2 =1+b a2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=a 2+b 2a 2⋅a 24+3a 22=72a 2+b 2，由PQ ≤7c ，得72a 2+b 2≤7c ，整理得a 2+b 2≤4c 2，即a 2+a 2-c 2≤4c 2，即c 2a2≥25，又0<e <1，则e =c a ≥105，故105≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为105,1 .故选：C ．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ,c ，代入公式e =ca；②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式，结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3(23-24高三上·广东·阶段练习)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1,a >0,b >0 的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为H ，点O 为坐标原点，若sin ∠HOF >sin ∠HFO ，又直线y =2x 与双曲线无公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.(2,5]B.(2,+∞)C.(1,5)D.(2,5)【答案】A【分析】结合题意以及双曲线的有关知识，找到a ,b ,c 之间的不等关系，整理计算即可.【详解】如图，可知△OFH 中，OF =c ，FH =b ，OH =a ，因为sin ∠HOF >sin ∠HFO ，由正弦定理可知b >a ，即b 2>a 2，所以c 2>2a 2，得e >2．又因为直线y =2x 与双曲线无公共点，则ba≤2，即b ≤2a ，结合a 2+b 2=c 2，所以c 2≤5a 2，所以e ≤5．综上：2<e ≤5，故选：A ．4(2023·陕西西安·模拟预测)已知两动点A ，B 在椭圆C ：x 2a2+y 2=1a >1 上，动点P 在直线3x +4y -10=0上，若∠APB 恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,23B.23,1C.0,63D.63,1【答案】C【分析】由椭圆性质和图像得出椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹为圆，由条件可知直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离, 从而可得出a 的范围, 进而求出离心率的范围.【详解】若从圆x 2+y 2=a 2+b 2上一点引椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线一定互相垂直.证明如下：设椭圆的切线方程为y =kx ±k 2a 2+b 2，∴过圆上一点p 1x 1,y 1 的切线为y 1=kx 1±k 2a 2+b 2，y 1-kx 1 2=k 2a 2+b 2，即x 21-a 2 k 2-2x 1y 1k +y 21-b 2 =0.(1)又∵p 1x 1y 1 在圆上, ∴x 21+y 21=a 2+b 2，即x 21-a 2=-y 21-b 2 .(i )当x 21-a 2≠0时, (1)式为k 2-2x 1y 1x 2-a 2k -1=0,由根与系数关系知k 1k 2=-1, 故两条切线互相垂直.(ii )当x 21-a 2=0时, x =±a ,y =±b , 此时两条切线显然互相重直.故圆x 2+y 2=a 2+b 2上一点引椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线一定互相垂直.所以椭圆x2a2+y 2=1的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x 2+y 2=a 2+1.若∠APB 恒为锐角, 则直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离故109+16>a 2+1, 又a >1,∴1<a <3,∴e =c a =a 2-1a =1-1a 2∈0,63 .故选:C .强化训练一、单选题1(2023·全国·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且PF 1⊥PF 2，2≤PF 1PF 2 ≤4，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.52,344B.173,5C.1,173D.5,+∞【答案】B【分析】先利用双曲线的定义及勾股定理等得到PF 1 PF 2 =2b 2，设PF 1 PF 2=m ，结合双曲线的定义得到PF 1⋅PF 2 =4a 2m (m -1)2，则b 2a 2=2m +1m -2，构造函数f (m )=m +1m -2(2≤m ≤4)，利用导数法求解.【详解】解：因为PF 1 -PF 2 =2a ，PF 1⊥PF 2，∴PF 1 2+PF 2 2=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 PF 2 =4a 2+2PF 1 PF 2 =4c 2，又b 2=c 2-a 2，∴PF 1 PF 2 =2b 2．设PF 1 PF 2=m ，则PF 1 =m PF 2 ，2≤m ≤4，∴PF 1 -PF 2 =(m -1)PF 2 =2a ，∴PF 2 =2a m -1，则PF 1 =2amm -1，∴PF 1 PF 2 =4a 2m(m -1)2．∴4a 2m (m -1)2=2b 2，则b 2a 2=2m m 2-2m +1=2m +1m -2，设f (m )=m +1m -2(2≤m ≤4)，则f (m )=1-1m2>0，∴f m 在2,4 上单调递增，∴f (2)=12≤f (m )≤f (4)=94，∴49≤1f (m )≤2，∴89≤b 2a 2≤4，∴c 2a 2=1+b 2a2∈179,5 ，∴e =c a ∈173,5 ，故选：B ．2(23-24高二上·江苏徐州·期中)设F 1，F 2分别为椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2=60°，若椭圆的离心率e 1∈22,32 ，则双曲线C 2的离心率e 2的取值范围为()A.52,62 B.62,+∞ C.324,62D.62,142【答案】C【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，MF 1 =a 1+a 2MF 2 =a 1-a 2.进而在△MF 1F 2中，由余弦定理变形可得a 1c2+3a 2c 2-4=0，1e 22=134-1e 12.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.【详解】根据椭圆及双曲线的定义可得MF 1 +MF 2 =2a 1MF 1 -MF 2 =2a 2 ，所以MF 1 =a 1+a 2MF2 =a 1-a 2.在△MF F 中，∠F MF =60°，由余弦定理可得cos ∠F 1MF 2=MF 12+MF 2 2-F 1F 2 22MF 1 ⋅MF 2 =a 1+a 2 2+a 1-a 2 2-4c 22a 1+a 2 a 1-a 2=12，整理可得，a 21+3a 22-4c 2=0，两边同时除以c 2可得，a 1c 2+3a 2c 2-4=0.又e 1=c a 1，e 2=ca 2，所以有1e 1 2+31e 22-4=0，所以，1e 2 2=134-1e 12.因为e 1∈22,32 ，所以12≤e 21≤34，所以43≤1e 21≤2，所以，-2≤-1e 21≤-43，2≤4-1e 21≤83，所以，23≤1e 2 2=134-1e 12 ≤89.则63≤1e 2≤223，故324≤e 2≤62.故选：C .3(2023·贵州黔东南·一模)设双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，M 0,3b ，若直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，且F 为△MAB 的重心，则E 的离心率的取值范围为()A.133,3 ∪3,+∞B.2137,3 ∪3,+∞C.1,133D.1,2137 【答案】A【分析】设点D (x 0,y 0)为AB 的中点，根据F 为△MAB 的重心，求得D 3c 2,-3b 2，由直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，得到3c 22a 2--3b22b 2>1，求得c a >133，再由e =3时，证得M ,F ,A ,B 四点共线不满足题意，即可求得双曲线E 的离心率的取值范围.【详解】由题意，双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (c ,0)，且M 0,3b ，设点D (x 0,y 0)为AB 的中点，因为F 为△MAB 的重心，所以MF =2FD，即(c ,-3b )=2(x 0-c ,y 0)，解得x 0=3c 2,y 0=-3b 2，即D 3c 2,-3b2，因为直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，则满足3c 2 2a 2--3b 22b 2>1，整理得c 2a2>139，解得c a >133或c a <-133(舍去)，当离心率为e =3时，即a =33c 时，可得b =c 2-a 2=63c ，此时D 3c 2,-6c2，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，可得x 1+x 2=3c ,y 1+y 2=-6c ，又由x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减可得y2-y1x2-x1=b2x2+x1a2y1+y2=b2×3ca2×(-6c)=-6，即直线l的斜率为k l=-6，又因为k MF=0-3bc-0=-6，所以k MF=k l，此时M,F,A,B四点共线，此时不满足题意，综上可得，双曲线E的离心率的取值范围为133,3∪3,+∞.故选：A.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.4(2023·四川攀枝花·三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段AB，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是()A.2,3B.2,+∞C.3,+∞D.1,2【答案】B【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率-ba即可求解.【详解】依题意，可得A-a,0,B0,b，则k AB=b-00+a=ba，又因为直线l垂直平分线段AB，所以k l=-a b，因为直线l与C存在公共点，所以-ab>-ba，即a2<b2，则a2<c2-a2，即2<c2a2,e2>2，解得e>2，所以双曲线C的离心率的取值范围是2,+∞.故选：B5(2023·湖北·模拟预测)已知双曲线x2m-y24-m=1，m∈0,4，过点P2,1可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是()A.1,5B.1,5 2C.1,2D.1,2【答案】B【分析】作出草图，利用双曲线的性质结合图形分类讨论计算即可.【详解】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为l、l ，由已知易知F22,0，若P在双曲线内部(如P 位置)，显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意；若P在双曲线与渐近线l之间(如P 位置)，过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满故P 只能在双曲线的渐近线l 上方，此时过P 可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线l 平行的直线，该两条直线均与左支无交点；同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线l 平行的直线符合要求；即1>24-m m ⇒4m -1<14⇒e 2=4m <54，故e ∈1,52，故选：B6(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,25B.25,1C.35,1D.35,1【答案】D【分析】由PF 1 =4PF 2 结合椭圆的定义可求出PF 1 ，再由a +c ≥PF 1 ≥a -c 可求出离心率的范围.【详解】因为PF 1 =4PF 2 ，因为PF 1 +PF 2 =2a ，所以4PF 2 +PF 2 =2a ，所以PF 2 =2a 5，PF 1 =8a5，因为a +c ≥PF 1 ≥a -c ，所以a -c ≤8a5≤a +c ，所以5a -5c ≤8a ≤5a +5c ，所以5-5e ≤8≤5+5e ，解得e ≥35，因为0<e <1，所以35≤e <1，所以离心率的范围35,1 ，故选：D .7(2023·四川·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,463【分析】求出双曲线的解析式，根据△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心求出F 1E ,F 2E 的关系式和点H ,G 的横坐标，设出直线AB 的倾斜角，得到HG 的表达式，即可求出HG 的取值范围【详解】由题意，在C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 中，根据焦点到渐近线的距可得b =6，离心率为2，∴e =ca =1+b 2a 2=1+6a 2=2，解得：a =2，∴c =b 2+a 2=22∴双曲线的方程为C :x 22-y 26=1.记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ,N ,E ，则H ，E 横坐标相等AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴.设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(Q 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =c -a tan θ2+tan 90°-θ2 =c -a ⋅sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2 =c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60°，∴60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，∴HG 的范围是22,463 .故选：D .【点睛】本题考查双曲线的定义与几何性质、三角恒等变换，考查推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想，以及角度的取值范围，具有极强的综合性.8(23-24高二上·山东济宁·阶段练习)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 13≤λ≤3 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.22,53 B.12,59C.22,104D.12,58【答案】C【分析】设PF 2 =t ，由椭圆定义和勾股定理得到e 2=λ2+1λ+1 2，换元后得到λ2+1λ+12=21m -12 2+12，根据二次函数单调性求出12≤e 2≤58，得到离心率的取值范围.【详解】设F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，由椭圆的定义可得，PF 1 +PF 2 =2a ，可设PF 2 =t ，可得PF 1 =λt ，即有λ+1 t =2a ，①由∠F 1PF 2=π2，可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2，即为λ2+1 t 2=4c 2，②由②÷①2，可得e 2=λ2+1λ+12，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1λ+12=m 2-2m +2m 2=21m -12 2+12，由13≤λ≤3，可得43≤m ≤4，即14≤1m ≤34，则m =2时，取得最小值12；m =43或4时，取得最大值58.即有12≤e 2≤58，得22≤e ≤104.故选：C 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出a ,c ，代入公式e =ca；②根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式，结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.二、多选题9(2024·河北邯郸·三模)已知双曲线C :x 2λ+6-y 23-λ=1，则()A.λ的取值范围是(-6,3)B.C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C.C 的焦距为6D.C 的离心率e 的取值范围为(1,3)【答案】AC【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得-6<λ<3，判断方程中分母的符号即可判断A ,B 项，计算易得C 项，先算出离心率的表达式，再根据λ的范围，即可确定e 的范围.【详解】对于A ，∵x 2λ+6-y 23-λ=1表示双曲线，∴(λ+6)(3-λ)>0，解得-6<λ<3，故A 正确；对于B ，由A 项可得-6<λ<3，故λ+6>0,3-λ>0，∴C 的焦点只能在x 轴上，故B 错误；对于C ，设C 的半焦距为c (c >0)，则c 2=λ+6+3-λ=9，∴c =3，即焦距为2c =6，故C 正确；对于D ，离心率e =3λ+6，∵-6<λ<3，∴0<λ+6<3，∴e 的取值范围是(1,+∞)，故D 错误．故选：AC .10(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末)已知椭圆C :x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左右焦点分别为F 1,F 2，点P 2,1 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A.离心率的取值范围为0,22B.QF 1 ⋅QF 2 的最小值为4C.不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0D.当e =33时，以点P 为中点的椭圆的弦的斜率为1【答案】AC【分析】根据点P 2,1 在椭圆内部求b 的范围，然后可得离心率范围，可判断A ；利用椭圆定义和基本不等式判断B ；当点Q 为短轴端点时∠F 1QF 2最大，然后利用余弦定理判断∠F 1QF 2的最大值，然后可判断C ；利用点差法求解即可判断D .【详解】因为点P 2,1 在椭圆内部，所以24+1b2<1，得b 2>2，因为e =c a=1-b 2a2=1-b 24，所以0<e <22，A 正确；因为点Q 在椭圆上，所以QF 1 +QF 2 =2a =4，所以QF 1 ⋅QF 2 ≤QF 1 +QF 2 22=4，当且仅当QF 1 =QF 2 时等号成立，所以，QF 1 ⋅QF 2 有最大值4，B 错误；由椭圆性质可知，当点Q 为短轴端点时∠F 1QF 2最大，此时，cos ∠F 1QF 2=a 2+a 2-2c 22a2=1-2e 2，因为0<e <22，所以cos ∠F 1QF 2=1-2e 2>0，即∠F 1QF 2的最大值为锐角，故不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0，C 正确；当e =33时，有c 2=33，得c =233，所以b 2=83，易知，当点P 为弦中点时斜率存在，记直线斜率为k ，与椭圆的交点为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 214+y 21b 2=1x 224+y 22b 2=1 ，由点差法得y 2-y 1 y 2+y 1 x 2-x 1 x 2+x 1 =-b 24=-23，又k =y 2-y 1x 2-x 1,x 2+x 1=22,y 2+y 1=2，所以22k =-23，即k =-223，D 错误.故选：AC11(2023·广东汕头·三模)已知F 1，F 2分别为椭圆C :x 24+y 23=1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点(不在x 轴上)，△PF 1F 2外接圆的圆心为H ，半径为R ，△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，半径为r ，直线PI 交x 轴于点M ，O 为坐标原点，则()A.S △PF 1F 2最大时，r =33B.PH ⋅PO的最小值为2C.椭圆C 的离心率等于PI IMD.R ⋅r 的取值范围为12,23【答案】ABD【分析】对于A ，根据当P 在短轴的端点时，S △PF 1F 2取得最大，且最大值为3，再根据S △MF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P+S △IF 2P =3r ，代入进而即可求解；对于B ，根据PO =12PF 1 +PF 2，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；对于C ，运用角平分线定理即可求解；对于D ，由正弦定理可得R =1sin θ，再又结合A 可得r =tan θ2，从而得到R ⋅r =tan θ2sin θ=12cos 2θ2，再根据题意得到θ∈0°,60° ，进而即可求解．【详解】对于A ，设P x ,y ，-2<x <2，则-3<y <3，且y ≠0，所以S △PF 1F 2=12F 1F 2 ⋅y =c ⋅y =y ，则当P 在短轴的端点时，S △PF 1F 2取得最大，且最大值为3，又S △MF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P +S △IF 2P =12F 1F 2+PF 1+PF 2 r =122a +2c r =3r ，所以当S △PF 1F 2最大时，3r =3，即r =33，故A 正确；对于B ，过点H 作HG ⊥PF 1，垂足为点G ，又点H 为△PF 1F 2外接圆的圆心，即为△PF 1F 2三条边的中垂线的交点，则点G 为PF 1的中点，由PH ⋅PO =12PH ⋅PF 1 +PF 2 =12PH⋅PF 1 +PH ⋅PF 2 ，又PH ⋅PF 1 =PG +GH ⋅PF 1 =PG ⋅PF 1 =12PF 1 2，同理PH ⋅PF 2 =12PF 2 2，所以PH ⋅PO =14PF 1 2+PF 2 2 =14PF 1 2+PF 2 2≥12PF 1 +PF 222=a 22=2，当且仅当PF 1 =PF 2 =a 时等号成立，即PH ⋅PO的最小值为2，故B 正确；对于C ，由△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，则IF 1，IF 2分别是∠PF 1F 2，∠PF 2F 1的角平分线，则由角平分线定理可得PI IM =PF 1 F 1M =PF 2 F 2M ，即PI IM =PF 1+ PF 2 F 1M + F 2M =2a 2c =a c =1e ，故C 错误；对于D ，设∠F 1PF 2=θ，PF 1=a 1，PF 2=a 2，由正弦定理可得2R =F 1F 2 sin θ=2c sin θ，即R =c sin θ=1sin θ，则cos θ=a 21+a 22-2c 22a 1⋅a 2=a 1+a 2 2-2a 1⋅a 2-4c 22a 1⋅a 2=4b 2-2a 1⋅a 22a 1⋅a 2，即a 1⋅a 2=2b 2cos θ+1=6cos θ+1，因为S △PF 1F 2=12a 1a 2sin θ=3sin θcos θ+1=3sin θ2cos θ2cos 2θ2=3tanθ2，又结合A 有S △MF 1F 2=3r ，所以3tanθ2=3r ，即r =tan θ2，所以R ⋅r =tan θ2sin θ=12cos 2θ2，又因为当P 在短轴的端点时，θ最大，此时PF 1=PF 2=F 1F 2=2，θ=60°，所以θ∈0°,60° ，即θ2∈0°,30° ，所以cos θ2∈32,1，故R ⋅r =12cos 2θ2∈12,23 ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．三、填空题12(22-23高三上·福建泉州·期中)抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F ，点P 3,2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为.【答案】22【分析】焦点F 1,0 ，根据椭圆定义得到c =2，设椭圆和抛物线的交点为Q ，根据抛物线性质得到a =QF +QP2≥2，得到离心率的最大值.【详解】抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F 1,0 ，根据题意2c =3-1 2+2-0 2=22，c = 2.设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x =-1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a =QF +QP2=d +QP 2≥3--1 2=2，当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e =c a =22.故答案为：2213(2023·广东·一模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，若∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.【答案】1+32,2【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.【详解】因为倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，可知直线PF 2的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即batan60°=3⇒3a 2 b 2=c 2-a 2⇒e <2，设PF 2 =n ，则PF 1 =2a +n ，根据∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1可知PF 2 ≥F 1F 2 =2c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知n 2+4c 2-2a +n 2=2cos120°×2cn ⇒n =2b 22a -c，即2b 22a -c≥2c ⇒b 2≥2ac -c 2⇒2c 2-2ac -a 2≥0，则2e 2-2e -1≥0⇒e ≥1+32，故2>e ≥1+32故答案为：1+32,2 14(23-24高三上·湖南娄底·期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，直线l 1和l 2相互平行，直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点，直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点，直线AE 和BD 交于点P (异于坐标原点).若直线l 1的斜率为3，直线OP (O 是坐标原点)的斜率k ≥1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.【答案】2,10 ∪10,+∞ 【分析】首先ba≠3，故e =1+b a 2≠10，其次由题意由点差法得y M =b 23a 2x M ①，同理y N =b 23a2x N ②，由P,M,N三点共线，所以y M-y0x M-x0=y N-y0x N-x0，代入得b23a2=y0x0=k≥1，结合离心率公式即可得解.【详解】由题意，ba≠3，故e=1+b a 2≠10，设A x1,y1,B x2,y2,D x3,y3,E x4,y4,P x0,y0,AB的中点M x M,y M,DE的中点N x N,y N，则x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，得x21-x22a2-y21-y22b2=0，化简得y1+y22x1+x22⋅y1-y2x1-x2=b2a2，所以b2a2⋅x My M=y1-y2x1-x2=3，所以y M=b23a2x M①，同理y N=b23a2x N②，因为AB∥DE，所以P,M,N三点共线，所以y M-y0x M-x0=y N-y0x N-x0，将①②代入得b23a2x M-y0x M-x0=b23a2x N-y0x N-x0，即x M-x Nb23a2x0-y0=0，因为x M≠x N，所以b23a2=y0x0=k≥1，所以b2a2≥3，所以双曲线C的离心率为e=ca=1+b2a2≥2.所以双曲线C的离心率的取值范围为2,10∪10,+∞.故答案为：2,10∪10,+∞.【点睛】关键点睛：关键是用点差法来得到y M=b23a2x M①，同理y N=b23a2x N②，结合P,M,N三点共线以及离心率公式即可顺利得解.四、解答题15(21-22高三上·新疆昌吉·阶段练习)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上)，且PF1=5PF2.(1)用a表示PF1,PF2；(2)若∠F1PF2是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.【答案】(1)PF1=52a,PF2=12a(2)264<e <32【分析】(1)直接利用双曲线的定义结合条件求得PF 1 ,PF 2 ；(2)由余弦定理得到cos ∠F 1PF 2=135-85e 2，利用∠F 1PF 2是钝角，则-1<cos ∠F 1PF 2<0，解得离心率e 的取值范围.【详解】(1)因为点P 在双曲线的右支上，所以PF 1 -PF 2 =2a ，又PF 1 =5PF 2 ，联立解得PF 1 =52a ,PF 2 =12a .(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=254a 2+a 24-4c 22×52a ×12a =132a 2-4c 252a 2=135-85e 2，因为-1<cos ∠F 1PF 2<0，所以-1<135-85e 2<0，所以264<e <32.16(2023·上海奉贤·三模)已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)2+1(3)2,+∞【分析】(1)根据离心率和右焦点即可求出答案.(2)根据对称性分析，∠AOF =45°，则A 22c ,22c，代入曲线方程即可求得结果.(3)根据已知，利用圆心到直线l 距离为m k 2+1=1，得出m 2=k 2+1，再由∠AOB =π2，可得k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=-1，然后联立y =kx +m x 2a 2-y 2b2=1，得出x 1+x 2=2a 2kmb 2-a 2k 2，x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k 2，上式联立化简可得k 2+1 a 2+a 2b 2-b 2 =0，进而利用a ,b ,c 关系，得出ca的范围.【详解】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0，则c =2，ca=2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，则OA =c ，∠AOF =45°，则A 22c ,22c，代入双曲线方程x 2a 2-y 2b2=1，可得b 2a 2-a 2b 2=2，令x =b 2a2x >0 ，则x -1x =2，解得x =1+2，即b 2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且R =1，则圆心到直线l 距离为mk 2+1=1，化简得m 2=k 2+1，①又∠AOB =π2，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则k OA ⋅k OB =-1，即y 1x 1⋅y 2x 2=-1，则k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=-1，②联立y =kx +m x 2a2-y 2b2=1得b 2-a 2k 2 x 2-2a 2kmx -a 2m 2-a 2b 2=0，则x 1+x 2=2a 2km b 2-a 2k 2，x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k2，③联立①②③，得k 2+1 a 2+a 2b 2-b 2 =0，则a 2+a 2b 2-b 2=0，又c 2=a 2+b 2，则c 2a2=c 2-a 2+2=b 2+2>2，则e =ca>2，即离心率e 的取值范围为2,+∞ .【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的性质，直线与双曲线和圆的位置关系，训练“点差法”的应用，计算量较大，属于中档题.17(23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，a 2+b 2=1，O 为坐标原点，过F 的直线l 与C 的右支相交于A ，B 两点.(1)若b <22，求C 的离心率e 的取值范围；(2)若∠AOB 恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.【答案】(1)1,2 (2)5-1,2【分析】(1)根据已知条件代入离心率公式计算取值范围即可；(2)设直线l 的方程x =my +1，与双曲线方程联立，以双曲线C 的实半轴长a 和m 表示A ，B 两点坐标，根据∠AOB 恒为锐角，转化为OA ⋅OB>0，代入坐标计算，由关于m 的不等式恒成立，求得a 的取值范围.【详解】(1)因为b <22，所以b 2<12，因为a 2+b 2=1，所以c =1，a 2=1-b 2>12，所以a >22，则C 的离心率e =c a =1a<122=2，又e >1，所以C 的离心率的取值范围是1,2 .(2)因为F 1,0 ，直线l 的斜率不为零，所以可设其方程为x =my +1.结合b 2=1-a 2(0<a <1)，联立x =my +1,x 2a2-y 21-a2=1,得a 2m 2+1 -m 2 y 2+2m a 2-1 y -a 2-1 2=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 由韦达定理，得y 1+y 2=-2m a 2-1a 2m 2+1 -m 2,y 1y 2=-a 2-1 2a 2m 2+1 -m 2,由于A ,B 两点均在C 的右支上，故y 1y 2<0⇒a 2m 2+1 -m 2>0，即m 2<a 21-a2.则OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=my 1+1 my 2+1 +y 1y 2=m 2+1 y 1y 2+m y 1+y 2 +1=m 2+1 ⋅-a 2-1 2a 2m 2+1 -m2+m ⋅-2m a 2-1 a 2m 2+1 -m2+1=m 2a 21-a 2 -a 4+3a 2-1a 2m 2+1 -m 2.由∠AOB 恒为锐角，得对∀m 2<a 21-a 2，均有OA ⋅OB >0，即m 2a 21-a 2 -a 4+3a 2-1>0恒成立.由于a 21-a 2 >0，因此不等号左边是关于m 2的增函数，所以只需m 2=0时，-a 4+3a 2-1>0成立即可，解得5-12<a <5+12，结合0<a <1，可知a 的取值范围是5-12,1.综上所述，C 的实轴长的取值范围是5-1,2 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.18(2023·上海徐汇·一模)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为e ．(1)若e =2，且双曲线E 经过点(2,1)，求双曲线E 的方程；(2)若a =2，双曲线E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦点到双曲线E 的渐近线的距离为3，点M 在第一象限且在双曲线E 上，若MF 1 =8，求cos ∠F 1MF 2的值；(3)设圆O :x 2+y 2=4，k ,m ∈R ．若动直线l :y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线E 交于A ,B 时，总有∠AOB =π2，求双曲线E 离心率e 的取值范围．【答案】(1)x 2-y 2=1；(2)1316；。

关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧高中数学中，离心率是一个重要的概念，涉及到椭圆、双曲线等几何图形的性质和参数。

掌握离心率的相关知识和解题技巧，能够有效地解决与离心率有关的各类题型。

以下是关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧。

一、椭圆离心率题型解法技巧1. 椭圆的离心率定义为焦距之差与主轴长度的比值。

在解题过程中，可以利用该定义进行计算。

2. 根据椭圆的性质，离心率的取值范围为0到1之间。

当离心率等于0时，椭圆退化为一个圆；当离心率等于1时，椭圆退化为一个抛物线。

3. 在解题过程中，常常需要利用椭圆的焦点坐标和长轴、短轴长度等已知条件，结合离心率的定义进行求解。

4. 对于已知椭圆方程的离心率题型，可以根据方程中离心率的特点进行推导和变形，从而得到所求的答案。

5. 利用椭圆的离心率特点，可以解决与焦点、直径、坐标轴的关系有关的题目。

比如利用离心率的定义，可以求解椭圆上的点到焦点的距离。

1. 对于已知双曲线方程的离心率题型，可以利用离心率的定义，结合方程中的已知条件进行推导和变形。

常见的已知条件有焦点坐标、直角双曲线的方程等。

2. 双曲线的离心率大于1，可以利用该特点解决相关题目。

4. 在解题过程中，可以利用双曲线的渐近线特点和离心率的性质，解决与渐近线、离心率和焦点坐标有关的问题。

五、需要注意的问题1. 离心率的定义是椭圆、双曲线等几何图形的重要参数，在解题过程中要对其有清晰的概念。

3. 充分利用已知信息，对问题进行分析和推导，可以采取代数方法或几何方法进行求解。

4. 对于复杂或较难的题目，可以根据已知条件进行建立方程，并进行逐步推导和化简，在最后得到所求的答案。

专题5.1 求解曲线的离心率的值或范围问题一．方法综述离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①根据题意求出,,a b c 的值，再由离心率的定义椭圆2222222e ===1()c a b b a a a--、 双曲线2222222e ===1()c a b b a a a++直接求解； ②由题意列出含有,,a b c 的方程(或不等式)，借助于椭圆222b a c ＝－、双曲线222b c a ＝－消去b ， 构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解； ④根据圆锥曲线的统一定义求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标0a x a -≤≤等． 二．解题策略类型一 直接求出c a ,或求出a 与b 的比值，以求解e【例1】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，已知()21210AF F F AF +⋅=，1143AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B ．2 C D ．13【来源】河北省秦皇岛市2021届高三二模数学试题 【答案】A【解析】设122F F c =，因为()()()2221212122122120AF F F AF AF F F AF F F AF F F +⋅=+⋅-=-=， 所以2122AF F F c ==，所以122AF a c =-，因为1143AF F B =，所以13()2BF a c =-，所以2322a cBF =+， 设1AF 中点为H ，则2F H AB ⊥，AH a c =-，5()2BH a c =-，222222||||F A AH F B BH -=-代入数据并整理得：2271250c ac a -+=，等式两边同除以2a 得：271250e e -+=，解得：57e =或1e =(舍). 故选：A.【方法点睛】求椭圆离心率或其范围的方法：（1）根据题意求出,,a b c 的值，再由离心率的定义22222221()c a b b e a a a-===-直接求解． （2）由题意列出含有,,a b c 的方程(或不等式)，借助于222b a c ＝－消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标0a x a -≤≤等． 【举一反三】1.（2020兰州模拟）平面直角坐标系xOy 中，双曲线：的两条渐近线与抛物线C ：交于O ，A ，B 三点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 A ．B ．C ．2D ．【答案】B【解析】联立渐近线与抛物线方程得，，抛物线焦点为，由三角形垂心的性质，得，即，所以，所以，所以，所以的离心率为．故选：B ．2．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且倾斜角为6π的直线l 与双曲线的左､右支分别交于点A ，B ，且22AF BF =，则该双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C ．22D ．23【来源】江西省九江市2021届高三高考数学（理）二模试题 【答案】A【解析】过2F 作2F N AB ⊥于点N ，设22AF BF m ==， 因为直线l 的倾斜角为6π，所以在直角三角形12F F N 中，2NF c =，13NF c ， 由双曲线的定义可得122BF BF a -=，所以12BF a m =+，同理可得12AF m a =-，所以114AB BFAF a =-=，即2AN a =，所以132AF c a =-，因此3m c =，在直角三角形2ANF 中，22222AF NF AN =+，所以()22234ca c =+，所以2c a =，则2ce a==. 故选：A.类型二 构造a c ，的齐次式，解出e【例2】在平面直角坐标系xOy 中，点1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左，右焦点，过点1F 且与直线l ：by x a=-垂直的直线交C 的右支于点M ，设直线l 上一点N (N 在第二象限)满足12F N F N ⊥，且()120F N F M MN +⋅=，则双曲线C 的离心率的值为（ ） A 5B 3C 21D ．2【来源】江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题 【答案】A【解析】由题意可知，设直线1F M 的方程为()a y x c b =+，则设()00,a M x x c b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，,b N t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为()1,0F c -，()2,0F c ，且12F N F N ⊥，所以12,,0b b F N F N t c t t c t a a ⎛⎫⎛⎫⋅=+---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即22t c -20b t a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得t a =-，所以(),N a b -，所以()1,F N c a b =-，()200,a F M x c x c b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()00,a MN a x b x c b ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，则()()()120000,,0a a F N F M MN x a x c b a x b x c b b ⎛⎫⎛⎫+⋅=-++⋅---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222200a a x b x c b ⎡⎤-+-+=⎢⎥⎣⎦，解得220b a x c -=，所以222,b a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为点M 在双曲线上，所以代入双曲线方程可得，()222222241baaa c c--=，即22241e e e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得25e =，e = A【举一反三】1.（2020·重庆八中高三）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，点A 、F 分别为其右顶点和右焦点12(0,),(0,)B b B b -，若，则该双曲线的离心率为A．1 BCD1【答案】C【解析】依题意()(),0,,0A a F c ，故1221,B F B A b bk k b ac c a-⋅=⋅=-=，22c a ac -=，两边除以2a 得210e e --=，解得e =2．（2020·广东南海中学高考模拟）是P 为双曲线上)0,(1:2222>=-b a by a x C 的点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且PF 2⊥F 1F 2，PF 1与y 轴交于Q 点，O 为坐标原点，若四边形OF 2PQ 有内切圆，则C 的离心率为_____． 【答案】2【解析】设2OF c =，可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c P 2,，则四边形2OF PQ 的内切圆的圆心为,22c c ⎛⎫⎪⎝⎭， 半径为1,2cPF 的方程为2220b x acy b c -+=，圆心到直线1PF 的距离等于2c ，2c =，化简得222320c ac a --=，22320,2e e e --=∴=，答案为2.3．（2020·黑龙江大庆中学高三（理））过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______．【答案】()()1,222,⋃++∞【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 1（﹣c ，0），令x=﹣c ，可得y=±221ca-=±2b a ，可得A （﹣c ，2b a ），B （﹣c ，﹣2b a ）， 设D （0，b ），可得AD =（c ，b ﹣2b a ），AB =（0，﹣22b a），DB =（﹣c ，﹣b ﹣2b a ），由△ABD 为钝角三角形，可能∠DAB 为钝角，可得AD AB ⋅＜0，即为0﹣22b a•（b ﹣2b a ）＜0，化为a＞b ，即有a 2＞b 2=c 2﹣a 2，可得c 2＜2a 2，即e=ca＜2，又e ＞1，可得1＜e ＜2，可得△ADB 中，∠ADB 为钝角，可得AD AB ⋅＜0，即为c 2﹣（2b a +b ）（2b a﹣b ）＜0，化为c 4﹣4a 2c 2+2a 4＞0，由e=ca，可得e 4﹣4e 2+2＞0，又e ＞1，可得e ＞22+． 综上可得，e 的范围为（1，2）∪（22+．+∞）． 类型三 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形【例3】如图，已知双曲线()222210x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（ ）A ．53 B ．54 C ．43D ．32【来源】湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（七）数学试题 【答案】A【解析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b -=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-， 设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的等面积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⨯++=⨯⋅，化简可得2442c m n a c a+=--，①由双曲线的定义可得2m n a -=，②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan ba θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sinbc θ==，可得222c a n a-=，③ 由①②③化简可得223250c ac a --=，即为(35)()0c a c a -+=，可得35c a =，则53c e a ==． 故选：C ． 【举一反三】1．（2020·辽宁实验中学高三期末（理））设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ）A B C ．52D ．5【答案】B【解析】若1:3:4AF AB =，则可设13,4AF m AB m ==，因为2F 是AB 的一个四等分点；若214BF AB =,则22,3BF m AF m ==,但此时12330AF AF m m -=-=，再由双曲线的定义，得122AF AF a -=，得到0a =，这与0a >矛盾；若214AF AB =,则22,3AF m BF m ==，由双曲线的定义，得12112122532{{AF AF m a BF a m a BF BF BF m a -====-=-=⇒，则此时满足22211AF AB BF +=,所以1ABF ∆ 是直角三角形，且190BAF ∠=︒ , 所以由勾股定理，得2222221212(3)(2)AF AF F F a a c +=⇒+=，得e =,故选B. 2．已知圆()()222:0M x m y m m ++=>在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的内部，点A 为C 上一动点.过A 作圆M 的一条切线，交C 于另一点B ，切点为D ，当D 为AB 的中点时，直线MD的斜率为-，则C 的离心率为（ ） A ．12B．2CD【来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷 理科数学 全国卷Ⅰ（第七模拟） 【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则0122x x x =+，0122y y y =+.将A ，B 的坐标分别代入C 的方程，得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减，得()()222212122211x x y y a b-=--， 所以()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+，即()()21202120y y y b x x x a -=--.当D 为AB的中点时，MD k =-，则1AB MDk k =-=，故1212y y x x -=-. 如图，设E 为C 的左顶点，连接OD ，则2DME DOM ∠=∠，所以tan tan 2DME DOM ∠=∠22tan 1tan DOMDOM∠==-∠，整理得2tan 0DOM DOM ∠+∠=，解得tan DOM ∠=或tan DOM ∠=，则00tan 2ODy k DOM x =-∠=-=，所以2242b a ⎛⨯-=- ⎝⎭，所以2214b a =，故C 的离心率13142e =-=. 故选：C.3．（2020·湖北高三期末）已知双曲线C ：2222x y 1(a b 0)a b-=>>右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF FB ⊥，设ABF θ∠=，且ππθ,124⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则双曲线C 离心率的取值范围是______． 【答案】()2,∞+【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，AF FB ⊥，可得四边形为矩形，设AF m =，BF n =，即有，且222m n 4c +=，n m 2a -=，m tan θn=， 22222222222c 4c m n 11e 2mn 2a 4a m 2mn n 11m n m n n m+=====-+--++1211tan θtan θ=-+， 由ππθ,124⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得()t tan θ23,1=∈， 则()1t 2,4t+∈，可得21,112t t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，即有2110,12t t⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭+，则()12,211tan θtan θ∞∈+-+，即有)e 2,∞∈+．故答案为：)2,∞+．类型四 利用平面几何性质或圆锥曲线性质【例4】（2020·四川高三期末（理））已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若2ON OH =（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A ．3 B ．2C ．32D ．43【答案】A【解析】∵NAO MAF ∽， ∴ON OA aMF AF c a==-，又∵BOH BFM ∽， ∴OH BO aFMBFa c==+，而2ON OH =， ∴2a ac a c a=-+， ∴3c a =， ∴离心率3ce a==，故选：A ．【例5】已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ．若15F A b =，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．()1,2B ．32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,3D ．3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】如图所示：1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，延长2F A 交1PF 于点Q ，PA 是12F PF ∠的角平分线，2PQ PF ∴=，又点P 在双曲线上，122PF PF a ∴-=，112PF PQ QF a -==，又O 是的12F F 中点，A 是2F Q 的中点，OA ∴是12F F Q △的中位线，122QF a OA ∴==，即OA a =，在1F OA △中，OA a =，15F A b =，1OF c =， 由三角形两边之和大于第三边得：5a c b +>， 两边平方得：()225a c b +>， 即()222225a c ac c a++>-，两边同除以2a 并化简得：2230e e --<，解得：312e -<<， 又1e >，312e ∴<<， 在1F OA △中，由余弦定理可知，22222111112cos 2AF FO AO AF AF FO O +-∠==⋅ 在12F AF中，22211221112cos 2AF F F AF AF AF F F O +-==∠⋅，222=又222b c a =-，解得：222273AF a c =-，又22OAF π∠>，2222OA AF OC ∴+<,即222273a a c c +-<，∴e >综上所述：32e ⎫∈⎪⎭. 故选：B. 【方法点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 【举一反三】1．（2020·四川高三期末）双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F P 、是E 左支上一点，且112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为__________．【答案】53【解析】设直线1PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则1,OM a OM PF =⊥ ，取1PF 的中点N ,连接2NF ，由于112PF FF 2c ==,则211,NF PF NP NF ⊥= ， 由2||22NF OM a ==，则2NP b =，即有1||4PF b =，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，即422b c a -=，即2b c a =+，224()b c a =+,即2224()()c a c a -=+，4()c a c a -=+，即35c a =，则53e =.2．（2020·山东高考模拟）过双曲线2222x y a b-=1（a ＞b ＞0）右焦点F 的直线交两渐近线于A ，B 两点，∠OAB ＝90°，O 为坐标原点，且△OAB 内切圆半径为3a，则双曲线的离心率为 . 【答案】52【解析】因为0a b >>，所以双曲线的渐近线如图所示，设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线Ox 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得FA b =，又OF c =，所以OA a =，13NA MN a ==，所以23NO a =，所以1tan 2MN b AOF a NO =∠==，得52e =.. 3．（2020·湖北高三期末（理））已知F 1,F 2是双曲线2222C :1(00)x y a b a b -=>>，的左右焦点，若直线3y x =与双曲线C 交于P,Q 两点，且四边形F 1PF 2Q 是矩形，则双曲线的离心率为【答案】31+ 【解析】由题意，矩形的对角线长相等，把3y x =代入22221(00)x y a b a b-=>>，，可得22222222333a b a b x y b a b a=±=±⋅--， ，∴222224 3a b c b a=-， ∴4a 2b 2=（b 2-3a 2）c 2， ∴4a 2（c 2-a 2）=（c 2-4a 2）c 2， ∴e 4-8e 2+4=0，∵e ＞1，∴242331e e =+∴=+，． 故选：B ． 4.（2020永州模拟）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，为上一点，且轴，过点的直线与直线交于，若直线与线段交于点，且，则椭圆的离心率为_____．【答案】【解析】由题意，作出图像如下：因为是椭圆的左焦点，所以，又轴，所以，因为分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，直线与线段交于点，且，所以，，由题意易得，，所以，，因此，整理得,所以离心率为.【指点迷津】1.对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于或的等式，再进一步求出离心率.2.常构建等式的方法有：（1）利用圆锥曲线定义（2）利用几何关系（3）利用点在曲线上.3. 本题由题意作出图形，先由是椭圆的左焦点，得到的坐标，求出的长度，根据，表示出的长度，再由，表示出的长度，列出等式，求解即可得出结果.三．强化训练1．（2020吉林长春市实验中学高三）如图，F1，F2分别是双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()A ．3B ．2C ．31－D ．31+【答案】D【解析】连接1AF ，依题意知：213AF AF =，12122c F F AF ＝＝，所以2112(31)a AF AF AF =-=- 11231(31)AF ce a AF ===+-. 2.（2020安徽铜陵模拟）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第二象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】PF 2⊥PQ 且|PF 2|＝|PQ |，可得△PQF 2为等腰直角三角形， 设|PF 2|＝t ，则|QF 2|＝ ，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a ﹣t ，则t ＝2（2﹣）a ，在直角三角形PF 1F 2中，可得t 2+（2a ﹣t ）2＝4c 2， 4（6﹣4）a 2+（12﹣8）a 2＝4c 2，化为c 2＝（9﹣6）a 2， 可得e ＝＝．故选A.3.（2020银川一模）椭圆的左右焦点为，，若在椭圆上存在一点，使得的内心I 与重心满足，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设，又，，则的重心.因为∥所以内心I 的纵坐标为.即内切圆半径为.由三角形面积，，及椭圆定义得，解得，故选D.4．（2020·甘肃兰州一中高三）已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )A ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】D【解析】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为122F F c =,1PF t =,由题意可得122,2t c a t c a +=-=122,2t a c t a c ∴=-=+ ，1222a c a c ∴-=+ ，即12a a c -= 12111e e ∴-=，即2121e e e =+2222122222211111e e e e e e e e e ∴-=-==++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由21e >可知2101e <<，令21(0,1)x e =∈，2(0,2)y x x ∴=+∈，所以2112e e ->，故选D.5.（2020泰安高三一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M ，若．则该双曲线的离心率为A ． 2B ．3C ．D ．【答案】 D 【解析】根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，因为，在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，，即，，因为圆的半径为，是圆的半径，所以，因为，，，，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，，即点纵坐标为，将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，将点坐标带入双曲线中可得，化简得，，，，故选 D.6.（2020兰州一模）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，所以，故．由可得，整理得 ，显然函数在上单调递增，所以，即．故选A ．7．（2020·河北高三月考）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D 5【答案】C【解析】∵22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，∴F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 双曲线的两条渐近线方程为y b a =-x ，y ba=x ， ∵过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P ，Q ． ∵11122OP OF OQ =+， ∴点P 是线段F 1Q 的中点，且PF 1⊥OP ，∴过F 1的直线PQ 的斜率k PQ ab =， ∴过F 1的直线PQ 的方程为：y ab=（x +c ），解方程组()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得P （2a c -，abc ），∴|PF 1|＝|PQ |＝b ，|PO |＝a ，|OF 1|＝|OF 2|＝|OQ |＝c ，|QF 2|＝2a ， ∵tan ∠QOF 2b a =，∴cos ∠QOF 2ac=，由余弦定理，得cos ∠QOF 2222242c c a c +-==1222a ac c-=， 即e 2﹣e ﹣2＝0，解得e ＝2，或e ＝﹣1（舍） 故选C ．9．（2020·湖南长郡中学高考模拟（理））如图所示，直线l 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线，1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，1F 关于直线l 的对称点为1F '，且1F '是以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．3【答案】C【解析】设焦点()1,0F c -关于渐近线:bl y x a=的对称点为()1',F m n ，则22222n b m c b a m a c n a ab n m c b c -⎧-⎧=⋅=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎪⎪+⎩⎩，又点()1',F m n 在圆()222x c y c -+=上，222222b a ab c c c c ⎛⎫-⎛⎫∴-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22244,2a c e e ⇒=⇒=∴=，故选C. 10．（2020·四川棠湖中学高考模拟（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ，抛物线()220=>y px p 与双曲线C 有相同的焦点．设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且12sin PF F ∠=,则双曲线C 的离心率为（ ） AB或3C ．2D ．2或3【答案】D【解析】不妨设P 在第一象限且()00,P x y ，则1,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 过P 作直线2px =-（抛物线的准线）的垂线，垂足为E ， 则112F PE PF F ∠=∠，故112sin sin F PE PF F ∠=∠=因1F PE ∆为直角三角形，故可设,2p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0P x 且25PE PF k ==，17PF k =所以02052242p x k k px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得043p k x k =⎧⎨=⎩或062p k x k =⎧⎨=⎩， 若043p k x k =⎧⎨=⎩，则124F F k =， 22752k e k k ==-； 若062p k x k =⎧⎨=⎩，则126F F k =，33752ke k k ==-； 综上，选D.11．已知椭圆C ：2222x y a b+=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 和B ，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点.设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当2393(ln ||ln ||)32a m nb mn mn ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ） A．3B ．45C．2D ．15【来源】安徽省池州市2021届高三下学期4月普通高中教学质量统一监测文科数学试题 【答案】A【解析】A (-a ，0)，B (a ，0)，设()00,P x y ，则()222202b a x y a -=，而0000,y y m n x a x a==+-，则2202220y b mn x a a==--，又2393(ln ||ln ||)32a m nb mn mn ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭22222339ln 3a bb bb a a a ⎛⎫ ⎪=-++ ⎪ ⎪--⎪⎝⎭322339ln 3a a a b b b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令1at b =>，则322()339ln 3f t t t t t =-+-， 所以()232(3)232639()t t t t t f t t t-+-+-==', 故min ()(3)f t f =，即3a b =，从而3e ==. 故选：A.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若125430HP HF HF →++=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第三次联考理科数学试题 【答案】C【解析】由1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈，则点H 在12F PF ∠的角平分线上， 由点H 在直线x a =上，则H 是12PF F △的内心，由125430HP HF HF →++=，由奔驰定理（已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·PA ＋S △PAC ·PB ＋S △PAB ·PC ＝0.）知，1212::5:4:3HF F HF P HF P S S S =△△△,即1212111||:||:||5:4:3222F F r PF r PF r ⋅⋅⋅=则1212::5:4:3F F PF PF =，设125F F λ=，14PF λ=，23PF λ=， 则125252F F c c λλ==⇒=，1222PF PF a a λλ-==⇒=，则5ce a ==.故选：C13．已知P 为双曲线22221x y a b -=(0a >，0b >)左支上一点，1F ，2F 为其左右焦点，若221PF PF 的最小值为11a ，则双曲线的离心率为（ ） ABCD ．92【来源】河南省名校联盟2020-2021学年高三下学期4月联考（二） 数学（文科）试题 【答案】B 【解析】设2PF m =，1PF n =，则由双曲线的定义得：2m n a -=，∴()22221244PF a n a n a PF nn+==++，[),n c a ∈-+∞．记()244a n a n f n =++，[),n c a ∈-+∞，()2241a f n n '=-，令()22410f n a n ='-=，得2n a =．（1）当2c a a -≤时，[),2n c a a ∈-，()22410a f n n '=-<，()y f n =单调递减；()2,n a ∈+∞，()22410a f n n'=->，()y f n =单调递增，∴()()min 28f n f a a ==，不合题意，舍去；（2）当2c a a ->时，()22410a f n n'=->恒成立，∴()()n2mi 43a c y n f c c a a a=++=--， ∴24311a c a a c a ++=-，∴229120c ac a -+=，解得c a =⎝⎭或c a =⎝⎭．∵92c a ⎛=⎝⎭不满足2c a a ->，应舍去.∴92c a ⎛+= ⎝⎭，离心率92e +=故选：B ．14．设点1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点.点A ，B 分别在双曲线C 的左，右支上，若21225AB F A AF AB AF ==⋅，，且22AF BF <，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．135D ．177【来源】河南省六市2021届高三第二次联考（二模）数学（文科）试题 【答案】B 【解析】15AB F A =，∴1,,F A B 共线，且15AB F A =，2222222222()AF AB AF AF F B AF AF F B AF =⋅=+⋅=+⋅，∴220F B AF ⋅=，则22F B AF ⊥，故有22222AF BF AB +=，设1F A m =，则5AB m =，16BF m =，由双曲线的定义可得222222226225AF m a m BF aAF BF m ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎩∴222(2)(62)25m a m a m ++-=，整理得()(32)0m a m a --=，解得：m a =或23m a =，若23m a =，则283AF a =，22BF a =，不满足22AF BF <，舍去；若m a =，2234AF a BF a =<=，符合题意，则16BF a =，5AB a =，此时22cos 5||445a BF A a BF AB ∠===，在12F BF 中，22212121222cos F F BF BF BF BF ABF =+-⋅∠，即2224361664542c a a a a =+-⨯⨯⨯，得到222175c e a ==，即22175c a =， ∴5c e a ==． 故选：B ．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ AB AQ FB ⋅=⋅，且3BQ FQ =，则C 的离心率为( ) A ．2B 51C 25+D ．25+【来源】全国卷地区（老高考）2021届高三下学期4月冲刺联考理科数学试题 【答案】C【解析】由已知得(),0A a ，设(),0F c ，由AQ AB AQ FB ⋅=⋅，得()0AQ AB BF AQ AF ⋅+=⋅=， 所以l x ⊥轴，即:l x a =， 不妨设点Q 在第一象限，则(),Q a b .设()00,B x y ，由3BQ FQ =，得2BF FQ =，()()00,2,c x y a c b ∴--=-，00322x c a y b =-⎧∴⎨=-⎩，即()32,2B c a b --，点()00,B x y 在双曲线上，()()22223221c a b ab--∴-=，整理得229120c ac a --=，291210e e ∴--=， 解得25e +=，或25e -=(负值舍去).故选C. 故选：C16．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点和上顶点分别为点()(),0F c b c >和点A ，直线:65280l x y --=交椭圆于,P Q 两点，若F 恰好为APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题设()()()()1122,0,0,,,,,F c A b P x y Q x y ，则线段PQ 的中点为()00,B x y ， 由三角形重心的性质知2AF FB =，即()00,2,()c b x c y -=-，解得：003,22c b x y ==- 即3,22c b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入直线:65280l x y --=，得592802b c +-=①. 又B 为线段PQ 的中点，则12123,x x c y y b +=+=-，又,P Q 为椭圆上两点，2222112222221,1x y x y a b a b∴+=+=，以上两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，所以221212221212365PQy y x x b b c k x x a y y a b -+==-⋅=-⨯=-+-，化简得225a bc =② 由①②及222a b c =+，解得：42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即离心率e =. 故选：C.17．已知双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>，若存在斜率为1的直线与1C 的左､右两支分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点在圆2C ：()22425x y +-=上，则1C 的离心率的最小值为（ ） ABC ．2D【答案】B【解析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2211221x y a b -=①，2222221x y a b-=②①-②得 22221212220x x y ya b---=化简得2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+， 因为直线斜率为1，所以212212y y b x x a +=+， 设00(,)M x y 为,P Q 中点，则2020y b x a = ③，其中1202x x x +=，1202y y y +=， 因为M 在圆上，则()2200425x y +-=④ ③代入④可得244004416()405a y b b y b -+=+，方程有解可得84416164()540b a b b ∆=-+⋅≥，即444544b a b ≥+，解得2222c a a-≥,即223c a ≥，所以e ≥ B 18．已知双曲线2222:1x y C a b-=，(0,0)a b >>过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A 、B 两点A 、B 两点分别在一、四象限，若12AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ） AB ．2CD【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题 【答案】A【解析】由题意知：双曲线的右焦点(),0F c ，渐近线方程为b y x a=±， 即0bx ay ±=， 如下图所示:由点到直线距离公式可知：22bc FA b b a==+，又222c a b =+，OA a ∴=，12AF BF=， 即2BF b =， 设AOF α∠=，由双曲线对称性可知2AOB α∠=， 而tan baα=，3tan 2AB b OA a α==， 由正切二倍角公式可知：222222tan 2tan 21ta 1n bb ab a a b a ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯===--， 即2232b ab a a b =-， 化简可得：223a b ，即2213b a =， 由双曲线离心率公式可知：22123113c b e a a ==+=+=. 故选：A.19．（2020·江苏高三月考（理））如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若，则该椭圆的离心率是 .【答案】【解析】依题意可得，,,OA a OF c OB b ===因为90BAO BFO BAO ABO ∠+∠==∠+∠，所以BFO ABO ∠=∠ 所以Rt AOB Rt BOF ∆~∆ 所以OB OF OAOB=，即b ca b=，故222b ac a c ==- 解得，15c -±=因为0c a <<，所以15c -+=，则15c e a -+==20．（2020·山东高考模拟）已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，P 为椭圆上的一点2PF 与椭圆交于Q 。

求解离心率范围的四种策略江苏省苏州高新区第一中学 朱亿华圆锥曲线离心率范围的求解问题是高考数学的热点和重点，它除拥有求参数取值范围的一般方法外，还有着其独特的一面，构造含a 、b 、c 的不等式是求离心率e 范围的关键，围绕构造含a 、b 、c 的不等式，寻求适当的求解策略正是本文要着力探讨的重点。

一. 变量分离策略圆锥曲线中变量的变化范围直接影响到离心率e 的大小，通过变量分离来构造关于e 的不等式，结合圆锥曲线中变量的有界性来求离心率e 的范围。

例1.已知椭圆C ：12222=+by a x （a>b>0），F 1、F 2是左、右焦点，如果C 上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=600，求离心率e 的范围。

解：由余弦定理得： ο60cos 2212221221QF QF QF QF F F -+= 即 2122344QF QF a c -= 设F 1、F 2分别是左、右焦点， Q(x 1,y 1) 则1QF =a+ex 1，2QF =a-ex 1代入上式得))((3441122ex a ex a a c -+-=（注意此等式中变量x 1的有界性，将变量x 1分离出来） 222134e a c x -= 2210a x <≤ 2222340a e a c <-≤∴ 即2222222240443c a a c a c a c⎧-≥⎪≤<⎨-<⎪⎩解之得 易得 121<≤e 二．根的判别式策略由题设构造关于a 、b 、c 的方程，根据该方程根的情况，利用根的判别式列出含a 、b 、c 的不等式，然后向“e ”转化例2.已知椭圆C ：12222=+by a x （a>b>0），F 1、F 2是左、右焦点，如果C 上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=900，求离心率e 的范围。

解：方法一：同例1 方法二：由椭圆定义得：1QF +2QF =2a 又∠F 1QF 2=900 则 222122214c F F QF QF ==+ 又()221222122142a QF QF QF QF QF QF =++=+ 故12QF QF ⋅=()222c a - 则 1QF 、2QF 是方程的两实根0)(22222=-+-c a at t （利用根的判别式不等式）则 ()()0242222≥-⨯--=∆c a a 即212≥e 又0<e<1 所以]1,22[∈e 三．韦达定理策略题设若涉及直线与曲线的交点位置问题，视情形可根据韦达定理来构造关于a 、b 、c 的不等式，然后向“e ”转化。

离心率范围问题的求解策略离心率是描述轨道形状的一个参数，它确定了天体轨道的偏心程度。

离心率为0时，轨道为圆形；离心率在0和1之间时，轨道为椭圆形；离心率为1时，轨道为抛物线；离心率大于1时，轨道为双曲线。

对于天体轨道的研究，离心率往往是一个重要的参数。

因此，如何确定离心率的范围是一个重要的问题。

本文将介绍几种求解离心率范围问题的策略。

1. 直接计算离心率的计算公式为：e = (r_max - r_min) / (r_max + r_min)其中，r_max和r_min分别表示天体在轨道上最远点和最近点的距离。

因此，可以通过测量或计算出这两个距离，然后直接带入公式计算离心率。

例如，在地球的椭圆轨道中，地球到太阳的距离最近点（近地点）为147 million km，最远点（远地点）为152million km，因此可以计算出地球轨道的离心率为：e = (152 - 147) / (152 + 147) = 0.017直接计算存在精度要求较高的问题，需要对测量和计算结果进行精确性分析和误差消除。

2. 基于牛顿法的迭代算法牛顿法是一种常用的近似算法，其基本思想是在当前位置处用切线代替函数曲线，然后求出切线与横坐标轴的交点，将交点作为下一个迭代点的位置，并以此类推。

对于离心率范围问题，可以将其转化为如下方程的求解：f(e) = M - E + e * sin(E)其中，M为天体的平近点角，E为偏近点角。

由于f(e)的解并不是显式的，因此需要使用牛顿法进行迭代。

具体地，可按如下步骤进行求解：1）选择一个初始值e02）计算f(e0)和f'(e0)（f'(e0)表示f(e)对e的导数值）3）计算e1 = e0 - f(e0) / f'(e0)4）重复2）和3）的步骤，直到达到预先设定的精度或迭代次数之后停止。

3. 基于历元观测的回归分析离心率范围也可以通过历元观测数据进行回归分析得到。

具体地，可按如下步骤进行： 1）收集一定数量的历元观测数据，包括天体在轨道上的位置、速度等信息。

离心率范围问题的求解策略离心率是描述天体椭球轨道形状的一个重要参数，它是一个无量纲的数值，代表了轨道的椭圆程度，是衡量轨道形状和运动的重要指标之一。

在天体力学中，离心率的范围问题是一个值得深思的问题，因为离心率的取值范围直接影响了天体的运动状态和轨道形状。

本文将探讨离心率范围问题的求解策略，希望能够给读者一些启发和帮助。

我们需要了解离心率的定义。

离心率e是描述椭圆轨道形状的一个参数，它的取值范围在0到1之间，当离心率为0时，轨道是一个圆形；当离心率在0到1之间变化时，轨道是一个椭圆；当离心率为1时，轨道是一个抛物线；当离心率大于1时，轨道是一个双曲线。

离心率的取值范围对轨道形状和运动状态有着重要的影响，因此离心率范围问题需要被认真对待。

我们需要思考离心率的物理意义。

离心率的大小代表了轨道椭圆程度，是描述轨道形状和运动状态的重要指标之一。

离心率越接近于0，轨道的形状越接近于圆形，天体围绕中心天体的运动越稳定；离心率越接近于1，轨道的形状越接近于抛物线，天体的运动越趋向于离心运动。

离心率的物理意义是十分重要的，它直接影响了天体的轨道形状和运动状态。

面对离心率范围问题，我们首先可以从离心率的定义出发，明确离心率的取值范围在0到1之间。

这一点是天文学和天体力学研究中的一个基本知识，需要我们牢固掌握。

在实际问题中，我们可以根据离心率的取值范围来推导出一些结论和规律，从而更好地理解离心率的作用和影响。

我们可以从天体运动的角度来分析离心率范围问题。

离心率是描述轨道形状和运动状态的重要参数，它直接影响了天体围绕中心天体的运动方式和轨道形状。

在天体力学研究中，我们可以通过分析离心率的取值范围，来研究不同离心率下天体的轨道形状和运动状态，从而深入理解离心率的物理意义和作用。

我们还可以通过数学模型和计算模拟来探讨离心率范围问题。

通过建立数学模型和计算模拟，我们可以对离心率的取值范围进行定量分析和研究，从而得出一些有关离心率范围问题的结论和结论。

高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法高中数学常见题型解法归纳——离心率取值范围的常见求法求圆锥曲线离心率的取值范围是高考中的一个热点和难点。

对于椭圆、双曲线和抛物线，我们需要清楚它们的离心率取值范围，并且自己求出的离心率的范围必须和这个范围求交集。

求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：方法一：利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系。

先求出曲线的变量，然后利用它们的范围建立离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。

例如，对于椭圆的左右焦点分别为$(\pm c,0)$，如果椭圆上存在点$P(x,y)$，使得$PF_1+PF_2=2a$，其中$F_1,F_2$为焦点，$2a$为长轴长度，则求离心率的取值范围为$\frac{c}{a}<e<1$。

方法二：直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式。

根据已知中的不等关系，得到关于离心率的不等关系，再转化为离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。

例如，已知双曲线的右焦点为$(c,0)$，若过点$P(2\cos\theta,\sin\theta)$且倾斜角为$\alpha$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\sec\alpha$。

方法三：利用函数的思想分析解答。

根据题意，建立关于离心率的函数表达式，再利用函数来分析离心率函数的值域，即得离心率的取值范围。

例如，设$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\frac{a}{b}$。

需要注意的是，对于椭圆的离心率、双曲线的离心率和抛物线的离心率，求出离心率的取值范围后，必须和它本身的范围求交集，以免扩大范围，出现错解。

离心率范围问题的求解策略1. 引言1.1 背景介绍离心率范围问题是指在某个特定的环境下，离心率的取值范围受到一定限制和影响，这可能会对系统的稳定性、性能和效率产生影响。

离心率本身是描述一个系统中某个物体或粒子远离轴线运动的程度的参数，通常用来描述液体或气体在旋转设备中的运动特性。

离心率的大小和范围直接关系着系统的工作状态和性能表现，因此对离心率范围问题进行深入研究和分析具有重要意义和实际价值。

在工程学、生物医学、地球科学等领域，离心技术被广泛应用于分离、浓缩、纯化等方面，而离心率范围问题则成为了工程师、科研人员以及相关领域专家关注的焦点。

了解和掌握离心率的定义、取值范围以及受到影响的因素，对于设计优化离心机、改进离心分离过程、提高实验效率等方面具有重要意义。

通过深入研究离心率范围问题的求解策略，可以为相关领域的科研工作和工程实践提供更加科学、有效的指导和支持。

1.2 问题提出离心率是描述轨道椭圆程度的一个重要参数，对于天体运动、环境工程等领域具有重要意义。

在实际应用中，我们常常面临离心率范围问题，即确定一个合适的离心率范围以满足特定的需求。

离心率范围问题在航天器设计、卫星轨道、地球环境保护等领域都具有重要意义。

在航天领域，离心率范围问题的解决直接影响着航天器的轨道设计和控制，对轨道稳定性、燃料消耗等方面都有着重要影响。

在卫星轨道设计中，确定合适的离心率范围可以提高卫星的使用寿命和性能，保证卫星能够稳定地运行和提供服务。

在地球环境保护中，离心率范围问题也是关键，例如在地球观测卫星设计中，需要合理选择离心率范围以确保卫星能够准确地观测地球的变化，为环境保护和资源管理提供支持。

研究离心率范围问题具有重要的理论意义和应用价值。

解决离心率范围问题，不仅可以提升航天器、卫星和环境保护设备的性能和稳定性，还能推动相关领域的发展和进步。

在本文中，我们将探讨离心率范围问题的定义、影响因素和求解策略，为解决实际问题提供参考和指导。

双曲线离心率取值范围的解题策略求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，下面举例说明。

一、利用双曲线性质例1 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的左支上，双曲线两焦点为21F F 、，已知|PF |1是点P 到左准线l 的距离d 和|PF |2的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。

解析：由题设|PF |d |PF |221=得：|PF ||PF |d |PF |121=。

由双曲线第二定义e d |PF |1=得：e |PF ||PF |12=，由焦半径公式得：e ex a ex a =+--，则a e e a)e 1(x 2-≤-+-=，即01e 2e 2≥--，解得21e 1+≤<。

点评：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P在双曲线1b y a x 2222=-的左支上则a x -≤；若点p 在双曲线1by a x 2222=-的右支上则a x ≥。

二、利用平面几何性质例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。

解析：由双曲线第一定义得：a 2|PF ||PF |21=-，与已知|PF |4|PF |21=联立解得：a 32|PF |,a 38|PF |21==，由三角形性质|F F ||PF ||PF |2121≥+得：c 2a 32a 38≥+解得：35e 1≤<。

点评：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。

三、利用数形结合 例3 （同例2） 解析：由例2可知：a 32|PF |,a 38|PF |21==，点P 在双曲线右支上由图1可知：a c |PF |1+≥，|a c PF |2-≥，即a c a 32,a c a 38-≥+≥，两式相加得：c a 35≥，解得：35e 1≤<。

例谈离心率e 范围解题策略求离心率 e 的范围是解析几何中常常考查的一类题，它涉及的知识面广，综合性大，所以难度也较大，且能很好的考查学生的综合能力和数学素养，但是学生往往因为建立不了不等式关系，或理不清思路感到无从下手。

本文通过几个例题谈谈几类常见的求离心率e 的解题策略。

一、利用曲线的范围例1、设椭圆c: 22x a ＋22y b ＝1(0)a b >>长轴的两端点分别为A 、B,若椭圆上存在一点M 使∠AMB ＝120︒,求该椭圆离心率e 的值范围（第十三届希望杯高二培训试题）分析：显然求离心率e 范围最好如何建立起关于a 、b 、c 的不等式关系。

解：设M (x,y) ∵ A(-a ,0) , B(a ,0)∴AM k ＝y x a +，BM k ＝y x a- 又∵∠AMB ＝120︒ ∴tan 120︒＝21y y x a x a y x a 22--++-＝22ay x y a22+-，即3(2x y a 22+-)＋2ay ＝0 (*) 又∵22x a ＋22y b ＝1, ∴ 222(1)y x a b 2=- 代入 (*)，得22230ab y c y -=∵0, y ≠∴y ＝2223ab c , ∵ y b 0<≤ ∴2223ab cb ≤ 即42224()3a ac c -≤, ∴ 423440e e +-≥ ∴2e ≥23 (2e ≤2舍去) ∴ e ≥63 ∴e ∈[63，1] 点评：本题主要就是利用椭圆的范围中y b ≤，建立不等式关系，这种题型隐蔽性强，所以难度也较大。

二、利用三角函数的有界性例2、椭圆22x a ＋22y b ＝1(0)a b >>与x 轴正方向交于点A ，如果在这个椭圆上总存在点P 使OP ⊥OA ，O 为原点，求椭圆离心率e 的范围 解：设P （acos θ,bsin θ） (θ≠,2k k z π∈) ∵OP ⊥OA, ∴sin sin 1cos cos b b a a aθθθθ∙=-- 化简得 2222222cos (1cos )cos 11cos 1cos a a c e b aθθθθθ--====--+ ∴22112(,1)(,1)1cos 22e e e θ=∴∈∴∈+ 点评：本题关键在于建立e 和三角函数的关系式，再利用三角函数的取值范围求出e 的范围，是一种常见的求e 的方法。