指数函数对数函数比较大小题型总结
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指数函数对数函数大小比较的攻略
指数和对数是高中数学中很重要的一部分,许多公式、定理和概念都与它们有关。
在数学研究中,我们常常需要对指数函数和对数函数进行比较,以便更好地理解它们的性质和变化规律。
一、指数函数与对数函数的定义
- 指数函数:y=a^x,a>0且a≠1。
- 对数函数:y=loga(x),a>0且a≠1。
两种函数互为反函数,即a^loga(x)=loga(a^x)=x。
二、指数函数与对数函数的图像
- 指数函数的图像为一条上升的曲线,其图像的左端点为(负无穷, 0),右端点为(正无穷, 正无穷)。
- 对数函数的图像为一条上升的曲线,其图像的左端点为(0, 负无穷),右端点为(正无穷, 正无穷)。
三、指数函数与对数函数的变化规律
- 指数函数的特点:定义域为R,值域为(0, 正无穷),单调递增,具有连续性和导数。
当0<a<1时,函数在定义域内且单调递减。
- 对数函数的特点:定义域为(0, 正无穷),值域为R,单调递增,具有连续性和导数。
四、指数函数与对数函数的大小比较
- 若a>1,则a^x的增长速度大于loga(x)的增长速度;
- 若0<a<1,则a^x的增长速度小于loga(x)的增长速度;
- 当a=1时,指数函数和对数函数都为常数函数;
- 当a=e时,e^x与lnx的关系比较特殊,两者相等。
综上所述,指数函数和对数函数在数学学习中都有着重要作用,掌握其定义和性质,理解其图像和变化规律,能够更好地应用它们
解决问题。
在比较大小时,要牢记以上几点规律,希望对各位同学
的学习有所帮助。
专题02 指数、对数及幂的大小比较问题--------真题演练指数、对数及幂的大小比较问题方法灵活,常常给人以“乱花渐欲迷人眼”的感觉,而对其问题进行归纳总结,会发现这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻,即利用函数的性质及图象解答。
体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查,也是高考命题的热点。
本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧。
希望大家以后解决此类问题时有“浅草才能没马蹄”的轻盈之感。
1.常用的指对数变换公式:(1)nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭;(2)log log log a a a M N MN += ; log log log a a a M M N N-=; (3)()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>;(4)换底公式:log log log c a c bb a=; 进而有两个推论:1log log a b b a=(令c b =); log log m n a a n N N m =;2.比较大小的基本思路:(1)求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过真数的大小与指对数函数的单调性, 判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如:1113423,4,5,比较时可进行转化,尽管底数难以转化为同底,但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===,从而只需比较底数的大小即可;(2)利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“-1,0,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如2log 3,可知2221log 2log 3log 42=<<=,进而可估计2log 3是一个1点几的数,从而便于比较;(3)利用函数单调性比较大小;例:()f x 在[],a b 单调递增,则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内,单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁);总之:比较数式的大小,若同底,考虑指数函数(或对数函数);若同指,则考虑幂函数,再利用函数的单调性比较大小;若不同底,也不同指,则其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决,或者利用中间量法。
指数函数对数函数大小比较的技巧介绍指数函数和对数函数是数学中常见的函数类型,它们在各种科学和工程应用中起着重要的作用。
本文将介绍一些比较指数函数和对数函数大小的技巧,帮助读者更好地理解和应用这两种函数。
指数函数的性质指数函数的一般形式为 y = a^x,其中 a>0 且a≠1。
指数函数的性质如下:1. 当 a>1 时,函数呈现递增趋势,即 x 增大时,y 也增大。
2. 当 0<a<1 时,函数呈现递减趋势,即 x 增大时,y 减小。
3. 当 x=0 时,指数函数的值为 1,无论 a 的取值如何。
对数函数的性质对数函数的一般形式为y = logₐx,其中 a>0 且a≠1。
对数函数的性质如下:1. 对数函数是指数函数的反函数,即a^logₐx = x。
2. 当 0<x<1 时,对数函数的值为负数。
3. 当 x=1 时,对数函数的值为 0。
4. 当 x>1 时,函数呈现递增趋势,即 x 增大时,y 也增大。
5. 当 0<x<1 时,函数呈现递减趋势,即 x 增大时,y 减小。
6. 当 x=0 时,对数函数的值为负无穷大,即logₐ0 = -∞。
比较指数函数和对数函数大小的技巧1. 当 a>1 时,指数函数的值始终大于对数函数的值。
2. 当 0<a<1 时,指数函数的值始终小于对数函数的值。
3. 当 a=1 时,指数函数和对数函数的值相等。
4. 当 x 相同时,指数函数的值通常大于对数函数的值,但有特殊情况,例如 x=0 时,指数函数和对数函数的值相等,都为 1 或 0。
总结通过比较指数函数和对数函数的性质,我们可以得出一些比较大小的技巧。
在应用中,我们可以利用这些技巧更好地理解和使用指数函数和对数函数,从而更好地解决相关问题。
以上是关于指数函数对数函数大小比较的技巧的介绍。
希望本文能对读者有所帮助,谢谢阅读!。
第20讲指对数比较大小8种常考题型总结【知识点梳理】指数和对数的比大小问题成为了高考和模拟题的一些拉档题,这里我们重点介绍几种比大小方法,让大家充分了解掌握一些指数对数大小比较的常用方法.(1)利用指数对数单调性比较大小;当底数一样或者可以化成一样,直接利用单调性比较即可(2)利用指数对数函数图象关系比较大小(2)比较与0,1的大小关系,此类题目一般会放在单选第5题左右位置,比如12.02.0003.0=<<,12.0log3.0log 1log 02.02.02.0=<<=(3)取中间值,比如遇到两个数都在0到1之间,我们可以比较它们与21的大小等(4)去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时候,需要将对数进行分离常数再比较.例如:log log 1log log n a a a a ma m ma m n =+=+;.(5)当真数一样我们考虑用换底公式,换为底数一样,再比较分母,如2ln =a 和2log 3=b ,ea 2log 12ln ==,3log 12log 23==b ,因为e 22log 3log >,所以b a >(6)乘倍数比较数的范围比较大小,比如3log 2=a 和4log 3=b ,则()5,427log 3log 3322∈==a ,()4,364log 4log 3333∈==b ,所以b a 33>,所以ba >(7【题型目录】题型一:直接利用单调性比较大小题型二:比较与1,0的大小关系题型三:取中间值比较大小题型四:利用换底公式比较大小题型五:分离常数再比较大小题型六:利用均值不等式比较大小题型七:乘倍数比较数的范围比较大小题型八:构造函数比大小【典型例题】题型一:直接利用单调性比较大小【例1】已知222log 0.6,log 0.8,log 1.2a b c ===,则()A .c b a>>B .c a b>>C .b c a >>D .a b c>>【例2】已知2log 3a =,4log 6b =,8log 9c =,则a 、b 、c 的大小顺序为()A .a b c <<B .a c b<<C .c b a<<D .b c a<<【题型专练】1.下列选项正确的是()A .22log 5.3log 4.7<B .0.20.2log 7log 9<C .3πlog πlog 3>D .log 3.1log 5.2(0a a a <>且1)a ≠2.已知2log 3a =,ln 2b =,2log πc =,则a ,b ,c 的大小关系为()A .a b c >>B .c a b>>C .a c b>>D .c b a>>3.已知1ln 3a=,33log 5log 2b =-,c =a ,b ,c 的大小关系为()A .a c b >>B .b c a >>C .c a b>>D .c b a>>4.已知0.919x =,2log 0.1y =,2log 0.2z =,则()A .x y z>>B .x z y>>C .z x y >>D .z y x>>题型二:比较与1,0的大小关系【例1】若1223a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1ln 2b =,0.20.6c -=,则a ,b ,c 的大小关系为()A .c b a>>B .c a b >>C .b a c >>D .a c b>>【例2】已知0.3123log 2,log 3,2a b c -===,则a ,b ,c 的大小关系是()A .a b c>>B .b a c>>C .c a b>>D .b c a>>【例3】已知0.72a =,0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,21log 3c =,则()A .a c b >>B .b c a >>C .a b c >>D .c a b>>【题型专练】1.若0.110a =,lg 0.8b =,5log 3.5c =,则()A .a b c>>B .b a c>>C .c a b>>D .a c b >>2.已知5lg 0.2,log 6,ln 2a b c ===,则a ,b ,c 的大小关系为()A .a b c<<B .c a b<<C .a c b<<D .c b a <<3.已知0.60.622e log 0.6a b c -===,,,则a ,b ,c 的大小关系为()A .b a c >>B .b c a >>C .a b c>>D .a c b>>题型三:取中间值比较大小【例1】已知32log 3a =,2log 3b =,139c =,则()A .c a b>>B .b a c >>C .b c a>>D .c b a >>【例2】已知5log 2a =,8log 3b =,12c =,则下列判断正确的是()A .c b a<<B .b a c<<C .a c b<<D .a b c<<【例3】已知6log 2a =,0.5log 0.2b =,0.30.6c =,则a ,b ,c 的大小关系为()A .a c b <<B .a b c <<C .b c a <<D .c a b<<【题型专练】1.已知3log 4a =,4log 5b =,32c =,则有()A .a b c>>B .c b a>>C .a c b >>D .c a b>>2.设0.61a =,0.6lg9b =,32log 8c =,则()A .b a c<<B .c b a<<C .a c b<<D .b c a<<3.已知52log 4a =,31log 72b =,4log 52c =,则a ,b ,c 的大小关系是()A .b c a<<B .b a c <<C .c a b<<D .a b c<<题型四:利用换底公式比较大小【例1】设x ,y ,z 为正数,且345x y z ==,则()A .x y z<<B .y x z<<C .y z x<<D .z y x<<【例2】设a =log 32,b =ln2,c 125=,则a 、b 、c 三个数的大小关系是()A .a >b >cB .b >a >cC .c >a >bD .c >b >a【例3】设a =log 32,b =ln2,c 125=,则a 、b 、c 三个数的大小关系是()A .a >b >cB .b >a >cC .c >a >bD .c >b >a【题型专练】1.设0.1log 4a =,50log 4b =,则()A .()22ab a b ab<+<B .24ab a b ab<+<C .2ab a b ab <+<D .2ab a b ab<+<2.设2log a π=,6log b π=,则()A .0a b ab-<<B .0ab a b<<-C .0ab a b <<-D .0a b ab<-<3.设0.20.3a =,20.3b =,则()A .0a b ab +<<B .0ab a b <+<C .0a b ab +<<D .0ab a b <<+4.已知正数x ,y ,z 满足346x y z ==,则下列说法中正确的是()A .1112x y z+=B .346x y z >>C .22xy z>D .2x y z⎛+> ⎝题型五:分离常数再比较大小【例1】已知6log 3a =,8log 4b =,10log 5c =,则().A .b a c <<B .c b a<<C .a c b<<D .a b c<<【题型专练】1.设6log 3=a ,10log 5=b ,14log 7=c ,则()A.ab c >> B.b c a>> C.a c b>> D.a b c>>题型六:利用均值不等式比较大小【例1】73a =,4log 20b =,33log 2log 6c =+,则a ,b ,c 的大小关系是()A .a b c>>B .a c b >>C .c b a >>D .c a b>>【例2】若lg 2lg5a =⋅,ln 22b =,ln 33c =,则a ,b ,c 的大小关系为()A .a b c <<B .b c a <<C .b a c <<D .a c b<<【题型专练】1.已知910,1011,89m m m a b ==-=-,则()A .0a b>>B .0a b >>C .0b a >>D .0b a>>2.已知2log a =0.62b =,0.2log 6c =-,则实数a ,b ,c 的大小关系为()A .a c b>>B .a b c>>C .b a c>>D .b c a>>题型七:乘倍数比较小【例1】已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则()A .a <b <c B .b <a <cC .b <c <aD .c <a <b【题型专练】1.已知3log 2=a ,4log 3=b ,5log 4=c ,则实数a ,b ,c 的大小关系为()A .a <b <cB .a b c>>C .b a c>>D .b c a>>题型八:构造函数比大小【例1】设0a >,0b >,则下列叙述正确的是()A .若ln 2ln 2a b b a ->-,则a b >B .若ln 2ln 2a b b a ->-,则a b <C .若ln 2ln 2a a b b ->-,则a b >D .若ln 2ln 2a a b b ->-,则a b<【例2】若2e 2e x x y y ---<-,则()A .()ln 10y x -+<B .()ln 10y x -+>C .ln 0x y ->D .ln 0x y -<【题型专练】1.若1a b >>,且x y x y a a b b --->-,则()A .()ln 10x y -+>B .()ln 10x y -+<C .ln 0x y ->D .ln 0x y -<2.已知正实数x ,y 满足21211log log 22xyx y ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()A .11x y<B .33x y <C .()ln 10y x -+>D .122x y-<。
指数函数与对数函数例题和知识点总结一、指数函数的定义与性质指数函数的一般形式为$y = a^x$($a > 0$且$a ≠ 1$)。
其中,底数$a$决定了函数的性质。
当$a > 1$时,函数单调递增;当$0 < a < 1$时,函数单调递减。
指数函数的定义域为$R$,值域为$(0, +\infty)$。
例如,函数$y = 2^x$是一个底数为$2$(大于$1$)的指数函数,它在$R$上单调递增。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的反函数,一般形式为$y =\log_a x$($a > 0$且$a ≠ 1$)。
其中,对数的底数$a$同样决定了函数的性质。
当$a > 1$时,函数在$(0, +\infty)$上单调递增;当$0 < a <1$时,函数在$(0, +\infty)$上单调递减。
对数函数的定义域为$(0, +\infty)$,值域为$R$。
例如,函数$y =\log_2 x$是一个底数为$2$(大于$1$)的对数函数,它在$(0, +\infty)$上单调递增。
三、指数函数与对数函数的图象指数函数$y = a^x$($a > 0$且$a ≠ 1$)的图象特点:当$a > 1$时,图象过点$(0, 1)$,从左到右逐渐上升;当$0 < a < 1$时,图象过点$(0, 1)$,从左到右逐渐下降。
对数函数$y =\log_a x$($a > 0$且$a ≠ 1$)的图象特点:当$a > 1$时,图象过点$(1, 0)$,从左到右逐渐上升;当$0 < a < 1$时,图象过点$(1, 0)$,从左到右逐渐下降。
四、指数运算与对数运算的性质指数运算性质:1、$a^m \times a^n = a^{m + n}$2、$\frac{a^m}{a^n} = a^{m n}$3、$(a^m)^n = a^{mn}$4、$a^0 = 1$($a ≠ 0$)对数运算性质:1、$\log_a (MN) =\log_a M +\log_a N$2、$\log_a \frac{M}{N} =\log_a M \log_a N$3、$\log_a M^n = n \log_a M$4、$\log_a a = 1$5、$\log_a 1 = 0$五、例题分析例 1:比较大小比较$2^{03}$和$03^2$的大小。
1、 ) A 、、 C 、、2 )A 、、C 、、3、三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是( )A 、60.70.70.7log 66<<B 、60.70.70.76log 6<< B 、0.760.7log 660.7<< D 、60.70.7log 60.76<< 4、设1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则( )A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >>5、当10<<a 时,aa a a a a ,,的大小关系是( )A 、aa a a a a >>B 、a a a aa a >> C 、a a a a a a>>D 、aa a a a a >>6.设y 1=40.9,y 2=80.48,y 3=(12)-1.5,则( )A .y 3>y 1>y 2B .y 2>y 1>y 3C .y 1>y 2>y 3D .y 1>y 3>y 2 7.设13<(13)b <(13)a<1,则( )A .a a <a b <b aB .a a <b a <a bC .a b <a a <b aD .a b <b a <a a8.若x <0且a x >b x >1,则下列不等式成立的是( )A .0<b <a <1B .0<a <b <1C .1<b <aD .1<a <b 9.在⎝ ⎛⎭⎪⎫-12-1,2-12,⎝ ⎛⎭⎪⎫12-12,2-1中,最大的数是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12-1 B .2- 12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12-12D .2-1 10.若a =0.512,b =0.513,c =0.514,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a >b >c B .a <b <c C .a <c <b D .b <c <a 11.比较下列各题中两个值的大小: (1)0.8-0.1,0.8-0.2;(2)1.70.3,0.93.1; (3)a 1.3,a 2.5(a >0,且a ≠1).12.设y 1=40.9,y 2=80.48,y 3=(12)-1.5,则( )A .y 3>y 1>y 2B .y 2>y 1>y 3C .y 1>y 2>y 3D .y 1>y 3>y 21.设a =log 54,b =(log 53)2,c =log 45,则( )A .a <c <bB .b <c <aC .a <b <cD .b <a <c2.设a =lge ,b =(lg e)2,c =lg e ,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >a >bD .c >b >a3.已知a =log 23.6,b =log 43.2,c =log 43.6,则( ) A .a >b >c B .a >c >b C .b >a >c D .c >a >b4.设a=log1312,b=log1323,c=log343,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a2.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是( ) A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-aC.0.5a<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a 8.已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是________.9.把(23)-13,(35)12,(25)12,(76)0按从小到大的顺序排列____________________.友情提示:本资料代表个人观点,如有帮助请下载,谢谢您的浏览!。
指数函数与对数函数大小比较的实用指南简介指数函数和对数函数是数学中常见的函数类型。
在比较它们的大小时,我们可以采用以下几种简单的策略。
策略一:观察底数和指数指数函数可以表示为 f(x) = a^x,其中 a 表示底数,x 表示指数。
对数函数可以表示为 g(x) = log_a(x),其中 a 表示底数,x 表示函数值。
当底数 a 大于 1 时,指数函数的增长速度显著大于对数函数的增长速度。
当底数 a 介于 0 和 1 之间时,指数函数的增长速度相对较小,而对数函数的增长速度较大。
因此,如果给定 a、x,我们可以通过观察底数的值来判断哪个函数较大。
策略二:比较函数值我们可以通过计算函数值来比较指数函数和对数函数的大小。
给定 a、x,我们计算指数函数 f(x) = a^x 和对数函数 g(x) = log_a(x) 的函数值,然后比较它们的大小。
具体比较方法如下:- 当 a^x > log_a(x) 时,指数函数 f(x) 较大。
- 当 a^x < log_a(x) 时,对数函数 g(x) 较大。
- 当 a^x = log_a(x) 时,指数函数 f(x) 和对数函数 g(x) 相等。
策略三:绘制函数图像绘制指数函数和对数函数的图像可以直观地比较它们的大小。
对于给定的 a,我们可以使用数学软件或手绘图形的方式来绘制函数图像,并观察函数图像的变化趋势。
一般来说,指数函数的图像呈现出急剧增长或急剧衰减的趋势,而对数函数的图像则呈现出平缓增长的趋势。
策略四:推导和比较导数我们可以推导指数函数和对数函数的导数,然后比较它们的大小。
如果导数之间的比较关系成立,那么函数的大小关系也将成立。
具体而言,对于给定的 a,我们可以计算指数函数 f(x) = a^x 和对数函数 g(x) = log_a(x) 的导数,然后比较它们的大小。
结论在比较指数函数和对数函数的大小时,我们可以运用以上策略。
根据具体的情况选择合适的方法进行判断,以便得出准确的结果。
指、对、幂、及三角值比较大小的方法总结基础知识储备1直接利用函数基本单调性比较大小例1.已知a =log 23,b =log 46利用指数对数单调性比较大小;当底数一样或者可以化成一样,直接利用单调性比较即可,c =log 89,则a 、b 、c 的大小顺序为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.b <c <a先利用对数运算法则进行化简,再用函数单调性比较大小.【解答】b =log 46=log 26,又c =log 89=log 239,∵3>6>39,y =log 2x 单调递增,∴c <b <a .课堂练兵1.下列选项正确的是()A.log 25.3<log 24.7 B.log 0.27<log 0.29C.log 3π>log π3D.log a 3.1<log a 5.2(a >0且a ≠1)2.已知a =log 23,b =ln2,c =log 2π,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >a >bC.a >c >bD.c >b >a3.已知1a=ln3,b =log 35-log 32,c =2ln 3,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a >c >bB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a4.已知x =90.91,y =log 20.1,z =log 20.2,则()A.x >y >zB.x >z >yC.z >x >yD.z >y >x比较与0,1的大小关系,此类题目一般会放在单选题靠前位置,比如0<0.20.3<0.20=1, 0=log 0.21<log 0.20.3<log 0.20.2=2比较与0,1的大小关系1例2.若a =23 12,b =ln 12,c =0.6-0.2,则a ,b ,c 的大小关系为()A.c >b >aB.c >a >bC.b >a >cD.a >c >b分别根据y =23x、y =ln x 、y =0.6x 的单调性,比较a ,b ,c 与0、1的大小,即可.【解答】y =23 x 在-∞,+∞ 上是减函数,0<a =23 12<23=1;y =ln x 在0,+∞ 上是增函数,b =ln 12<ln1=0;y =0.6x 在-∞,+∞ 上是减函数,c =0.6-0.2>0.60=1,故c >a >b 例3.已知a =log 132,b =log 23,c =2-0.3,则a ,b ,c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a利用函数的单调性判断出a <0,b >1,0<c <1,即可得到正确答案.【解答】∵y =log 13x 为减函数,∴a =log 132<log 131=0,即a <0;∵y =log 2x 为增函数,∴b =log 23>log 22=1,即b >1;∵y =2x 为增函数,∴0<c =2-0.3<20=1,即0<c <1;∴b >c >a .例3.已知a=20.7,b=130.7,c=log213,则()A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答】∵20.7>13 0.7>0=log21>log213,∴a>b>c.课堂练兵1.若a=100.1,b=lg0.8,c=log53.5,则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b2.已知a=lg0.2,b=log56,c=ln2,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a3.已知a=20.6,b=e-0.6,c=log20.6,则a,b,c的大小关系为()A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b取中间值,比如遇到两个数都在0到1之间,我们可以比较它们与(0,1)之间的某个数进行大小比较,常用的中间值是13取中间值比较大小2例4.已知a=log323,b=log23,c=913,则()A.c>a>bB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a 利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答】∵a=log323<log31=0,1=log22<b=log23<log24=2,c=913>813=2,∴c>b>a.例5.已知a=log52,b=log83,c=12,则下列判断正确的是()A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c 利用对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系,由此可得出结论.【解答】a=log52<log55=12=log822<log83=b,即a<c<b.例6.已知a=log62,b=log0.50.2,c=0.60.3,则a,b,c的大小关系为()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b 根据指数函数、对数函数的性质计算可得.【解答】log0.50.2=log2-15-1=log25>log24=2,即b>2,0=log61<log62<log66=12,即0<a<12,1=0.60>0.60.3>0.50.3>0.51=12,即12<c<1,∴b>c>a;课堂练兵1.已知a=log34,b=log45,c=32,则有()A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b2.设a=0.61,b=lg90.6,c=log328,则有()A.b<a<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a3.已知a =2log 54,b =12log 37,c =2log 45,则a ,b ,c 的大小关系是()A.b <c <aB.b <a <cC.c <a <bD.a <b <c当真数一样我们考虑用换底公式,换为底数一样,再比较分母,如a =ln2和b =log 324利用换底公式比较大小,a =ln2=1log 2e,b =log 32=1log 23,∵log 23>log 2e ,∴a >b 例7.设x ,y ,z 为正数,且3x =4y =5z ,则()A.x <y <zB.y <x <zC.y <z <xD.z <y <x令3x =4y =5z =k >1,用k 表示出x ,y ,z ,再借助对数函数的性质即可比较大小.【解答】因x ,y ,z 为正数,令3x =4y =5z =k ,则k >1,因此有:x =log 3k =1log k 3,y =log 4k =1log k 4,z =log 5k =1log k 5,又函数f (t )=log k t 在(0,+∞)上单调递增,而1<3<4<5,则0<log k 3<log k 4<log k 5,于是得1log k 3>1log k 4>1log k 5,所以z <y <x .例8.设a =log 32,b =ln2,c =512,则a 、b 、c 三个数的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a根据对数函数与指数函数性质,结合中间值0、1比较即可.【解答】∵0<ln2<ln e =1,ln3>1,∴log 32=ln2ln3<ln2,∴a <b <1,∵c =512>50=1,∴c >b >a例9.设a =log 32,b =ln2,c =512,则a 、b 、c 三个数的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a根据对数函数与指数函数性质,结合中间值0、1比较即可.【解答】∵0<ln2<ln e =1,ln3>1,∴log 32=ln2ln3<ln2,∴a <b <1,∵c =512>50=1,∴c >b >a 课堂练兵1.设a =log 0.14,b =log 504,则()A.2ab <2a +b <ab B.2ab <a +b <4ab C.ab <a +b <2abD.2ab <a +b <ab2.设a =log 2π,b =log 6π,则()A.a -b <0<ab B.ab <0<a -b C.0<ab <a -bD.0<a -b <ab 3.设0.2a =0.3,2b =0.3,则()A.a +b <ab <0 B.ab <a +b <0C.a +b <0<abD.ab <0<a +b 4.已知正数x ,y ,z 满足3x =4y =6z ,则下列说法中正确的是()A.1x +12y =1zB.3x >4y >6zC.xy >2z 2D.x +y >32+2z 去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时,需要将对数进行分离常数再比较.这是对数值所独有的技巧,类似于分式型的分离常数,借助此法可以把较复杂的数值,转化为某一单调区间,或者某种具有单调性的形式,以利于比较大小 例如:log a ma =log a m +1;log a ma n =log a m +n 5分离常数再比较大小.例10.已知a =log 63,b =log 84,c =log 105,则().A.b <a <cB.c <b <aC.a <c <bD.a <b <c结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可.【解答】由题意得:a =log 63=log 662=1-log 62=1-1log 26,b =log 84=log 882=1-log 82=1-1log 28,a =log 105=log 10102=1-log 102=1-1log 210,∵函数y =log 2x 在(0,+∞)上单调递增,∴log 26<log 28<log 210,则1log 26>1log 28>1log 210,所以a <b <c 课堂练兵1.设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则()A.c >b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c例11.a 6利用均值不等式比较大小=73,b =log 420,c =log 32+log 36,则a ,b ,c 的大小关系是()A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可【解答】a =73=1+43,b =log 420=log 44+log 45=1+log 45,c =log 32+log 36=1+log 34,∵43=log 3343=log 3381>log 3364=log 34,∴a >c ,∵log 45log 34=lg5lg4⋅lg3lg4<lg3+lg52 2(lg4)2=lg152 2(lg4)2<lg162 2(lg4)2=2lg422(lg4)2=1,log 45>1,log 34>1,∴log 45<log 34,所以c >b ,综上a >c >b ,故选B 例12.若a =lg2⋅lg5,b =ln22,c =ln33,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.b <c <aC.b <a <cD.a <c <b由基本不等式可判断a <14,由对数的性质可得b >14,再作差可判断c ,b 大小.【解答】a =lg2⋅lg5<lg2+lg5 24=14,b =2ln24=ln44>14c -b =ln33-ln22=2ln3-3ln26=ln 986>0, 则c >b .所以a <b <c .课堂练兵1.已知9m =10,a =10m -11,b =8m -9,则()B.a >b >0C.b >a >0D.b >0>ab =20.6,c =-log 0.26,则实数a ,b ,c 的大小关系为()B.a >b >cC.b >a >cD.b >c >a乘倍数后再进行大小比较,比如a =log 23和b =log 34,则3a =3log 23=log 227∈4,5 A.a >0>b2.已知a =log 25,A.a >c >b 7乘倍数比较大小, 3b =3log 34=log 364∈3,4 ,∴3a >3b ,∴a >b例13.已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则()A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b题意可得a 、b 、c ∈0,1 ,利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系,由b =log 85,得8b =5,结合55<84可得出b <45,由c =log 138,得13c =8,结合134<85,可得出c >45,综合可得出a 、b 、c 的大小关系【解答】由题意可知a 、b 、c ∈0,1 ,a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1lg52⋅lg3+lg82 2=lg3+lg82lg52=lg24lg252<1,∴a <b ;由b =log 85,得8b =5,由55<84,得85b <84,∴5b <4,可得b <45;由c =log 138,得13c =8,由134<85,得134<135c ,∴5c >4,可得c >45.综上所述,a <b <c .课堂练兵1.已知a =log 23,b =log 34,c =log 45,则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.a >b >cC.b >a >cD.b >c >a8初等型双元变量构造函数比大小构造简单函数,利用函数的单调性比较大小例14.设a >0,b >0,则下列叙述正确的是()A.若ln a -2b >ln b -2a ,则a >b B.若ln a -2b >ln b -2a ,则a <b C.若ln a -2a >ln b -2b ,则a >b D.若ln a -2a >ln b -2b ,则a <b构造函数,利用函数的单调性分析判断即可【解答】∵y =ln x 和y =2x 在(0,+∞)上均为增函数,∴f (x )=ln x +2x 在(0,+∞)上为增函数,∴f (a )>f (b )时,得a >b >0,反之也成立,即ln a +2a >ln b +2b 时,a >b >0,反之也成立,∴ln a -2b >ln b -2a 时,a >b >0,反之也成立例15.若2x -e -x <2y -e -y ,则()A.ln y -x +1 <0B.ln y -x +1 >0C.ln x -y >0D.ln x -y <0先构造函数f x =2x -e -x ,通过观察导函数得到f x 单调性,从而得到x <y ,故可通过函数单调性判断出ln y -x +1 >ln1=0,而x -y 的可能值在[1,+∞)⋃0,1 ,故CD 均错误.【解答】令f x =2x -e -x ,则f x =2x ln2+e -x >0恒成立,故f x =2x -e -x 单调递增,由2x -e -x <2y -e -y 可得:x <y ,故ln y -x +1 >ln1=0,A 错误,B 正确;x -y 的可能值在[1,+∞)⋃0,1 ,故不能确定ln x -y 与0的大小关系,CD 错误.课堂练兵1.若a >b >1,且a x -a y >b -x -b -y ,则()A.ln x -y +1 >0B.ln x -y +1 <0C.ln x -y >0D.ln x -y <02.已知正实数x ,y 满足log 2x +log 12y <12 x -12 y,则()A.1x <1yB.x 3<y 3C.ln y -x +1 >0D.2x -y <12例16.设a ≠0,若x =a 为函数f x 9利用导数研究函数的单调性比较大小=a x -a 2x -b 的极大值点,则()A.a <b B.a >bC.ab <a 2D.ab >a 2【解答】若a =b ,则f x =a x -a 3为单调函数,无极值点,不符合题意,故a ≠b .∴f x 有x =a 和x =b 两个不同零点,且在x =a 左右附近是不变号,在x =b 左右附近是变号的.依题意,x =a 为函数f (x )=a (x -a )2(x -b )的极大值点,∴在x =a 左右附近都是小于零的.当a <0时,由x >b ,f x ≤0,画出f x 的图象如下图所示:由图可知b <a ,a <0,故ab >a 2.当a >0时,由x >b 时,f x >0,画出f x 的图象如下图所示:由图可知b >a ,a >0,故ab >a 2.故选:D .课堂练兵1.(多选题)已知正数x ,y ,z 满足x ln y =ye z =zx ,则x ,y ,z 的大小关系为()A.x >y >z B.y >x >z C.x >z >y D.以上均不对2.设a =2021ln2019,b =2020ln2020,c =2019ln2021,则()A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c一般情况下,作差或者做商,可处理底数不一样的的对数比较大小10差比法与商比法作差或者做商的难点在于后续变形处理,注意此处的常见解题技巧和方法例17.已知实数a 、b 、c 满足a =613,b =log 23+log 64,5b +12b =13c ,则a 、b 、c 的关系是()A.b >a >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b利用幂函数的性质知a <2,利用对数的运算性质及差比法可得b -2>0,再构造13c -13b ,根据指数的性质判断其符号,即可知b ,c 的大小.【解答】a =613<813=2;b =log 23+log 64=log 23+21+log 23,b -2=log 23⋅log 23-1 1+log 23>0,b >2;13c =5b +12b >52+122=132,c >2;13c -13b =5b +12b -13b =52⋅5b -2+122⋅12b -2-132⋅13b -2<52⋅12b -2+122⋅12b -2-132⋅13b -2=12b -2(52+122)-132⋅13b -2=132(12b -2-13b -2)<0,∴b >c ,综上,b >c >a .课堂练兵1.已知a =0.8-0.4,b =log 53,c =log 85,则()A.a <b <cB.b <c <aC.c <b <aD.a <c <b2.已知a =5log 23.4,b =5log 43.6,c =15log 30.3,则()A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >a >b 3.已知3a =6b =10,则2,ab ,a +b 的大小关系是()A.ab <a +b <2B.ab <2<a +bC.2<a +b <abD.2<ab <a +bf x 11构造函数:ln x /x 型函数 =ln xx出现的比较大小问题:①f x =ln x x 在区间(0,e )上单调递增,在区间(e ,+∞)单调递减;当x =e 时,取得最大值1e;②注意:f 2 =ln22=2ln24=f 4 例18.设a =4-ln4e2,b =1e ,c =ln22,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a <c <bB.c <a <bC.a <b <cD.b <a <c设f x =ln x x ,利用导数判断单调性,利用对数化简a =f e 22 ,b =f e ,c =f 2 =f 4 ,再根据单调性即可比较a ,b ,c 的大小关系.【解答】设f x =ln x x ,则f x =1x⋅x -ln xx 2=1-ln x x 2,当x ∈1,e ,f x >0,f x 单调递增,当x ∈e ,+∞ ,f x <0,f x 单调递减,因为a =4-ln4e 2=2ln e 2-ln2 e 2=ln e 22e 22=f e 22 ,b =1e =ln e e =f e ,c =ln22=f 2 ,所以b =f e 最大, 又因为c =f 2 =f 4 ,e <e 22<4,所以a =f e 22 >f 4 =c ,所以b >a >c课堂练兵1.已知a =3ln2π,b =2ln3π,c =3ln π2,则下列选项正确的是()A.a >b >c B.c >a >b C.c >b >aD.b >c >a2.以下四个数中,最大的是()A.ln 33 B.1e C.ln ππD.15ln15303.下列命题为真命题的个数是()①ln3<3ln2;②ln π<πe;③215<15;④3e ln2<42B.2D.4A.1C.312放缩①对数,利用单调性,放缩底数,或者放缩真数,指数和幂函数结合来放缩。
指对幂比较大小6大题型命题趋势函数“比大小”是非常经典的题型,难度不以,方法无常,很受命题者的青睐。
高考命题中,常常在选择题或填空题中出现这类型的问题,往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起,进行排序。
这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻,即利用函数的性质与图象解答。
满分技巧比较大小的常见方法1.单调性法:当两个数都是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较;2.作差法、作商法:(1)一般情况下,作差或者作商,可处理底数不一样的对数比大小;(2)作差或作商的难点在于后续变形处理,注意此处的常见技巧与方法;3.中间值法或1/0比较法:比较多个数的大小时,先利用“0”“1”作为分界点,然后再各部分内再利用函数的性质比较大小;4.估值法:(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间;(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值;5.构造函数,运用函数的单调性比较:构造函数,观察总结“同构”规律,很多时候三个数比较大小,可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律,所以可能优先从结构最接近的的两个数规律(1)对于抽象函数,可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f()外衣”比较大小;(2)有解析式函数,可以通过函数性质或者求导等,寻找函数的单调性、对称性,比较大小。
6.放缩法:(1)对数,利用单调性,放缩底数,或者放缩真数;(2)指数和幂函数结合来放缩;(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩;(4)“数值逼近”是指一些无从下手的数据,如果分析会发现非常接近某些整数(主要是整数多一些),那么可以用该“整数”为变量,构造四舍五入函数关系。
热点题型解读【题型1利用单调性比较大小】【例1】(2022秋·福建宁德·高三统考期中)设a =0.30.3,b =0.30.5,c =0.50.3,d =0.50.5,则a ,b ,c ,d 的大小关系为()A.b >d >a >cB.b >a >d >cC.c >a >d >bD.c >d >a >b【变式1-1】(2022秋·四川眉山·高三校考阶段练习)若a =0.40.5,b =0.50.4,c =log 324,则a ,b ,c 的大小关系是()A.a <b <cB.b <c <aC.c <b <aD.c <a <b【变式1-2】(2022·陕西宝鸡·统考一模)已知实数a ,b ,c 满足e 2a2=e 3b 3=e 5c 5=2,则()A.a >b >cB.a <b <cC.b >a >cD.c >a >b【变式1-3】(2023·全国·高三专题练习)已知a =0.30.5,b =0.30.6,c =2512,则a 、b 、c 的大小关系为()A.a <b <cB.c <a <bC.b <a <cD.c <b <a【变式1-4】(2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测)已知f x =-x 2-cos x ,若a =f e -34,b =f ln45,c =f -14 ,则a ,b ,c 的大小关系为()A.c <b <aB.c <a <bC.b <c <aD.a <c <b【变式1-5】(2022·全国·高三专题练习)(多选)下列大小关系中正确的是()A.91.5>32.7B.3747<4737C.log 1213<log 312 D.1.70.2>0.92.1【题型2作差作商法比较大小】【例2】(2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)已知a =e 13,b =ln2,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a【变式2-1】(2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习)若a=sin4,b=log53,c=lg6,d=e0.01,则().A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.b<c<d<aD.a<d<b<c【变式2-2】(2022·全国·高三专题练习)已知m5=4,n8=9,0.9p=0.8,则正数m,n,p的大小关系为( )A.p>m>nB.m>n>pC.m>p>nD.p>n>m【变式2-3】(2022·贵州贵阳·校联考模拟预测)已知a=log45,b=54,c=log56,则a、b、c这三个数的大小关系为()A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【变式2-4】(2022秋·四川内江·高三校考阶段练习)已知a=30.2,b=log67,c=log56,则()A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b【题型3中间值/估值法比较大小】【例3】(2023·全国·模拟预测)已知a=0.54,b=log50.4,c=log0.50.4,则a,b,c的大小关系是()A.b>a>cB.a>c>bC.c>a>bD.a>b>c【变式3-1】(2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习)已知a=log23,b=20.4,c=13-13,则a,b,c的大小关系是()A.b<a<cB.a<c<bC.a<b<cD.b<c<a【变式3-2】(2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习)已知a=4e,b=log34lnπ,c=131.7,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a【变式3-3】(2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习)设a=20.2,b=0.50.5,c=log0.50.2,则( )A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c【变式3-4】(2022秋·江西·高三校联考阶段练习)已知a=22,b=e,c=22.5,则a,b,c的大小关系是()(参考数据:ln2≈0.693)A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【变式3-5】(2022·全国·高三专题练习)已知a=ln40.25,b=4ln0.25,c=0.250.25,则()A.a>c>bB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c【变式3-6】(2023·全国·高三专题练习)(多选)已知a=log2x,b=2x,c=3x,其中x∈1,2,则下列结论正确的是()A.a>log b cB.a b>b cC.a b<b cD.log a b<log b c【题型4含变量比较大小】【例4】(2022秋·河南·高三上蔡第一高级中学阶段练习)已知x∈π4,π2,a=12 sin-x ,b=2cos-x ,c=2tan x,则()A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b【变式4-1】(2022·全国·高三专题练习)设0<θ<π2,a=sin2θ,b=2sinθ,c=log2sinθ,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b【变式4-2】(2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习)已知f x =2022x-2022-x-ln x2+1-x,当0<x<π2,a=cos x,b=lncos x,c=e cos x,试比较f a ,f b ,f c 的大小关系()A.f a <f c <f bB.f b <f c <f aC.f c <f a <f bD.f b <f a <f c【变式4-3】(2023·全国·高三专题练习)已知x∈π4,π2且a=2sin2x+1e2sin2x,b=cos x+1e cos x,c=sin x+1e sin x,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b【题型5构造函数比较大小】【例5】(2023·广西桂林·统考一模)已知a、b、c∈1,+∞,2e a ln3=9a,3e b ln2=8b,2e c-2=c,则()A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b【变式5-1】(2022秋·广东广州·高三校考期中)函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时f(x)+xf(x)>0(其中f (x)是f(x)的导函数),若a=30.3⋅f(30.3),b=logπ3⋅f(logπ3),c=ln19⋅f ln19,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【变式5-2】(2022秋·四川成都·高三校考阶段练习)已知a=2022,b=2121,c=2220,则()A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b【变式5-3】(2022·全国·高三专题练习)已知a=0.7e0.4,b=e ln1.4,c=0.98,则a,b,c的大小关系是( )A.a>c>bB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b【变式5-4】(2022秋·广东河源·高三河源市河源中学阶段练习)设a=12×106+1102,b=e0.01-1,c=ln1.02,则a,b,c的大小关系为()A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c【变式5-5】(2022·全国·高三专题)设a=110,b=e111-1,c=1110ln1110,则a,b,c大小关系是_____.【题型6数形结合法比较大小】【例6】(2022·全国·高三专题练习)已知y=x-mx-n+2022(m<n),且α,β(α<β)是方程y=0的两根,则α,β,m,n的大小关系是()A.α<m<n<βB.m<α<n<βC.m<α<β<nD.α<m<β<n【变式6-1】(2023秋·陕西西安·高三统考期末)已知a=log32,b=log43,c=log54,则a,b,c的大小关系为()A.c<a<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<b<a【变式6-2】(2022秋·江苏扬州·高三期末)已知正实数a,b,c满足e c+e-2a=e a+e-c,b=log23+ log86,c+log2c=2,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a【变式6-3】(2023·全国·高三专题)已知a=eπ,b=πe,c=2eπ,则这三个数的大小关系为()A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b限时检测(建议用时:60分钟)1.(2022·全国·高三专题练习)log 23,log 812,lg15的大小关系为()A.log 23<log 812<lg15B.log 812<lg15<log 23C.log 23>log 812>lg15D.log 812<log 23<lg152.(2022·四川资阳·统考二模)设a =1.02,b =e 0.025,c =0.9+20.06sin ,则a ,b ,c 的大小关系是()A.c <b <aB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b3.(2022·全国·高三专题练习)已知a =log 32,b =52log ,c =3a ,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.c <b <a4.(2022·全国·高三专题练习)设a =log 23,b =0.50.2log ,c =0.50.2,则a ,b ,c 的大小关系为()A.b >c >aB.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c5.(2022·全国·高三专题练习)已知a =0.50.6,b =0.60.5,c =log 65,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.b <c <a6.(2022·全国·高三)已知定义在R 上的函数f x =x ⋅2x ,a =f 53log ,b =f 72ln,c =-f 512log,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.c >b >a7.(2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习)已知a =1012,b =1111,c =1210,则a ,b ,c 的大小关系为()A.b >c >aB.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c8.(2022秋·山东·高三校联考阶段练习)若a =e 0.1,b = 1.2,c =-0.9ln ,则a ,b ,c 的大小关系为().A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >b >a9.(2022·四川南充·统考一模)设定义R 在上的函数y =f x ,满足任意x ∈R ,都有f x +4 =f x ,且x ∈0,4 时,xf x >f x ,则f 2021 ,f 2022 2,f 2023 3的大小关系是()A.f 2021 <f 2022 2<f 20233B.f 2022 2<f 2021 <f 20233C.f 2023 3<f 20222<f 2021 D.f 2023 3<f 2021 <f 2022210.(2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习)若a =2 1.01ln ln ,b =3πln2ln ,c =232ln ,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a <c <bB.a <b <cC.c <b <aD.b <c <a11.(2022秋·江苏徐州·高三学业考试)设a =0.23,b =30.2,c =22log ,则a ,b ,c 的大小关系是()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <a <c12.(2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习)已知x =0.52log ,y =0.90.5log ,z =0.50.9,则x ,y ,z 的大小关系是()A.z >y >xB.x >z >yC.y >x >zD.y >z >x13.(2022秋·广东·高三校联考阶段练习)已知实数a =23log ,b =π4cos ,c =32log ,则这三个数的大小关系正确的是()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.a >c >b14.(2022秋·天津东丽·高三校考阶段练习)设a =38log ,b =21.1,c =0.81.1,则a ,b ,c 的大小关系是()A.b <a <cB.c <b <aC.c <a <bD.a <c <b15.(2022·陕西渭南·统考一模)已知a =22,b =πln ,c =1360sin ,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a16.(2022秋·江西·高三校联考阶段练习)已知a =312,b =23log ,c =23,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a >c >bB.c >b >aC.b >a >cD.a >b >c17.(2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知a =1.11.2,b =1.21.1,c = 1.21.1log ,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.c >b >a18.(2022秋·四川成都·高三校考期中)已知函数f x =e -x -e x 2,且a =-f 1π1πln ,b =f 1e ,c =f πe x,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c19.(2022·四川宜宾·统考模拟预测)已知a=2.525,b=75 57,c=313,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a20.(2022秋·天津河东·高三天津市第七中学校考期中)若a=26ln4,b=2ln3ln,c=22πln4,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c。
专项5 指数函数、对数函数相关的4种题型1.比较大小一般来说,指数、对数比较大小我们采取的思路是:首先,尽量将不同底数的指数、对数或幂函数,通过公式化成同一底数的,底数相同的根据单调性比较大小;其次,对于确实不能化成同一底数的,我们尽量将真数或指数化成相同的,然后我们做出图像,根据指数函数在第一象限内底数越大图像越高的特征、对数函数在第一象限内水平向右底数增大的特征判断大小; 最后,如果全都不相同,我们一般先做出图像,观察图像,判断大小,如果图像仍然不能解决问题,那么我们就应该考虑找中间值进行比较,中间值一般取0,-1,1,比如能否确定所要进行比较的数的正负、与1或-1的大小关系。
通过上述方式一般能解决所有比较大小问题。
1.设0.90.48 1.514,8,()2a b c -===,则( ) .A c a b >>.B b a c >>.C a b c >>.D a c b >>2.三个数0.32、log 20.3、20.3的大小关系为( )A .0.32<20.3<log 20.3B .0.32<log 20.3<20.3C .log 20.3<0.32<20.3D .log 20.3<20.3<0.323. a log a,log a,log 1,a 0530.5三者的大小关系是则<<若( )a log a log a log D.a log a log a log C.a log a log a log B.a log a log a log A.530.50.5530.535350.5>>>>>>>>4.设a >1,且2log (1)log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,,则p n m ,,的大小关系为( )(A) n >m >p (B) m >p >n (C) m >n >p (D) p >m >n5.以下四个数中的最大者是( )(A) (ln2)2(B) ln(ln2) (C) ln (D) ln26.设12log 3a =,0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,132c =,则( ) A .a b c << B .c b a << C .c a b <<D .b a c <<7.设a b c ,,均为正数,且122log a a =,121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,21log 2c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭.则( ) A.a b c << B.c b a << C.c a b << D.b a c <<28.下列大小关系正确的是( )A .20.440.43log 0.3<<;B .20.440.4log 0.33<<;C .20.44log 0.30.43<<;D .0.424log 0.330.4<<9.设2log 3P =,3log 2Q =,23log (log 2)R =,则( )A.R Q P << B.P R Q << C.Q R P << D.R P Q <<10. 下列不等式成立的是( )A .2lg (lg )e e <<B .2lg (lg )e e <<C .2(lg )lg e e <<D .2(lg )lg e e <<11.已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,()5a b c ===,则( ) .A a b c >>.B b a c >>.C a c b >>.D c a b >>12.若13(,1),ln ,2ln ,ln x e a x b x c x -∈===,则( ) .A a b c <<.B c a b <<.C b a c <<.D b c a <<13.设2554log 4,(log 3),log 5,a b c ===则( ) .A a c b <<.B b c a <<.C a b c <<.D b a c <<2.恒过定点问题指数函数恒过定点(0,1),是指指数函数的指数位置的表达式为0的时候,函数值恒为1;对数函数恒过(1,0),是指对数函数的真数位置的表达式为1的时候,函数值恒为0;对于指数位置或真数位置表达式中含有参数的,应考虑使用公式分离参数。
指数函数与对数函数题型总结题型一:定义域的求解一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围,求函数的定义域需要从这几个方面入手: 1、分母不为零2、偶次根式的被开方数非负。
3、对数中的真数部分大于0。
4、指数、对数的底数大于0,且不等于15、y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。
6、0x 中x 0≠【2019江苏理4】函数276y x x =+-的定义域是_____. 【答案】[-1,7]【解析】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤解得17x -≤≤,故函数的定义域为[-1,7]. 【2018•江苏理5】函数f(x) =1log 2-x 的定义域为________. 【答案】【解析】解:,即。
【2017年山东理1】设函数y=4-x 2的定义域为A ,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( ) A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1)【答案】D 【解析】由4-x 2≥0得-2≤x≤2,由1-x >0得x <1,故A∩B={x|-2≤x≤2}∩{x|-2≤x <1}.故选D. 【2016江苏理5】函数y=的定义域是 .【答案】 [﹣3,1]【解析】解:由3﹣2x ﹣x 2≥0得:x 2+2x ﹣3≤0,解得:x ∈[﹣3,1], 【2014山东理3】函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为( )A.)210(,B.)2(∞+,C.),2()210(+∞ , D.)2[]210(∞+,, 【答案】 C 【解析】根据函数解析式有意义的条件建立不等式求解.()22log 10x ->,2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-,2x ∴> 或102x ∴<<. 【2014江西理】函数f (x )=ln (x 2﹣x )的定义域为( ) A .(0,1)B .[0,1]C .(﹣∞,0)∪(1,+∞)D .(﹣∞,0]∪[1,+∞) 【答案】 C 【解析】要使函数有意义,则x 2﹣x >0,即x >1或x <0, 故函数的定义域为(﹣∞,0)∪(1,+∞), 【2013重庆文3】函数21log 2y x =(-)的定义域是( ).A .(-∞,2)B .(2,+∞)C .(2,3)∪(3,+∞)D .(2,4)∪(4,+∞) 【答案】C【解析】由题知220,log 20,x x ->⎧⎨(-)≠⎩解得2,21,x x >⎧⎨-≠⎩即2,3.x x >⎧⎨≠⎩所以该函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞),故选C .【2013大纲全国理4】已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ).A .(-1,1)B .11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C .(-1,0) D .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意知-1<2x +1<0,则-1<x <12-.故选B. 【2013安徽文11】函数21ln 11y x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的定义域为__________. 【答案】(0,1]【解析】由2110,10xx ⎧+>⎪⎨⎪-≥⎩⇒10,11x x x <->⎧⎨-≤≤⎩或⇒0<x ≤1. ∴该函数的定义域为(0,1]. 【2013山东文5】函数f (x )=1123xx -++的定义域为( ). A .(-3,0] B .(-3,1] C .(-∞,-3)∪(-3,0] D .(-∞,-3)∪(-3,1]【答案】 A 【解析】由题可知12030x x ⎧-≥⎨+>⎩⇒213x x ⎧≤⎨>-⎩⇒0,3,x x ≤⎧⎨>-⎩ ∴定义域为(-3,0].【2013江西理2】函数y =x ln(1-x )的定义域为( ).A .(0,1)B . [0,1)C .(0,1]D .[0,1] 【答案】B【解析】要使函数有意义,需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x <1,即所求定义域为[0,1).故选B.【2013大纲全国理4】已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ).A .(-1,1)B .11,2⎛⎫--⎪⎝⎭ C .(-1,0) D .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】 B 【解析】由题意知-1<2x +1<0,则-1<x <12-.故选B. 【2012山东文3】函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为 ( ).A.[2,0)(0,2]- B.(1,0)(0,2]- C.[2,2]- D.(1,2]-【答案】B 【解析】要使得函数有意义,应满足210111040x x x x ⎧+>⎪+≠⇒-<<⎨⎪-⎩或02x<.【2012江西理】下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为( )A .y=B .y=C .y=xe xD .y=【答案】 D 【解析】∵函数y=的定义域为{x ∈R|x ≠0},∴对于A ,其定义域为{x|x ≠k π}(k ∈Z ),故A 不满足; 对于B ,其定义域为{x|x >0},故B 不满足; 对于C ,其定义域为{x|x ∈R},故C 不满足; 对于D ,其定义域为{x|x ≠0},故D 满足; 综上所述,与函数y=定义域相同的函数为:y=.【2012江苏省理】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 . 【答案】 (0 6⎤⎦,。
指数对数比大小及各种题型总结题型一:定义域的求解定义域是函数$y=f(x)$中的自变量$x$的范围,求函数的定义域需要从以下几个方面入手:1.分母不为零;2.偶次根式的被开方数非负;3.对数中的真数部分大于$0$;4.指数、对数的底数大于$0$,且不等于$1$;5.$y=\tan x$中$x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}$;$y=\cot x$中$x\neq k\pi$等等;6.其他限制条件。
例如:2019江苏理4】函数$y=7+6x-x^2$的定义域是$[-1,7]$。
解析】由已知得$7+6x-x^2\geq 0$,即$x^2-6x-7\leq 0$,解得$-1\leq x\leq 7$,故函数的定义域为$[-1,7]$。
题型二:求解方程求解指数函数和对数函数的方程,需要注意以下几个步骤:1.化为同底;2.取对数;3.解方程。
例如:2018江苏理5】函数$f(x)=\log_2(x-1)$的定义域为$[1,+\infty)$,则方程$f(x-2)+f(3-x)=1$的解集为________。
解析】由已知得$x-2>1$,$3-x>1$,即$x\in (1,5)$。
将$f(x-2)$和$f(3-x)$化为同底,得$\log_2(x-3)+\log_2(4-x)=1$,即$(x-3)(4-x)=2$,解得$x=1$或$x=7$,但$x\notin [1,5]$,故方程无解。
题型三:求解不等式求解指数函数和对数函数的不等式,需要注意以下几个步骤:1.化为同底;2.取对数;3.解不等式。
例如:2014山东理3】函数$f(x)=\frac{1}{\log_2 x-1}-2$的定义域为$(\frac{1}{2},+\infty)$,则不等式$f(x)\geq 0$的解集为________。
解析】由已知得$\log_2 x-1>\frac{1}{2}$,即$x>\sqrt{2}$。
指数函数对数函数大小比较的攻略指数函数和对数函数是数学中常见的函数类型,它们在各个领域都有广泛的应用。
在许多情况下,需要比较指数函数和对数函数的大小。
本文将提供一些攻略和策略,帮助我们进行指数函数和对数函数大小的比较。
1. 概念回顾在开始比较之前,我们先复一下指数函数和对数函数的概念。
1.1 指数函数指数函数是以指数为自变量的函数,常见的形式为 y = a^x。
其中,a 是正实数且不等于 1,x 是实数。
指数函数的特点是随着 x 的增大,函数值迅速增大或迅速减小。
1.2 对数函数对数函数是指数函数的反函数,常见的形式为 y = log(a, x) 或简写为 y = log(x)。
其中,a 是正实数且不等于 1,x 是大于 0 的实数。
对数函数的特点是随着x 的增大,函数值增加的速度逐渐减慢。
2. 攻略和策略2.1 研究函数图像比较指数函数和对数函数的大小,我们可以通过研究它们的函数图像来得到一些启示。
画出它们的图像后,我们可以观察它们在不同 x 值上的变化趋势,从而进行比较。
2.2 利用性质和规律指数函数和对数函数有一些性质和规律,我们可以利用它们来帮助进行比较。
例如,对于指数函数,当底数 a 大于 1 时,函数值随着指数的增大而迅速增大;当底数 a 介于 0 和 1 之间时,函数值随着指数的增大而迅速减小。
对于对数函数,当底数 a 大于 1 时,函数值随着自变量 x 的增大而增加的速度逐渐减慢。
2.3 使用数学工具在比较指数函数和对数函数的大小时,可以使用一些数学工具和技巧来辅助。
例如,可以对两个函数进行求导数,然后比较导数的正负性来判断函数的变化趋势。
3. 注意事项在进行指数函数和对数函数大小比较时,需要注意以下几点:- 确保底数和指数符合函数定义的要求,避免出现无效的计算结果。
- 在使用数学工具进行比较时,要确保运算的正确性,避免出现错误的结论。
- 不同的指数函数和对数函数可能在特定区间内大小关系不一样,需要具体问题具体分析。
指数和对数是数学中常见的概念,用于表示和比较不同数值的大小。
以下是指数和对数比较大小的专题总结:
1. 指数的性质:
- 正指数:当底数大于1时,指数越大,结果越大。
- 负指数:当底数大于1时,指数越小,结果越小。
- 零指数:任何非零数的零指数都等于1。
2. 对数的性质:
- 对数是指数的逆运算,将指数问题转化为求解底数的问题。
- 对数可以用来比较不同数值的大小。
- 当底数大于1时,对数越大,结果越大。
- 当底数在0到1之间时,对数越大,结果越小。
3. 指数和对数的关系:
- 指数和对数是互为逆运算的关系,可以相互转化。
- 对数函数可以表示为指数函数的反函数。
4. 比较大小的方法:
- 通过计算指数和对数,可以比较不同数值的大小。
- 如果两个数的指数或对数相等,可以通过比较底数来判断大小。
- 比较指数时,可以利用指数的性质来判断大小。
- 比较对数时,可以利用对数的性质来判断大小。
以上就是指数对数比较大小专题总结。
“十大方法”,玩转指对幂比较大小目录一、重难点题型方法方法一:单调性法方法二:“媒介值”法方法三:作差法方法四:作商法方法五:构造函数法方法六:乘方法方法七:对数法方法八:零点法方法九:特殊值法方法十:放缩法二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一:单调性法【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)设a=30.9,b=90.5,c=13-12,则( ).A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a 【答案】C【分析】将三个指数幂化成同底指数幂,利用指数函数的单调性即可得解.【详解】因为a=30.8,b=90.5=(32)0.5=31,c=13-12=3-1 -12=312=30.5,又函数y=3x在R上单调递增,1>0.8>0.5,所以31>30.8>30.5所以b>a>c,故选:C例2.(2022秋·四川广安·高一统考期末)a=0.20.3,b=0.20.4,c=log0.20.1,则( )A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b 【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性来比较大小即可.【详解】根据函数y=0.2x在R上单调递减得1=0.20>a=0.20.3>0.20.4=b>0,根据函数y=log0.2x在0,+∞上单调递减得c=log0.20.1>log0.20.2=1,故c>a>b.故选:D.【方法技巧总结】1.指、对、幂大小比较的常用方法:①底数相同,指数不同时,如a x 1和a x 2,利用指数函数y =a x 的单调性;②指数相同,底数不同,如x a 1和x a 2利用幂函数y =x a单调性比较大小;③底数相同,真数不同,如log a x 1和log a x 2利用指数函数log a x 单调性比较大小;2.除了指对幂函数,其他函数(比如三角函数,对勾函数等)也都可以利用单调性比较大小。
指数式和对数式比较大小五法方法一:利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较. 核心解读: 1.比较形如暧与a n 的大小,利用指数函数y ="的单调性.2.比较形如log“ m 与log” n 的大小,利用对数函数y = log /的单调性.3,比较形如屋与b m的大小,利用幕函数y 二 %根的单调性.比较下列各组数的大小O.303, 0.33 log 2 0.8, log 2 8.8O.303, 3。
3(1)利用函数 > =。
.3”的单调性.因为函数y = 03,在R 上单调递减,0. 3<3,所以0.303 > 0.33. (2)利用函数y = log2%的单调性.因为函数 y = log 2 x 在(0, +oo)单调递增,0. 8<8. 8,所以 log2 0.8 < log 2 8.8 .(3)利用函数y =的单调性.因为函数y =姆在(0, +oo)单调递增,0. 3<3,所以O.30-3 <303.方法二:中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊 数值作为中间桥梁,进而可比较大小. (1)比较形如屋7与万〃的大小,一般找一个“中间值C",若且则诡若且。
>少,则废常用到的特殊值有0和1. (0 = logj, l=10ga4, 1 = 4°)(2)比较形如优'与〃的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的 一个中间值,即废或者勿”,进而利用中间值解决问题.Q Q 1 Q -q 1 Q -- 利用函数y =(—>v 的单调性比较(.)3和(―)2的大小,易知(―)3 > (―)2 .利用函数y = X 2A 1a 1A L 01 q1 A L 单调性比较(一产和(一尸的大小,易知(_/〈(—尸.所以()3 >(一)2 .510510105(补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较 两数的大小.) 方法三:特值代入法对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题,可在这个区间上取满足条件的特殊值, 代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论,是问题简捷获解.例 3: (2008 年全国 卷理 4 文 5)若不£ Q = lnx, b = 21nx, c = ln %,则(),A. a<b<cB. c<a<bC. b<a<cD. b<a<c[解]在区间(67, 1)上取x =/5,通过计算知:例1: (1) (2) (3) [解例2: (1) (2)[解] 比较下列各组数的大小1.904, 0.9244 -9 1 (1)取中间值1. 因为 1.9°4>1.9°=1, 0.924 <9 1(2)取中间值(布)2.0.9° =1,所以 1.9°4> 0.924 ._11_1_11 31a = \ne 2 = —, b = 2In e2 = -1, c = In3e 2 =(—)=—,故b<a<c,选C.228方法四:估值计算法估值计算是指通过估值、合理猜想等手段,准确、迅速地选出答案.例4: (2007年全国|卷理4文4)下列四个数中最大的是().A. (ln2)2B. ln(ln2)C. lnV2D. In 2“刀c 恒2 0.3010[解]因为In 2 =——xx 0.7 ,Ige 0.4343所以(In p 0.49, ln(ln 2) In 0.7 < 0 Jn/=lIn 2比0.35 ,故四个数中最大的是In 2,选2D.[点评]本题按普通比较法求解,可以预见运算量不小,恐怕很难心算而得到结果,但通过估值,合情推理,几乎一望而答,这就是估算法的魅力.方法五:数形结合法画出指数函数、对数函数和幕函数的图像,利用直观的图像往往能得到更简捷的解法.例5: (2009 年全国[卷理7)设a = log37T, b = log2 , c = log3夜,贝!j ().A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a[解]在同一直角坐标系内画出对数函数y = log3%和y = log2%的图像,如下图所示:由图像观察得a〉b>c,故选A.[点评]本题也可以利用比较法求解.因为logs母< log2◎ < log2 6,所以b>c,因为log2G<log22 = l = log33<log3心所以a>b,所以a>b.但图像法解决问题比较直观、明了、容易比较出大小.。
专题01 利用函数值解决比较大小问题归类一、重点题型目录【题型】一、利用指数函数的单调性比较大小 【题型】二、利用对数函数的单调性比较大小 【题型】三、利用幂函数的单调性比较大小 【题型】四、利用三角函数的单调性比较大小 【题型】五、作差法比较大小 【题型】六、作商法比较大小【题型】七、指数式与对数式互化法比较大小 【题型】八、构造函数法比较大小 【题型】九、放缩法比较大小 【题型】十、中间量法比较大小 二、题型讲解总结【题型】一、利用指数函数的单调性比较大小例1.(2023·全国·高三专题练习)已知0.50.60.3,0.3a b ==,122()5c =,则a 、b 、c 的大小关系为( ) A .a <b <c B .c <a <b C .b <a <c D .c <b <a【答案】C【分析】根据给定条件,利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答. 【详解】函数0.3x y =是定义域R 上的单调减函数,且0.50.6,则0.50.60.30.3>,即a b >,又函数0.5y x = 在(0,)+∞上单调递增,且20.35<,于是得10.5220.3()5<,即c a >,所以a 、b 、c 的大小关系为b a c <<. 故选:C例2.(2023·全国·高三专题练习)已知311434333(),(),,552a b c ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭则a ,b ,c 的大小关系是________.【答案】c b a <<或a b c >>【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可【详解】因为35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数,且11034-<-<,所以11034333555--⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以1a b >>,因为32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的增函数,且304-<,所以30433122-⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以1c <, 所以c b a <<故答案为:c b a <<或a b c >>【题型】二、利用对数函数的单调性比较大小例2.(2022·广西柳州·模拟预测(理))若35lg 0.3,log 2,log 4a b c ===,则( ) A .c b a >> B .b c a >> C .c a b >> D .a b c >>【答案】A【分析】利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小. 【详解】因为lg0.3lg10<=,所以a<0;因为3355log 2log 10,log 4log 10>=>=,所以0,0b c >>,42211log 5log 5log 2c ===21log 3b =,而22log 3log >所以11b c >,即b c <. 故选:A.例4.(2023·全国·高三专题练习)已知正数,,x y z 满足3815x y z ==,则下列说法正确的是( ) A .230x y -> B .230x y -< C .50x z -> D .50x z -<【答案】AD【分析】设38151x y z k ===>,可得3log x k =,8log y k =,15log z k =;根据对数运算法则和换底公式可表示出23x y -和5x z -,根据对数函数单调性可确定结果.【详解】,,x y z 为正数,∴可设38151x y z k ===>,则3log x k =,8log y k =,15log z k =;对于AB ,3821232log 3log log lg lg 2x y k k k k ⎛⎫-=-=-=⎪⎭,lg 2>1lg 2>,又lg lg10k >=,230x y ∴->,A 正确,B 错误; 对于CD ,31535log 5log log lg x z k k k k k ⎛⎫-=-=-=,5lg 243><lg lg10k >=,50x z ∴-<,C 错误,D 正确.故选:AD.【题型】三、利用幂函数的单调性比较大小例5.(2022·安徽·砀山中学高三阶段练习)已知实数()(),,00,m n ∈-∞+∞,且m n <,则下列结论一定正确的是( ) A .5533m n > B .65m n > C .22n mm n < D .142m n n m-->【答案】D【分析】根据幂函数的单调性可判断AD 选项,利用特值法可判断BC 选项. 【详解】因为53y x =为增函数,且m n <,故5533m n <,故A 错误; 令1m =,2n =,此时65m n <,故B 错误; 令2m =-,1n =,故214n m =,22m n =-,故22n m m n >,故C 错误; 因为0n m ->,故n m y x -=在第一象限为增函数,则11424m n n mn m--->=,故D 正确;故选:D.例6.(2022·河南·开封清华中学高三阶段练习(理))122a =,133b =,166c =,则a ,b ,c 的大小关系正确的是( ) A .a b c >> B .c b a >> C .b a c >> D .a c b >>【答案】C【分析】由幂的运算法则把幂的幂指数化为相同,然后由幂函数的单调性比较大小. 【详解】116228a ==,113639b ==,16y x =是增函数,689<<, ∴c<a<b 故选:C .例7.(2022·北京·北大附中高三开学考试)已知302a =,203b =则a ,b 中较大的数是___________. 【答案】b【分析】利用指数的性质有10108,9a b ==,结合幂函数的单调性即可判断大小关系. 【详解】由101030203892a b =<===, 所以a b <,较大的数是b . 故答案为:b .【题型】四、利用三角函数的单调性比较大小例8.(2022·全国·高三专题练习)sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为( ) A .sin3sin2sin1<< B .sin3sin1sin2<< C .sin1sin2sin3<<D .sin2sin1sin3<<【答案】B【分析】利用诱导公式化简后,再利用正弦函数的单调性比较即可. 【详解】sin 2sin(π2),sin3sin(π3)=-=-, 因为π0π31π22<-<<-<,sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数,所以sin(π3)sin1sin(π2)-<<-, 所以sin3sin1sin2<<, 故选:B例9.(2022·四川·模拟预测(文))设1cos662a =︒︒,22tan131tan 13b ︒=+︒,c =则有( ) A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b<c<a【答案】C【分析】利用辅助角公式化简a ,利用倍角公式化简,b c ,利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】()1cos 66sin 306sin 242a ===︒-︒︒︒︒,2222tan132sin13cos13sin 261tan 13cos 13sin 13b ︒︒︒︒︒==︒︒=++,sin 25c ===︒. 因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数,所以a c b <<.故选:C.例10.(2022·全国·高三专题练习)下列不等式中成立的是( ) A .34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .sin507sin145<C .3tan tan 57ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .sin4cos4<【答案】ABD【分析】利用三角函数的单调性判断.【详解】解:因为余弦函数cos y x =是偶函数,比较3cos 10π⎛⎫ ⎪⎝⎭与4cos 9π⎛⎫⎪⎝⎭即可,因为3401092πππ<<<,所以34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,A 正确; sin507sin147=,正弦函数sin y x =,在(90,180)上单调递减,且90145147180<<<, 所以sin147sin145<,即sin507sin145<,B 正确;因为32752,且tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增, 所以3tan <tan 75ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,C 错误; 因为53442ππ<<,则sin4cos40<<,D 正确. 故选:ABD例11.(2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末)设2sin38cos38a =︒︒,22tan 351tan 35b ︒=-︒,c =) A .c b a << B .c<a<b C .a c b << D .a b c <<【答案】B【分析】先对,a b 化简,然后利用三角函数的单调性比较大小即可 【详解】因为2sin38cos38sin76a =︒︒=︒,22tan 35tan 70tan 601sin 761tan 35b a ︒==︒>︒=>︒=-︒,sin 76sin 60a c =︒>︒==, 所以c<a<b . 故选:B【题型】五、作差法比较大小例12.(2023·全国·高三专题练习)已知01b a <<<,则下列不等式成立的是( ) A .log log a b b a < B .log 1a b > C .ln ln a b b a < D .ln ln a a b b >【答案】BC【分析】作差法判断选项A ;利用对数函数单调性判断选项B ;利用幂函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C ;举反例排除选项D.【详解】选项A :()()22lg lg lg lg lg lg lg lg log log lg lg lg lg lg lg a b b a b a b a b a b a a b a b a b-+--=-== 由01b a <<<,可得lg lg 0b a <<,则lg lg 0b a >,lg lg 0b a -<,lg lg 0b a +< 则()()lg lg lg lg 0lg lg b a b a a b-+>,则log log a b b a >.判断错误;选项B :由01a <<,可得log a y x =为(0,)+∞上减函数, 又0b a <<,则log log 1a a b a >=.判断正确;选项C :由01a <<,可知x y a =为R 上减函数,又b a <,则a b a a > 由0a >,可知a y x =为(0,)+∞上增函数,又b a <,则a a b a <,则b a a b >又ln y x =为(0,)+∞上增函数,则ln ln b a a b >,则ln ln a b b a <.判断正确; 选项D :令211e e a b ==,,则01b a <<<,e ln l 111e n e a a =-=,222ln ln 112e e eb b =-=则22122e0e ln eln e a a b b --+==<-,即ln ln a a b b <.判断错误.故选:BC例13.(2023·全国·高三专题练习)已知实数m ,n 满足01n m <<<,则下列结论正确的是( ) A .11n n m m +<+ B .11m n m n+>+ C .n m m n > D .log log m n n m <【答案】AC【分析】利用作差法比较大小,可判断A,B,利用指数函数和幂函数的单调性,可判断C;根据对数函数的单调性,可判断D.【详解】由01n m <<<知,0n m -< ,故110,1(1)1n n n m n n m m m m m m +-+-=<<+++,A 正确; 由01n m <<<得0m n ->,110mn -<,所以()11110m n m n m n mn ⎛⎫⎛⎫+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即11m n m n+<+,故B 错误; 因为指数函数x y m =为单调减函数,故n m m m >,由幂函数m y x = 为单调增函数知m m m n > ,故n m m n >,故C 正确; 根据, 01n m <<<对数函数log ,log m n y x y x == 为单调减函数, 故log log 1log log m m n n n m n m >==>,故D 错误, 故选:AC【题型】六、作商法比较大小例14.(2023·全国·高三专题练习)下列说法中正确的是( ) A .若20352049x y =,则0x y == B .若22x x <,则12x <<C .若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0∞-单调递减,且()20f =,则满足0xf x ≤()的x 的取值范围为][()22∞∞--⋃+,,D .若25log 3m =,log n =0mn m n <+<【答案】BD【分析】对于A ,令()203520490x yt t ==>,将指数式转化为对数式即可判断;对于B , 作出函数2,2x y y x ==的图像,结合图像即可得判断B ;对于C ,根据函数的奇偶性不等式()0xf x ≤即为0x =或()00x f x <⎧⎨≥⎩或()00x f x >⎧⎨≤⎩,解之即可判断C ;对于D ,分别判断,m n 的符号,再利用作商法比较,m n mn +即可判断D.【详解】解:对于A ,令()203520490x yt t ==>,则20352049log ,log x t y t ==,当且仅当1t =时,0x y ==,当1t ≠时,x y ≠,故A 错误;对于B ,作出函数2,2x y y x ==的图像,又当1x =时,1221=⨯,当2x =时,2222=⨯, 所以若22x x <,则12x <<,故B 正确;对于C ,因为()f x 为R 上的奇函数,所以()00f =,因为()f x 在(),0∞-单调递减,所以函数在()0,∞+也单调递减,因为()20f =,所以()()220f f -=-=, 则当()(),20,2x ∈-∞-时,()0f x >,当()()2,02,x ∈-+∞时,()0f x <,若()0xf x ≤,则0x =或()00x f x <⎧⎨≥⎩或()00x f x >⎧⎨≤⎩,所以0x =或2x ≤-或2x ≥,所以满足()0xf x ≥的x 的取值范围为[][){}22,0-⋃∞+∞⋃,-,故C 不正确;对于D ,2255log 31l 5og 2m =<=-,225525log 3log 24m m =>==-, 所以()2,1m ∈--,221log log 2n ==,22log log 21n =<=,所以1,12n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以0m n +<,0mn <,由331128log log 55m n mn m n +=+=+=, 因为380log 15<<,所以1m n mn +<,所以m n mn +>,所以0mn m n <+<,故D 正确. 故选:BD.【题型】七、指数式与对数式互化法比较大小例15.(2023·全国·高三专题练习)已知2510a b ==,则( ) A .111a b+>B .2a b >C .4ab >D .4a b +>【答案】BCD【分析】根据指数式与对数式的互化,再利用对数的运算性质及对数大小的比较及不等式的性质即可求解.【详解】252510,log 10,log 10,a ba b ==∴==对于A ,lg lg lg lg log log lg lg lg lg a b +=+=+=+251111112510101010101025log log log log =+===⨯101010102255101,故A 不正确;对于B ,log ,log log log a b ====2255510221010100,342328,216,525,5125====log log log ;log log log a b <<⇒<<<<⇒<<222555816342510012522103,2a b >,故B 正确; 对于C ,()()lg lg lg lg lg lg log log log log lg lg lg lg ab ++=⋅=⋅=⋅=++102525251025101015122525log log log log log log =+++⋅=++25252515252252log log ,log log ab >=>=∴>++=22555422102204,故C 正确;对于D ,由B 知,,,a b b a b <<<<∴<<∴<+<311342231422,故D 正确;故选:BCD.【题型】八、构造函数法比较大小例16.(2022·广东·深圳中学高三阶段练习)下列大小关系正确的是( ). A .2 1.91.92< B . 2.922 2.9< C .712log 4log 7< D.712log 4log 7+【答案】ABC【分析】构造函数ln ()xf x x=,利用导数判断其单调性后判断A ,利用指数函数性质判断B ,利用对数函数性质及基本不等式判断C ,根据对数换底公式、对数函数性质判断D . 【详解】设ln ()x f x x=,则21ln ()xf x x -'=,0e x <<时,()0f x '>,()f x 递增,而0 1.92e <<<,所以(1.9)(2)f f <,即ln1.9ln 21.92<,2 1.9ln1.9ln 2<, 即2 1.91.92<,A 正确;2.9322288.41 2.9<=<=,B 正确;770log 4log 12<<,所以222777777(log 4log 12)(log 48)(log 49)log 4log 121444+⋅<=<=,所以71271log 4log 7log 12<=,C 正确;10102264(2)102410==>,76107823543104=<<,7107710log 4log 417=>,所以77log 40.710>=, 472401=,341217287=<,所以3412124log 7log 713=>,123log 70.754>=,所以712log 4log 70.70.75 1.45+>+=D 错. 故选:ABC .例17.(2022·河南河南·一模(文))已知e ππe e ,π,a b c ===,则这三个数的大小关系为( ) A .c b a << B .b c a << C .b a c << D .c a b <<【答案】A【分析】构造函数()()ln ,0xf x x x=>,利用导数法研究单调性,并利用单调性可比较,a b ,在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象,结合图象与幂函数的性质可比较,b c ,即可求解【详解】令()()ln ,0xf x x x =>,则()()21ln ,0x f x x x -'=>, 由0fx,解得0e x <<,由()0f x '<,解得e x >,所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增,在()e,+∞上单调递减; 因为πe >, 所以()()πe f f <,即ln πln eπe<,所以eln ππlne <,所以e πln πln e <, 又ln y x =递增, 所以e ππe <,即b a <;ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦,在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象,如图:由图象可知在()2,4中恒有xx >,又2π4<<,所以ππ>,又e y x =在()0,∞+上单调递增,且ππ>所以eπe πeπ=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦,即b c >;综上可知:c b a <<, 故选:A【题型】九、放缩法比较大小例18.(2023·上海·高三专题练习)设0.21e 1,ln1.2,5a b c =-==,则,,a b c 的大小关系为___________.(从小到大顺序排) 【答案】b<c<a【分析】方法一:构造函数()e 1x f x x =--和()ln 1g x x x =-+,求导确定单调性,利用单调性即可比较大小.【详解】[方法一]:【最优解】构造函数法记()e 1x f x x =--,则()e 1xf x '=-,当0x >时,()0f x '>,故()f x 在()0+∞,上单调递增,故0.20.2(0.2)(0)e 0.210e 10.2f f >⇒-->⇒->,故a c >,记()ln 1g x x x =-+,则11()1xg x x x-'=-=,当1x >时,()0g x '<,故()g x 在()1+∞,单调递减,故(1.2)(1)0ln1.2 1.210ln1.20.2g g <=⇒-+<⇒<,故b c <,因此a c b >>. 故答案为:b<c<a [方法二]:泰勒公式放缩0.2110.210.2a e c =->+-==,由函数切线放缩ln(1)x x +<得()ln 10.20.2b c =+<=,因此a cb >>.故答案为:b<c<a【整体点评】方法一:根据式子特征,构造相关函数,利用其单调性比较出大小关系,是该题的通性通法,也是最优解;方法二:利用泰勒公式以及切线不等式放缩,解法简洁,但是内容超出教材,不是每一个同学可以掌握.【题型】十、中间量法比较大小例19.(2022·天津北辰·高三期中)已知0.12a =,0.3log 0.5b =,0.5log 0.2c =,则( ) A .c b a >> B .b c a >> C .c a b >> D .a c b >>【答案】C【分析】利用指数函数和对数函数的性质,与中间量1,2比较大小即可得到结果. 【详解】因为0.10.51222a <=<<,0.30.3log 0.5log 0.31b =<=,0.50.5log 0.2log 0.252c =>=, 所以c a b >>. 故选:C .例20.(2022·北京·北大附中高三阶段练习)设ln 2a =,122b =,133c =,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a b c << B .b a c << C .a c b << D .c a b <<【答案】A【分析】通过0ln 21<<,所以判断出01a <<;又对122b =,133c =进行化简,得到121628b ==,131639c ==,从而判断出a ,b ,c 的大小关系. 【详解】ln 2a =,而0ln 21<<,所以01a <<;又121628b ==,131639c ==∴令16()f x x =,而函数()f x 在(0,)+∞上递增∴1b c << ∴a b c <<三、题型模拟演练 一、单选题1.(2022·山东·济南市历城第二中学高三阶段练习)已知集合{}{}231,340x A x B x x x =≥=-->,则A B =( )A .{}1x x <-B .{}04x x <≤C .{}4x x >D .{10x x -<≤或}4x >【答案】C【分析】利用指数函数图象可得[)0A =+∞,,根据一元二次不等式可得B =4∞∞(,+)(-,-1),进而求出A B ⋂.【详解】[)0A =+∞,,B =4(,+)(-,-1)∞∞,A B =4+∞(,) 故选:C.2.(2022·云南·高三阶段练习)已知0.11.1a -=,ln3b =,c = ) A .a b c << B .a c b << C .c a b << D .c b a <<【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可判断,,a b c 的大小.【详解】0.101.1 1.11-<=,ln 3=,ln e 1=>= ,所以a c b <<; 故选:B.3.(2022·陕西·交大附中高一期中)已知12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭4log 8b =,π32c -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则a ,b ,c 的大小关系为( ). A .a b c >> B .a c b >> C .b c a >> D .b a c >>【答案】A【分析】根据指数函数单调性及对数的运算性质即得.【详解】因为122a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭,32443log 8log 42b ===,π33122c -⎛⎫⎛⎫=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 所以a b c >>. 故选:A.4.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)已知实数a ,b ,c 满足13440a b +⨯-=1=()()25log 3R a c x x x =+-+∈,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a b c >> B .b c a >> C .c b a >>D .a c b >>【分析】对题意进行化简,利用函数的单调性即可判断大小 【详解】由13440a b +⨯-=可得034144b a-=<=,所以0b a -<即b a <,1=y =R 上的增函数,可得b c <,因为221113124x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,所以由()()25log 3R a c x x x =+-+∈可得()255log 3log 10a c x x -=-+>=,所以a c >,故a c b >>. 故选:D5.(2022·山东省青岛第九中学高三阶段练习)已知函数 ()3xf x = ,且函数 ()g x 的图像与 ()f x 的图像关于 y x = 对称,函数 ()x ϕ 的图像与 ()g x 的图像关于 x 轴对称,设 12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ , 12b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ , 12c ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭.则( )A .a b c <<B .b c a <<C .c b a <<D .b a c <<【答案】D【分析】根据函数图像的对称关系可以得到()g x ,()x ϕ的解析式,代入后跟特殊值0比较可得b 最小,然后构造函数,利用特殊值和函数的单调性比较a ,c 的大小即可.【详解】因为()g x 的图像与()f x 的图像关于y x =对称,所以()3log g x x =,又因为()x ϕ的图像与()g x 关于x 轴对称,所以()3log x x ϕ=-,1210312a f -⎛⎫<=-=< ⎪⎝⎭,311log 022b g ⎛⎫==< ⎪⎝⎭,33110log log 2122c ϕ⎛⎫<==-=< ⎪⎝⎭,所以b 最小;1a =221log 32log c== 构造()22log h x x x =-,则()2ln 221ln 2ln 2x h x x x -'=-=, 当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h x '<,所以()h x 在20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减,因为0ln 21<<,所以22ln 2>,令2x =,得()20h =,所以()20h h >=,22112log 02log a c>⇒>>, 又因为0a >,0c >,所以c a >,综上所述c a b >>. 故选:D.【点睛】比较对数、指数、幂的大小的方法:∴利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小; ∴借助特殊值“0”、“1”或其它的数值比较大小; ∴根据两数之间的关系,构造函数来比较大小.6.(2022·广西南宁·高三阶段练习(理))设e 3a =,πe b =,3πc =,则a 、b 、c 的大小关系为( ) A .a b c >> B .b c a >>C .b a c >>D .c b a >>【答案】D【分析】利用e e 3ππ3m c a <=<==,构造ln ()xf x x=且(e,)x ∈+∞研究单调性比较ln ,ln b m 大小,构造()3ln g x x x =-且(3,)x ∈+∞研究单调性判断函数值符号比较ln ,ln b c 的大小,即可得结果.【详解】由e e 3ππ3m c a <=<==, 因为ln πlne b =,ln eln πm =,则ln ln e e πeb =,ln ln πe ππm =, 令ln ()xf x x=且(e,)x ∈+∞,则21ln ()0x f x x -'=<,则()f x 递减, 所以(e)(π)f f >,即ln e ln πe π>,则ln ln b m >,故b m a >>; 因为ln πb =,ln 3ln πc =,由ln ln π3ln πb c -=-, 令()3ln g x x x =-且(3,)x ∈+∞,则3()0x g x x-'=>,则()g x 递增; 故3e (3)33ln 3ln 027g =-=<,4e (4)43ln 4ln 064g =-=<,而3π4<<, 所以(π)π3ln π0g =-<,则ln ln b c <,即>c b , 综上,c b a >>. 故选:D【点睛】关键点点睛:利用中间值得到e e 3ππ3m c a <=<==,构造ln ()xf x x=利用导数研究单调性比较ln ,ln b m ,作差法并构造()3ln g x x x =-研究函数值符号比较ln ,ln b c 大小.二、多选题7.(2023·全国·高三专题练习)已知2log a x =,2x b =,3x c =,其中()1,2x ∈,则下列结论正确的是( ) A .log b a c >B .b c a b >C .b c a b <D .log log a b b c <【答案】CD【分析】根据()1,2x ∈求出()0,1a ∈,()2,4b ∈,()3,9c ∈,借助指数函数与对数函数的单调性分别判断选项即可.【详解】因为()1,2x ∈,所以()0,1a ∈,()2,4b ∈,()3,9c ∈,且b c <,所以log 1b c a >>,故A 错误;因为()0,1ba ∈,1cb >,即bc a b <,故B 错误,C 正确;因为log 0a b <,log 0b c >,即log log a b b c <,故D 正确. 故选:CD.8.(2023·全国·高三专题练习)已知x ,y ∈R 且3344x y y x -<-,则( ) A .x y < B .33x y --<C .()lg 0y x ->D .133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】将原不等式转化为3344x x y y +<+,结合函数的单调性可得x y <,再根据指对幂函数的性质逐个判断即可【详解】因为x ,y ∈R 且3344x y y x -<-,即x ,y ∈R ,且3344x x y y +<+,设()34f x x x =+,因为函数3y x =在R 上单调递增,函数4y x =在R 上单调递增,所以函数()34f x x x =+在R 上单调递增,A ,由3344x x y y +<+,得()()f x f y <,所以x y <,故选项A 正确;B ,因为x ,y ∈R ,所以当x =0或y =0时,3x -,3y -没意义,故选项B 错误;C ,因为x y <,而只有当1y x ->时,()lg 0y x ->才能成立,故选项C 错误;D ,因为x y <,所以1133yx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭,故选项D 正确.故选:AD三、填空题9.(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(文))设32log 2a =,9log 15b ,13c -=,则a ,b ,c 大小关系为___________. 【答案】a b c >>【分析】根据对数的运算及对数函数的单调性,结合指数的运算即可求解.【详解】由题意可知,332log 2log 4log a ===,293331log 15log 15log 15log 152b , 当1a >时,log a y x =在()0,+∞上单调递增, 因为3331615,log 16log 15log 31,即1a b >>.11313c -==<,所以a b c >>. 故答案为:a b c >>.四、解答题10.(2022·全国·高三专题练习)已知0a >且1a ≠,()()log 1a f x x =+,()()log 1a g x x =-,()h x(1)求()()()f x g x h x ++的定义域D ;(2)已知0x D ∈,请比较()0f x 与()0g x 的大小关系. 【答案】(1)()0,1;(2)当1a >时,()()00f x g x >;当01a <<时,()()00f x g x <.【分析】(1)根据对数函数真数大于零,分母不为零,偶次开根根号下非负即可列出不等式组求D ;(2)根据a 的范围,根据对数函数单调性即可判断. (1)依题意,x 应满足10100x x x +>⎧⎪->⎨⎪>⎩,解得01x <<,∴函数()()()f x g x h x ++的定义域D =()0,1; (2)当()00,1x ∈时,有0011x x +>-,∴当1a >时,函数log a y x =单调递增,∴()()00f x g x >; ②当01a <<时,函数log a y x =单调递减,∴()()00f x g x <.。
指数函数与对数函数总结指数函数与对数函数总结一、 [知识要点]:1. 指数函数y =ax 与对数函数y =a log x 的比较:的比较:定义定义 图象图象 定义域 值域值域 性质性质奇偶性 单调性 过定点值的分布值的分布最值最值y =a x (a>0且a ≠1) 叫指数函数a>1 (-∞,+∞)∞)(0,+∞) 非奇 非偶 增函数(0,1)即a 0=1 x>0时y>1;0<x<1时 0<y<1 无最值无最值0<a<1 减函数x>0时0<y<1; 0<x<1时 y>1 y =a log (a>0且a ≠1) 叫对数函数a>1Oy x(0,+∞) (-∞,+∞)∞) 非奇非偶 增函数 (1,0) 即log a 1=0 x>1时y>0;0<x<1时 y<0 无最值无最值 0<a<1Oy x减函数x>1时y<0;0<x<1时 y>0 对称性函数y =ax 与y =a -x (a>0且a ≠1)关于y 轴对称;函数y =a x 与y =log a x 关于y =x 对称对称 函数y =log a x 与y =1log a x (a>0且a ≠1)关于x 轴对称轴对称 2. 记住常见指数函数的图形及相互关系以及常见对数函数的图形及相互关系及相互关系①②3. 几个注意点几个注意点(1)函数y =a x 与对数函数y =log a x (a>0,a ≠1)互为反函数,从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系;(2)比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。
数的大小是对数函数性质应用的常见题型。
在具体比较时,可以首在具体比较时,可以首先将它们与零比较,分出正负;正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1,然后在各类中间两两相比较;(3)在给定条件下,求字母的取值范围是常见题型,要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。
1、 已知0707..m n >,则m n 、的关系是( )
A 、 10>>>m n
B 、 10>>>n m
C 、 m n >
D 、 m n <
2、三个数a b c =-==(.)(.).030320203,,,则a b c 、、的关系是( )
A 、 a b c <<
B 、 a c b <<
C 、 b a c <<
D 、 b c a <<
3、三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是 (
) A 、60.7
0.70.7log 66<< B 、60.70.70.76log 6<<
B 、0.760.7log 660.7<< D 、60.70.7log 60.76<<
4、设 1.5
0.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫
=== ⎪⎝⎭,
则 ( )
A 、312y y y >>
B 、213y y y >>
C 、132y y y >>
D 、123y y y >>
5、当10<<a 时,a a a a a a ,,的大小关系是 ( )
A 、a a a a a a >>
B 、a a a a a a >>
C 、a a a a a a >>
D 、a a a a a a >>
6.设y 1=,y 2=,y 3=(12)-
,则( )
A .y 3>y 1>y 2
B .y 2>y 1>y 3
C .y 1>y 2>y 3
D .y 1>y 3>y 2
7.设13<(13)b <(13)a <1,则( )
A .a a <a b <b a
B .a a <b a <a b
C .a b <a a <b a
D .a b <b a <a a
8.若x <0且a x >b x >1,则下列不等式成立的是( )
A .0<b <a <1
B .0<a <b <1
C .1<b <a
D .1<a <b
9.在⎝ ⎛⎭⎪⎫-12-1,2-12,⎝ ⎛⎭⎪⎫12-12,2-1中,最大的数是( )
-1 B .2- 12 -12 D .2-1
10.若a =,b =,c =,则a ,b ,c 的大小关系是( )
A .a >b >c
B .a <b <c
C .a <c <b
D .b <c <a
11.比较下列各题中两个值的大小:
(1)-,-;(2);
(3),(a >0,且a ≠1).
12.设y 1=,y 2=,y 3=(12)-
,则( )
A .y 3>y 1>y 2
B .y 2>y 1>y 3
C .y 1>y 2>y 3
D .y 1>y 3>y 2
1.设a =log 54,b =(log 53)2,c =log 45,则( )
A .a <c <b
B .b <c <a
C .a <b <c
D .b <a <c
2.设a =lge ,b =(lg e)2,c =lg e ,则( )
A .a >b >c
B .a >c >b
C .c >a >b
D .c >b >a
3.已知a =,b =,c =,则( )
A .a >b >c
B .a >c >b
C .b >a >c
D .c >a >b
4.设a =log 13
12,b =log 1323,c =log 34
3,则a ,b ,c 的大小关系是( )
A .a <b <c
B.c<b<a
C.b<a<c
D.b<c<a
2.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是() A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-a C.0.5a<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a 8.已知α>α,则α的取值范围是________.
9.把(2
3)-
1
3
,(
3
5)
1
2
,(
2
5)
1
2
,(
7
6)0按从小到大的顺序排列
____________________.。