倍长中线法的应用教案

三角形9级 全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一） 三角形7级倍长中线与截长补短倍长中线与截长补短满分晋级漫画释义2倍长中线 与截长补短知识互联网教学目标：1 掌握倍长中线的条件，学会运用倍长中线构造全等三角形，解决实际问题。

2 掌握截长补短的条件，学会运用截长补短构造全等三角形，解决实际问题。

教学重点：判断倍长中线与截长补短的条件，构造全等三角形教学难点：灵活运用倍长中线与截长补短。

教学对象：熟练掌握全等三角形的基础的同学。

教学策略:自主、合作、探究先学后教，当堂训练。

介绍:此讲义适合全等三角形基础掌握扎实的同学，让孩子们学会构造全等的同时，可以解决最后的拔高题目。

大家互相学习，有不到之处，欢迎批评指正，定 义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =．1 先让同学们讨论解决此题的方法及做法。

2 让同学们展示自己的解决方案。

【解析】 延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ．则CDE BDA △≌△，∴CE AB =，CED BAD ∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ． 1 先让同学们讨论解决此题的方法及做法。

思路导航例题精讲题型一：倍长中线EA BCDAB CD2 让同学们展示自己的解决方案。

高手过招必备技能——“倍长中线法”三大辅助线技巧——倍长中线【方法说明】遇到一个中点的时候，通常会延长过该中点的线段．倍长中线指延长一边的中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等．如图所示，点D为△ABC 边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）．【方法归纳】1．如图，AD为△ABC边BC的中线．延长AD至点E，使得AD ＝DE．若连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）；若连接CE，则△ADB≌△EDC（SAS）．2．如图，点D为△ABC边BC的中点．延长ED至点F，使得DE ＝DF，并连接BF，则△EDC≌△FDB（SAS）．3．如图，AB∥CD，点E为线段AD的中点．延长CE交AB于点F，则△EDC≌△EAF（ASA）．【典型例题】1．（09莱芜）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG＝CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．【思路点拨】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG ＝EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF 的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG＝CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG＝NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG＝EG；最后证出CG＝EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF＝90°，在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG＝1/2FD，同理，在Rt△DEF中，EG＝1/2FD，∴CG＝EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．【方法一】连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG＝CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG＝NG；∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，∴四边形AENM 是矩形，在矩形AENM中，AM＝EN，在△AMG与△ENG中，∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG＝EG，∴EG＝CG．【方法二】延长CG至M，使MG＝CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF＝CB，∠MFE＝∠EBC，EF＝BE，∴△MFE≌△CBE，∴∠MEF＝∠CEB．∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG＝CG，∴EG＝1/2MC，∴EG＝CG．（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F 作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD＝FM，又因为BE＝EF，易证∠EFM＝∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM＝∠BEC，EM＝EC，∵∠FEC＋∠BEC＝90°，∴∠FEC＋∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG＝CG，EG⊥CG．。

初中数学《中点之倍长中线或类中线的应用》教学设计教学目标1.会用倍长中线或类中线做辅助线构造全等三角形转化条件进而解决问题。

2. 在解决问题的过程中带领学生感受、理解倍长中线或类中线做辅助线的意义。

3. 引导学生在学习中体会转化、类比思想参，树立学生合作意识，体验数学知识获得感与成就感。

教学重难点重点：倍长中线、倍长类中线做辅助线构造全等转化条件解决问题。

难点：倍长类中线解决问题学情分析此部分内容主要用来处理与中点有关的难题，属于微专题复习，学生已经掌握与中点有关的知识和全等三角形的知识，为本节课做了很好铺垫，学生只需理解倍长中线的意义和做法就能掌握整节内容。

教学过程一、自学新知【倍长中线构造全等三角形】（学生自学5分钟，学习是学生主动参与，积极建构知识的过程，留给学生时间空间思考、学习知识，形成知识的初步构建）1.倍长中线模型：“倍长中线”就是将中线延长一倍出去，然后构造全等三角形，通常能将题目中分散的条件集中到一个三角形里来处理。

1.模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长 AD 至点E 使DE=AD，易证：△ADC≌△ EDB（SAS）。

当遇见中线时，可以尝试倍长中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段、角度进行等量转移。

1.模型应用例：如图，在△ABC 中，AB=12，AC=20，BC 边上中线AD 的范围为。

分析：利用题中已知条件暂不能解决问题，但题中AD是一条中线，尝试利用倍长中线做辅助线，看能否将已知条件等量转化促进问题解决。

解：延长中线AD至点E，使AD=DE，连接CE在△ABD与△ECD中，∴ △ABD≌△ABD（SAS）∴ AB=EC=12在△AEC中, (三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）∴∴即总结：当题中已知条件解决不了问题时，遇见中线，尝试倍长中线，构造全等三角形。

1.同化吸收新知（5分钟）（此部分采用问题引领的方法，在师生互动问答中同化自学所得，解决自学中存在的疑惑，让学生进一步明确知识，同时复习设计到的相关知识，体现复习的关联性）1.什么是倍长中线？关键词是什么？2.什么时候用倍长中线的方法做辅助线？3.倍长中线的目的或者说意义是什么？4.三角形全等的条件和理由是什么？5.三角形全等后实现了哪些等量转化？（以上部分生答，当答案不满意时，其他同学补充，切勿师直接告诉答案，学生思考补充问题时，也在发展思维，培养能力，信任学生爱学生，教知识更要教思维。

倍长中线法(初二)全等三角形的构造方法---常用辅助线搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．(一)倍长中线法:题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。

例1．如图（1）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ． 求证：AC=BF证明：延长AD 至H 使DH=AD ，连BH ，∵BD=CD ， ∠BDH=∠ADC ，DH=DA ，∴△BDH ≌△CDA ，∴BH=CA ，∠H=∠DAC ，又∵AE=EF ， ∴∠DAC=∠AFE ，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠AFE= 图（1） ∠BFD=∠DAC=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ．小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

中线一倍辅助线作法 △ABC 中延长AD 到E ，AD 是BC 边中线DE=AD ，E A BCDFH连接BE方式2：间接倍长⊥AD 于F ，延长MD作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ，连接BE 连接CD例2、△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例3、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 作业：第 1 题图ABFDEC1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。

例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE第 14 题图DF CBEAB自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。

2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠ F EAB C DABFDEC4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．5、如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

《中点专题——倍长中线》教学设计科目数学时间2016年9月8日课题中点专题——倍长中线课型新授课教学内容分析在三角形或有关复合图形中中点的问题经常出现，若能以一个专题的形式向学生展示，学生会掌握得更好。

倍长中线的方法是在人教版八上数学《全等三角形》有关的习题出现，它是以学生已学的全等三角形的性质为载体，在知识储备上是没问题的。

学情分析作辅助线解题对于学生来说是薄弱点，此专题更适合在初三中点专题学习中，在讲完直角三角形斜边上的中线、三角形的中位线、等腰三角形三线合一等有关图形的辅助线添加后学习，有助于他们对中点出现的情况系统归纳。

由于晒课的时间限制，本节晒课的学生是我校新学年刚升上初三的学生，他们大部分基础较薄弱，抽象思维能力和分析问题的能力也较欠缺。

学习目标知识技能1、理解倍长中线的意义，掌握添加辅助线的方法。

2、能从复合图形中抽象出适用倍长中线法解题的基础图形特点，灵活运用这种方法转移相等的边或角。

3、经历观察、猜想、推理的过程，进一步发展思维能力。

数学思想初步体会转化、类比的数学思想并养成归纳问题的良好习惯，提高分析和解决问题的能力。

情感态度通过探究复合图形中利用倍长中线法解决问题过程，培养积极探索、勇于创新的精神，体验学习数学的成功感。

教学重难点教学重点：1、理解倍长中线的意义和添加辅助线的方法；2、学会辨别适用倍长中线法的图形特点。

教学难点：在复合图形中抽象出适用倍长中线法解题的图形部分，正确作图。

学习方法自主探究合作交流启发引导教学资源PPT课堂教学实施设计教学流程教师活动学生活动设计意图中点情况引入一、情况引入：分别提问：若中点出现在直角三角形的斜边上、等腰三角形的底边上、三角形的两边上、三角形的一条边上，你会想到什么？1. 直角三角形斜边上的中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2. 等腰三角形三线合一定理：等腰三角形底边上的中线= 底边上的高= 顶角平分线3. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边, 且等于第三边的一半.4. 三角形中线：提出质疑：三角形的中线没有定理，若有这样的条件，应怎样解决，下面我们一起来探究。

精品文档精品文档精品文档精品文档精品文档精品文档教学过程一、复习引入1.如图1，已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．2.如图2，AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF ．求证：AM 是△ABC 的中线．3.如图3，AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

求证：BF=CF4.如图4：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。

求证：AF=DE ．5. 已知：如图5所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF ．MFECBAFDCBAFE DCBAC精品文档图1 图2 图3 图4 图5 精品文档精品文档二、知识讲解考点1证明三角形全等的方法：SAS 精品文档精品文档考点2证明线段中的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 精品文档精品文档考点3平行线的性质：①两直线平行,同位角相等.②两直线平行,内错角相等.③两直线平行,同旁内角互补. 精品文档精品文档精品文档三、例题精析考点一证明线段中的不等关系例1 已知：ABC ∆中，5,9AB AC ==,AM 是中线．（1） 求证：1()2AM AB AC <+．（2）BC 边上的中线AM 的长的取值范围是什么？精品文档精品文档精品文档精品文档【规范解答】如图所示，延长AM 到D ，使DM AM =，连结BD ，∵AM 为BC 中线，∴BM ＝MC 在△ACM 和△DBM 中∴ACM ∆≌DBM ∆（SAS ），∴BD AC =在ABD ∆中，AD AB BD <+，∴2AM AB AC <+∴1()2AM AB AC <+精品文档精品文档【总结与反思】①将AM边放在某个三角形中，利用三边关系求出取值范围；②中线倍长法的具体应用：延长AM至D，使DM=AM，连接BD；利用SAS证明三角形全等；③将线段AC转换成BD，在△ABD中利用三边关系求出2AM取值范围.精品文档精品文档精品文档精品文档考点二证明两个角相等例2如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．FGE D CB A精品文档精品文档 【规范解答】延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．在CEF ∆和BEH ∆中C E B E C E F B E H F E H E =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG ==∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠,∴AFG AGF ∠=∠又∵EF AD ∥,∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠∴CAD BAD ∠=∠,∴AD 为ABC ∆的角平分线．精品文档精品文档HAFGBE DC【总结与反思】题中E为BC中点，考虑用中线倍长法得到CEF BEH∆∆≌，把CF线段转移到BEH∆中，然后根据等腰三角形的性质及平行线的性质转化角得到结论。

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.ABFEAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。

倍长中线与截长补短互动精讲知识点一.倍长中线【知识梳理】∆ABC中AD是BC边中线方式延长AD到E,使DE二AD,连接BE•E方式2：间接倍长，延长MD到N,使DfMD,连接CN作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E连接BE【例题精讲】例1、∆ABC 中，AB 二5, AC=3,求中线AD 的取值范围。

.∙. BD= CD I∙.∙ BD = CD t ZADC=ZBDE t AD=DE t ：.AADC 9 ΔEDB t：.EB=AC I 根据三角形的三边关系定理：5-3<∕lE<5 + 3 r .•・ 1 < AD < 4.例2、已知：如图，在ΔABC 中，ABHAC, D 、E 在BC 上，且DE 二EC,过D 作DF//BA 交AE 于点F, DF=AC.求证：AE 平分ZBAC≡ΔPEF 和 ZSCEG 中. ED= EC ZDEF = ZCEG , FE=EG・・^DEF 竺ΔCEG. ∖ DF=GC t ZDFE=ZG. ・• DF // AB l ・.ZDFE=乙BAE. :DF = AC l •・ GC=AC.・.厶G =ECAE..ZBAE=ZCA E .即AE 平分上BAC.{证明：如图，延长FE 到G,使EG=EF ,连接CG.E'：AD 是厶ABC 的中线，【课堂练习】1、在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF = EFOCG-AD是BC边上的中线（已知），•・.DC=DB .在厶ADC和AGDB中，'AD=DG< Z4DC-ZGDB(对顶角相等)DC=DBj.^ADC ^GDB(SAS) I:•厶CAD =厶G ■ BG=ACXv BE=AC e・・.BE=BG ,・・・ZBED ZG ,・.・ ZBED= ZAEF t .∖ΛΛEF^= Z.CAD t 即：/.AEF≈ΔFAE t.・・ AF = EF.2、如图，∆ABC中，E、F分别在AB、AC ±, DE丄DF, D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小・BE + CF > FP = EF・延长ED 至P , ^DP = DE t连接FP l CP t•・・D是BC的中点，/. BD= CD I在HBDE和ΔCZ)Pφf(DP=DE< 乙EDB=乙CDP[BD=CD・•・ 5BDE ^^CDP(SAS) f.∙. BE=CP l∖∙ DELDF I DE=DP J.∙. EF = FP,(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等) 在厶CFP中.CP + CF = BE+ CF > FP = EF・知识点二.截长补短 【知识梳理】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

1 / 382 / 383 / 38 教学过程一、复习引入1.如图1，已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．2.如图2，AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF ．求证：AM 是△ABC 的中线．3.如图3，AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

求证：BF=CF4.如图4：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。

求证：AF=DE ．5. 已知：如图5所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF ．M FE C BAFD C B A FE D C BA DBC A F E图1 图2 图3 图4 图54 / 38二、知识讲解考点1证明三角形全等的方法：SAS5 / 38证明线段中的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.6 / 38平行线的性质：①两直线平行,同位角相等.②两直线平行,内错角相等.③两直线平行,同旁内角互补.7 / 388 / 38 三、例题精析考点一证明线段中的不等关系例1 已知：ABC ∆中，5,9AB AC ==,AM 是中线．（1） 求证：1()2AM AB AC <+．（2）BC 边上的中线AM 的长的取值范围是什么？9 / 38【规范解答】如图所示，延长AM 到D ，使DM AM =，连结BD ，∵AM 为BC 中线，∴BM ＝MC在△ACM 和△DBM 中∴ACM ∆≌DBM ∆（SAS ），∴BD AC =在ABD ∆中，AD AB BD <+，∴2AM AB AC <+∴1()2AM AB AC <+【总结与反思】①将AM边放在某个三角形中，利用三边关系求出取值范围；②中线倍长法的具体应用：延长AM至D，使DM=AM，连接BD；利用SAS证明三角形全等；③将线段AC转换成BD，在△ABD中利用三边关系求出2AM取值范围.10 / 3811 / 38 考点二证明两个角相等例2如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ， 若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．FG E D CB A12 / 38 【规范解答】延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．在CEF ∆和BEH ∆中CE BECEF BEHFE HE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB∠=∠，CF BH BG ==∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠,∴AFG AGF ∠=∠又∵EF AD ∥,∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠∴CAD BAD ∠=∠,∴AD 为ABC ∆的角平分线．13 / 38 H A FGB E D C【总结与反思】题中E 为BC 中点，考虑用中线倍长法得到CEF BEH ∆∆≌，把CF 线段转移到BEH ∆中，然后根据等腰三角形的性质及平行线的性质转化角得到结论。