倍长中线法的应用教案
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教学过程
一、复习引入
1.如图1,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE .求证:BE ∥CF .
2.如图2,AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上,BE ∥CF ,BE=CF .求证:AM 是△ABC 的中线.
3.如图3,AB=AC ,DB=DC ,F 是AD 的延长线上的一点。求证:BF=CF
4.如图4:AB=CD ,AE=DF ,CE=FB 。求证:AF=DE .
5. 已知:如图5所示,AB =AD ,BC =DC ,E 、F 分别是DC 、BC 的中点,求证: AE =AF .
图1 图2 图3 图4 图5
M F E C B A F
D C B A F
E D C B A D C
A F
E
二、知识讲解
考点1
证明三角形全等的方法:SAS
考点2
证明线段中的不等关系:在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
考点3
平行线的性质:①两直线平行,同位角相等.
②两直线平行,内错角相等.
③两直线平行,同旁内角互补.
三、例题精析
考点一证明线段中的不等关系
例1 已知:ABC ∆中,5,9AB AC ==,AM 是中线.
(1) 求证:1()2
AM AB AC <+. (2)BC 边上的中线AM 的长的取值范围是什么?
【规范解答】如图所示,延长AM 到D ,使DM AM =,连结BD ,
∵AM 为BC 中线,∴BM =MC
在△ACM 和△DBM 中
∴ACM ∆≌DBM ∆(SAS ),∴BD AC =
在ABD ∆中,AD AB BD <+,∴2AM AB AC <+∴1()2
AM AB AC <+
【总结与反思】①将AM 边放在某个三角形中,利用三边关系求出取值范围;
②中线倍长法的具体应用:延长AM 至D ,使DM=AM ,连接BD ;利用SAS 证明三角形全等; ③将线段AC 转换成BD ,在△ABD 中利用三边关系求出2AM 取值范围.
考点二证明两个角相等
例2如图,在ABC ∆中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF AD ∥交CA 的延长线于点F ,交EF 于点G , 若BG CF =,求证:AD 为ABC ∆的角平分线.
F
G
E D C
B A
【规范解答】延长FE 到点H ,使HE FE =,连结BH .
在CEF ∆和BEH ∆中
CE BE CEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠,CF BH BG ==∴EHB BGE ∠=∠, 而BGE AGF ∠=∠,∴AFG AGF ∠=∠
又∵EF AD ∥,∴AFG CAD ∠=∠,AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠,∴AD 为ABC ∆的角平分线.
H A F
G
B E D C
【总结与反思】题中E 为BC 中点,考虑用中线倍长法得到CEF BEH ∆∆≌,把CF 线段转移到BEH ∆中,然后根据等腰三角
形的性质及平行线的性质转化角得到结论。
考点三证明线段之间的关系
例3如图,已知在ABC ∆中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,延长BE 交AC 于F ,AF EF =,
求证:AC BE =.
F E
D C B A
【规范解答】延长AD到G,使DG AD
=,连结BG ∵BD CD
=,BDG CDA
∠=∠,AD GD
=
∴ADC GDB
∆∆
≌
∴AC GB
=.G EAF
∠=∠
又∵AF EF
=,∴EAF AEF
∠=∠
∴G BED
∠=∠
∴BE BG
=,∴BE AC
=.
G
F
E
D C
B
A
【总结与反思】作倍长AD,得到ADC GDB
∆∆
≌,可以把AC转移到△BDG中,利用等腰的性质得到两边相等。
四、课堂运用
【基础】
1、如图,在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是( )
A.2<AB<12
B.4<AB<12
C.9<AB<19
D.10<AB<19
【答案】C
【规范解答】延长AD至E,使DE=AD,连接CE,可先证明△ABD≌△ECD,则AB=CE,在△ACE中,根据三角形的三边关系,得AE-AC<CE<AE+AC,即9<CE<19.则9<AB<19.故选C.
2、已知AM 为ABC ∆的中线,AMB ∠,AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F .求证:BE CF EF +>.
M F
E C
B A
【规范解答】延长FM 到N ,使MN MF =,连结BN 、EN .
在三角形BNM ∆和CFM ∆中
⎪⎩
⎪⎨⎧===MF MN ∠CMF ∠BMN MC BM
BNM ∆≌CFM ∆,∴BN CF =,
又∵AMB ∠,AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ,
∴90EMF EMN ∠=∠=,
利用SAS 证明EMN ∆≌EMF ∆,∴EN EF =,
在EBN ∆中,BE BN EN +>,∴BE CF EF +>.
N M
F
E C B A