倍长中线法的应用教案

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教学过程

一、复习引入

1.如图1,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE .求证:BE ∥CF .

2.如图2,AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上,BE ∥CF ,BE=CF .求证:AM 是△ABC 的中线.

3.如图3,AB=AC ,DB=DC ,F 是AD 的延长线上的一点。求证:BF=CF

4.如图4:AB=CD ,AE=DF ,CE=FB 。求证:AF=DE .

5. 已知:如图5所示,AB =AD ,BC =DC ,E 、F 分别是DC 、BC 的中点,求证: AE =AF .

图1 图2 图3 图4 图5

M F E C B A F

D C B A F

E D C B A D C

A F

E

二、知识讲解

考点1

证明三角形全等的方法:SAS

考点2

证明线段中的不等关系:在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

考点3

平行线的性质:①两直线平行,同位角相等.

②两直线平行,内错角相等.

③两直线平行,同旁内角互补.

三、例题精析

考点一证明线段中的不等关系

例1 已知:ABC ∆中,5,9AB AC ==,AM 是中线.

(1) 求证:1()2

AM AB AC <+. (2)BC 边上的中线AM 的长的取值范围是什么?

【规范解答】如图所示,延长AM 到D ,使DM AM =,连结BD ,

∵AM 为BC 中线,∴BM =MC

在△ACM 和△DBM 中

∴ACM ∆≌DBM ∆(SAS ),∴BD AC =

在ABD ∆中,AD AB BD <+,∴2AM AB AC <+∴1()2

AM AB AC <+

【总结与反思】①将AM 边放在某个三角形中,利用三边关系求出取值范围;

②中线倍长法的具体应用:延长AM 至D ,使DM=AM ,连接BD ;利用SAS 证明三角形全等; ③将线段AC 转换成BD ,在△ABD 中利用三边关系求出2AM 取值范围.

考点二证明两个角相等

例2如图,在ABC ∆中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF AD ∥交CA 的延长线于点F ,交EF 于点G , 若BG CF =,求证:AD 为ABC ∆的角平分线.

F

G

E D C

B A

【规范解答】延长FE 到点H ,使HE FE =,连结BH .

在CEF ∆和BEH ∆中

CE BE CEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠,CF BH BG ==∴EHB BGE ∠=∠, 而BGE AGF ∠=∠,∴AFG AGF ∠=∠

又∵EF AD ∥,∴AFG CAD ∠=∠,AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠,∴AD 为ABC ∆的角平分线.

H A F

G

B E D C

【总结与反思】题中E 为BC 中点,考虑用中线倍长法得到CEF BEH ∆∆≌,把CF 线段转移到BEH ∆中,然后根据等腰三角

形的性质及平行线的性质转化角得到结论。

考点三证明线段之间的关系

例3如图,已知在ABC ∆中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,延长BE 交AC 于F ,AF EF =,

求证:AC BE =.

F E

D C B A

【规范解答】延长AD到G,使DG AD

=,连结BG ∵BD CD

=,BDG CDA

∠=∠,AD GD

=

∴ADC GDB

∆∆

∴AC GB

=.G EAF

∠=∠

又∵AF EF

=,∴EAF AEF

∠=∠

∴G BED

∠=∠

∴BE BG

=,∴BE AC

=.

G

F

E

D C

B

A

【总结与反思】作倍长AD,得到ADC GDB

∆∆

≌,可以把AC转移到△BDG中,利用等腰的性质得到两边相等。

四、课堂运用

【基础】

1、如图,在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是( )

A.2<AB<12

B.4<AB<12

C.9<AB<19

D.10<AB<19

【答案】C

【规范解答】延长AD至E,使DE=AD,连接CE,可先证明△ABD≌△ECD,则AB=CE,在△ACE中,根据三角形的三边关系,得AE-AC<CE<AE+AC,即9<CE<19.则9<AB<19.故选C.

2、已知AM 为ABC ∆的中线,AMB ∠,AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F .求证:BE CF EF +>.

M F

E C

B A

【规范解答】延长FM 到N ,使MN MF =,连结BN 、EN .

在三角形BNM ∆和CFM ∆中

⎪⎩

⎪⎨⎧===MF MN ∠CMF ∠BMN MC BM

BNM ∆≌CFM ∆,∴BN CF =,

又∵AMB ∠,AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ,

∴90EMF EMN ∠=∠=,

利用SAS 证明EMN ∆≌EMF ∆,∴EN EF =,

在EBN ∆中,BE BN EN +>,∴BE CF EF +>.

N M

F

E C B A