精选高三数学第一次诊断性考试试题文

一、单选题二、多选题1.设集合，则（ ）A．B．C．D．2.正项等比数列中，，若，则的最小值等于（ ）A ．1B．C．D．3. 新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院.每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种A ．252B ．540C ．792D ．6844. 双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D ．25.将函数的图象向右平移个周期后，所得函数图象的一个对称中心为（ ）A．B．C．D．6. 6名同学相约在周末参加创建全国文明城市志愿活动，现有交通值守、文明劝导、文艺宣讲三种岗位需要志愿者，其中，交通值守、文明劝导岗位各需2人，文艺宣讲岗位需1人．已知这6名同学中有4名男生，2名女生，现要从这6名同学中选出5人上岗，剩下1人留守值班．若两名女生都已经到岗，则她们不在同一岗位的概率为（ ）A．B．C．D．7.已知函数，关于的命题：①的最小正周期为；②图像的相邻两条对称轴之间的距离为；③图像的对称轴方程为；④图像的对称中心的坐标为；⑤取最大值时. 则其中正确命题是（ ）A ．①②③B ．①③⑤C ．②③⑤D ．①④⑤8. 已知数列为等差数列，且，则的值为( )A．B ．45C．D．9. 若z 满足，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C．D ．z 对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为310. 若函数在上单调，则实数的值可以为（ ）A．B．C．D ．311.已知，若不等式在上恒成立，则a 的值可以为（ ）A．B．C ．1D．12. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）A ．，B ．函数的极大值与极小值之和为2四川省宜宾市普通高中2022届高三上学期第一次诊断测试文科数学试题四川省宜宾市普通高中2022届高三上学期第一次诊断测试文科数学试题三、填空题四、解答题C．函数有三个零点D ．在区间上单调递减13.展开式中的系数为___________．（用数字作答）14. 命题“，使得”为假命题，则a 的取值范围为________.15. 如图，在中，是边上一点，，则__________；的面积为___________．16. 已知坐标原点为O ，点P为圆上的动点，线段OP 交圆于点Q ，过点P 作x 轴的垂线l ，垂足R ，过点Q 作l 的垂线，垂足为S ．(1)求点S 的轨迹方程C ；(2)已知点，过的直线l 交曲线C 于M ，N ，且直线AM ，AN 与直线交于E ，F ，求证：E ，F 的中点是定点，并求该定点坐标17.已知函数(1)讨论的单调性；(2)当有三个零点时a的取值范围恰好是求b 的值.18. 有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；(2)设第次答题后游戏停止的概率为．①求；②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．19. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？20. 在卡塔尔世界杯期间，某体育学院统计了该校足球系10个班级的学生喜欢观看世界杯的人数，统计人数如下表所示：班级12345喜欢观看世界杯的人数3935383836班级67891 0喜欢观看世界杯的人数39437438(1)该校计划从这10个班级中随机抽取3个班级的学生，就世界杯各国水平发挥进行交谈，求这3个班级喜欢观看世界杯的人数不全相同的概率；(2)从10个班级中随机选取一个班级，记这个班级喜欢观看世界杯的人数为X，用上表中的频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望．21. 已知等差数列的前项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为.若，(为奇数)，求的值.。

卜人入州八九几市潮王学校高2021级第一次教学质量诊断性考试数学〔文科〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.，，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的性质化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】由指数函数的性质化简集合=，又，，应选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，此题本质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.，〞的否认是A.不存在，使B.，使C.，使D.，使【答案】D【解析】【分析】“〞“〞可得结果.【详解】,“，〞的否认是，使，应选D..;.，，，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】由指数函数的性质可得由对数函数的性质可得，，应选C.【点睛】此题主要考察对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间〔一般是看三个区间〕；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.，那么函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，将化为，从而可得结果.【详解】，的最小正周期为，应选C.【点睛】此题主要考察二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，以及正切函数的周期性，属于中档题.三角函数式的化简，应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用那么往往容易被无视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的才能，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．的图像大致为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，可排除；可排除，从而可得结果.【详解】，，排除；，排除，应选D.【点睛】此题通过对多个图象的选择考察函数的图象与性质，属于中档题..解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.是两条不同的直线，垂直于平面，那么“〞是“〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】假设，因为垂直于平面，那么或者；假设，又垂直于平面，那么，所以“〞是“的必要不充分条件，应选B．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．【此处有视频，请去附件查看】，满足，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，，根据对数的运算法那么可得结果.【详解】，，，，应选B.【点睛】此题主要考察对数的性质与对数的运算法那么，以及换底公式的应用，意在考察对根底知识掌握的纯熟程度，考察综合应用所学知识解答问题的才能，属于中档题.中，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的外表积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个一共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，由圆锥侧面积公式可得结果.【详解】设边上高为，，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个一共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，外表积为两个圆锥侧面积的和，，应选A.【点睛】求几何体的外表积的方法:(1)求外表积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点；求不规那么几何体的外表积时，通常将所给几何体分割成根本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的外表积，再通过求和或者求差求得几何体的外表积.9.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，那么该多面体的体积为A.16B.8C.4D.20【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，由棱锥的体积公式可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，该几何体体积为，应选A.【点睛】此题利用空间几何体的三视图重点考察学生的空间想象才能和抽象思维才能，属于难题.三视图问题是考察学生空间想象才能最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译〞成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“齐，长对正，宽相等〞，还要特别注意实线与虚线以及一样图形的不同位置对几何体直观图的影响.10.周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，假设图中直角三角形的一个锐角为，且小正方形与大正方形面积之比为，那么的值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设大正方形边长为1，可得小正方形边长为，由图可知，两边平方，利用二倍角的正弦公式可得结果.【详解】设大正方形边长为1，小正方形与大正方形面积之比为，小正方形边长为，结合图形及三角函数的定义可得，两边平方得，，，应选D.【点睛】此题主要考察三角函数的定义、同角三角函数的关系以及二倍角的正弦公式，意在考察数形结合思想的应用，以及灵敏运用所学知识解答问题的才能，属于中档题.的局部图象如下列图，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数图象关于直线对称，那么的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图象求得函数的的解析式，经过周期变换与相位变换可得，由可得结果.【详解】由最大值为，得，由，得，，，，，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到，图象关于对称，，，时，最小为，应选A.【点睛】此题考察了三角函数的图象与性质，重点考察学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况以下列图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.的值域与函数的值域一样，那么的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的值域为，设，那么，要使的值域为，那么，从而可得结果.【详解】，，时，；时，，在上递增，在上递减，，即的值域为，，那么，在上递增，在上递减，要使的值域为，那么，，又，的范围是，应选C.【点睛】利用导数求函数最值的步骤：〔1〕求出在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；〔2〕根据单调性可得函数的极值，假设只有一个极值点，那么在该处即是极值也是最值；〔3〕假设求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，将答案填在答题纸上〕，假设，那么__________．【答案】3【解析】【分析】由，利用对数的运算求解即可.【详解】，，，故答案为3.【点睛】此题主要考察对数的根本性质，意在考察对根底知识的理解与运用，属于简单题.中，角，，所对的边分别为，，，假设，那么角的大小为______.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，再根据余弦定理可得结果.【详解】，由正弦定理可得，化为，，，故答案为.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．假设式子中含有角的余弦或者边的二次式，要考虑用余弦定理；假设遇到的式子中含有角的正弦或者边的一次式时，那么考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．15.函数，那么的解集为______.【答案】【解析】【分析】原不等式等价于或者，分别求解不等式组，再求并集即可.【详解】，当时，，解得；当时，，解得，综上，，即的解集为，故答案为.【点睛】此题主要考察分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题..的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，假设此三棱锥的最大体积为，那么球的外表积等于__________．【答案】【解析】【分析】先根据球体的性质判断当到所在面的间隔为球的半径时，体积最大，再将最大体积用球半径表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，那么的边长，，当到所在面的间隔为球的半径时，体积最大，，，球外表积为，故答案为.【点睛】此题主要考察球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〔一〕必考题：一共60分.中，角，，所对的边分别是，，，，.〔1〕假设，求的值；〔2〕的面积为，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕由，可得，由正弦定理可得，求得，利用诱导公式及两角和的正弦公式可得结果；〔2〕由，可得，再利用余弦定理，配方后化简可得.【详解】〔1〕由，那么，且，由正弦定理，因为，所以，所以，〔2〕，∴，，∴，，∴.【点睛】此题主要考察正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径．.〔1〕当时，求曲线在处的切线方程；〔2〕假设函数在区间上是增函数，务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕。

四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={−2,−1,0,1,2},B=x|(x+1)2≤1，则A∩B=( )A. {−2,−1}B. {−2,−1,0}C. [−2,0]D. [−2,2]2.“ac2>bc2”是“a>b”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知x>0,y>0，且满足x+y=xy−3，则xy的最小值为( )A. 3B. 23C. 6D. 94.某公司根据近几年经营经验得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x/万元258111519利润y/万元334550535864根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为y=1.65x+a.据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费( )A. 30万元B. 32万元C. 36万元D. 40万元5.下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是( )A. y=x−2B. y=x+1x C. y=x−sinx D. y=ln x−1x+16.已知θ为第一象限角，且tan(θ+π3)+tanθ=0，则1−cos2θ1+cos2θ=( )A. 9B. 3C. 13D. 197.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为P=P0e−kt(e是自然对数的底数，P0,k为正的常数).如果前9ℎ消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为()(参考数据：lg2≈0.301)A. 33ℎB. 35ℎC. 37ℎD. 39ℎ8.已知函数f(x)=−3(x+1)2,x≤0e x(x2−3),x>0 ,g(x)=mx，若关于x的不等式x(f(x)−g(x))<0的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是( )A. 0,B. 0,C. (−2e,0]D. (−∞,0)∪0,二、多选题：本题共3小题，共18分。

山东省2025届高三第一次诊断考试数学试题（答案在最后）2024.10说明：本试卷满分150分。

试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{ln(3)},{2}A x y x B x x ==+=∣∣ ,则下列结论正确的是A.A B⊆ B.B A ⊆ C.A B = D.A B ⋂=∅2.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为A.152-B.152C.52-D.523.已知()()cos f x x a x =+为奇函数,则曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程为A.ππ0x y +-= B.ππ0x y -+= C.π0x y ++= D.0x y +=4.在ABC 中,“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.由0,1,2,,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有A.98个B.105个C.112个D.210个6.已知函数()f x 在R 上满足()()f x f x =-,且当(,0]x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<成立,若()0.60.6221122,ln 2(ln 2),log log 88a f b f c f ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.c a b>>7.若1cos 3sin αα+=,则cos 2sin αα-=A.-1B.1C.25-D.-1或25-8.已知函数225e 1,0(),()468,0x x f x g x x ax x x x ⎧+<⎪==-+⎨-+≥⎪⎩,若(())y g f x =有6个零点,则a 的取值范围是A.(4,)+∞ B.174,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[4,5]D.2017,(4,5]32⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.已知0a b >>,下列说法正确的是A.若c d >，则a c b d ->-B.若0c >,则b b c a a c+<+C.2ab a b <+D.11a b b a+>+10.已知,A B 分别为随机事件A ,B 的对立事件,()0,()0P A P B >>,则A.()()1P B A P B A +=∣∣ B.()()()P B A P B A P A +=∣∣C.若A ,B 独立,则()()P A B P A =∣ D.若A ,B 互斥,则()()P A B P B A =∣∣11.已知函数()(1)ln (0)f x x x ax a a =---≠在区间(0,)+∞上有两个不同的零点1x ,2x ,且12x x <,则下列选项正确的是A.a 的取值范围是(0,1) B.121x x =C.()()12114x x ++> D.1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若1~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且51Y X =+,则()D Y =___________.13.已知二次函数2()2()f x ax x c x =++∈R 的值域为[1,)+∞,则14a c+的最小值为___________.14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为123,,a a a ，则事件“1223316a a a a a a -+-+-=”发生的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试文科数学试题及答案解析（考试时间：120分钟全卷满分：150分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.设集合{}{}3325<<-=<<-=x x B x x A ，，则A B ⋂=（）A.{32}x x -<<∣B.{52}xx -<<∣ C.{33}xx -<<∣ D.{53}xx -<<∣2.已知i 为虚数单位，且32i1i z =+，则z =（）A.1i- B.1i-+ C.1i+ D.1i--3.设函数()13+=x x f ，则()=8log 3f （）A.8B.9C.11D.244.从某中学甲、乙两班随机抽取10名同学的数学成绩，所得数据用茎叶图表示如下.由此可估计甲，乙两班同学的数学成绩情况，则下列结论不正确的是（）A.甲班数学成绩的极差比乙班大B.甲班数学成绩的中位数比乙班大C.甲班数学成绩的平均值比乙班小D.甲班数学成绩的方差比乙班小5.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.xy = B.3x y = C.xy 2log = D.xy tan =6.已知点(,)x y 满足不等式组21400x y y x y ⎧⎪⎨⎪≥≥+--+⎩≤，则2z x y =+的最小值为（）A.3- B.1- C.5D.77.某种病毒的反之速度快、存活时间长，a 个这种病毒在t 天后将繁殖到t ae λ个.已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍，且再过m 天后病毒的数量达到原来的16倍，则=m （）A.4B.8C.12D.168.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若11a =，()*12N n S a n n ∈=+，则有（）A.数列{}n a 是等差数列B.数列{}n a 是等比数列C.数列{}n S 是等差数列D.数列{}n S 是等比数列9.函数24()exx xf x -=的图象大致是（）10.将函数()cos()(0)6f x x πωω=+>的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于原点对称，则ω的最小值是（）A.23B.32 C.53D.11311.漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器.如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶.当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5:2，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（）A.88B.84C.78D.7212.已知函数()x g 的定义域为R ，()11=g 且()()x g x g -=+11，()()13+-=x g x f ，则下列说法正确的个数为（）①(3)(5)g g -=；②(2024)0g =；③(2)(4)4f f +=-；④20241()2024n f n ==∑.A.1B.2C.3D.4二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.已知(2,1)AC = ，(1,)AB t = ，且3AC AB ⋅=，则t =__________.14.若函数()212ln 2f x x ax x =-+-在1x =处的切线平行于x 轴，则a =__________.15.已知ABC ∆的三个内角A,B,C 所对应的边分别是a,b,c,其中A 、C 、B 成等差数列，22=a ，()B A C cos sin =-，则ABC ∆的面积为__________.16.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*sin |n S a n =∈N ，若{},S a b =，则22a b +=__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且279a a +=，945S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图所示，△ABC 是正三角形，AE ⊥平面ABC ，AE CD ∥，2AE AB ==，1CD =，且F 为BE 的中点.（1）求证：DF ∥平面ABC ；（2）求三棱锥ABD F -的体积.19.（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人200名，25周岁以下工人100名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，先采用分层抽样的方法，从中抽取了120名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]90，100,分别加以统计得到如图所示的频率分布直方图：（1）从样本中日平均生产件数不低于90件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下”工人的概率；2⨯列（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请根据已知条件填写2联表，并判断是否有90％的把握认为“生产能手”与“工人所在的年龄组”有关？附：20.（12分）已知函数()1ln +=xxx f .（1）求()x f 的极值；（2）证明：当0>x 时，()xe xf x1-≤.21.（12分）已知抛物线()()200:2(0),4,0E y px p P y y =>>为E 上一点，P 到E 的焦点F 的距离为5.（1）求E 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，A ，B 为抛物线E 上异于P 的两点，且满足PA PB ⊥.（i ）判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.（ii ）求FB F A ⋅的最小值.（二）选做题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）[选修44-：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(0)y x x =≥，曲线C 的方程为2214x y +=.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求射线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 交于点P ，将射线OP 绕极点按逆时针方向旋转2π交C 于点Q ，求△POQ 的面积.23.（10分）[选修45-：不等式选讲]已知函数()2121f x x x =-++.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且23a b c m ++=，求11a cb c+++的最小值.参考答案一、选择题1.A 解析：利用数轴可得{}23<<-=x x B A .2.B 解析：由题意：()i i i i i i i z +-=+=+=-=1212122.3.D 解析：()24833338log 8log 18log 333=⨯=⨯==+f .4.C解析：A ：甲、乙班数学成绩的极差分别为425193=-，415192=-，故A 正确；B ：甲、乙班数学成绩的中位数分别为7327373=+，5.6927267=+，故B 正确；C ：甲班数学成绩的平均数为：()4.7193828176737363626051101=+++++++++，乙班数学成绩的平均数为：()6.7092838281726763635251101=+++++++++，故C 错误；D ：从茎叶图可以看出，甲班的数学成绩比乙班的数学成绩较为集中，即甲班数学成绩的方差比乙班小，故D 正确.5.B解析：A ：⎩⎨⎧≥<-==0,0,x x x x x y ，在()0，∞-单调递减，[)∞+，0单调递增，且为偶函数，故A 错误；B ：根据幂函数的性质可知，函数3x y =既是奇函数又是偶函数，B 正确；C ：x y 2log =在定义域()∞+，0单调递增，为非奇非偶函数，C 错误；D ：函数x y tan =是奇函数，在区间Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-,2,2ππππ上单调递增，D 错误.6.B解析：作出可行域如图，当目标函数y x z +=2的图象经过点()1,1-A 时，z 有最小值，此时1min -=z .7.C解析：由题可知，24=λe，经过4+m 天，数量变为原来的16倍，即()a ae m 164=+λ，则有()()λλλ164444216e e e m ====+，解得12=m .8.D解析：因()*12Nn S a n n ∈=+①可得，当2≥n 时，12-=n nS a②，①－②得：()n n n n n a S S a a 2211=-=--+，可得31=+nn a a ，因11=a ，在()*12Nn S a n n ∈=+中，取1=n ，可得2212==S a，即3212≠=a a ，∴数列{}n a 的通项公式为⎩⎨⎧≥⋅==-2,321,12n n a n n ，故数列{}n a 既不是等差数列也不是等比数列，选项A ，B 错误；当2≥n 时，11321-+==n n n a S ，又由1=n 时，111==a S ，适合上式，故数列{}n S 是公比为3的等比数列，即选项D 正确，C 错误.9.A解析：令()0>x f ，得4>x 或0<x ；令()0<x f ，得40<<x ，故排除CD，又当+∞→x 时，()042→-=xe xx x f ，故排除B.10.A解析：由题意可知：函数()()06cos >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛02，π对称，则Z k k ∈+=+,262πππωπ，且0322>+=k ω，解得31->k ，即N k k ∈+=，322ω∴当0=k 时，ω取到最小值是32.11.B解析：有题意可知：最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为a a 25，，高为h ，则体积为()()()()h a h a a a a V 2222213252531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，当最上层漏水壶水面下降到高度的三分之一时，设此时浮箭刻度为x ，∵已漏下去的水组成以上下口径为a a 3,5，高为h 32的圆台，体积为()()()()h a h a a a a V 22222199832353531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，可得1001399822x h a ha =ππ，解得84≈x .12.C解析：∵()()x g x g -=+11，∴()()x g x g -=+2，又函数()x g 为定义在R 上的奇函数，∴()0=x g ，()()x g x g -=-，∴()()2+-=x g x g ，∴()()42+-=+x g x g ，∴()()()x g x g x g =+-=+24，即()x g 的周期4=T ，将4-=x 代入()()x g x g -=+11得()()53g g =-，①正确；()()()00050642024==+⨯=g g g ，②正确；∵()()13+-=x g x f ，∴()()()()()()2211111142=+-=+-++=+g g g g f f ，③错误；由()()2+-=x g x g 可得()()002=-=-g g ，()()111-=-=-g g ，∴()()()()01012=++-+-g g g g ，∴()()()2024320243202412024120241+--=+-=∑∑∑===n n n n g n g n f ()()()()[]202420241012506=+++-+-⨯-=g g g g ，④正确.二、填空题13.1解析：32=+=⋅t AB AC ，解得1=t .14.3解析：∵()x ax x x f ln 2212-+-=，∴()xa x x f 2-+-='，则()0211=-+-='a f ，解得3=a .15.33+解析：∵A 、C 、B 成等差数列，∴π==++C B C A 3，即3π=C ，又()()A C B A C +-==-cos cos sin ,∴A A A A cos 21sin 23sin 21cos 23-=-，解得A A cos sin =，则1tan =A ，∵()π,0∈A ，∴4π=A ，∴()4622322212234sin sin sin +=⨯+⨯=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=ππC A B ，又22=a ，∴由正弦定理有A a C c sin sin =，即222223=c ，解得32=c ，∴△ABC 的面积为33462322221sin 21+=+⨯⨯⨯==∆B ac S ABC .16.45（1.25）解析：∵等差数列{}n a 的公差为32π，∴ππ23233+=⨯+=+n n n a a a ，∴()()n n n a a a sin 2sin sin 3=+=+π，∴数列{}n a sin 是周期为3的数列，又{}b a S ,=，故1sin a ，2sin a ，3sin a 中必有两者相等，不妨设()31sin sin ≤<≤=j i a a j i ，则Z k k a a j i ∈+=,2π（舍）或Z k k a a j i ∈+=+,2ππ，而π32=+-j i a a 或π34=+-j i a a ，若π32=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+=,6ππ，Z k k a j ∈+=,65ππ，连续三个中第三数为Z k k a i ∈+=,23ππ或Z k k a i ∈+-=,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .若π34=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+-=,6ππ，Z k k a j ∈+=,67ππ，此时这两个数的中间数Z k k ∈+,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .综上，4541122=+=+b a .三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+++4536996111d a d a d a ，解得⎩⎨⎧==111d a ，∴n a n =.（2）由（1）得nn n b 2⋅=，nn n T 2222121⋅++⨯+⨯= ，132222212+⋅++⨯+⨯=n n n T ，两式相减得：()()()2212121222222211132-⋅-=⋅---=⋅-++++=-+++n n n n nn n n n T ∴()2211+-=+n n n T .18.解：（1）证明：取AB 中点M ，连接MF 、MC ，则MF ∥AE ，且CD AE MF ===121.又∵AE ∥CD ，∴MF ∥CD ，即四边形MFDC 为平行四边形，∴DF ∥MC .又有⊄DF 平面ABC ，⊂MC 平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .（2）∵⊥AE 平面ABC ，⊂AE 平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面ABC ，∵ABC ∆时是正三角形，G 为AB 中点，∴AB CG ⊥，又∵平面ABE ∩平面ABC AB =，⊂CG 平面ABC ，∴⊥CG 平面ABE .∵DF ∥CG ，∴⊥DF 平面ABE ，易知，322=-==BG BC CG DF ,又1122121=⨯⨯=⨯⨯=∆FG AB S ABF ，∴3331=⋅==∆--DF S V V ABF ABF D ABD F .19.解：（1）由题意抽取120人中25周岁以上（含25周岁）有80200100200120=⨯+人，25周岁以下有40100100200120=⨯+人，则25周岁以上（含25周岁）中日平均生产件数不低于90件的有410005.080=⨯⨯人，25周岁以下中日平均生产件数不低于90件的有210005.040=⨯⨯人，则至少抽到一名“25周岁以下”工人的概率为5326121422=+C C C C ；（2）由题意25周岁以上中的“生产能手”有()201002.0005.080=⨯+⨯人，25周岁以下中的“生产能手”有()15100325.0005.040=⨯+⨯人.列联表如下：∴没有90％的把握认为“生产能手”与“工人所在的年龄组”有关.20.解：（1）函数()1ln +=x x x f 的定义域为()∞+，0，()2ln 1x x x f -='，令()0>'x f ，解得e x <<0，令()0<'x f ，解得e x >，∴函数()x f 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减，∴()x f 的极大值为()11+=e ef ，无极小值.（2）若证()x e x f x 1-≤，即证x e x x x 11ln -≤+，即证01ln ≤+-+x xe x x ，设()()0,1ln >+-+=x xe x x x h x ，则()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-+='x x e x x e x x x h 11111，令()()0,1>-=x e x x t x ，则()012<--='x e x x t 恒成立，∴()x e xx t -=1在()+∞,0上单调递减，又0221>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛e t ，()011<-=e t ，∴存在唯一⎪⎭⎫⎝⎛∈1,210x ，使得()0001x e x x t -=，∴当()0,0x x ∈时，()0>x t ，则()0>'x h ，函数()x h 单调递增，当()+∞∈,0x x 时，()0<x t ，则()0<'x h ，函数()x h 单调递减，∴()()0111ln 000000max 0=+-+-=+++==x x e x x x x h x h x ，∴()xe xf x 1-≤.21.解：（1）∵()0,4y P 在抛物线E ：()022>=p px y 上，且P 到E 的焦点F 的距离为5，即5=PF ，∴524=+p ，解得2=p .∴E 的标准方程为x y 42=.（2）（i ）由（1）得P 点坐标为()4,4，由题知直线AB 斜率不为0，设直线AB 为b my x +=，联立⎩⎨⎧+==bmy x x y 42，得0442=--b my y ，()()01616424422>+=-⨯⨯--=∆b m b m ，即02>+b m ，设()()2211,,,y x B y x A ，则m y y 421=+，b y y 421-=，4211y x =，4222y x =，∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4,44121y y P A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4,44222y y PB ，PB P A ⊥，∴()()0444444212221=--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅y y y y PB P A ，即()()()()044161616212221=--+--y y y y ，整理得()()[]()()04416442121=--+--y y y y ，∵B A ,为抛物线E 上异于P 的两点，∴()()04421≠--y y ，∴()()0164421=+--y y ，即()03242121=+++y y y y ，∴032164=++-m b ，得84+=m b ，代入b my x +=得84++=m my x ，即()48+=-y m x ，∴直线AB 过定点()48-，.（ii ）由抛物线定义可得：()()111212121+++=++=⋅x x x x x x FB F A ，()1424144162122122122212221+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=y y y y y y y y y y 12422+++=b m b ，又∵84+=m b ，∴()()8172201842484222++=+++++=⋅m m m m m FB F A ，由二次函数性质可知，当59-=m 时，FB F A ⋅取得最小值581.此时5484=+=m b ，05416258116>⨯+⨯=∆，故FB F A ⋅取得最小值581.22.解：（1）将θρcos =x ，θρsin =y 代入()0≥=x x y 得θρθρcos sin =，∴1tan =θ，∴射线l 的极坐标方程为04≥=ρπθ，，将θρcos =x ，θρsin =y 代入1422=+y x 得()()1sin 4cos 22=+θρθρ，∴曲线C 的极坐标方程为θρ22sin 314+=（2）由题可知，可以设⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,4,21πρπρQ P ，，则584sin 314221=+=πρ，5843sin 314222=+=πρ，∴510221==ρρ，∴542sin 2121==∆πρρPOQ S .23.解：（1）由题意可得()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤-=21,42121,221,4x x x x x x f ，不等式()3≥x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-2134x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥2134x x ，解得43-≤x 或43≥x .即不等式()3≥x f 的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，4343 .（2）由（1）可知，函数()x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21，上单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21上单调递增，且22121=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，即函数()x f 在最小值2=m ，即232=++c b a .()()c b c b c b c c b c b c a +++-=+++--=+++222211322111()()()[]c b c b c b c b +++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=121121，∵()022>+-=+c b c a ，∴10<+<c b .令()1,0,∈+=t c b t ，则()t t t t c b c a +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++12112111()()2231212321121321+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=t t t t t t t t ，当且仅当()t t t t -=-121，即22-=t 时，取等号.即c b c a +++11的最小值为223+.。

自贡市普高2025届第一次诊断性考试数学试题本试卷共4页19题.全卷满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3，非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.在复平面内，复数，，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列函数是偶函数的是（ ）A. B. C. D.4.已知，则（ ）A. B. C. D.5.同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上点数，设两枚骰子朝上点数分别是，，设，则的概率为（ ）A. B. C. D.6.已知，且与的终边关于y 轴对称，则的最大值为（ ）A. B. C.0 D.17.根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型2{3}A x x=<{2,1,0,1,2}B =--A B = {1,0}-{0,1}{1,0,1}-{1,1}-1z 2z (2,3)OA =- (3,2)OB =- 212z z z -2cos y x x=-2e x y x =-2log )y x =-sin 4y x x =+πtan()24α-=-cos cos sin ααα=+32-12-12321X 2X 1min{,X η=2}X 2η=113614736536ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦αβcos β12-y x ()0,()bx a e E e D e γσ=++⎧⎨==⎩ˆˆy bx =，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ）A. B.C. D.8.已知空间直角坐标系中的点集，对任意，，，都存在不全为零的实数，，满足.若，则的一个充分条件是（ ）.A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分.9.函数，（，，），若在区间单调递减，且，下列正确的是（ ）A. B.在区间单调递增C.函数的最小正周期为2 D.图象的对称轴是10.不相同的数列与，且都不为常数数列，，则下列正确的是（ ）A.数列，均为等差数列，则M 中最多一个元素；B.数列为等差数列，为等比数列，则M 中最多两个元素；C.数列单调递增，数列单调递减，则M 中最多一个元素；D.数列，均为等比数列，则M 中最多三个元素.11.已知定义在R 上的函数满足，且是奇函数，则（ ）A.B.ˆa+O xyz -Ω1P 2P 3P ∈Ω1λ2λ3λ1122330OP OP OP λλλ++= (0,2,0)∈Ω(2,0,0)∉Ω(0,0,0)∈Ω(2,0,0)-∈Ω(0,2,0)-∈Ω(0,0,2)∈Ω()sin()(R)f x A x x ωϕ=+∈0A >0ω>π02ϕ<<()f x 1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()(0)(1)3f f f ==-π3ϕ=()f x 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x ()f x 76x =-{}n a {}n b {}k k M k a b =={}n a {}n b {}n a {}n b {}n a {}n b {}n a {}n b ()f x (3)(1)(2024)f x f x f +++=(21)f x +(3)(1)f f =-(2)1f =C.的图象关于点对称D.若，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在多项式的展开式中，的系数为16，则________.13.高为8的正四棱锥的顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的表面积为________.14.曲线上两点A 、B 关于直线对称的点、在曲线上，则的取值范围是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，B 为钝角，.（1）求B ；（2）从以下①②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积.①；②16.（15分）数列的前n 项和（1）求数列的通项公式；（2）设，，恒成立，求的取值范围.17.（15分）如图平面ABCD ，，，（1）若平面PBC ，证明：；（2）若，，求平面PBD 和平面PDC 夹角的余弦值.18.（17分）已知函数.（1）时，判断函数的零点个数；()f x (1,0)11(22f =100211()22i i f i =-=-∑5(3)(1)x a x --5x a =P ABCD -x y e =y x =A 'B '2y kx x =-k ABC △7b =sin 2A A a =ABC △5c =sin A ={}n a 212n S n ={}n a 12231111n n n T a a a a a a +=++⋯+*n ∀∈N 492n n T a λ-≤λPA ⊥4PA AC ==2BC =AB =//AD AD PB ⊥2AD =π6ACD ∠=21()ln (0)2f x x a x a =+>1a =()f x（2）设，若函数有两个极值点，，（，），比较与的大小并说明理由.19.（17分）某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行.（1）求乙同学第2局赢的概率；（2）记甲同学第i 局赢的概率为；（i ）求（ii ）若存在i ，使成立，求整数k 的最小值.()()2g x f x x =-()g x 1x 2x 10x >20x >12)()(g x g x +3-121312i P iP ln(1)0i P i e P k -++≥2025届“一诊”数学参考答案一、选择题（40分）1.C2.C3.A4.D5.B6.B7.A8.D二、多选题（18分）9.ABC 10.AC 11.ACD三、填空题（15分）12.1 13.128 14.四、解答题（77分）15.（1）由题意得，由正弦定理得，解得因为B 为钝角，所以.选择①则由正弦定理得，解得由题知C 为锐角，则则则选择②，则代入，解得，由题知A 为锐角，则则16.（1）（2）.所以(0,1)sin A =7sin sin sin b a B A B ===sin B =2π3B =5c =sin sin a c AC =5sin C =sin C =11cos 14C ==2π2π2πsin sin()sin()sin cos cos sin 333A B C C C C =+=+=+111()142=-=11sin 7522ABC S bc A ==⨯⨯=△sin A =sin A a =3a =13cos 14A ==2π2π2πsin sin()sin()sin cos cos sin 333C A B B B B =+=+=+131()142=+-=11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯=△1(21)2n a n =-114112((21)(21)2121n n a a n n n n +==--+-+11111142(12(133521212121n n T n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++由不妨设，而，，.故而，因此.17.（1）因为平面ABCD ，而平面ABCD ，所以，又，，，，所以平面PAB ，因为平面PBC ，平面平面，所以所以平面PAB 而平面PAB ，因此.（2）由，，，由（1）知，所以四边形ABCD 为矩形.建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，，设平面PBD 的法向量为，则，设平面PCD 的法向量，则，平面PBD 和平面PDC.49n n T a λ-≤49(21)(248)124(249)42n n a n n n T n n λ+++∴≤==++*124()(249)(N )2f n n n n=++∈242n n +≥=242n n=*N n =min ()f n f ≠63(3)(4)2f f ==min 63()2f n ∴=63,2λ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦PA ⊥BC ⊂PA BC ⊥4AC =2BC =AB =BC AB ∴⊥AB PA A = BC ⊥//AD ABCD PBC BC =//AD BCAD ⊥AB ⊂AD PB ⊥ACD △222416AD CD ==+-CD ∴=AB CD ∴==2AD BC ==BC AB ⊥A xyz -(0,0,4)P B 2,0)C (0,2,0)D (0,24)PD =- 4)PB =- 24)PC =- 1(,,)n a b c = 1124040n PD b c n PB c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 1(2,n = 2(,,)n x y z = 22240240n PD y z n PC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 1(0,2,1)n = 121212cos ,n n n n n n ⋅====18.（1），，，单增又，，因此函数只有1个零点.（2），由函数有两个极值点，，（，）知方程有两个正根，，，而不妨令，则，，，，，为极大值点为极小值点则，故在单减，.所以.19.（1）记第次甲赢的事件为，乙赢的事件为（2）（i ）由题意可知构造等比数列，设，解得，，又是以为首项，为公比的等比数列，（ii ）设函数，，.在单调递增，又，在单调递增由（i ）知为奇数时，，随着增大而减小，21()ln (0)2f x x x x =+>1()0f x x x'=+>(0,)x ∴∈∞()f x 1(1)02f =>211()102f e e =-<()f x 011(,)2x e ∈21()ln 2(0)2g x a x x x x =+->22()0x x a g x x -+'==()g x 1x 2x 10x >20x >220x x a -+=1x 2x 124400a x x a ∆=->⎧∴⎨=>⎩01a ∴<<122x x +=1201x x <<<1(0,)x x ∈()0g x '>12(,)x x x ∈()0g x '<2(,)x x ∈∞()0g x '>1x ∴2x 212121212121()()3ln ()23()(2)h a g x g x a x x x x x x x x =++=++--++()ln 1(01)h a a a a a =-+<<()ln 0h a a '=<()h a (0,1)()(1)0h a h ∴>=12()3()g x g x +>-i i A iB 21212121121)()()()()()(()P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+12117232212=⨯+⨯=1)11111326(2i i i i P P P P +=+-=-{}i P λ+11()6i i P P λλ++=-+37λ=-1313()767i i P P +∴-=--112P = 37i P ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭11416-1311()7146i i P -∴-=⨯-1311()7146i i P -=+⨯-()ln(1)x f x e x k =-++1()1x f x e x '=-+21()()01x f x e x ''=+>+()f x '∴(1,)-+∞(0)0f '= ()f x ∴(0,)+∞1311()7146i i P -=+⨯-i 1311(7146i i P -=+⨯i P i 3172i P <≤为偶数时，，随着增大而增大，若存在，使成立，即.，，.，i 1311(7146i i P -=-⨯i P i 53127i P ≤<i ln(1)0i P i e P k -++≥max ()0i f P≥12max 11()()ln(1)022i f P f e k ==-++≥3ln 2k ∴≥1.6< 32ln 0.6ln 025e -=>3ln 202+>32ln 12∴-<-<-min 1k =-。

泸县高2022级高三上期第一次诊断性考试数学试题（答案在最后）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第II 卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知全集U =R ，集合{|11}A x x =-<，{|1B x x =<或4}x ≥，则()U A B =ð（）A.{|12}x x <<B.{|04}x x <<C.{|12}x x ≤<D.{|04}x x <≤【答案】B 【解析】【分析】根据并集、补集的定义进行计算得出结果.【详解】由{|1B x x =<或4}x ≥得{|14}U B x x =≤<ð，又{{|11}|02}A x x x x =-<=<<，所以(){|04}U x A x B =<< ð.故选：B.2.命题“(),1x ∃∈-∞，3210x x +-<”的否定是（）A.[1,]x ∃∈+∞，3210x x +-≥B.(),1x ∃∈-∞，3210x x +-≥C.[1,]x ∀∈+∞，3210x x +-≥D.(),1x ∀∈-∞，3210x x +-≥【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“(),1x ∃∈-∞，3210x x +-<”的否定是“(),1x ∀∈-∞，3210x x +-≥”.故选：D.3.已知sin 4πsin 3αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.-B. C.32D.233【答案】D 【解析】【分析】由正弦展开式和三角函数化简求值得出.【详解】sin 4π31sin 322αα==⎛⎫- ⎪⎝⎭，422=，所以tan 2tan αα=，解得tan 3α=．故选：D4.已知tan θ=，则cos2θ=（）A.89-B.89 C.79-D.79【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角公式，结合正余弦齐次式法计算即得.【详解】由tan θ=，得22222222cos sin 1tan 7cos2cos sin cos sin 1tan 9θθθθθθθθθ--=-===-++.故选：C5.将函数()cos3f x x =的图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一条对称轴方程是（）A.π2x =B.π3x =C.π9x =D.π18x =【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图象变换及诱导公式结合三角函数的性质即可判定.【详解】由题意得()ππcos 3cos 3sin 362g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦显然由()()πππ3πZ Z 263k x k k x k =+∈⇒=+∈，当1k =时，π2x =是其一条对称轴，而B 、C 、D 三项，均不存在整数k 满足题意.故选：A6.{}n a 为等差数列，若11100a a +<，1190a a +>，那么n S 取得最小正值时，n 的值（）A.11B.17C.19D.21【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的性质可得10110,0a a ><，从而得0d <，由1()2n n n a a S +=，结合条件得到19200,0S S ><，即可求解．【详解】因为11100a a +<，1191020a a a +=>，所以10110,0a a ><，故等差数列{}n a 的公差0d <，又1()2n n n a a S +=，又11120100a a a a +=+<，1191020a a a +=>，得到1202020()02a a S +=<，1191919()02a a S +=>，所以n S 取得最小正值时，n 的值为19，故选：C.7.如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE xAD y AP x y =+∈R uu u r uuu r uu u r，则2x y +的最小值为（）A.1-B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设00(,)P x y ，利用坐标法将,x y 用P 点坐标表示，即可求出2x y +的最小值.【详解】以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设2AB =，00(,)P x y ，则(0,0)A ，(0,2)D ，(2,1)E ，半圆的方程为22(1)1(0)x y y -+=≥，所以(2,1)AE = ，(0,2)AD = ，00(,)AP x y =，因为(,)AE xAD y AP x y =+∈R uu u r uuu r uu u r，即00(2,1)(0,2)(,)x y x y =+，所以00212yx x yy =⎧⎨=+⎩，即0002221y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以01212y x y x -+=+⋅，又00(,)P x y 是半圆上的任意一点，所以01cos x θ=+，0sin y θ=，[0,]θπ∈，所以1sin 2121cos θx y θ-+=+⋅+，所以当2πθ=时，2x y +取得最小值1.故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查二元变量的最值求法，关键是根据已知把几何图形放在适当的坐标系中，把有关点与向量用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.8.已知函数ln ,0()ln(),0ax x x f x ax x x ->⎧=⎨+-<⎩，若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 的直线的斜率为k ，若02e k <≤，则实数a 的取值范围为（）A.1,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B.1,2e⎛⎤ ⎥⎝⎦C.(e,2e]D.12,2e⎛+⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】【分析】当0x >时，求导，根据()f x 有两个极值点可得0a >，由奇函数的定义可得()f x 为奇函数，不妨设210x x =->，则有21x a =，所以1,1ln B a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()1,1ln A a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.由直线的斜率公式k 的表达式，可得1(1ln ),e k a a a =+>，令1()(1ln ),e h a a a a =+>，利用导数可得()h a 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又由10,(e)2e e h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，根据单调性可得实数a 的取值范围.【详解】当0x >时，函数()ln f x ax x =-的导数为()11ax f x a x x-'=-=，由函数()f x 由两个极值点得0a >.当10x a<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x a>时，()0f x '>，()f x 单调递增.故当0x >时，函数()f x 的极小值点为1x a=.当0x <时，则0x ->，则()()()()()ln ln f x a x x ax x f x -=---=-+-=-⎡⎤⎣⎦，同理当0x >时，也有()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数.不妨设210x x =->，则有21x a =，所以1,1ln B a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，可得()1,1ln A a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，由直线的斜率公式可得2121()()(1ln ),0f x f x k a a a x x -==+>-，又0,1ln 0k a >+>，所以1e >a .设()1(1ln ),eh a a a a =+>，得()2ln 1(1ln )0h a a a =+=++>'，所以()h a 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又由10,(e)2e e h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由02e k <<，得()1()e e h h a h ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，所以1e ea <≤.故选:A.【点睛】对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),12,-∞+∞ ，则（）A.0a >且0c >B.不等式0bx c +>的解集是23x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C.0a b c -+>D.不等式20cx bx a ++<的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】由题意可知>0且1和2是方程B 2+B +=0的两个根,根据韦达定理可得3,2b a c a =-=，由此易判断A,将b c 、替换成a ，由此可求B 、D ，结合二次函数的图象可以判断C.【详解】 关于的的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),12,∞∞-⋃+,0a ∴>且1和2是方程B 2+B +=0的两个根,12123,2b cx x x x a a∴+=-===，3,2b a c a ∴=-=对A,0,20a c a >∴=> ，故A 正确.对B,3,2,0b a c a bx c =-=∴+> 可化为320ax a -+>0320a x >∴-+> ,解的23x <,∴不等式0bx c +>的解集为23x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，故B 错误.对C,0a > ，1和2是方程B 2+B +=0的两个根,且二次函数=B 2+B +开口向上,∴当=−1时，0y >，即0a b c -+>，故C 正确.对D ，不等式20cx bx a ++<可化为2230ax ax a -+<,202310a x x >∴-+< ,即()()2110x x --<，解得112x <<，∴不等式20cx bx a ++<的的集为1{1}2x x <<∣，故D 正确.故选：ACD10.已知函数2()log (1)f x x =-，若12x x ＜，12()()f x f x =，则（）A.122x x ＜＜B.122x x ＜＜ C.12111x x +=D.1223x x ++＞【答案】ACD 【解析】【分析】作出函数2()log (1)f x x =-的图象，根据12x x ＜，12()()f x f x =，结合函数图象逐项判断.【详解】作出函数2()log (1)f x x =-的图象，如图所示：因为12x x ＜，12()()f x f x =，由图象可知：12122,x x <＜＜，故A 正确；B 错误；由12()()f x f x =，得2122log (1)log (1)x x -=-，即2122log (1)log (1)x x --=-，所以12(1)(1)1x x --=，即1212x x x x =+，所以12111x x +=，故C 正确；因为121223(1)2(1)2x x x x +=-+-≥-12(1)2(1)x x -=-时，等号成立，因为12x x ＜，所以122(1)12(1)x x x -<-<-，所以取不到等号，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题关键是将12()()f x f x =转化为12(1)(1)1x x --=而得解.11.已知数列{}n a 满足11a =，211n n a a +=+，则（）A.2n a n≥ B.12n n a -≥C.12161n n a -≥+ D.122log 4n n a -≥【答案】BCD 【解析】【分析】先证明{}n a 是递增数列，且各项均为正，由递推公式求得234,,a a a 发现A 错误，然后由递推关系利用基本不等式变成不等式2n n a a ≥，让n 依次减1进行归纳得出B 正确，由递推式适当放缩得222421()n n n n a a a a ++>>=，这样对2n a 进行归纳得出21444222242()()()n n n n a a a a --->>>> 142n -=，此不等式两边取以2为底的对数可证明选项D ，对142n -由指数幂运算法则变形为1244216n n --=，然后证明241n n ->-，再结合{}n a 是正整数可得证C ．【详解】221131()024n n n n n a a a a a +-=-+=-+>，∴1n n a a +>，{}n a 是递增数列，又11a =，所以0n a >，22a =，35a =，426a =，233a <，A 显然错误；2211112222n n n n n n a a a a a +-=+≥≥≥≥= ，∴12n n a -≥，B 正确；对选项C ，222421()n n n n a a a a ++>>=，∴244442222424()()n n n n a a a a --->>=，依此类推：21444222242()()()n n n n a a a a --->>>> 142n -=，1244216n n --=，下证241n n -≥-，1n =时，140-≥，2n =时，0411=≥，3n =时，242>，假设n k =时，241k k -≥-成立，2k >，则1n k =+时，1224444(1)(1)1k k k k +--=⋅≥->+-，所以对任意不小于3的正整数n ，241n n ->-，所以24121616n n n a --=>，又2n a 是正整数，所以12161n n a -≥+，C 正确；对选项D ，由选项C 得1422n n a -≥，所以141222log log 24n n n a --≥=，D 正确．故选：BCD ．第II 卷（非选择题共92分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.（2）本部分共8个小题，共92分.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知函数()2log ,02,12,2,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩则()()3f f =______.【答案】1【解析】【分析】结合分段函数解析式，由内向外计算即可.【详解】由题意得()1133222f =-⨯+=，211log 122f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以((3))1f f =，故答案为：1.13.计算：14cos10tan10-=____________【解析】【分析】切化弦，通分后结合二倍角和两角和差正弦公式可化简求得结果.【详解】1cos10cos104sin10cos10cos102sin 204cos104cos10tan10sin10sin10sin10---=-==()cos102sin 3010cos10cos103sin103sin10sin10sin10sin10---+====.14.已知函数2()(1)ln 2x f x mx x mx =-+-，函数()()g x f x '=有两个极值点12,x x ．若110,e x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()()12g x g x -的最小值是______.【答案】4e【解析】【分析】求导后可知12,x x 是方程210x mx ++=在()0,∞+上的两根，结合韦达定理可得211x x =，111a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；将()()12g x g x -化为11111112ln 2x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()11122ln 0e h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+<≤ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用导数可求得()min h x ，从而得到结果.【详解】因为2()(1)ln 2x f x mx x mx =-+-，令()()g x f x '=()11ln ln 0mx m x x m m x x x x x-=++-=+->，因为()222111m x mx g x x x x++=++='，()g x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是方程210x mx ++=在()0,∞+上的两根，所以12x x m +=-，121x x =，所以211x x =，111m x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()()1211221211ln ln g x g x m x x m x x x x -=+---+111111*********ln ln 2ln 2m x x m x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+-+=-++- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，设()11122ln ,0e h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+<≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()()()222221122122ln 21ln x x h x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫'=+---+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当10,e x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0h x '<，所以()h x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 11142e 2e e e e eh x h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()12g x g x -的最小值为4e .故答案为：4e.【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数最值的问题；本题求解最值的基本思路是将多个变量统一为关于一个变量的函数的形式，通过构造函数将问题转化为函数最值的求解问题.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，π02ϕ<<）的最小正周期为π，且___________.①点π,112⎛⎫⎪⎝⎭在函数()y f x =的图象上；②函数()f x 的一个零点为π6-；③()f x 的一个增区间为5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭.请你从以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给分），补充完整题目，并求解下列问题：（1）求()f x 的解析式；（2）用“五点作图法”画出函数()f x 一个周期内的图象.【答案】（1）无论选哪个条件，函数()f x 的解析式均为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）答案见解析【解析】【分析】（1）若选①，则ππsin 211212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若选②，则ππsin 063f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若选③，则5ππππ,,6622ϕϕ⎛⎫⎛⎫-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此求出分别求出ϕ即可得解.（2）直接用“等距法”按照五点画图的步骤作图即可.【小问1详解】由题意最小正周期为2ππ,>0T ωω==，解得2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，若选①，则ππsin 211212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π,Z 62k k ϕ+=+∈，又π02ϕ<<，所以π0,3k ϕ==，所以函数()f x 的解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；若选②，则ππsin 063f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,Z 3k k ϕ-+=∈，又π02ϕ<<，所以π0,3k ϕ==，所以函数()f x 的解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；若选③，即()f x 的一个增区间为5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭，当5ππ,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，5ππ2,66t x ϕϕϕ⎛⎫=+∈-++ ⎪⎝⎭，又π02ϕ<<，由复合函数单调性可知，只能5ππππ,,6622ϕϕ⎛⎫⎛⎫-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π3ϕ=，所以函数()f x 的解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；综上所述，无论选哪个条件，函数()f x 的解析式均为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】列表如下：xπ6-π12π37π125π6π23t x =+π2π3π22π()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0101-0描点、连线（光滑曲线）画出函数()f x 一个周期内的图象如图所示：16.已知定义在R 上的函数1()1xxa f x a-=+（0a >且1a ≠）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若1(1)2f =-，试判断函数()f x 的单调性并加以证明；并求()10f x m +-=在[2,3]-上有解时，实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 为奇函数，理由见解析（2）()f x 为减函数，证明见解析；51914,m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先判断函数的奇偶性，再利用定义证明即可.（2）求出参数值得到原函数，再转化为交点问题求解参数范围即可.【小问1详解】()f x 为奇函数对任意x ∈R ，都有R x -∈，且该函数的定义域为R ，显然关于原点对称，可得1111()()01111x x x x x x xx a a a a f x f x a a a a ------+-=+=+=++++.()f x ∴为奇函数.【小问2详解】当1(1)2f =-时，可得2111a a -+=-，解得3a =，此时13()13xxf x -=+在R 上为严格减函数，证明如下：任取21x x >，且12,R x x ∈，则()()21212113131313x x x x f x f x ---=-++()()()()()12121122123(13)(13)(13)(13)2131313133x x x x x x x x x x -+--++++=+-=，21x x > ，21330x x >>，()()210f x f x ∴-<，()f x ∴在R 上为严格减函数，而413(2),(4)513f f -=-=-，13()13x xf x -∴=+在[2,3]-上的值域为13,5414⎡⎤-⎢⎣⎦，要使()10f x m +-=在[2,3]-上有零点，此时等价于y m =与()1y f x =+在[2,3]-上有交点，而当[2,3]x ∈-时，可得()1,,51914f x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故51914,m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.17.在ABC V中，已知)tan tan tan tan 1A B A B +=-.（1）求C ；（2）记G 为ABC V 的重心，过G 的直线分别交边,CA CB 于,M N 两点，设,CM CA CN CB λμ==.（i ）求11λμ+的值；（ii ）若CA CB =，求CMN 和ABC V 周长之比的最小值.【答案】（1）π3C =（2）（i ）3（ii ）23【解析】【分析】（1）借助三角形内角关系及两角和的正切公式化简并计算即可得；（2）（i ）设D 为AB 的中点，结合重心的性质及向量运算可得1133CG CM CN λμ=+，再利用三点共线定理即可得解；（ii ）由题意可得ABC V 为等边三角形，可设其边长为1，则可用,λμ表示两三角形周长之比，结合（i ）中所得与基本不等式即可得解.【小问1详解】由题可知()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A BC A B A B A B+=--=-+=-=-又()0,πC ∈，所以π3C =；【小问2详解】（i ）设D 为AB 的中点，则1122CD CA CB =+，又因为23CG CD =，所以11113333CG CA CB CM CN λμ=+=+ ，因为,,M G N 三点共线，所以11133λμ+=，所以113λμ+=；（ii ）由CA CB =，π3C =，可得ABC V 为等边三角形，设ABC V 的边长为1，CMN 与ABC V 周长分别为12,C C ，则23C =，MN =，所以1C λμ=+所以12C C =由113λμ+=可得，3λμλμ=+≥λμ=时等号成立），解得49λμ≥，易知函数y x x =+=+4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以124293C C λμ=≥+=，所以CMN 和ABC V 的周长之比的最小值为23.18.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，5462,,4a a a 成等差数列，且满足2434a a =，等差数列数列的前n 项和244,6,10n S b b S +==.（1）求数列{}n a 和的通项公式；（2）设{}*252123,,n n n n n n b d a n d b b +++=∈N 的前n 项和n T ，求证：13n T <．（3）设()()n n n n b n c a b n ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和.【答案】（1）1()2nn a =；n b n=（2）证明见解析（3）2868994nn n ++-⋅【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，等差数列的公差为d ，根据题意，列出方程组，分别求得11,,,a q b d 的值，即可求得数列{}n a 和的通项公式；（2）由（1）求得111(21)2(23)2[]2n n n d n n +-=+⋅+⋅，结合裂项法求和，求得数列{}n d 的前n 项和113(23)2n nT n =-+⋅，即可得证；（3）根据题意，求得数列{}n c 的通项公式，结合等差数列的求和公式和乘公比错位法求和，即可求解.【小问1详解】解：由等比数列{}n a 的各项均为正数，设公比为(0)q q >，因为5462,,4a a a 成等差数列，且满足2434a a =，可得4562432244a a a a a =+⎧⎨=⎩，即()3451112321124a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，即211214q q a q ⎧=+⎨=⎩，解得111,22a q ==，所以1111()(222n nn a -=⋅=，设等差数列的公差为d ，因为2446,10b b S +==，可得112464610b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得11b d ==，所以1(1)1n b n n =+-⨯=，即数列的通项公式为n b n =.【小问2详解】证明：由（1）知1()2nn a =，n b n =，可得252123125111()(21)(23)2(21)2(23)22n n n n n n n n b d a b b n n n n n +++++=⋅-+++⋅+⋅=，则()()11111111123254547878916212232n n n T n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦111112[]6(23)23(23)2n nn n +=⋅-=-+⋅+⋅，因为10(23)2n n >+⋅，所以1113(23)23n n -<+⋅，故13nT <.【小问3详解】解：因为()()n n n n b n c a b n ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数，可得,1,2n n n n c n n ⎧⎪=⎨⎛⎫⋅⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数，则数列{}n c 的前2n 项和2111(1321)(242)4162n n M n n =+++-+⋅+⋅++⋅ ，令()2(121)13212n n n U n n +-=+++-== ，令21112424162n n V n =⋅+⋅++⋅ ，则221111242416642n n V n +=⋅+⋅++⋅ ，两式相减得21222211(1)3111111242214283222214n n n n n V n n -++⋅-=++++-⋅=-⋅- 21212141112341()3222332n n n n n ++++=⋅--⋅=-⋅，所以8681868994994n n nn n V ++=-⋅=-⋅，所以数列{}n c 的前2n 项和2868994n n n nn M U V n +=+=+-⋅.19.已知函数()()()ln 3cos 2f x x x =-+-的图象与()g x 的图象关于直线1x =对称.（1）求函数()g x 的解析式；（2）若()1g x ax -≤在定义域内恒成立，求a 的取值范围；（3）求证：()2*11ln 2ni n g n n i =+⎛⎫<+∈ ⎪⎝⎭∑N .【答案】（1）()()ln 1cos g x x x =++（2）1（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两函数关于1x =对称求解析式即可；（2）先探求1a =时成立，再证明当1a =时恒成立，证明过程利用导数求出函数极大值即可；（3）根据（2）可得111g i i ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，转化为211111112212ni n g n i n n n n =+⎛⎫⎛⎫≤+++++ ⎪⎪++-⎝⎭⎝⎭∑ ，再由()11ln ln 1ln 1n n n n n+<=+-+，累加相消即可得证.【小问1详解】设()g x 图象上任意一点00(,)P x y ，则其关于直线1x =的对称点为00(2,)P x y '-，由题意知，P '点在函数()f x 图象上，所以()()()000002ln 1cos y g x f x x x ==-=++，所以()()ln 1cos g x x x =++.【小问2详解】不妨令()()1ln(1)cos 1(1)h x g x ax x x ax x =--=++-->-，则()0≤h x 在(1,)-+∞上恒成立，注意到(0)0h =且()h x 在(1,)∈-+∞x 上是连续函数，则0x =是函数()h x 的一个极大值点，所以(0)0h '=，又()1sin 1h x x a x '=--+，所以()010h a ='-=，解得 1.a =下面证明：当1a =时，()0≤h x 在()1,x ∞∈-+上恒成立，令()()()ln 11x x x x ϕ=+->-，则()1111x x x x ϕ-=-='++，当(1,0)x ∈-时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；当(0,)x ∈+∞时，()0,()x x ϕϕ'<单调递减，所以()(0)0x ϕϕ≤=，即ln(1)x x +£在(1,)∈-+∞x 上恒成立，又cos 10x -≤，所以()0≤h x ，综上，1a =.【小问3详解】由（2）知，()1g x x -≤，则111g i i ⎛⎫-≤⎪⎝⎭，111g i i⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，211111112212ni n g n i n n n n =+⎛⎫⎛⎫∴≤+++++ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭∑ ，又由（2）知：ln(1)x x +£在(1,)-+∞恒成立，则ln 1≤-x x 在0,+∞上恒成立，当且仅当1x =时取等号，则令()*0,1,N 1nx n n =∈∈+，则1<1ln 1n n n +-+，()11ln ln 1ln .1n n n n n +∴<=+-+()()()()()111ln 1ln ln 2ln 1ln 2ln 21ln 2.122n n n n n n n n n∴+++<+-++-+++--=++ ()2*11ln 2ni n g n n i =+⎛⎫∴<+∈ ⎪⎝⎭∑N ，证毕.【点睛】关键点点睛：在证明第（3）问时，关键应用（2）后合理变形，得到211111112212ni n g n i n n n n =+⎛⎫⎛⎫≤+++++ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭∑ ，再令()*0,1,N 1n x n n =∈∈+，利用（2）中式子得()11ln ln 1ln 1n n n n n+<=+-+，能够利用累加相消是证明的关键.。

（本试卷共3页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

） 2024.深圳市高级中学2025届高三第一次诊断考试数学10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．已知集合{}2,1,0,1,2,3U =−−，{}1,2A =，{}1,0,1B −，则()U A B = （ ）A ．{}2,3−B ．{}2,2,3−C ．{}2,1,0,3−−D ．{}2,1,0,2,3−−2．1e ，2e是平面内不共线两向量，已知12AB e ke =− ，122CB e e =+ ，123CDe e =− ，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值是（ ） A ．2−B ．2C ．3−D ．33．若α是第三象限角，且()()5sin cos cos sin 13αββαββ+−+=−，则tan 2α的值为（ ）A ．5−B ．5C ．513−D ．5134．已知函数()f x 的定义域为[]2,2−，则函数()()1f x F x x+=的定义域为（ ）A ．[]1,3−B ．[]3,1−C ．[)(]1,00,3−D ．[)(]3,00,1−5．已知函数()()22ln 3f x x ax a =−−在[)1,+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1−∞−B ．(),1−∞−C ．(],2−∞D ．()2,+∞6．已知平面向量1e 和2e 满足2122e e == ，2e 在1e 上的投影向量为1e − ，则1e 在2e 上的投影向量为（ ）A ．212e −B ．12−C ．214e −D ．2e −7．已知关于x 不等式()()20x ax b x c−+≥−的解集为(](],21,2−∞− ，则（ ）A ．2c =B ．点(),a b 在第二象限C ．22y ax bx a =+−的最大值为3aD ．关于x 的不等式20ax ax b +−≥的解集为[]2,1−8．已知0a >，1x ，2x 分别是函数()e xf x x a =−与()ln xg x a x=−−的零点，则1212e a x x x −的最大值为（ ）A ．2B ．22e C ．24e D ．28e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

卜人入州八九几市潮王学校高中2021级第一次诊断性考试数学〔文科〕参考解答及评分意见一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．DABBCBACDCDA二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．13．f -1(x )=e 2x 〔x ∈R 〕14．21-≤a ≤2115．16．①③④ 三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分．17．〔1〕频数4，频率；………………6分如下列图为样本频率分布条形图．…………………10分〔2〕∵，∴任意抽取一件产品，估计它是一级品或者二级品的概率为．……………12分 18．〔1∴a 1=S 1=21+1－1当n ≥2时，有〔2n +1－n －2又∵n =1时，也满足a n =2n－1， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n －1〔n ∈N *〕．……………………6分 〔2〕∵16+=x y ，x 、y ∈N *，∴1+x =1，2，3，6， 于是x =0，1，2，5，而x ∈N *，∴B ={1，2，5}．……………………9分∵A ={1，3，7，15， (2)－1}，∴A ∩B ={1}．……………………12分 19．〔1〕∵)(x f =x x 2)(12+，∴x xx f 21)(2+=〔x ＞0〕．……………3分 〔2〕∵g 〔x 〕=ax 2+2x 的定义域为〔0，+∞〕． ∵g 〔1〕=2+a ，g 〔－1〕不存在，∴g 〔1〕≠－g 〔－1〕，∴不存在实数a 使得g 〔x 〕为奇函数．……………………5分〔3〕∵f 〔x 〕－x ＞2，∴f 〔x 〕－x －2＞0， 即21x +x －2＞0，有x 3－2x 2+1＞0， 于是〔x 3－x 2〕－〔x 2－1〕＞0，∴x 2〔x －1〕－〔x －1〕〔x +1〕＞0，∴〔x －1〕〔x 2－x －1〕＞0，∴〔x －1〕〔x －251-〕〔x －251+〕＞0， ∴结合x ＞0得0＜x ＜1或者251+>x ． 因此原不等式的解集为{x ｜0＜x ＜1或者251+>x}．……………………12分 20．〔1〕∵f 〔1〕=0，∴9+3a =0，∴a =－3．……………………4分〔2〕f 〔x 〕=〔3x 〕2+a ·3x． 令3x =t ，那么1≤t ≤3，g 〔t 〕=t 2+at ，对称轴t =12≥-a ．……………………6分 i 〕当1≤－2a ≤3，即－6≤a ≤－2时， y (t )｜min =g (－2a )=42a -，此时)2(log 3a x -=． ii 〕当－2a ＞3，即a ＜－6时，g (t )在[1，3]上单调递减， ∴g (t )｜min =g 〔3〕=3a +9，此时x =1．……………………10分综上所述，当a ＜－6时，f 〔x 〕｜min =3a +9；当－6≤a ≤－2时，f 〔x 〕｜min =42a -．……………………12分21．〔1〕5221)(23+--=x x x x f ， ∴f ′(x )=3x 2－x －2，由f ′(x )＞0得32-<x 或者x ＞1， ∴增区间为)32,(--∞，〔1，+∞〕，减区间为)1,32(-．……………………4分 〔2〕f ′(x )=3x 2－2x －2=0，得x =32-〔舍去〕，x =1． 又f (0)=5，f (1)=27，f (2)=7，所以f (x )｜max =7，得k ＞7． ……………………8分〔3〕f ′(x )=3x 2－2mx －2，其图象恒过定点〔0，－2〕，由此可知，3x 2－2mx －2=0必有一正根和一负根，只需要求正根在〔0，1〕上，∴f ′(0)·f ′(1)＜0，∴m ＜21．……………………12分 22．〔1〕∵〔S n －1〕a n －1=S n －1a n －1－a n ，∴〔S n －S n －1－1〕a n －1=－a n ，即a n a n －1－a n －1+a n =0．∵a n ≠0，假设不然，那么a n －1=0，从而与a 1=1矛盾，∴a n a n －1≠0，∴a n a n －1－a n －1+a n =0两边同除以a n a n －1，得1111=--n n a a 〔n ≥2〕． 又111=a ，∴{na 1}是以1为首项，1为公差为等差数列， 那么n n a n=⨯-+=1)1(11，n a n 1=．……………………4分 〔2〕∵b n =a n 2=21n ，∴当n =1时，T n =n 12-；……………………5分 当n ≥2时，n n n T n )1(1321211112111222-++⨯+⨯+<+++= nn n 12)111()3121()211(1-=--++-+-+= ． ……………………8分〔3〕k n k a n +=+111，∴∑∑==+=+n k n k nk n k a 11111．设g 〔n 〕=n n n k n n k 21211111+++++=+∑= ， ∴221121213121)()1(+++++++++=-+n n n n n n g n g )212111(nn n +++++- 022112111221121>+-+=+-+++=n n n n n ， ∴g (n )为增函数，从而g (n )｜min =g 〔1〕=21．……………………10分 因为g (n ))12(log 23-+->a a 对任意正整数n 都成立，高-考+资-源+网. 所以21)12(log 23-+->a a ，得log a 〔2a －1〕＜2，即log a 〔2a －1〕＜log a a 2． ①当a ＞1时，有0＜2a －1＜a 2，解得a ＞21且a ≠1，∴a ＞1． ②当0＜a ＜1时，有2a －1＞a 2＞0，此不等式无解． 综合①、②可知，实数a 的取值范围是〔1，+∞〕．……………………12分。

地区2021年高三年级第一次诊断性测验创作人：历恰面日期：2020年1月1日文科数学〔问卷〕〔卷面分值：150分考试时间是是：120分钟〕考前须知：1.本卷分为问卷〔4页〕和答卷〔4页〕，答案必须书写在答卷〔或者答题卡〕的规定的正确位置上2.答卷前，先将答卷密封线内〔或者答题卡中的相关信息〕的工程填写上清楚第I卷〔选择题一共60分〕一、选择题：一共12小题，每一小题5分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1.设集合A={x|－1≤x≤1},B={x},那么A〔〕=A．{x} B. {x} C.{x} D. {x}2. i是虚数单位，那么复数的实部为A． 2 B. 1 C.1 D. 23. 设等比数列{}的公比q= , 前n项和为，那么=A ． B. C. D.4. 以下函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．y=x 3B. 2xy = C. lg y x = D. y=tanx5. 设z=2x+y, 其中变量x,y 满足条件,那么z 的最小值为A ．3 B.6.4 C.9.6 D. 126. 某几何体的三视图如下图，那么其侧面的直角三角形的个数为A ． B. C.3 D. 47. y=sin()()在区间[0，1]上是单调函数，其图像经过P 1〔 1，0〕，P 2〔0，1〕，那么此函数的最小正周期T 及的值分别为A ．T=4, B.T=4, C. T=4, D. T=4, 18. 从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次随机取一件，连结取两次，每次取后都放回，那么取出的两件产品中恰有一件次的概率为〔 〕9. 一个算法的程序框图如下图，假如输入的x 的值为2021，那么输出的i 的结果为 A 、3 B 、5C、6D、810. 直线经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A,B两点，假设AB的中点横坐标为3，那么线段AB的长为A． B. C.7 D. 811. 在△ABC中，AB=1，BC=，AC=2，点O为△ABC的外心，假设=s,那么有序实数对〔s,t〕为A． B. C. D.12. 函数f(x)=ln(e x-1)(x>0)A.假设f(a)+2a=f(b)+3b,那么a>bB. 假设f(a)+2a=f(b)+3b,那么a<bC.假设f(a)-2a=f(b)-3b,那么a>bD. 假设f(a)-2a=f(b)-3b,那么a<b第II卷〔非选择题一共90分〕本卷包括必考题和选考题两局部。

高中毕业班第一次诊断性检测题数 学（文科）注意事项：全卷满分为150分：完成时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 、B 互斥：那么球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B )S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立：那么其中R 表示球的半径P (A •B )=P (A )•P (B )球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ： 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率334R V π=k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本题共有12个小题：每小题5分：在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的：把正确选项的代号涂在机读卡的指定位置上。

1．lg8+3lg5的值为(A) －3 (B) －1 (C) 1 (D) 3 2．若0>>b a ：则下列不等式中总成立的是(A)11++>a b a b (B) b b a a 11+>+ (C) a b b a 11+>+(D) bab a b a >++22 3．设1:-<x p 或 2:,1-<>x q x 或1>x ：则p ⌝是q ⌝的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件4．已知)(x f 是R 上的增函数：若令)1()1()(x f x f x F +--=：则)(x F 是R 上的 (A) 增函数 (B) 减函数(C) 先减后增的函数 (D) 先增后减的函数5．已知直线l ⊥平面α：直线m ⊂平面β：有下列四个命题：①;//m l ⊥⇒βα ②;//m l ⇒⊥βα③;//βα⊥⇒m l ④βα//⇒⊥m l 。

其中真命题是 (A) ①② (B) ③④ (C) ②④ (D) ①③6．将函数x y 2sin =的图象按向量a 平移后得到函数)32sin(π-=x y 的图象：则向量a 可以是(A) )0,3(π (B) )0,6(π (C) )0,3(π- (D) )0,6(π-7．一组样本数据：容量为150。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4四川省绵阳市2024-2025学年高三第一次诊断性考试数学质量检测试题．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,1,0,1,2A =--，(){}211B x x =+≤，则A B = （ ）A. {}2,1--B. {}2,1,0-- C. []2,0- D. []22-,【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再根据集合交集运算即可得答案【详解】由()211x +≤，可得20x -≤≤，所以{}20B x x =-≤≤，所以A B = {}{}{}2,1,0,1,2202,1,0x x --⋂-≤≤=--.故选：B2. “22ac bc >”，是“a b >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】若22ac bc >，则20,0c c ≠>，因此a b >，当a b >，0c =时，220ac bc ==，所以“22ac bc >”，是“a b >”的充分不必要条件.故选：A3. 已知0,0x y >>，且满足3x y xy +=-，则xy 的最小值为（ ）A. 3B. C. 6D. 9【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得xy 的范围，从而求得xy 的最小值.详解】3x y xy +=-≥)23310--=+≥，30,9xy -≥≥，当且仅当3x y ==时等号成立，所以xy 的最小值为9.故选：D4. 某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x /万元258111519利润y /万元334550535864根据表中数据可得利润y 关于广告支出x 的经验回归方程为ˆ 1.6ˆ5yx a =+．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（ ）A. 30万元 B. 32万元C. 36万元D. 40万元【答案】D 【解析】【分析】先得求数据的中心点()10,50.5，代入ˆ 1.6ˆ5yx a =+得ˆ34a =，再由ˆ100=y 求得40x =即得.【详解】258111519106x +++++==，33455053586450.56y +++++==，因ˆ 1.6ˆ5yx a =+过点()x y ，故ˆ50.5 1.6510a =⨯+，得ˆ34a =，【故当ˆ100=y时，341001.65x +=，得40x =，故选：D5. 下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（ ）A. 2y x -= B. 1y x x=+C. sin y x x =-D. 1ln1x y x -=+【答案】C 【解析】【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】对于A ，令()2f x x -=，0x ≠，()()()22fx x x fx ---=-==，所以2y x -=是偶函数，故A 错误；对于B ，1y x x=+在(),1∞--和()1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减，故B 错误；对于C ，令()sin g x x x =-，R x ∈，()()()()sin sin g x x x x x g x -=---=--=-，所以sin y x x =-是奇函数，又1cos 0y x '=-≥，所以sin y x x =-是R 上的增函数，故C 正确；对于D ，令()1ln1x h x x -=+，()(),11,x ∈-∞-⋃+∞，则()()()11201111x x h x x x x x '+-⎛⎫'=⋅=> ⎪-+-+⎝⎭，所以函数1ln 1x y x -=+在(),1∞--和()1,+∞上单调递增，但在定义域上不单调，故D 错误.故选：C.6. 已知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1cos21cos2θθ-=+（ ）A. 9 B. 3C.13D.19【答案】B 【解析】【分析】根据两角和正切公式结合已知条件可求出tan θ=.【详解】由题意知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，的故πtan tan3tan 0π1tan tan 3θθθ++=-，解得tan θ=或tan θ=（舍去），则2221cos22sin tan 31cos22cos θθθθθ-===+，故选：B7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=（e 是自然对数的底数，0P ，k 为正的常数）．如果前9h 消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据：lg 20.301≈）A. 33h B. 35h C. 37h D. 39h【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出常数k ，然后再令0.4P =即可解出t .【详解】依题意，900(120%)ekP P --=，解得1ln 0.89k =-，即900.8t P P =，当0(160%)P P =-时，9000.40.8tP P =，即90.80.4t=，解得9lg 0.49(2lg 21)9(120.301)37lg 0.83lg 21130.301t --⨯==≈≈--⨯，所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h .故选：C8. 已知函数()()()()2231,0,e 3,0x x x f x g x mx x x ⎧-+≤⎪==⎨->⎪⎩，若关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，则实数m 的取值范围是（ ）A. 30,2⎛⎤⎥⎝⎦B. 2e 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (]2e,0- D. ()3,00,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案.【详解】令()()2e3,0xh x xx =->，则()()()e 31x h x x x +'=-，当01x <<时，ℎ′(x )<0，则ℎ(x )在(0,1)上单调递减；当1x >时，ℎ′(x )>0，则ℎ(x )在(1,+∞)上单调递增；令()()231,0k x x x =-+≤，则其图象为开口向下，对称轴为1x =-的抛物线；由关于x 的不等式()()()0x f x g x -<，可知0x ≠，当0x >时，()()f x g x <，即有()()h x g x <；当0x <时，()()f x g x >，即有()()k x g x >；作出函数图象如图：要使关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，显然0m ≤不能满足题意，故需满足()()()()02222m h g k g ⎧>⎪≥⎨⎪-≤-⎩，即20e 232m m m>⎧⎪≥⎨⎪-≤-⎩，解得302m <≤，即m 的取值范围为30,2⎛⎤⎥⎝⎦，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且116,6n n a a S +==+，则（ ）A. 342S = B. 2n nS a <C. {}n S 是等比数列 D. 存在大于1的整数n ，k ，使得n kS a =【答案】AB 【解析】【分析】通过n a 与n S 的关系，作差得到数列{}n a 是以6为首项，2为公比的等比数列，进而逐项判断即可.【详解】由16n n a S +=+，可得16,2n n a S n -=+≥两式相减可得：12,2n n a a n +=≥，又2211612,2a a S a =+==，所以数列{}n a 是以6为首项，2为公比的等比数列，所以162n n a -=⨯，626nn S =⨯-，所以3362642S =⨯-=，A 正确；262n n a =⨯，所以2n n S a <，B 正确；由626nn S =⨯-，可得1236,18,42S S S ===，显然3212S S S S ≠，可判断{}n S 不是等比数列，C 错误；若n k S a =，即162662n k -⨯-=⨯，也即1221n k --=，显然不存在大于1的整数,n k ，使得等式成立，D 错误；故选：AB10. 已知函数()22sin cos0)222xxxf x ωωωω=-+>在[)0,π上有且仅有4个零点，则（ ）A.1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦B. 令()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，存在ω，使得()g x '为偶函数C. 函数()f x 在()0,π上可能有3个或4个极值点D. 函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】ABD 【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，可确定πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，进而解得111433ω<≤，再根据其范围结合函数图象和平移知识等逐一判断即可.【详解】()2π2sincossin 2sin (0)2223xxxf x x x x ωωωωωωω⎛⎫=-=+=+> ⎪⎝⎭对于A ， [)0,πx ∈，πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭， 因为()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，所以π4ππ5π3ω<+≤，解得111433ω<≤，∴1114,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故A 正确；对于B ，()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππππ2sin 2sin 6363x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()ππ2cos 63g x x ωωω'⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则πππ,63k k ω+=∈Z ，即62,k k ω=-∈Z ，∵0,ω>∴取4ω=，()8cos 4g x x '=-为偶函数,满足题意，故B 正确；对于C ，x ∈(0,π)，πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，(]ππ4π,5π3ω+∈，∴函数()f x 在()0,π上可能有4个或5个极值点， 故C 不正确；对于D ，若ππ,3535x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则πππππ,3353353x ωωω⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，∴ππ7π8πππ46π7π,,,353353535310515ωω⎡⎫⎛⎤-+∈+∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，∴函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. 故D 正确；故选：ABD.11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()f x 不恒为0，且()()222f x f y x y x y f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. ()0f 可以等于零 B. ()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =C. 曲线f (x−1)为轴对称图形 D. 若()11f =，则201()20k f k ==∑【答案】BCD【解析】【分析】利用赋值法可得()00f =或()01f =，分类讨论可得()01f =，判断A ；.有一只判断出函数的奇偶性，可判断B ；结合B 的分析以及图象的平移可判断C ；判断出(){}f k 是以()11f =为首项，0为公差的等差数列，即可判断D.【详解】令0x y ==，可得()()000000222f f f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得()()200f f =，解得()00f =或()01f =，当()00f =时，则可得()()0222f x f x x x x x f f ++-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()0f x =，与()f x 不恒为0矛盾，所以()01f =，故A 错误；令y x =-，可得()()()()()()20,f x f x f f x f x f x +-=∴-=，所以()f x 为偶函数，因为()cos 2f x x =是偶函数，所以()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =，故B 正确；因为()f x 为偶函数，所以()f x 的图象关于直线0x =对称，所以()1f x -关于直线1x =对称，所以曲线()1f x -为轴对称图形，故C 正确；令2,x k y k =+=，则可得()()2222222f k f k k f f +++⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()*221,N f k f k f k k ++=+∈，又()()2022222f f f f +⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得()21f =，所以(){}f k 是以()11f =为首项，0为公差的等差数列，所以201()20k f k ==∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：采用赋值法是解抽象函数的一种有效方法，多领会其思路.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()22,3,cos 3b c B C ==+=-，则a =______．【解析】【分析】结合三角形内角和、诱导公式与余弦定理计算即可得解.【详解】由()()2cos cos πcos 3B C B C A ⎡⎤+=-+=-=-⎣⎦，故2cos 3A =，则22222cos 491253a b c bc A =+-=+-⨯=，故a =..13. 已知函数()|ln|2||f x x m =+-，m 为正的常数，则()f x 的零点之和为________．【答案】8-【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案.【详解】函数()f x 的定义域为{R |2}x x ∈≠-，由()0f x =，得|ln|2||x m +=，令函数()|ln|2||g x x =+，(4)|ln|42|||ln |2||()g x x x g x --=--+=+=，则函数()y g x =图象关于直线2x =-对称，在同一坐标系内作出直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象，如图，直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为1234,,,x x x x ，观察图象得14234x x x x +=+=-，所以()f x 的零点之和为8-.故答案为：8-14. 若2x =是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭的极大值点，则实数a 的取值范围为________．【答案】2e a <-【解析】【分析】根据函数的导数，对a 分类讨论，再结合()0f x '=的根，分类讨论，分析函数的极大值点即可得出答案.【详解】()()()()()e222e xx f x x a x x a =-+-=-+'，当0a ≥时，e 0x a +>，当2x <时，f ′(x )<0，当2x >时，f ′(x )>0，所以()f x 在(),2∞-上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以2x =是函数的极小值点，不符合题意；当0a <时，令()0f x '=，可得()122,ln x x a ==-，若()2ln a <-，即2e a <-时，则2x <时，f ′(x )>0，函数()f x 单调递增，()2ln x a <<-时，f ′(x )<0，函数()f x 单调递减，所以2是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的极大值点，符合题意；若()2ln a >-即20e a >>-时，则2x >时，f ′(x )>0，函数()f x 单调递增，()ln 2a x -<<时，f ′(x )<0，函数()f x 单调递减，所以2是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭的极小值点，不符合题意；若()2ln a =-即2e a =-时，则R x ∈时，f ′(x )≥0，函数()f x 单调递增，函数()f x 无极值点，不符合题意.综上，当2e a <-时，2是函数()f x 的极大值点.故答案为：2e a <-【点睛】关键点点睛：首先观察导函数，当0a ≥时，分析函数单调性判断2是否为极大值点，当0a <时，根据()0f x '=的两根大小分类，由导数的正负得函数的单调性，再由单调性判断极大值点是否为2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．（1）完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计（2）根据小概率值0.10α=的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．参考公式及数据：()()()()()22,n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++．α0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001xα1.3232.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，男生有报考军事类院校意向的概率为15，女生有报考军事类院校意向的概率为1 4（2）能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关【解析】【分析】（1）先填写22⨯列联表，再根据古典概型概率计算公式求得正确答案.（2）计算2χ的知识，从而作出判断.【小问1详解】根据已知条件，填写22⨯列联表如下：有报考意向无报考意向合计男学生100400500女学生100300400合计200700900男生有报考军事类院校意向的概率为1001 5005=，女生有报考军事类院校意向的概率为1001 4004=.【小问2详解】()22900100300400100 3.214 2.072200700400500χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．16. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1sin 2a C =，且cos cos 1a C c A +=，（1）求ABC V 的面积；（2）若π4B =，求A ．【答案】（1）14； （2）π8或5π8.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.（2）利用正弦定理，结合和角的正弦公式、二倍角公式求解即得.【小问1详解】在ABC V 中，由余弦定理及cos cos 1a C c A +=，得222222122a b c b c a a c ab bc+-+-⋅+⋅=，整理得1b =，而1sin 2a C =，所以ABC V 的面积11sin 24S ba C ==.【小问2详解】由（1）及正弦定理得1πsin sin sin 4a b A B ===a A =，于1sin 2A C =1sin(2π)4A A +=，12cos )A A A +=，即22sin cos 12sin A A A =-，因此sin 2cos 2A A =，即tan 21A =，由3π04A <<，得3π022A <<，解得π24A =或5π24A =，所以π8A =或5π8A =.17. 已知数列{}{},n n a b 满足()1n n n a nb +=，且1n a +是n b 与1n b +的等比中项．（1）若124a a +=，求1b 的值；（2）若12a =，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ．（ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（ⅱ）求n n T S -．【答案】（1）2（2）（ⅰ）()1n a n n =+，()21n b n =+（ⅱ）()32n n n n T S +-=【解析】【分析】（1）先得112b a =，2232b a =，利用1n a +是n b 与1n b +的等比中项可得；（2）（ⅰ）先求得1n n n b a n+=，利用1n a +是n b 与1n b +的等比中项可得12n n n a a n ++=，由累乘法可得()1n a n n =+，进而可得()21n b n =+；（ⅱ）先得1n n n a b -=+，利用等差数列前n 项和公式可得()32n n T S n n +-=.【小问1详解】由()1n n n a nb +=可得112b a =，2232b a =，由题意可知2a 是1b 与2b 的等比中项，故2212a b b =，可得22123a a a =，即213a a =，又因124a a +=，故11a =，故1122b a ==【小问2详解】（ⅰ）由()1n n n a nb +=得1n n n b a n +=，由题意可得1211121n n n n n n n a a a n n b b ++++++==⋅，得12n n n a a n ++=，故12n n a n a n++=，故()1112211321121n n n n n a a a a n n n n a n n a a a ---=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+--= ，()211n n n b a n n+==+，故()1n a n n =+，()21n b n =+（ⅱ）()()2111n n b n a n n n =+-=-++，()()1212n n n n T b b b a a a S =+++-++-()()()1122n n b a b a b a =-+-++- ()231n =++++ ()212n n++=()32n n +=18. 已知函数()3221f x x ax a x =+--．（1）当5a =-时，则过点()0,2的曲线()f x 的切线有几条?并写出其中一条切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）有3条切线，322y x =-+（2）答案见解析 （3）⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，设出切点得出切线斜率，列方程组分析解得个数即可；（2）求出导函数，对a 分类讨论即可得出函数单调区间；（3）根据函数的单调性，结合当x →+∞时，()f x →+∞，利用极大值建立不等式求解.【小问1详解】当5a =-时，()325251f x x x x =---，()231025f x x x =--'，设切点为()00,x y ，因为切线过点(0,2)，所以切线斜率存在，故可设切线方程为2y kx =+，则3200002002525131025kx x x x k x x ⎧+=---⎨=--⎩，化简可得()2200021330x x x --+=，即()()200012330x x x ---=，由2002330x x --=的判别式9240∆=+>知方程有2个不等实根且不为1，故()()200012330x x x ---=有3个不等的实根，所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故3102532k =--=-，所以切线方程为322y x =-+.【小问2详解】()()()22323f x x ax a x a x a =+-=-+'，当0a =时，()230f x x ='≥，所以函数R 上单调递增；当0a >时，3a a -<，所以x a <-或3ax <时，f ′(x )>0，()f x 单调递增，当3aa x -<<时，f ′(x )<0，()f x 单调递减；当0a <时，3aa ->，所以x a >-或3a x <时，f ′(x )>0，()f x 单调递增，当3ax a <<-时，f ′(x )<0，()f x 单调递减；综上，0a =时，()f x 在R 上单调递增，无递减区间；当0a >时，()f x 在(),a ∞--和,3a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，()f x 在,3a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭和(),a ∞-+上单调递增，在,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.【小问3详解】当0a =时，3()1f x x =-，函数仅有1个零点1；当0a >时，由（2）知，()f x 的极大值为()f a -，且当x →+∞时，()f x →+∞，若()f x 有唯一零点，则333()10f a a a a -=-++-<，解得1a <，故()0,1a ∈，当0a <时，由（2）知，()f x 的极大值为3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，同理，若()f x 有唯一零点，则3510327a f a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，解得a >，故a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，综上，实数a的取值范围⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：对于含参数的函数，研究单调区间的关键在于对导函数的特点分析，本题导函数为二次函数，所以分析的重点在于导函数零点的关系，在根据函数有唯一零点求参数的时候，利用函数的极大值点建立不等式是解题关键.19. 已知函数()2ln 3f x x x x a =+-+，()f x 在(]0,1上的最大值为3ln24-．在（1）求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足()1231n n n n a a f a a +=+-，且143a =．（ⅰ）当2,n n ≥∈Z 时，比较n a 与1的大小，并说明理由；（ⅱ）求证：1312nii a=-<∑．【答案】（1）a =2（2）(1)1n a >，理由见详解；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数判断()f x 的单调性求出最大值得解；（2）（i ）由已知结合基本不等式可得1ln 12nn na a a +≥+，利用数学归纳法证明1n a >，()2,Z n n ≥∈，（ii ）先构造函数()ln 1x x xϕ+=，并利用导数证明()1x ϕ<，从而得到()11112+-<-n n a a ，将所证明的式子放缩求和证明.【小问1详解】()()()121123x x f x x x x--'=+-=Q ，(]0,1x ∈，当102x <<时，10x -<，210x -<，()0f x '∴>，则()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当112x ≤≤时，10x -≤，210x -≥，()0f x '∴≤，则()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()max 11133ln ln 222424f x f a ⎛⎫∴==+-+=- ⎪⎝⎭，解得2a =所以实数a 的值为2.【小问2详解】（i ）由（1）知，()2ln 32f x x x x =+-+，所以212ln 3231n n n n n n a a a a a a +=+-++-，即21ln 12n n n na a a a +++=，212n n a a +≥Q ，1ln 12nn na a a +∴≥+，.下面用数学归纳法证明1n a >，()2,Z n n ≥∈，当2n =时，143a =，1214lnln 3111823a a a ∴≥+=+>，假设()2,Z n k k k =≥∈时，命题成立，则1k a >，当1n k =+时，有1ln 112kk ka a a +≥+>成立，所以上述命题对2,Z n n ≥∈，均有1n a >成立.（ii ）当1n =时，13112a -=<成立，当2n ≥时，令()ln 1x x x ϕ+=，则()2ln xx x ϕ-'=，当01x <<时，()0x ϕ'>，当1x >时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11x ϕϕ<=，所以()()21ln 11ln 1112222n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a ϕ+⎛⎫++++==+=+< ⎪⎝⎭，即11112n n a a +-<-，又由（i ）知1n a >，则()11112+-<-n n a a ，()()()121313111ni n i a a a a =∴-=-+-++-⎡⎤⎣⎦∑L ()121111311222n a -⎡⎤⎛⎫<-++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦L 111123211322n n -⎛⎫=⨯⨯=- ⎪⎝⎭，102n >Q ，1112n ∴-<，12122n⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，即1312ni i a =-<∑，得证.【点睛】关键点点睛：本题最后小问证明的关键是构造函数()ln 1x x xϕ+=，并利用导数证明()1x ϕ<，从而得到()11112+-<-n n a a .。

2021届高三数学第一次诊断考试试题文〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.复数〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【详解】〔1+i〕〔2﹣i〕=2﹣i+2i﹣i2=3+i．应选：A．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，是根底题．2.设集合，1，2，3，，，2，，，3，，那么〔〕A. ，B. ，C. ，1，D. ，2，【答案】C【解析】【分析】先得到，再计算，得到答案【详解】集合，1，2，3，，，2，，，3，，那么，，，1，．应选：．【点睛】此题考察集合的交集运算与补集运算，属于简单题.3.平面向量，的夹角为，，，那么〔〕A. 3B. 2C. 0D.【答案】C【解析】【分析】由，，，的夹角为，先得到的值，再计算，得到结果.【详解】向量，的夹角为，，，，那么，应选：．【点睛】此题考察向量数量积的根本运算，属于简单题.4.函数，那么〔〕A. 的最小正周期是，最大值是1B. 的最小正周期是，最大值是C. 的最小正周期是，最大值是D. 的最小正周期是，最大值是1【答案】B【解析】【分析】对进展化简，得到解析式，再求出其最小正周期和最大值.【详解】函数，故函数的周期为，当，即：时，函数取最大值为．应选：．【点睛】此题考察二倍角正弦的逆用，三角函数求周期和最值，属于简单题.5.某程序框图如下图，该程序运行后输出的值是〔〕A. 55B. 45C. 66D. 36【答案】A【解析】【分析】根据程度框图的要求，按输入值进展循环，根据判断语句，计算循环停顿时的值，得到答案.【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量的值由于．应选：．【点睛】此题考察根据流程框图求输入值，属于简单题.6.假设，那么函数的两个零点分别位于区间〔〕A. 和内B. 和内C. 和内D. 和内【答案】A【解析】试题分析：，所以时，，也可知内有零点.考点：零点与二分法.【思路点晴】假如函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出··是在闭区间上有零点的充分不必要条件.【此处有视频，请去附件查看】7.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的间隔是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的间隔公式求出结果.【详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的间隔公式得.应选C.【点睛】本小题主要考察抛物线的焦点坐标，考察双曲线的渐近线方程，考察点到直线的间隔公式，属于根底题.8.函数的图象如下图，那么的解析式可能是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数图像上的特殊点，对选项进展排除，由此得出正确选项.【详解】对于A,B两个选项，，不符合图像，排除A,B选项.对于C选项，，不符合图像，排除C选项，应选D.【点睛】本小题主要考察根据函数图像选择相应的解析式，考察利用特殊值法解选择题，属于根底题.9.在中，，，，那么的面积为〔〕A. 15B.C. 40D.【答案】B【解析】【分析】先利用余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.【详解】由余弦定理得，解得，由三角形面积得，应选B.【点睛】本小题主要考察余弦定理解三角形，考察三角形的面积公式，属于根底题.10.法国机械学家莱洛．发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭曲线内随机取一点，那么此点取自正三角形之内〔如图阴影局部〕的概率是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先算出封闭曲线的面积，在算出正三角形的面积，由几何概型的计算公式得到答案.【详解】设正三角形的边长为，由扇形面积公式可得封闭曲线的面积为，由几何概型中的面积型可得：此点取自正三角形之内〔如图阴影局部〕概率是，应选：．【点睛】此题考察几何概型求概率，属于简单题.11.四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，假设正方形的边长为4，那么四棱锥的体积最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，体积获得最大值，利用勾股定理计算出高，然后求得四棱锥的最大体积.【详解】设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，由于底面面积固定，那么高最高时，四棱锥体积获得最大值.设高为，，球的半径为，故，解得.故四棱锥的体积的最大值为.应选D.【点睛】本小题主要考察几何体外接球有关问题，考察四棱锥体积的计算，所以根底题. 12.直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，交其准线于点，，，那么〔〕A. 2B.C.D. 4【答案】C【解析】过分别做准线的垂线交准线于两点，设，根据抛物线的性质可知，，根据平行线段比例可知，即，解得，又，即，解得，应选C.【点睛】抛物线的定义在解题中的应用，当曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点满足定义，点到焦点的间隔转化点为到准线的间隔，这样可利用三角形相似或者是平行线段比例关系可求得间隔弦长以及相关的最值等问题二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分13.假设实数，满足约束条件，那么的最大值是_____．【答案】8【解析】【分析】画出可行域，将基准直线向下平移到可行域边界位置，由此求得目的函数的最大值.【详解】画出可行域如以下图所示，由图可知，目的函数在点处获得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考察利用线性规划求目的函数的最大值的方法，属于根底题.14.在正方体中，，分别为，中点，那么异面直线与所成角的余弦值为__．【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，，找到异面直线与所成角，再求出其余弦值【详解】取的中点，连接，，因为，所以〔或者其补角〕为异面直线与所成角，易得：，即，所以，故答案为：．【点睛】此题考察两条异面直线所成的角，属于简单题.15.，均为锐角，，，那么_____．【答案】【解析】【分析】先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.【详解】由于为锐角，且，故，.由，解得，由于为锐角，故.【点睛】本小题主要考察同角三角函数的根本关系式，考察两角差的正切公式，属于中档题.16.函数，且，那么___．【答案】16【解析】【分析】由，分和进展讨论，得到的值，再求的值【详解】函数，且当时，，解得，不成立，当时，，解得．．故答案为：16．【点睛】此题考察由函数的值求自变量的值，属于简单题.三、解答题：一共70分解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤17.等差数列满足，.〔Ⅰ〕求的通项公式；〔Ⅱ〕设是等比数列的前项和，假设，，求．【答案】(I)；(Ⅱ)，或者【解析】【分析】〔I〕由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式。

2021届高三数学第一次诊断性检测试题 文〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1z 与23z i =--〔i 为虚数单位〕在复平面内对应的点关于实轴对称，那么1z =〔 〕A. 3i -B. 3i -+C. 3i +D. 3i -【答案】B 【解析】 【分析】直接利用复平面的对称得到答案.【详解】数1z 与23z i =--〔i 为虚数单位〕在复平面内对应的点关于实轴对称，那么13i z =-+应选：B【点睛】此题考察了复平面的对称问题，属于简单题.{}1,0,A m =-，{}1,2B =，假设{}1,0,1,2A B ⋃=-，那么实数m 的值是( )A. 1-或者0B. 0或者1C. 1-或者2D. 1或者2【答案】D 【解析】 【分析】根据集合并集的定义即可得到答案.【详解】集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，且{}1,0,1,2A B ⋃=-，所以1m =或者2m =. 应选：D【点睛】此题主要考察集合并集的根本运算，属于根底题．sin θθ=，那么tan 2θ=〔 〕A. 53- B.53C. 52-D.52【答案】C 【解析】 【分析】根据sin 5cos θθ=得到tan 5θ=，再利用二倍角公式得到答案.【详解】sin 5cos tan 5θθθ=∴=，22tan 255tan 21tan 42θθθ===--- 应选：C【点睛】此题考察了二倍角公式，意在考察学生的计算才能.p ：x R ∀∈，221x x -≥，那么p ⌝为〔 〕A. x R ∀∉，221x x -<B. 0x R ∃∉，02021xx -< C. x R ∀∈，221x x -< D. 0x R ∃∈，02021x x -<【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否认定义得到答案.【详解】命题p ：x R ∀∈，221x x -≥，那么p ⌝为： 0x R ∃∈，02021xx -<应选：D【点睛】此题考察了全称命题的否认，意在考察学生的推断才能.5.某校随机抽取100名同学进展“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60〕，[60，70〕，[70，80〕，[80，90〕，[90，100]，得到如下图的频率分布直方图，那么这100名同学的得分的中位数为( )A. 72.5B. 75C. 77.5D. 80【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求得中位数即可.【详解】在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，∴中位数为：0.50.01100.0310701072.50.0410-⨯-⨯+⨯=⨯.应选：A【点评】此题考察频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1，也考察了中位数，属于根底题．{}n a 的前n 项和为n S ，且533aa =，那么95S S =( ) A. 95 B.59 C. 53D. 275【答案】D 【解析】 【分析】将S 9，S 5转化为用a 5，a 3表达的算式即可得到结论.【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，∴95S S ＝19159252a a a a +⨯+⨯＝5395a a ，且533a a =，∴95S S ＝95×3＝275.应选：D ．【点睛】此题考察了等差数列的前n 项和，等差中项的性质，考察计算才能，属于根底题． 7.,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，那么以下说法正确的选项是( )A. 假设//m α，//n β，且//αβ，那么//m nB. 假设//m α，//n β，且αβ⊥，那么//m nC. 假设m α⊥，//n β，且//αβ，那么m n ⊥D. 假设m α⊥，//n β，且αβ⊥，那么m n ⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或者m 与n 异面，故A 错误； 由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或者m 与n 相交或者m 与n 异面，故B 错误； 由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，那么m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或者m 与n 相交或者m 与n 异面，故D 错误． 应选：C ．【点睛】此题考察命题的真假判断与应用，考察空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的断定与应用，考察空间想象才能与思维才能，属于中档题．sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，那么函数()f x 的解析式为( ) A. ()sin(2)6f x x π=+ B. ()sin(2)3f x x π=-C. ()sin(8)6f x x π=+D. ()sin(8)3f x x π=-【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可. 【详解】函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到sin(2)6y x π=-的图象，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f 〔x 〕＝sin 2()sin(2)666y x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦的图象.应选：A ．【点睛】此题考察了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能及思维才能，属于根底题．24y x =的焦点为F ，,M N 是抛物线上两个不同的点假设5MF NF +=，那么线段MN的中点到y 轴的间隔 为( ) A. 3B.32C. 5D.52【答案】B 【解析】 【分析】抛物线到焦点的间隔 转化为到准线的间隔 ，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可.【详解】由抛物线方程24y x =，得其准线方程为：1x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由抛物线的性质得，1211=5MF NF x x +=+++，MN ∴中点的横坐标为32， 线段MN 的中点到y 轴的间隔 为：32. 应选：B ．【点睛】此题考察了抛物线定义的应用，属于根底题． 10.122a =，，3ln 2c =，那么( ) A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a ，b 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c ＜1．【详解】∵122a =2=＝68，且=33＝69，∴1a b <<，3lnln 12e <=．∴b a c >>． 应选：C ．【点睛】此题考察了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于根底题．y kx =与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足3AF BF =，OA b =〔O 为坐标原点〕，那么双曲线C 的离心率为〔 〕 A. 2 B. 3C. 2D. 5【答案】B 【解析】 【分析】如下图：1F 为双曲线右焦点，连接1AF ，计算得到13,AF a AF a ==，再利用余弦定理得到2221022a c b =+，化简得到答案.【详解】如下图：1F 为双曲线右焦点，连接1AF ，根据对称性知1BF AF =133AF BF AF ==，12AF AF a -=，13,AF a AF a ==在AOF ∆和1AOF ∆中，分别利用余弦定理得到：22292cos a c b bc AOF =+-∠，22212cos a c b bc AOF =+-∠两式相加得到22222102233a c b c a e =+∴=∴= 应选：B【点睛】此题考察了双曲线的离心率，根据条件计算出13,AF a AF a ==是解题的关键.R 上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+，当2x ≤时，()xf x xe =．假设关于x 的方程()()22f x k x =-+有三个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围是〔 〕 A. ()()1,00,1- B. ()()1,01,-⋃+∞ C. ()(),00,e e -D. ()(),0,e e -+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性和对称性画出函数图像，()22y k x =-+过定点()2,2，计算直线和曲线相切的情况计算斜率得到答案.【详解】当2x ≤时，()()()'1xxf x xe f x x e =∴=+函数在(),1-∞-上单调递减，在()1,2-上单调递增，且()11f e-=-()()22f x f x -=+，函数关于2x =对称，()22y k x =-+过定点()2,2如下图，画出函数图像：当()22y k x =-+与()xf x xe =相切时，设切点为()00,x y那么()000000022122x x y x e x e k x x --+===-- 根据对称性考虑2x =左边图像，根据图像验证知00x =是方程唯一解，此时1k = 故答案为1,00,1k应选：A【点睛】此题考察了零点问题，对称问题，函数的单调性，画出函数图像是解题的关键.第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在答题卡上．,x y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，那么2z x y =+的最大值为_______.【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：〔阴影局部〕由2z x y =+得y ＝﹣12x +12z ，平移直线y ＝﹣12x +12z ， 由图象可知当直线y ＝﹣12x +12z 经过点A 时，直线y ＝﹣12x +12z 的截距最大，此时z 最大． 由40220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得A 〔2，2〕，代入目的函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6.故答案为：6．【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用图象平行求得目的函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的根本方法，属于根底题．{}n a 满足481a =，2336a a +=，那么n a =_______.【答案】3n 【解析】 【分析】将条件转化为根本量a 1，q 的方程组，解方程组得到a 1，q ，进而可以得到a n ． 【详解】在正项等比数列{}n a 中，481a =，2336a a +=，得312118136a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得133a q =⎧⎨=⎩，∴a n ＝11n a q -⋅＝3•3n ﹣1＝3n . 故答案为：3n【点睛】此题考察了等比数列的通项公式，主要考察计算才能，属于根底题．a ，b 满足，3b =，且()b a b ⊥-，那么向量a 与b 的夹角的大小为______.【答案】6π【解析】 【分析】根据()b a b ⊥-得到()0b a b ⋅-=，计算得到答案. 【详解】设向量a 与b 的夹角为θ，()()223cos 30b a bb a b a b b θ⊥-∴⋅-=⋅-=-= cos 6πθθ∴== 故答案为：6π 【点睛】此题考察了向量的夹角，意在考察学生的计算才能.16.如图，在边长为2的正方形123APP P 中，边12PP ，23P P 的中点分别为B ，C ，现将1APB ∆，2BP C ∆，3CP A ∆分别沿AB ，BC ，CA 折起使点1P ，2P ，3P 重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P ABC -．那么三棱锥P ABC -的外接球体积为____________6π 【解析】 【分析】根据,,PA PB PC 两两垂直得到2222112R =++. 【详解】易知,,PA PB PC 两两垂直，2,1PA PB PC ===将三棱锥P ABC -放入对应的长方体内得到22262112R R =++=3463V R ππ==6π【点睛】此题考察了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键. 三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22223b c a +-=. 〔1〕求sin A 的值；〔2〕假设ABC ∆223sin B C =，求ABC ∆的周长. 【答案】〔1〕13；〔2〕2632【解析】 【分析】〔1〕由条件结合余弦定理可求cos A 的值，进而根据同角三角函数根本关系式可求sin A 的值．〔2〕利用三角形的面积公式可求bc b ＝3c ，解得b ，c 的值，根据余弦定理可求a 的值，即可求解三角形的周长．【详解】〔1〕∵222b c a +-=，∴由余弦定理可得2bc cos A bc ，∴cos A ＝3，∴在△ABC 中，sin A ＝13．〔2〕∵△ABC ，即12bc sin A ＝16bc ，∴bc ＝，sin B ＝3sin C b ＝3c ，∴b ＝，c ＝2，那么a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝6，a ∴=2abc ++=+【点睛】此题主要考察了余弦定理，同角三角函数根本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于中档题．18.某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进展5G 手机购置意向的调查，将方案在今年购置5G 手机的员工称为“追光族〞，方案在明年及明年以后才购置5G 手机的员工称为“观望者〞调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族〞的女性员工和男性员工各有20人.〔Ⅰ〕完成以下22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族〞与“性别〞有关；〔Ⅱ〕被抽取的这l00名员工中有6名是HY 的员工，这6名中有3名属于“追光族〞现从这6名中随机抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族〞的概率．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】〔Ⅰ〕表见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族〞与“性別〞有关.〔Ⅱ〕9 20【解析】【分析】〔Ⅰ〕完善列联表，计算2 2.778 3.841K≈<得到结论.〔Ⅱ〕设HY的这6名中的3名“追光族〞分别为“a，b，c〞，3名“观望者〞分别为“A，B，C，列出所有情况计算得到答案.【详解】〔Ⅰ〕由题，22⨯列联表如下：∵()2210020202040252.7783.841406040609K⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族〞与“性別〞有关.〔Ⅱ〕设HY的这6名中的3名“追光族〞分别为“a，b，c〞，3名“观望者〞分别为“A，B ，C 〞.那么从HY 的这6名中随机抽取3名的所有可能情况有“,,a b c ；,,a b A ；,,a b B ；,,a b C ；,,a c A ；,,a c B ；,,a c C ；,,b c A ；,,b c B ；,,b c C ；,,a A B ；,,a A C ；,,a B C ；,,b A B ；,,b A C ；,,b B C ；,,c A B ；,,c A C ；,,c B C ；,,A B C 〞一共20种.其中，抽取到的3名中恰有1名属于“追光族〞的所有可能情况有“,,a A B ；,,a A C ；,,a B C ；,,b A B ；,,b A C ；,,b B C ；,,c A B ；,,c A C ；,,c B C 〞一共9种.∴抽取到的3名中恰有1名属于“追光族〞的概率920P =. 【点睛】此题考察了列联表，概率的计算，意在考察学生的计算才能和应用才能.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，E ，F 分别为BC ，CD 的中点．〔Ⅰ〕证明：BC ⊥平面PAE ； 〔Ⅱ〕点Q 在棱PB 上，且13PQ PB =，证明：//PD 平面QAF ． 【答案】〔Ⅰ〕证明见解析〔Ⅱ〕证明见解析 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕证明BC AE ⊥和BC AP ⊥得到BC ⊥平面PAE . 〔Ⅱ〕根据相似得到PDQM 证明PD 平面QAF .【详解】〔Ⅰ〕如图，连接AC .∵底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒， ∴三角形ABC 为正三角形.∵E 为BC 的中点，∴BC AE ⊥.又∵AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴BC AP ⊥. ∵APAE A =，,AP AE ⊂平面PAE ，∴BC ⊥平面PAE .〔Ⅱ〕连接BD 交AF 于点M ，连接QM . ∵F 为CD 的中点，∴在底面ABCD 中，12DM DF MB AB ==，∴13DM DB =. ∴13PQ DM PB DB ==，∴在三角形BPD 中，//PD QM . 又∵QM ⊂平面QAF ，PD ⊄平面QAF ， ∴//PD 平面QAF .【点睛】此题考察了线面垂直和线面平行，意在考察学生的空间想象才能和推断才能.()()1ln af x a x x x=-++，a R ∈，()'f x 为函数()f x 的导函数. 〔Ⅰ〕讨论函数()f x 的单调性；〔Ⅱ〕当2a =时，证明()()2'f x f x x x-≤+对任意的[]1,2x ∈都成立. 【答案】〔Ⅰ〕见解析〔Ⅱ〕证明见解析 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕求导得到()()()21'x x a f x x -+=讨论0a ≥，10a -<<，1a =-和1a <-四种情况得到答案.〔Ⅱ〕要证明()()2'f x f x x x -≤+即()212ln 10x x h x x=-+-≤，求导得到函数 ()max 0h x =得到证明.【详解】〔Ⅰ〕()()22211'1f x a x a a x x a x x+---=+-=()()21x x a x -+=. ∵0x >，a R ∈，∴当0a ≥时，0x a +>，函数()f x 在()0,1内单调递减，在()1,+∞内单调递增； 当10a -<<时，01a <-<，函数()f x 在()0,a -内单调递增， 在(),1a -内单调递减，在()1,+∞内单调递增； 当1a =-时，()()221'0x f x x-=≥，函数()f x 在()0,∞+内单调递增；当1a <-时，1a ->，函数()f x 在()0,1内单调递增，在()1,a -内单调递减， 在(),a -+∞内单调递增.〔Ⅱ〕当2a =时，()2ln x x f x x =++，()21'12x f xx =+-，[]1,2x ∈. ∴()()2212l 'n 1x x x x f x f xx --=-+--.令()212ln 1x x x h x =-+-，那么()22331144'x h x x x x x x+-=+-=. 令()24x x x u =+-，∵函数()u x 在[]1,2内单调递增，()10u <，()20u >，∴存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0h x =.∵当()01,x x ∈时，()0'0h x <；当()0,2x x ∈时，()0'0h x >； ∴函数()h x 在()01,x 内单调递减，在()02x ,内单调递增. 又∵()10h =，()2ln 210h =-<， ∴()max 0h x =，即()()2'f x f x x x-≤+对任意的[]1,2x ∈都成立. 【点睛】此题考察了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键C ：2212x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线〔不与x 轴重合〕与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：2x =与x 轴相交于点H ，E 为线段FH 的中点，直线BF 与直线l 的交点为D . 〔Ⅰ〕求四边形OAHB 〔O 为坐标原点〕面积的取值范围； 〔Ⅱ〕证明直线AD 与x 轴平行.【答案】〔Ⅰ〕(〔Ⅱ〕证明见解析 【解析】【分析】〔Ⅰ〕令直线AB ：()1x my m R =+∈，联立方程利用韦达定理得到12222my y m +=-+，12212y y m =-+，S =t =带入化简得到答案.〔Ⅱ〕直线BE 的方程为223322y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，令2x =得，221212D y y my =-.代入〔Ⅰ〕中式子化简得到答案.【详解】〔Ⅰ〕由题，()1,0F ，令直线AB ：()1x my m R =+∈，()11,A x y ，()22,B x y .联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得()222210m y my ++-=. ∵()224420m m ∆=++>，12222m y y m +=-+，12212y y m =-+， ∴12y y -===∴四边形OAHB 的面积211212S OH y y y y =⋅-=-=t =，∴1t≥，∴S t t==+∵12t t+≥〔当且仅当1t =即0m =时取等号〕，∴0S <≤.∴四边形OAHB 面积的取值范围为(. 〔Ⅱ〕∵()2,0H ，()1,0F ，∴3,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴直线BE 的斜率2232y k x =-，直线BE 的方程为223322y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-.令2x =得，221212D y y my =-.……①由〔Ⅰ〕，12222m y y m +=-+，12212y y m =-+.∴12122y y my y +=，1222111222y y y my y y +==+. 化简①，得22122111221112222D y y y y y my y ===-+-. ∴直线AD 与x 轴平行.【点睛】此题考察了面积的范围，直线的平行问题，意在考察学生的计算才能和综合应用才能.请考生在第22，23题中任选择一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分，答题时，需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．xOy 中，P 是曲线1C ：22(2)4x y +-=上的动点，将OP 绕点O 顺时针旋转90︒得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 〔1〕求曲线1C ，2C 的极坐标方程； 〔2〕在极坐标系中，点(3,)2M π，射线(0)6πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别相交于异于极点O 的,A B 两点，求MAB ∆的面积.【答案】〔1〕曲线1C ：4sin ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=；〔2【解析】 【分析】〔1〕由题意，点Q 的轨迹是以〔2，0〕为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得曲线C 1，C 2的极坐标方程；〔2〕在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB |＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M 〔3，2π〕到射线()06πθρ=≥的间隔 h＝3sin 32π=，即可求得△MAB 的面积．【详解】〔1〕由题意，点Q 的轨迹是以〔2，0〕为圆心，以2为半径的圆，那么曲线C 2：22(2)4x y -+=，∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；〔2〕在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，124sincos1).66AB ππρρ∴=-=-=又点(3,)2M π到射线(0)6πθρ=≥的间隔 为3sin32h π==MAB ∴∆的面积12S AB h =⋅= 【点睛】此题考察简单曲线的极坐标方程，考察参数方程化普通方程，考察计算才能，属于中档题．() 3.f x x =-〔1〕解不等式()421f x x ≥-+；〔2〕假设142(0,0)m n m n+=>>，求证：3().2m n x f x +≥+-【答案】〔1〕2(,][0,)3-∞-⋃+∞；〔2〕见解析. 【解析】 【分析】〔1〕原不等式可化为：|x ﹣3|≥4﹣|2x +1|，即|2x +1|+|x ﹣3|≥4，分段讨论求出即可；〔2〕由根本不等式得m n +的最小值92，转化为|x +32|﹣f 〔x 〕≤92恒成立即可．【详解】〔1〕原不等式化为3421x x -≥-+，即213 4.x x ++-≥ ①12x ≤-时，不等式化为2134x x ---+≥，解得23x ≤-； ②132x -<<时，不等式化为2134x x +-+≥，解得0x ≥，03x ∴≤<；③3x ≥时，不等式化为2134x x ++-≥，解得2x ≥，3x ∴≥. 综上可得：原不等式解集为2(,][0,)3-∞-⋃+∞.〔2〕() 3.f x x =-3339()3(3)2222x f x x x x x ∴+-=+--≤+--=， 当且仅当3()(3)02x x +-≥且332x x +≥-142(0,0)m n m n+=>>，1141419()()(5)(52222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=， 当且仅当4n m m n=时取等号.∴3().2m n x f x +≥+-【点睛】考察绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，利用分类讨论的思想结合绝对值的性质和根本不等式的应用，属于中档题．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

普高2021届第一次诊断性考试数学试题(文史类)一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.{}1A x x =，2{|230}B x x x =--<，那么A B ⋂=〔 〕A. {|13}x x <<B. {|1x x <-或者1}x ≥C. {}3x x D. {}1x x【答案】A 【解析】 【分析】求出B 中不等式的解集确定出B ，求出A 与B 的交集即可．【详解】{}1A x x =，由B 中不等式变形得：()310x x （）-+< ， 解得：13x -<< ，即{|13}B x x =-<< ， ∴A∩B={|13}x x <<， 应选：A ．【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键．23iz i-+=〔其中i 为虚数单位〕，那么复数z 的虚部是〔 〕 A. 2i B. 2i -C. 2-D. 2【答案】D 【解析】 【分析】 计算出23iz i-+=，即可求出复数z 的虚部．【详解】()()()232332i i i z i i i i -+⋅--+===+⋅- 复数z 的虚部是2 应选D.【点睛】此题考察了复数的除法运算，其关键是纯熟掌握其运算法那么．{}n a 的前n 项和为n S ，假设711a =，那么13S =〔 〕A. 66B. 99C. 110D. 143【答案】D 【解析】 【分析】由711a =，那么7!13222,a a a =+= 由等差数列的前n 项和公式可求13S . 【详解】711a =，那么7!13222,a a a =+=那么()1131313143,2a a S ⨯+==应选D.【点睛】此题考察等差数列的性质及等差数列的前n 项和公式.属根底题.1sin()43x π-=，那么sin 2x =〔 〕A. 79B. 79-C.13D. 13-【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算即可得到答案 【详解】227sin2cos 2cos 212sin 1.24499x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 应选A.【点睛】此题考察诱导公式及二倍角公式，属根底题.ABCD 中，8AB =，6AD =，假设向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.49【答案】A 【解析】 【分析】此题是一个几何概型的概率，以AB 为底边，要使面积小于4，那么三角形的高要1h <，得到两个三角形的高即为P 点到AB 和AD 的间隔 ，得到对应区域，利用面积比求概率【详解】由题意知此题是一个几何概型的概率，以AB 为底边，要使面积小于4，由于142ABPSAB h h =⨯=， 那么三角形的高要1h < ，同样，P 点到AD 的间隔 要小于43，满足条件的P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影局部，它的面积是43，∴使得△ABP 与△ADP 的面积都小于4的概率为：4138636＝⨯ ； 应选：A ．【点睛】此题考察几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．6.如下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著?九章算术?中的“更相减损术〞，执行该程序框图，假设输入的,a b 分别为63，36，那么输出的a =〔 〕A. 3B. 6C. 9D. 18【答案】C 【解析】 【分析】由循环构造的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a ，b 的值，即可得到结论． 【详解】由a=63，b=36，满足a ＞b ， 那么a 变为63-36=27， 由a ＜b ，那么b 变为36-27=9， 由b ＜a ，那么a =27-9=18， 由b ＜a ，那么，b=18-9=9，由a=b=9，退出循环，那么输出的a 的值是9． 应选：C ．【点睛】此题考察算法和程序框图，主要考察循环构造的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于根底题．{}n a ，那么123a a a <<是数列{}n a 是递增数列的〔 〕条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进展判断即可．【详解】假设“a 1＜a 2＜a 3〞，那么“数列{a n }是递增数列〞，不一定，充分性不成立，假设“数列{a n }是递增数列〞，那么“a 1＜a 2＜a 3〞成立，即必要性成立，故“a 1＜a 2＜a 3〞是“数列{a n }是递增数列〞的必要条件． 应选B.【点睛】此题考察充分条件和必要条件的判断，属根底题.()sin 2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，那么()g x 具有性质〔 〕A. 在(0,)4π上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线34x π=对称 C. 在3(,)88ππ-上单调递增，为奇函数 D. 周期为π，图象关于点3(,0)8π对称【答案】A 【解析】 【分析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象变换规律，求得g 〔x 〕的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论．【详解】将函数()sin2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数sin 2cos 24g x x x π=-=-（）（） 的图象，故当x∈0,4π⎛⎫⎪⎝⎭时，2x∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，故函数g 〔x 〕在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数， 应选A ．【点睛】此题主要考察诱导公式的应用，函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于根底题．ABCD 中，2AC =，1BD =，那么()()AB DC CA DB +⋅+=〔 〕A. 5B. 5-C. 3-D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算化简AB DC CA DB ，，++.利用向量数量积的运算性质即可得到结论.【详解】()()()()()()AB DC CA DB AC CB DB BC CA DB AC DB CA DB +⋅+=+++⋅+=+⋅+()()2241 3.AC DB DB AC DB AC =+⋅-=-=-=【点睛】此题考察向量的线性运算和向量数量积的运算性质，属根底题()(1)()f x x ax c =-+〔,a c 为实数〕为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，那么(1)0f x -<的解集为〔 〕 A. (0,2)B. (2,0)-C. (,2)(0,)-∞-+∞ D.(,0)(2,)-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，求出a ，c 的关系，结合函数的单调性判断a 的符号，然后根据不等式的解法进展求解即可．【详解】∵()()()1f x x ax c =-+=ax 2+〔c-a 〕x-c 为偶函数， ∴f〔-x 〕=f 〔x 〕，那么ax 2-〔c-a 〕x-c=ax 2+〔c-a 〕x-b ， 即-〔b-c 〕=c-a ， 得c-a=0，得c=a ，那么f 〔x 〕=ax 2-a=a 〔x 2-1〕， 假设f 〔x 〕在〔0，+∞〕单调递减， 那么a ＜0，由f 〔1-x 〕＜0得a[〔1-x 〕2-1〕]＜0，即〔1-x 〕2-1＞0，得x ＞2或者x ＜0，即不等式的解集为〔()(),02,-∞⋃+∞， 应选 D .．【点睛】此题主要考察不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a ，c 的关系是解决此题的关键．1111ABCD A B C D -的顶点都在体积为288π的球O 的球面上，那么长方体1111ABCD A B C D -的外表积的最大值等于〔 〕A. 576B. 288C. 144D. 72【答案】B 【解析】 【分析】求出球的半径，设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是球的直径，推出长方体的外表积的表达式，然后求出最大值．【详解】由球的体积为288π，可得34288,6,3R R ππ=∴= 设长方体的三边为：a ，b ，c ，球的直径就是长方体的对角线的长，由题意可知222212144a b c ++== ，长方体的外表积为：222222222288ab ac bc a b c ++≤++= ；当a=b=c 时获得最大值，也就是长方体为正方体时外表积最大． 应选B.．【点睛】此题考察长方体的外接球的知识，长方体的外表积的最大值的求法，根本不等式的应用，考察计算才能；注意利用根本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用．,,a b m ，以下说法：①假设a b >，那么22am bm >；②假设a b >，那么a a b b >；③假设0,0b a m >>>，那么a m ab m b+>+；④假设0a b >>，且ln ln a b =，那么2)a b +∈+∞，其中正确的命题的个数〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由不等式可乘性，即可判断①；由f 〔x 〕=x|x|在R 上递增，可判断②；运用作差和不等式的性质，可判断③；运用绝对值函数y=|lnx|的图象和性质，以及对勾函数的单调性，可判断④．【详解】对于实数,,a b m ，①假设a b >，那么m=0，22am bm =，不成立； ②由f 〔x 〕=x|x|为奇函数，且x≥0时，f 〔x 〕递增，可得f 〔x 〕在R 上递增， 假设a ＞b ，那么a|a|＞b|b|成立； ③假设b ＞a ＞0，m ＞0，那么()()()0a m a ab bm ab am m b a b m b b b m b a b ++----==+++， 可得a m a b m b+>+成立； ④假设a ＞b ＞0且|lna|=|lnb|，那么lna ＞lnb ，即有a ＞1，0＜b ＜1，可得lna+lnb=0，即1122ab a b a a，=+=+在〔1，+∞〕递增，可得23a b （，）+∈+∞ 成立．所以④不正确． 应选：B ．【点睛】此题考察函数的性质和运用，注意运用函数的单调性和奇偶性、以及不等式的性质，考察运算才能，属于中档题．二、填空题〔每一小题4分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕 13.sin(675)-=_______．【解析】 【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果． 【详解】sin 675sin 180445sin 452-︒=-︒⨯+︒=︒=（）（）．即答案为2.【点睛】此题主要考察应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于根底题．,x y 满足约束条件2202402x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，那么2u x y =+的最小值为_______．【答案】72【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目的函数得答案．【详解】由约束条件2202402x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图，令2u x y =+，化为22x u y -+＝ ，由图可知，当直线22x u y -+＝过点312B （，） 时，直线在y 轴上的截距最小，3721.22u =+⨯=u 有最小值为72． 故答案为72．【点睛】此题考察简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.通常，满分是为100分的试卷，60100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[)24,36，[)36,48，…，[]84,96分组后绘制的频率分布直方图如下图.由于及格人数较少，某位教师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整〞的方法进展换算以进步及格率〔实数a 的取整等于不超过a 的最大整数〕，如：某位学生卷面49分，那么换算成70分作为他的最终考试成绩，那么按照这种方式，这次测试的及格率将变为__________．〔结果用小数表示〕【答案】0.82 【解析】分析：结合题意可知低于36分的为不及格，从而算出及格率详解：由题意可知低于36分的为不及格，假设某位学生卷面36分，那么换算成60分作为最终成绩，由频率直方图可得[)2436，组的频率为0.015120.18⨯=，所以这次测试的及格率为10.180.82-=点睛：此题考察了频率分布直方图，频率的计算方法为：频率频率组距组距=⨯，结合题目要求的转化分数即可算出结果。

2021届高三数学第一次诊断性试题 文〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的.z =21i+在复平面内对应的点位于〔 〕 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标后即可得到答案． 【详解】由题意得22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， 所以复数21iz =+在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限． 应选D ．【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的几何意义，属于根底题．{}2(,)|A x y y x ==，{(,)|}B x y y x ==，那么A B =( )A. {(0,0)}B. {(1,1)}C. {(0,0),(1,1)}D. {0,1}【答案】C 【解析】 【分析】集合A ,B 分别表示抛物线，直线上的点构成的集合，其交点构成集合即为交集.【详解】由2y x y x ⎧=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或者11x y =⎧⎨=⎩，A B ∴={(0,0),(1,1)}，应选：C【点睛】此题主要考察了集合的交集，求直线与抛物线交点，属于容易题.sin6a π=，2log 3b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么( )A. a c b <<B. c a b <<C. b a c <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用相关知识分析各值的范围，即可比拟大小. 【详解】1sin62a π==, 21log 32b <=<,12343111421202c ⎛⎫=<= ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,c a b ∴<<,应选：B【点睛】此题主要考察了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题.x 、y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+，且变量x 、y 之间的一-组相关数据如下表所示，那么以下说法错误的选项是．．．．．．〔 〕A. 可以预测，当20x 时， 3.7y =-B. 4m =C. 变量x 、y 之间呈负相关关系D. 该回归直线必过点()9,4【答案】B 【解析】 【分析】 将20x的值代入回归直线方程可判断出A 选项的正误；将(),x y 的坐标代入回归直线方程可计算出实数m 的值，可判断出B 选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C 选项的正误；根据回归直线过点(),x y 可判断出D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，当20x 时，0.72010.3 3.7y =-⨯+=-，A 选项正确；对于B 选项，6810+1292x ++==，6321144m m y ++++==，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得110.7910.344m +=-⨯+=，解得5m =，B 选项错误； 对于C 选项，由于回归直线方程的斜率为负，那么变量x 、y 之间呈负相关关系，C 选项正确；对于D 选项，由B 选项可知，回归直线0.710.3y x =-+必过点()9,4，D 选项正确.应选B. 【点睛】此题考察回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考察分析问题和解决问题的才能，属于根底题.A ，B ，C 不一共线，那么“AB 与AC 的夹角为3π〞是“AB AC BC +>〞的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的性质,可判断AB AC BC +>与AB 与AC 的夹角为3π的推出关系，即可求解.【详解】当AB 与AC 的夹角为3π时 222=||+2+||2=2||||cos03AB AC AB AB AC AC AB AC AB AC π+⋅⋅⋅⋅>，，222222=||+2+||||2+||||AB AC AB AB AC AC AB AB AC AC AC AB ∴+⋅>-⋅=-，||AB AC AC AB BC ∴+>-=，当AB AC BC +>时，2222222=||+2+||||2+|||||AB AC AB AB AC AC AB AB AC AC AC AB BC +⋅>-⋅=-=，化简得：0AB AC ⋅>， A ，B ，C 不一共线，∴AB 与AC 的夹角为锐角，所以“AB 与AC 的夹角为3π〞是“AB AC BC +>〞的充分不必要条件， 应选：A【点睛】此题主要考察了数量积的运算性质，充分不必要条件，属于中档题.()sin f x x =和函数()sin g x x =的结论，正确的选项是( )A. ()g x 值域是[1,1]-B. ()0f x ≥C. ()()2f x f x π+=D. ()()g x g x π+=【答案】D【解析】 【分析】根据正弦函数的值域，周期性分别分析(),()f x g x 即可. 【详解】()sin g x x =,(0)1g x ∴≤≤,()()|sin()||sin ||sin |g x x x g x x ππ∴+=+=-==,故A 错误D 正确，()sin f x x =，||0x ≥，()[1,1]f x ∴∈-，()()2sin |2|f x x f x ππ∴+=+≠故B,C 错误， 应选：D【点睛】此题主要考察了正弦函数的值域，周期性，属于容易题.()21cos 4f x x x =+，那么其导函数()f x '的图象大致是( ) A.B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】求函数导数，观察图象，确定导函数的奇偶性，再利用导数确定导函数的单调性，即可求解.【详解】()21cos 4f x x x =+, 1()sin 2f x x x '∴=-, 1()sin ()2f x x x f x ''∴-=-+=-,即函数为奇函数，排除B ,D 选项， 令()()g x f x '=-， 那么1()cos 2g x x '=-， 当(0,)3x π∈时，()0g x '<，()f x '∴在(0,)3x π∈上单调递减，应选：A【点睛】此题主要考察了函数的导数，利用导数断定函数单调性，函数的奇偶性，属于中档题.m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出以下命题：①假设//n α，βn//，那么//αβ；②假设//m α，//m n ，那么//n α；③假设m α⊥，m β⊥，那么//αβ；④假设m α⊥，//αβ，那么m β⊥.其中所有正确命题序号是( ) A. ③④ B. ②④C. ①②D. ①③【答案】A 【解析】 【分析】在①中，α与β相交或者平行；在②中，//n α或者n ⊂α；在③中，由线面垂直的性质定定理得//αβ；在④中，由线面垂直的断定定理得m β⊥．【详解】由m ，n 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，知：在①中，假设//n α，//n β，那么α与β相交或者平行，故①错误； 在②中，假设//m α，//m n ，那么//n α或者n ⊂α，故②错误；在③中，假设m α⊥，m β⊥，那么由线面垂直的性质定理得//αβ，故③正确； 在④中，假设m α⊥，//αβ，那么由线面垂直的断定定理得m β⊥，故④正确． 故答案为：③④．【点睛】此题主要考察了命题真假的判断，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能、空间想象才能，考察化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．C ：22221x y a b-=〔0a >，0b >〕的一条渐近线的倾斜角为140°，那么C 的离心率为( ) A. 2sin 40︒B. 2cos40︒C.1sin 50︒D.1cos50︒【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程，列出关系式，即可求解双曲线的离心率. 【详解】渐近线的倾斜角为140°tan140tan 40,ba-=︒=-︒tan 40=︒，2221tan 40sec 40e ∴=+︒=︒1cos 40i 01s n 5e ︒∴==︒，应选：C【点睛】此题主要考察了双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考察计算才能，属于中档题.()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且()()2x f x g x e +=，假设关于x 的方程()()20f x mg x -=在区间(0,2]内有解，那么实数m 的最小值为( )A. 4B.C. 8D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性，构造方程可解的(),()f x g x ，原方程有解可转化为222()x x x xe e m e e--+=-在(0,2]有解，换元x x t e e -=-，求函数42y t t=+的最小值即可.【详解】()()2x f x g x e +=,()()2x f x g x e -∴-+-=，又函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数,()()2x f x g x e -∴-=,()2x x e e f x -+∴=，()4x xe e g x --=， ()()20f x mg x -=在(0,2]有解，222()x x x xe e m e e--+∴=-在(0,2]内有解， 令x x t e e -=-，t 是增函数， 那么220t e e -<≤-，即2222()2[()2]42x x x x x x x xe e e e m t e e e e t----+-+===+--在22(0,]e e --有解，4222()42y t t t t=+=+≥，当且仅当2t =时，等号成立， m ∴的最小值42，应选：B【点睛】此题主要考察了函数奇偶性的运用，函数与方程，均值不等式，换元法，属于中档题. .11.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，AB AC ⊥，那么四棱锥111A BCC B -的外接球的体积是( )A. 43πB. 12πC. 83D. 43【答案】A 【解析】 【分析】连接1BC ，由11A BC ∆, 1CBC ∆, 11B BC ∆都是以1BC 为斜边的直角三角形可知球的直径为1BC ，即可求解.【详解】连接1BC ,AB AC ⊥,1AA AC ⊥,1AA AB A =,AC ∴⊥平面1A B ,∴11A C ⊥平面1A B ,111AC A B ∴⊥,11A BC ∴∆, 1CBC ∆, 11B BC ∆都是以1BC 为斜边的直角三角形,1BC ∴是四棱锥111A BCC B -的外接球的直径，12AB AC AA ===，在1Rt CC B ∆中，可解得1223BC R ==34433V R ππ∴==，应选：A【点睛】此题主要考察了四棱锥的外接球，利用直角三角形确定球的直径是关键，属于中档题.()1,0,3,0.x e a x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩〔a R ∈〕，假设方程()20f x -=恰有3个不同的根，那么a 的取值范围是( ) A. (,0)-∞B. (,1)-∞C. (,0]-∞D.(,1]-∞【答案】B【解析】 【分析】由题意可知，当0x ≤时显然方程有一个根，问题转化为当0x >时，12x e a x-+=有2个根，即1x y e-=与(2)y a x =-的图象有2个交点，求出特殊位置相切时斜率即可求解.【详解】当0x ≤时，()20f x -=即为320x +-=， 即1x =-， 所以方程有1根，又方程()20f x -=恰有3个不同的根， 所以当0x >时，()20f x -=有2个根， 即1(2)x ea x -=-有2个根，所以1x y e -=与(2)y a x =-的图象有2个交点，设过原点与1x y e-=相切的直线切点为010(,)x x e-，那么切线斜率0011000()0x x e k f x e x ---'===-， 解得01x =， 所以1k =，所以(2)y a x =-与1x y e -=有2个交点那么需21a ->，即1a <， 应选：B【点睛】此题主要考察了函数与方程，由方程根的个数求参数，直线与曲线相切，属于中档题.二、填空题：本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分.13.lg 0.252lg 2+=________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据对数运算法那么求解即可.【详解】lg0.252lg 2lg0.25lg 4lg10+=+==, 故答案为：0【点睛】此题主要考察了对数的运算法那么，属于容易题. 14.tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么tan α=________. 【答案】-3. 【解析】 【分析】由两角差的正切公式展开，解关于tan α的方程．【详解】因为tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 12tan 31tan ααα-=⇒=-+． 【点睛】此题考察两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号．C ：22y px =〔0p >〕的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交l 于点A ，假设3PF FQ =，那么AQQF=________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，利用平行线分线段成比例，即可推导出所求结果.【详解】过P ，Q 分别作PM,QN 垂直准线l 于,M N ,如图：3PF FQ =，1||||4QF PQ ∴=, 由抛物线定义知，||||,||||PM PF QF QN ==, ||3||PM QN ∴=, //PM QN , ||||1||||3AQ QN AP PM ∴==, 11||||4||2||22AQ QP QF QF ∴==⨯=,2AQQF∴=， 故答案为：2【点睛】此题主要考察了抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，属于中档题.的“三斜公式〞，设ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，那么“三斜求积〞公式为S =.假设2sin 4sin()a C B C =+，22()12a c b +=+，那么用“三斜求积〞公式求得ABC ∆的面积为________.【解析】 【分析】根据条件求出ac ，222c a b +-代入求解即可. 【详解】2sin 4sin()a C B C =+,2sin 4sin a C A =24a c a ∴⋅=,4ac ∴=,22()12a c b +=+,2221224a c b ac ∴+-=-=,S ===【点睛】此题主要考察了正弦定理，考察了推理才能，计算才能，属于中档题.三、解答题：一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题：一共60分17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA PD =，PA AB ⊥，N 是棱AD 的中点.(1)求证：PN 平面ABCD ；(2)在棱BC 上是否存在点E ，使得//BN 平面DEP ？并说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析. 【解析】 【分析】〔1〕先证明AB ⊥平面PAD ，可得平面ABCD ⊥平面PAD ，由面面垂直的性质可证PN平面ABCD 〔2〕取BC 中点E ，连接PE ，DE ，根据平行四边形可得,BN DE 线线平行，即可证明线面平行.【详解】(1)由底面ABCD 是矩形，知AB AD ⊥，AB PA ⊥ 又PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PADAB ∴⊥平面PAD又AB平面ABCD∴平面ABCD ⊥平面PAD由PA PD =，N 是棱AD 的中点得：PN AD平面ABCD平面PAD AD = ， PN ⊂平面PADPN ∴⊥平面ABCD(2)在棱BC 上存在点E ，使得//BN 平面DEP ，且E 为BC 的中点. 证明如下：如图取BC 中点E ，连接PE ，DE在矩形ABCD 中，//ND BE ，ND BE =∴四边形BNDE 是平行四边形//BN DE ∴BN ⊄平面DEP ，DE ⊂平面DEP//BN 平面DEP .【点睛】此题主要考察了线面垂直的断定与性质，面面垂直的断定与性质，线面平行的断定，属于中档题.{}n a 的前n 项和n S 满足()241n n S a =+〔*N n ∈〕.(1)证明：数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式； (2)设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析，21n a n =-；(2)2122323n n n T ++-=.【解析】 【分析】〔1〕根据n S 与n a 的递推关系的关系求出通项公式即可〔2〕由〔1〕可知21212n n b n -=-+，利用分组求和的方法，根据等差数列和等比数列的求和公式即可求解. 【详解】(1)由()241n n S a =+()*n N ∈知：当1n =时，有()21141a a =+， 10a >，解得11a =由()241n n S a =+， ()21141n n S a ++=+两式相减，得：()()2211411n n n a a a ++=+-+，化简得：2211220n n n n a a a a ++---=变形得：()()1120n n n n a a a a +++--= 对*n N ∀∈，有0n a >10n n a a +∴-=，即12n n a a +-=故 数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列21n a n ∴=-(2)2n an n b a =+，21n a n =-21212n n b n -∴=-+(1321)n T n ∴=+++-()35212222n -+++++()214[1(21)]214n n n -+-=+-22423n n ⨯-=+2122323n n ++-= 2122323n n n T ++-∴=【点睛】此题主要考察了数列的递推关系，等差数列、等比数列的求和公式，分组求和，属于中档题.19.“绿水青山就是金山银山〞，“建立美丽中国〞已成为HY 中国特色HY 生态文明建立的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为理解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度〔单位：cm 〕，经统计，树苗的高度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，[27,29)，[29,31]分成6组，制成如下图的频率分布直方图.据当地柏树苗生长规律，高度不低于27cm 的为优质树苗.(1)求图中a 的值；(2)所抽取的这120株树苗来自于A ，B 两个试验区，局部数据如以下联表： A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完好，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由；(3)通过用分层抽样方法从B 试验区被选中的树苗中抽取5株，假设从这5株树苗中随机抽取2株，求优质树苗和非优质树苗各有1株的概率.附：参考公式与参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++()20P K k ≥0k7.879【答案】(1)0.025；(2)没有，理由见解析；(3)35. 【解析】 【分析】〔1〕根据频率分布直方图计算即可〔2〕由题意完善列联表，计算2K ，比拟临界值即可得出结论〔3〕根据分层抽样抽出的5株树苗中优质树苗和非优质树苗分别为2株和3株，记2株优质树苗为1a 、2a ，记3株非优质树苗为1b 、2b 、3b ，列出根本领件，利用古典概型求解即可.【详解】(1)根据频率直方图数据，有2(22a a ⨯⨯++0.1020.20)1⨯+=，解得：0.025a =.(2)根据频率直方图可知，样本中优质树苗棵树有120(0.1020.0252)30⨯⨯+⨯= 列联表如下：可得；22120(10302060)70503090K ⨯-⨯=⨯⨯⨯7210.310.8287=<< 所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与,A B 两个试验区有关系注：也可由22120(10302060)70503090K ⨯-⨯=⨯⨯⨯7210.28610.8287=≈<得出结论(3)由(2)知：B 试验区选中的树苗中优质树苗有20株，非优质树苗有30故用分层抽样在这50株抽出的5株树苗中优质树苗和非优质树苗分别为2株和3株 记2株优质树苗为1a 、2a ，记3株非优质树苗为1b 、2b 、3b 那么从这5株树苗中随机抽取2株的一共有以下10种不同结果：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，其中，优质树苗和非优质树苗各有1株的一共有以下一共6种不同结果：()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b∴优质树苗和非优质树苗各有1株的概率为63105=. 【点睛】此题主要考察了频率分布直方图，HY 性检验，古典概型，属于中档题.()x f x ax e =-.(1)当1a e=时，求函数()f x 的单调区间及极值； (2)当22a e ≤≤+时，求证：()2f x x ≤.【答案】(1)()f x 的单调增区间为(,1)-∞-，单调减区间为(1,)-+∞；()2ef x =-极大值，没有极小值；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】〔1〕求函数的导数，利用导数求函数的单调区间、极值即可〔2〕构造函数()()2F x x f x =-，利用导数，分类讨论求函数()F x 的最小值，转化为最小值不小于0即可，也可构造函数后变换主元为()()2xg a ax e x =-+求其最大值也可证明.【详解】(1)当1a e =时，1()xf x x e e =-，()1x f x e e='-在R 上单调递减 由()0f x '=得：1x =-∴当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '< ∴函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-，单调减区间为(1,)-+∞.()2(1)ex f f =-=-极大值，但()f x 没有极小值. (2)证明：证法一 令()()2F x x f x =-(2)x e a x =--①当2a =时，()0xF x e =>，故()2f x x < ②当22a e <≤+时，()(2)xF x e a '=--在R 上是增函数 由()(2)0xF x e a '=--=得：ln(2)x a =- ∴当ln(2)x a <-时，()0F x '<，()F x 在(,ln(2))a -∞-上单调递减当ln(2)x a >-时，()0F x '>，()F x 在(ln(2),)a -+∞上单调递增()min (ln(2))F x F a ∴=-ln(2)(2)ln(2)a e a a -=---(2)[1ln(2)]a a =---()(2)[1ln(2)]F x a a ∴≥---由22a e <≤+知：02a e <-≤ln(2)1a ∴-≤，于是1ln(2)0a --≥()0F x ∴≥，即()2f x x ≤综上所述，当22a e ≤≤+时，()2f x x ≤.证法二()2f x x ≤即()20x ax e x -+≤，其中22a e ≤≤+，x ∈R以a 为主元，设()()2x g a ax e x =-+，22a e ≤≤+，那么 当22a e ≤≤+时，()0g a ≤⇔(2)0(2)0x x g e g e ex e ⎧=-≤⎨+=-≤⎩. 由0x e >知(2)0xg e =-≤对任意x ∈R 成立.令()x h x ex e =-，那么()x h x e e '=-在R 上单调递减 又()10h '=∴当1x <时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<()()max 10h x h ∴==∴对任意x ∈R ，都有()0h x ≤，即0x ex e -≤综上所述，当22a e ≤≤+时，()2f x x ≤.【点睛】此题主要考察了利用导数求函数的单调区间及极值，利用导数证明不等式恒成立，属于难题.21.在平面直角坐标系中，点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 满足直线AP 与BP 的斜率之积为34-.记点P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)假设M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 过点10,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠？假设存在，恳求出定点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】(1)22142(2)x y x +=≠±，椭圆；(2)存在，(0,6)Q . 【解析】【分析】〔1〕写出斜率，根据斜率之积为34-建立方程，化简即可〔2〕假设存在的定点(0,)Q m ，分MN 斜率存在或者不存在两种情况讨论，设()11,M x y ，()22,N x y ，当MN 斜率存在时，联立方程可求出1212,x x x x +，根据两角相等可得0MQ NQ k k +=，化简即可求出m ,验证MN 斜率不存在时也成立即可.【详解】(1)由题意得：34PA PB k k =-3(2)224y y x x x ∴⋅=-≠±+- 化简得：221(2)43x y x +=≠± ∴曲线C 的方程为22142(2)x y x +=≠± C ∴是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆〔不含左、右顶点〕(2)假设存在的定点(0,)Q m 符合题意由题意知：直线,AD BD 的斜率分别为14AD k =，14BD k =- 由题意及(1)知：直线MN 与直线,AD BD 均不重合.当直线MN 的斜率k 存在时 设其方程为1124y kx k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y 由MQO NQO ∠=∠，得直线,MQ NQ 的倾斜角互补，故0MQ NQ k k += 又1212MQ NQ y m y m k k x x --+=+12121122kx m kx m x x +-+-=+()1212124(12)2k x m x x x x +-+= ()12124(12)0kx x m x x ∴+-+=① 由221,431.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y ，整理得：()22344110k x kx ++-=. ()221644340k k ∆=++> 又122434k x x k-+=+，1221134x x k -=+② 代②入①得：221144(12)3434k k m k k --⋅+-⋅++28(6)034k m k -==+③ 当14k ≠±时，又k 不恒为０ ∴当且仅当6m =时，③式成立，即定点(0,6)Q 满足题意.当直线MN 的斜率不存在时，点(0,6)Q 满足0MQO NQO ∠=∠=︒，也符合题意. 综上所述，在 y 轴上存在定点(0,6)Q ，使得MQO NQO ∠=∠.【点睛】此题主要考察了轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，定点问题，属于难题. 〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.选修4－4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数，0απ≤<)．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线:4cos C ρθ=.(1)当4πα=时，求C 与l 的交点的极坐标； (2)直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且两点对应的参数12,t t 互为相反数，求||AB 的值．【答案】〔1〕(0,0)，π)4〔2〕【解析】试题分析：〔1〕曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，直线l 的普通方程为y x =，联立解出方程组即可；〔2〕把直线l 的参数方程代入曲线C ，根据12AB t t =-结合韦达定理可得结果.试题解析：〔1〕由4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，所以224x y x +=，即2240x y x +-=， \当π4α=时，直线l的参数方程1,1,2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，化为直角坐标方程为y x =，联立22,40,y x x y x =⎧⎨+-=⎩解得交点为()0,0或者()2,2， 化为极坐标为()0,0，π22,4⎛⎫ ⎪⎝⎭〔2〕把直线l 的参数方程代入曲线C ，得()2220t sin cos t αα+--=，可知120t t +=，122t t ⋅=-，所以()2121212422AB t t t t t t =-=+-=．选修4-5：不等式选讲f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)假设f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【答案】(1) {x |x ≥4或者x ≤1}；(2) [－3，0].【解析】试题分析：〔1〕解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．〔2〕原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围试题解析：〔1〕当a ＝－3时，f 〔x 〕＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f 〔x 〕≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f 〔x 〕≥3无解；当x≥3时，由f 〔x 〕≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f 〔x 〕≥3的解集为{x|x≤1或者x≥4}． 6分〔2〕f 〔x 〕≤|x－4||x －4|－|x －2|≥|x＋a|.当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|〔4－x〕－〔2－x〕≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数创作人：历恰面日期：2020年1月1日。

创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日普高2021届第一次诊断性考试数 学〔文史类〕本试题卷分第一局部〔选择题〕和第二局部〔非选择题〕.第一局部1至3页，第二局部150分.考试时间是是120分钟.在在考试完毕之后以后，只交答复题卡，试题卷学生自己保存.第一局部〔选择题 一共50分〕考前须知：1．选择题必须使需要用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目的号的位置上. 2．本局部一共10小题，每一小题5分，一共50分.一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合{|5}M x N x *=∈<，{|3}N x N x *=∈>，那么=⋂N M 〔A 〕φ 〔B 〕{4} 〔C 〕{3,4,5} 〔D 〕{}35x x << 2. 在数列{a n }中，252,1a a ==，假如数列{}21n a +是等差数列，那么8a 等于创 作人： 历恰面 日 期：2020年1月1日〔A 〕1〔B 〕23〔C 〕12 〔D 〕133. 设R b a ∈,，那么“0>>b a 〞是“ba 11<〞的 〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分又不必要条件 4. 命题:,sin 1P x R x ∀∈≤，那么p ⌝是〔A 〕,sin 1x R x ∃∈≥ 〔B 〕,sin 1x R x ∀∈≥ 〔C 〕,sin 1x R x ∃∈> 〔D 〕,sin 1x R x ∀∈>5. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次英语听力测试中的成绩〔单位：分〕甲组 乙组 96 0 9x2 1 5 y8 74214假设甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为17.5，那么x 、y 的值分别为 〔A 〕2，5 〔B 〕5，5 〔C 〕5，8 〔D 〕8，8 6. 如下图是一个几何体的三视图，假设该几何体的体积为12，那么主视图中三角形的高x 的值是〔A 〕12 〔B 〕34〔C 〕1 〔D 〕32创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日7. 函数3()f x x x =--，123,,x x x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，那么123()()()f x f x f x ++的值是〔A 〕正 〔B 〕负 〔C 〕零 〔D 〕可正可负 8. 为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数cos 2y x =的图象〔A 〕向左平移6π个单位 〔B 〕向右平移6π个单位 〔C 〕向左平移3π个单位 〔D 〕向右平移3π个单位9. 函数()f x 是R 上的偶函数，且对于任意x R ∈都有(1)()f x f x +=-，当[)0,1x ∈时，()f x x =.那么在区间[]3,4-上，函数()f x 的图像与函数1y x -=的图像的交点个数是〔A 〕3 〔B 〕5 〔C 〕7 〔D 〕910. 设正实数x y z 、、满足04322=-+-z y xy x ，那么当zxy获得最小值时，2x y z +-的〔A 〕0 〔B 〕2 〔C 〕98 〔D 〕94答案：BCACD CBDAB创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日第二局部(非选择题 一共100分)考前须知：1. 必须使用墨迹签字笔在答题卡上．2. 本局部一共11小题，一共100分.二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分. 11.312i i+-(i 为虚数单位)的值是 . 12. 右图中所示的是一个算法的框图，31=a ，输出的7b =,那么2a 的值是 .13. 某校高三年级为理解学生学习情况，在2000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次模拟考试成绩，得到了样本的频率分布直方图〔如图〕。