数学与人的发展(二)

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2020/11/21
数学与人的发展(二)
一、公理方法的作用
算术公理，它由以下五条组成：
1．1属于非空集 (1只是一个符号)；
2． 的每个元素 有后继数 ；
3．1不是任何元素的后继数；
4．若
，则
(即两元素之后继数相等
时，两元素自身也相等)；
5．设
，若1属于 ，又若当 属于
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数学与人的发展(二)
二、数学直觉的作 用
怎么算?只要舍得花时间，一个个加就是了；
如果要加到9 999，时间上也花不起了。高斯小时候就
有一个办法，两头相加，1+99=100，2+98=100，这样，
首尾共有49对，还有中间一个50不与什么数搭对了，
于是结果马上出来了：
时， 亦必属于 ，则
。
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数学与人的发展(二)
一、公理方法的作用
• 什么是“物质”？“物质是独立于人的意识
之外的客观存在。”如果这是关于物质的定义，
从逻辑上说，它使用了意识、客观、存在等概念，
那么这些概念就应当是已知的。然而，什么叫
“存在”呢?存在是“不依赖人的意志为转移的客
又
(小前提)，
所以
即
(结论)。
三段论中含3个项，大项、中项、小项，中项
起中间作用，在结论中不出现。
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数学与人的发展(二)
一、公理方法的作用
例子：“凡羊有两只角， 是一只羊， 有两
只角”，这里，“羊”是中项，“两只角”(的动物)是
大项，
是小项。
看一个哲学中的三段论：
小孩子数(shǔ)数(shù)，开始学个位数困难一 点，然后学十几、二十几，也困难一点，再往后学三 十几、四十几、……的两位数就不是很困难了，到了 小学高年级，很大很大的数也能数(shǔ)。这也是归 纳能力的表现。
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数学与人的发展(二)
二、数学直觉的作 用
• 可能有3个问题：一是不太清楚儿童是有归纳能 力(不完全归纳)；二是不太清楚不完全归纳的珍贵； 三是不太清楚在加强收敛性训练、演绎训练的同时， 不仅不应磨损了儿童的归纳品质，而且还继续关注他 们在这方面的发展。
在三角形
中，若
，那么
。
下面是证明：
作
， 交 于。
因为凡直角皆相等(大前提)，
又
和
皆为直角(小前提)，
所以
(结论)；
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数学与人的发展(二)
一、公理方法的作用
因为有两边对应相等的两直角三角形必全等(大
前提)，
又在
和
中，
(小前提)，
所以
(结论)；
因为凡全等三角形的对应角相等(大前提)，
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数学与人的发展(二)
一、公理方法的作用
• 数学的事实还证明，数学是要求严格遵守形式 逻辑的，这一点不仅不妨碍辩证思维的发展，而且还 为把握辩证逻辑提供了必需的基础。
当我们说到公理的作用的时候，并不是说人文学 科、社会学科都应当建立在公理的基础上，甚至它们 能不能做到这一点我们也还不知道。但是，至少，公 理的方法也是能给我们在人文科学、社会科学中进行 推理的时候亦须注意或借鉴的基本事项。
49×100+50=4 950，
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数学与人的发展(二)
一、公理方法的作用
• 唯物论认为物质是第一性的，意识是第二性的， 这就是说，意识的本源是物质的。但决不认为意识本 身就是物质的或者意识是物质的一部分。否则，并不 是正确的认识了物质与意识的关系，而是混淆了两者 的关系。
辩证唯物主义还认为，在一定条件下，物质可以 变精神，精神可以变物质。
观世界，即物质。”这里又用“物质”的概念定
义了“存在”，而前面是用“存在”定义了“物
质”的。在黑格尔那里，“存在”是基本概念，
是不必再加定义的，因而也就避免了起码应避免
的逻辑缺陷。
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数学与人的发展(二)
一、公理方法的作用
“等腰三角形两底角相等”为例看看是如何运
用的。
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2020/11/21
数学与人的发展(二)
二、数学直觉的作
用
1.归纳，类比 不完全归纳是发现的开始，是创造的开始，是
十分珍贵的思维形式之一。另一方面的事实是，儿童 从小就有归纳的经历，1～2岁的小孩的语言符号就在 迅速增加，第二信号系统在迅速扩张。其所以能这样， 原因之一就是他们首先是接触归纳，并且能接受归纳。
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数学与人的发展(二)
一、公理方法的作用
一门学科实现公理化的标志：一是它有一套 基本术语，或原始概念；二是它有一组基本命题， 或原始命题，或公理；三是其余的概念全由原始概 念出发予以定义，其余的命题全由公理出发予以推 理论证。 起源于数学的公理化方法已经产生广泛影响， 这种影响已经越出数学范围而进入其他自然科学领 域，已经越出自然科学而进人人文科学领域。数学 的公理思想使数学作为文化具有更实际的意义。
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数学与人的发展(二)
一、公理方法的作用
数学的公理思想产生广泛影响经历了一个过程，数学自 身的公理化程度和水平也经历了不同的发展阶段。 牛顿力学建立了公理系统，即他的三大定律，这具有实 质公理化特征。 对普通学生，从中学到大学本科，实质公理化方法就已 足够的了，也是必要的。 公理化不仅使数学本身的内在统一性、和谐性得到充分 的揭示，而且有利于人们更清晰地从微观到宏观看世界；公 理化也不仅是使人更易认识世界，而且为数学发现与创造提 供必要的启示和工具；同时还对人自身逻辑思维的发展起极 为积极的推动作用；公理方法在一定范围内也使思维经济有 效。
——世界是物质的，
——意识是世界的一部分，
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——所以，意识是物质的。 2020/11/21
数学与人的发展(二)
一、公理方法的作用
大前提应修改为“世界的本源是物质的”。下 面按修改后的大前提再作一三段推论： ——世界的本源是物质的． ——意识是世界的一部分． ——所以，意识的本源是物质的。 物质与意识是有密切联系的，却不能看成是一 回事，也不能把一者看成是包含另一者的。太阳与地 球紧密联系着，但太阳是太阳，地球是地球。