1.2集合的排列与组合

第1章 排列、组合、二项式定理内容提要：本章主要介绍加法原理、乘法原理、排列与组合、多重集合的排列与组合、二项式系数以及一些常见的组合恒等式、集合的分划与第2类Stirling数、正整数的分拆（无序分拆和有序分拆）与分配问题等．排列和组合是人们普遍遇到的、并已被广泛使用的基本概念，只是人们没有从理论上研究它．例如，学生集合站队问题、买水果问题等．如果考虑的对象与秩序有关，则称之为排列问题；如果考虑的对象与秩序无关，则称之为组合问题．除了这种具有普遍意义的排列和组合之外，还有可重复元素的排列和组合问题．为了能深入研究这些问题，下面首先介绍两个最基本最常用的原理．1.1 加法原理（原则）与乘法原理（原则）例如，每周在E校区上4节课，在W校区上8节课，除此之外没有别的课，则每周上4 + 8 = 12节课．这里事件A指的是在E校区上4节课，事件B指的是在W校区上8节课，而每周的课不是在E校区就是在W校区，即属于A或B．如果用集合论的语言描述，则描述如下：证明：当A，B中有一个是空集，定理的结论是平凡的．设A ≠Φ，B ≠Φ，记A = {a1, a 2,L, a m}B = {b1, b 2,L, b n}并做映射Ψ：a i →i（1 ≤i ≤m）b j→m+j（1 ≤j ≤n）因为a i≠b j (1 ≤i ≤m, 1 ≤j ≤n)组合理论及其应用所以 是从A U B 到集合{1，2，L ，m +n }上的一一映射，因而定理成立．【例1】 在所有6位二进制数中，至少有连续4位是1的有多少个？解：把所有满足要求的二进制数分成如下3类：（1）恰有4位连续的1．它们可能是 01111，011110，11110×，其中，“ ”取0或1．故在此种情况下，共有5个不同的6位二进制数．（2）恰有5位连续的1．它们可能是011111和111110，共有2个．（3）恰有6位连续的1．即111111，只有1种可能．综合以上分析，由加法原理知共有5+2+1=8个满足题意要求的6位二进制数．用集合论的语言可叙述如下：证明：若m = 0或n = 0，则等式两边均为0，故等式成立．设m > 0，n > 0，并且记A = {a 1, a 2,L , a m }，B = {b 1, b 2,L , b n }，定义映射Ψ：(a i , b j ) →（i – 1）n + j (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n )，则 是A ×B 到集合{1, 2,L , mn –1, mn }上的一一映射，所以等式成立．【例2】 比5400大的4位数中，数字2，9不出现，且各位数字不同的数有多少个？解：比5400大的4位数可以分为4类：（1）千位比5大的符合题意的整数有3 × 7 × 6 × 5个．（2）千位是5，百位比4大的符合题意的整数有3 × 6 × 5个．（3）前2位是54，十位不为0且符合题意的整数有5 × 5个．（4）前3位是540，个位不为0且符合题意的整数有5个．故共有3 × 7 × 6 × 5 + 3 × 6 × 5 + 5 × 5 + 5 = 750个符合条件的整数．【例3】 在1000到9999之间有多少个各位数字不同的奇数？2第1章 排列、组合、二项式定理解：方法1 如图1.1所示，第4位必须是奇数，可取1，3，5，7，9，共5种选择．第1位不能取0，也不能取第4位已选定的数字，所以在第4位选定后第1位有8种选择．类似地，第2位有8种选择，第3位有7种选择．从而，满足题意的数字共有5 × 8 × 8 × 7 = 2240个．方法2 把满足题意的数分为两类：（1）4位数中没有0出现．类似方法1的分析，第4位有5种选择，第3位有8种选择，第2位有7种选择，第1位有6种选择，此类数共有6 × 7 × 8 × 5 = 1680个．（2）4位数中有0出现，这里，0只能出现在第2位或第3位上．假设0在第2位上，则第4位有5种选择，第3位有8种选择，第1位有7种选择，共有7 × 8 × 5 = 280个数．同理，若0出现在第3位上，也有280个数．由加法原则知，合乎题意的数共有1680 + 280 × 2 = 2240个．1.2 排列与组合本节将探讨一些基本的排列与组合问题．同时，也会做一些延伸，比如圆排列问题．1.2.1 集合的排列n 元集合S 的一个r 排列是指先从S 中选出r 个元素，然后将其按次序排列．一般用 P （n , r ）或r n P 表示n 元集合S 的r 排列数．例如，设S ={a ,b ,c }，则ab , ac , ba , bc , ca , cb是S 的所有6个2排列，所以P (3, 2) = 6．当r = n 时，称n 元集合S 的n 排列为S 的全排列，即P (n , n ) = n !，相应的数称为n 元集合S 的全排列数，如S = {a , b , c }，则abc , acb , bac , bca , cab , cba是S 的所有6个全排列，所以P (3, 3) = 6．显然，有（1）P (n , r ) = 0(r > n )；（2）P (n , 1) = n (n ≥ 1)．证明：要构造n 元集合的一个r 排列，可以在n 元集合中任取一个作为第1项，有n 种取法；在取定第1项后，第2项可以从剩下的n –1 个元素中任选一个作为第2项，有 n – 1种取法；同理，在前r – 1项取定后，第r 项有n – r + 1种取法．由乘法原理知：P (n , r ) = n (n – 1)L (n – r + 1) = n ! / (n – r )!由定理1.2.1，n 元集合的全排列数P (n , n )= n !. 规定：0! = 1．【例4】 有4盏颜色不同的灯：3第1位第2位第3位第4位图 1.14组合理论及其应用（1）把它们按不同的次序全部挂在灯杆上表示信号，共有多少种不同的信号？（2）每次使用1盏、2盏、3盏或4盏灯按一定的次序挂在灯杆上表示信号，共有多少种不同的信号？解：（1）P (4, 4) = 24.（2）P (4, 1) + P (4, 2) +P (4, 3) + P (4, 4) = 64.【例5】 将a, b, c, d, e, f进行排列．问：（1）使得字母b正好在字母e的左邻的排列有多少种？（2）使得字母b在字母e的左边的排列有多少种？解：（1）b正好是e的左邻，那么把be看作一个字母E，则原问题就变成求集合{a, c, E, d, f }的全排列数，共有5！种排列．（2）将{a, b, c, d, e, f }的所有全排列分成如下两类：A = {××L× | 其中b在e的左边}，B = {××L× | 其中b在e的右边}．显然有A I B = Φ，A U B = {a, b, c, d, e, f }的全体全排列，| A U B | = 6!．定义映射f：A→B，使f（L b L e L）=（L e L b L）.即f将A中的任一排列的b与e的位置互换，保持其余字母位置不变，得到B中的一个排列．显然，f是一一映射，所以 |A| = |B| = 1/2×6!.【例6】 现在把例5改一下．从a, b, c, d, e, f中选出3个字母进行排列，且b与e不相邻的排法有多少种？解：方法1从6个字母选出3个的排列共有P(6,3)个，将其分为以下3类：（1）b和e挨在一起，且b是e的左邻．（2）b和e挨在一起，且b是e的右邻．（3）b和e不挨在一起（包括不出现b和e）．从例5的第2问知道，第1类和第2类的排法是同样多的．现在分析第1种情况．选定了b，e，那么只需从a，c，d，f中再选出1个，与代表b是e的左邻的E进行排列；所以第1种情况共P(4, 1) ×P (2, 2)种排法．第2种情况也有P(4, 1) ×P (2, 2)种排法．显然，这里没有其他的可能情况．因此，要求的第3类排法的个数为P (6, 3) – 2 ×P (4, 1) ×P (2, 2) = 104．方法2直接计算．满足题意的排列可分为如下4类：（1）排列中b，e均不出现，即为4元集合{a, c, d, f }的3排列，共有P(4, 3)种．（2）排列中只出现b，不出现e．那么先从4元集合{a, c, d, f }中选出2个进行排列，然后把b放在它们之间或两端，故此类排法共有3 ×P (4, 2)种．（3）排列中只出现e，不出现b．同（2），此类排法共有3×P (4, 2)种．（4）排列中出现e和b，但不相邻．显然，需要从集合{a, c, d, f }中选出1个，然后把b和e放在它两边．那么此类排法有2×P (4, 1)种．所以，共可以得到P (4, 3) + 3×P (4, 2) + 3×P(4, 2) + 2×P (4, 1) = 104种符合题意的排法．第1章 排列、组合、二项式定理前面考虑的排列是在直线上进行的，或者更恰当地说，是线性排列—— r 线排列．若在圆周上进行排列，结果又如何呢？例如，由R ，W ，L ，G ，Y 五色扇形组成的圆盘，只要各种颜色间相对位置不变，就是同一个圆盘．有一种可能是下面这样的排列：RW LG Y 而线性排列RWGYL ，WGYLR ，GYLRW ，YLRWG ，LRWGY 代表的都是这个圆盘．这样可以看出，这五色的循环排列数等于5!/5 = 4!．现在推广到r 圆排列．在1个r 圆排列的任意2个相邻元素之间都有一个位置，共有r 个位置．从这r 个位置处将该圆排列断开，并拉直成线排列，可以得到r 个不同的r 线排列．也就是说，将r 个r 线排列121231121r r r r r r a a a a a a a a a a a a −−− L L L L 的首尾相连围成圆排列，得到的是同一个r 圆排列．因此，下面的定理成立：特别地，n 个元素S 的n 圆排列数为(n – 1)!．1.2.2 集合的组合n 元集合S 的r 组合是指从S 中取出r 个元素的一种无序选择，其组合数记为n r或r n C ．显然，有证明：设S 是一个n 元集合，任取S 的一个r 组合，将该r 组合中的r 个元素进行排列，便可得到P (r , r ) = r !个S 中的r 排列．而且S 中的任一r 排列都可恰好通过将S 中的某一r 组合排列而得到．所以有(, )!P n r r =⋅n r，即5r 个线性排列组合理论及其应用(, )!!!()!n P n r n r r r n r == −.特别的，（1）1, 1.0n n n ==（2）0().n r n r =>【例7】 12个人围坐在圆桌旁，其中一个拒绝与另一个相邻，问有多少种安排方法？解：（1）如果这两个人是确定的：先把其他11个人安排在圆桌旁，共有11!/11种；固定这11人后再把剩下的那个人加以安排，他的位置共9个，所以总的排法为11!/11 × 9 = 9 × 10! 种．（2）如果这两个人是任意的：先选出这两个人来，有122种选法；确定这两个人后，排法有11!/11 × 9种．故总的排法有12211!/11 × 9 = 54 × 11!种．【例8】 现有100件产品，其中有两件是次品．如果从中任意抽出3件，抽出的产品中至少有1件次品的概率是多少？解：从100件产品中任意抽出3件，共有1003种方案；抽出的产品中至少有1件次品，有两种情况：只有1件和有两件，分别有98221    种和98212   种方案．所以，所要求的概率为9822982121100% 5.94%1003   +     ×=．【例9】 把q 个负号和p 个正号排在一条直线上，使得没有两个负号相邻，证明不同的排法有1+p q 种．证明：如果p + 1 ≥ q ，题目相当于把p 个正号排列在一起，然后把q 个负号插入( p +1)个空隙里，每个空隙插一个．现在这样的排列共有1+ p q 种，故而共有1+p q 种排法．如果p +1< q ，显然不可能没有两个负号相邻，记排法为0种．由于此时1+p q = 0，故可以统一地记为1+p q ．得证．【例10】 取定空间中的25个点，其中任意4个点均不共面，问它们能决定多少个三6第1章 排列、组合、二项式定理角形？多少个四面体？解：既然任意4个点均不共面，那么任意3点也不共线（若有3点共线，则这条线与另外任一点共面）．故任意3点可以组成一个三角形，任意4点可以组成一个四面体．因而这25个点可以组成的三角形个数为2523003 = ，四面体个数为25126504 =．下面给出两个组合恒等式．证明：由定理1.2.3中关于n r的显式表达式很容易得出结论．推论1.2.1的组合意义解释：n r 是n 元集合S 的r 元子集的个数，n n r −是n 元集合S 的n – r 元子集的个数，设A 是S 的r 元子集，则S – A 是S 的n – r 元子集，而且这种对应关系是一一对应的．所以S 的r 元子集的个数等于S 的(n – r )元子集的个数．证明：从两个不同的方面计算n 元集合S 的所有子集的个数，说明等式左，右两端均等于S 的子集数，从而证明其成立．一方面，S 的r 元子集的个数为n r，而r 可取0，1，2，L ，n ，由加法原则，S 的所有子集的个数为012n n n n n ++++L 另一方面，S 有n 个元素，在构成S 的一个子集的时候，S 的每个元素都有在该子集中或不在该子集中两种可能，由乘法原则知，共有2n 种方式构造S 的一个子集，即S 的子集有2n 个．综上分析，得知定理成立．【例11】 单射函数f ：X →Y 的个数等于P (m , n )，其中，n = | X |, m = | Y |( m ≥ n )．证明：设X = {x 1, x 2,L , x n }，则f (x i ) ∈ Y (i = 1, 2,L , n ).因f 是单射，所以f (x 1), f (x 2),L , f (x n )互不相同，故f (x 1) f (x 2) L f (x n )是Y 的一个n 排列．由此易知单射函数f ：X →Y 与Y 的n 排列构成一一对应，其个数为 P (m , n ).由例11知，若| X | = | Y | = n ，则一一映射f ：X →Y 的个数等于n !．7组合理论及其应用【例12】 从整数1，2，L ，1000中选取3个数，使它们的和正好被4整除，有多少种选法？解：1～1000中被4整除余1、余2、余3、余0（即被4整除）的数各有250个．3个数如果都能被4整除，其和自然也能被4整除；同样，一个余0的、一个余1的、一个余3的数之和，或一个余0的、两个余2的数之和，或两个余1的、一个余2的数之和，或两个余3的、一个余2的数之和，都可以被4整除．除此之外没有别的情况可以使题设成立了．故而共有250250250250250250250250250250 33 760 5003111122121 ++++＝种选法．【例13】 某车站有6个入口，每个入口每次只能进一个人，则9人小组共有多少种进站方案？解：方法1 将6个入口依次排好序，分别为第1，第2，L ，第6个入口．因9人进站时在每个入口都是有序的，我们如下构造9人的进站方案：先构造9人的全排列，共有9！个；然后选定9人的一个全排列．加入5个分隔符，将其分成6段，第i （i = 1，2，L，6）段对应着第i 个入口的进站方案．如图1.2所示，每个“*”代表一个人，“△”表示分隔符．故进站方案数为1414!9!9!726 485 760.59!5! ×=×= ×方法2 第1个人可以有6种进站方式，即可从6个入口中的任一个进站；第2个人也可以选择6个入口中的任一个进站，但当他选择与第1人相同的入口进站时，有在第1人前还是后两种方式，所以第2人有7种进站方案；同理，第3人有8种进站方案，……，第9人有14种进站方案．由乘法原则，总的进站方案数为6 ×7 ×L × 14 = 726 485 760．【例14】 有8个大小相同的棋子（5个红的、3个蓝的），放在8×8的棋盘上，每行、每列都只能放一个，有多少种放法？解：我们先放红色的．（1）在8行中任选5行放红色棋子，有85种选择．（2）选定行后，再选列．因为每行都不同，故有P (8, 5)种选择．现在再放蓝色的棋子．还剩3行、3列，而每个棋子都是相同的，故可把第1个棋子放在剩下的第1行，3列可选；第2个棋子放第2行，两列可选；第3个棋子则只剩下1行1列可选．于是，有3!种方案．根据乘法原理，共有85P (8, 5) × 3!种放法．如果把棋盘换成12 × 12的，而其他条件不变，结果会如何呢？读者自行思考．8* *△* △* **△* △* △* ↑↑ ↑ ↑↑3 5 9 11 13图 1.2第1章 排列、组合、二项式定理1.3 多重集合的排列与组合前面考虑的集合中，都没有重复的元素，即单重集合；现在考虑多重集合，即有重复元素的集合，例如：M = {a , a , a , b , c , c , d , d , d , d }就是一个10元素的多重集合，其中有3个a ，1个b ，2个c ，4个d ．通常，将M 表示为M = {3⋅a , 1⋅b , 2⋅c , 4⋅d }，一般来说，多重集合表示为M = {k 1⋅a 1, k 2⋅a 2,L , k n ⋅a n }，其中a i （i = 1, 2,L , n ）表示元素的种类，k i （i = 1, 2,L , n ）表示每类元素的个数．1.3.1 多重集合的排列证明：在构造M 的一个r 排列时，第1项有k 种选择，第2项有k 种选择，……，第r 项有k 种选择．由于M 中的每个元素都是无限重的，所以r 排列中的任一项都有k 种选择，且不依赖于前面已选择的项，故M 的r 排列数为k r ．注意：由上面的证明易知，M 中每个元素的重数至少为r ．证明：方法1 集合M 中共有k 1+ k 2+L + k n 个元素，a 1占集合M 的全排列中的k 1个位置，选取a 1所占位置的方法数为121n k k k k +++L ；在确定了k 1个a 1的位置后，还有 (k 2 + k 3 +L + k n )个位置，a 2占其中的k 2个位置，方法数为22n k k k ++L ．类似的，依次选择位置安排a 3, a 4 ,L , a n . 由乘法原则知，M 的全排列数为()()122312122312231212 !()!!!()!!()!!!.!!!n n n n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=××⋅⋅⋅×+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅方法2 先把M 中所有的k 1+ k 2+…+ k n 个元素看成是互不相同的，则它的全排列数为(k 2 + k 3 +L + k n ) !．但这里k i 个a i 是相同的，所以在这(k 2 + k 3 +L + k n )!个排列中，k i ！个a i 的位置相同且同其他元素排列也相同的排列是同一个．故知M 的全排列数为9组合理论及其应用1212()!!!!++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅n n k k k k k k ．【例15】 求1.2节例13的9人小组的进站方案数．解：设9个人分别为a 1, a 2,L , a 9，分隔符为“△”，则集合M ={a 1, a 2,L , a 9，5*}△的每个全排列对应着9人的一种进站方式，共有14 !726 485 7601!1! 5 !=×⋅⋅⋅××种. 【例16】 将52张牌平均分给4个人，每人有一个5张牌的同花顺的概率是多少？解：首先分给4个人每人一个5张牌的同花顺的个数：（1）4个人每人的5张同花顺颜色均不同．每种花色均有9种不同的同花顺．故共有P （4, 4）94种可能．（2）4个人中有两人是同色的同花顺，另外两人是另外两种花色的．两个人是同色的同花顺的分发有10种，他们的花色有4种选择．故共有41P (4, 2)×10×P (3, 2)×92种.（3）4个人中每两人是一种同花顺．同上，共有P (4, 2) ×41 × 10 ×31× 10 × P (2, 2)种.其余32张牌平均分配给4个人的分法有328 248 168 88种．将52张牌平均分给4个人的分法有5213 3913 2613 1313种．因而所求的概率P (n )为42443(4, 4)9(4, 2)10(3, 2)9(4, 2)1010(2, 2)111()52392613131313133224168 0.0006 %.8888P P P P P P n ×+××××+××××× = ×××××××=【例17】 如图1.3所示，只可以沿水平和垂直道路向右或向上走，计算从(0, 0)点到(n , n )点的不穿过直线y = x 的路径数．在解答此题之前，首先考虑两个较简单的 问题．（1）图1.4中，从(0, 0)点开始，只可以沿水平和垂直道路向右或向上走，要走到(m ,n )点，共有多少种走法？（2）利用图1.5来说明等式01=+++ = ∑m i m n n i m i10图 1.3。

1.2.3 组合与组合数公式【学习目标】1.正确理解组合与组合数的概念;2.弄清组合与排列之间的关系;3.掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.重点难点重点:组合的概念和组合数公式难点:组合的概念和组合数公式【使用说明与学法指导】预习教材P 21~ P 23,找出疑惑之处复习1:什么叫排列?排列的定义包括两个方面,分别是取元素和排顺序 . 复习2:排列数的定义:从个不同元素中,任取个元素的排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号表示复习3:排列数公式:m n A =(,,m n N m n *∈≤【问题导学】组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出m (m n ≤个元素合成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.组合数的概念:从n 个不同元素中取出m (m n ≤个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数....用符号 m n C 表示. 组合数公式及性质:问题1:“abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合?问题2:我们知道,“排列”与“排列数”是两个不同的概念,那么“组合”与“组合数”是同一个概念吗?为什么?【合作探究】问题1:判断下列问题是组合还是排列,并求出相应的组合数或排列数.(1若已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,则集合的子集中有3个元素的有多少个?(28人相互发一个电子邮件,共写了多少个邮件?(38人相互握手一次,共握了多少次手?(4在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?解析:(1与顺序无关,是组合问题.共有3735C=个.(2发电子邮件有先后之分,与顺序有关是排列问题,共有2856A=个.(3相互握手无顺序,是组合问题,共有2828C=次.(4飞机票与起点站、终点站有关,是排列问题,共有2412A=种.机票价格只与两站的距离有关,是组合问题,共有246C=种.新知:排列不仅与元素有关,而且与元素的排列顺序有关,组合只与元素有关,与顺序无关,要区分排列与组合,可以选择一个结果,交换这个结果中两个元素先后顺序,看是否对结果产生影响,若无新变化,则是组合问题.变式:判断下列问题是组合还是排列:(1把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法?(2从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数?(3从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同选法?问题2:(1计算4331073C C A -;(2证明11m m n n mC nC --=.解析:(14331073C C A -=43107C A -=1098776504321⨯⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯⨯ (2证明:左边=!(1!!(!(1!(!n n n m m n m m n m -==---(1!(1!(!n n m n m -==--11m n nC --==右边. 新知:组合数的两个公式的应用有所区别,一般地,公式m mn n m mA C A =常用于,n m 为具体自然数的题目,偏向于具体组合数的计算;公式m n C =!!(!n m n m -常用于,n m 为字母或含有字母的式子的题目,偏向于方程的求解或有关组合数的恒等式的证明.变式:(1求值:591n n n n C C --++(2求证:11m m n n m C C n m++=-. 解析:5509190n n n n n n -≤⎧⎪-≥⎪⎨-≤+⎪⎪-≥⎩,解得45n ≤≤.又n N +∈,所以4=5n n =或.当4n =时,原式1545=+=5C C .当5n =时同理得原式=16.问题3:计算:(19796959898982C C C ++; (25555555678910C C C C C C +++++. 解析:(1原式=9796969598989898((C C C C +++=979697399991001001009998161700321C C C C ⨯⨯=+====⨯⨯(2原式= 6555556678910(C C C C C C+++++=65555657789101111462C C C C C C C =++++==== 新知:(1当2n m >时,通常不直接计算m n C ,而改为计算n m n C -(2注意组合数两个性质的灵活应用(凑项、拆项、变用、逆用等.变式:计算:(1598781007C C C + ; (2012345555555C C C C C C +++++ (311n n n n C C -+. 解析:(1原式=5006.(2原式=0125552(C C C ++=32.(3原式=(1(11n n n n n n C C +---+ =111n n C C +=(1n n + 【深化提高】解方程:232551616x x x C C +++=.错解:∵232551616x x x C C +++=, ∴23255x x x ++=+,即2230x x --=,解得11x =-(舍去,23x =,∴原方程的解为3x =.错因:错解的原因有二:一是将组合数的方程转化为代数方程时不等价.事实上, +=,,,,;x y n n x y x y n C C n x n y x y N =⎧⎪=⇔≥≥⎨⎪∈⎩或二是最后得出的结果没有检验,出现根的取舍错误.正解:∵232551616x x x C C +++=, ∴23255x x x ++=+,或2(32+(55=16x x x +++,即2230x x --=或2890x x +-=∴1x =-或3x =或9x =-或1x =.经检验3x =,9x =-不合题意,舍去,故原方程的解为1x =-,或1x =.【学习评价】●自我评价你完成本节导学案的情况为( .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差●当堂检测A 组(你一定行:1.下列四个问题属于组合问题的是(CA.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作.B.从0,1,2,3,4这5个数字中选出3个不同的数字,组成一个三位数.C.从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式.D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员.2.若3212n nA C =,则n 等于( A A.8 B.5或6 C.3或4 D.4B 组(你坚信你能行:3. 5688C C +得值为(B A.36 B.84 C.88 D.5044.已知2110100x x C C +-=,则x = 1或3 .C 组(我对你很有吸引力哟:5. 已知456,,n n nC C C 成等差数列,求12n C 的值. 解析:由已知得5462n n nC C C =+,所以 !!!25!(5!4!(4!6!(6!n n n n n n =+--- 整理得221980n n -+=解得7n =或14n =,要求12nC 的值,故12n ≥,所以14n =,则 122141414139121C C ⨯===⨯.【小结与反思】用后觉得难度、容量都大了。

人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合（教师版）排列组合_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m nC 表示.3.排列数公式与组合数公式： (1)排列数公式：(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ，n *∈N ，且m ≤n .(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示. ○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列.○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.nnAn =○3由此排列数公式(1)(2)(1)m nA n n n n m =---+所以!.()!m nn An m =-(3)组合数公式:!.!()!m nn Cm n m =-(4)组合数的两个性质: 性质1：.m n m nn CC -= 性质2：11.m m m n n n CC C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关.(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.(2)第一问不是第二问是.若方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线22221x y a b-=中，不管a >b 还是a <b ，方程22221x y a b-=均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？[解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式. (1)57;A(2)212;A(3)77.A[解析] [答案] (1)57A =7×6×5×4×3=2520； (2)213A =13×12=156；(3)77A =7×6×5×4×3×2×1=5040.练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( ) A.2mAB.21m AC.2020m A +D.2120m A +[答案] D[解析] 排列的顺序为由小到大，故n =m +20，而项数是21故可表示为2120.m A+例4：计算98100C[答案]98100982100100100100994950.21C C C -⨯====⨯练习2：计算972959898982C C C ++ [答案]原式1231223298989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3399100161700.C C +== 类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634320A A⋅=种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有36A 种不同排法，因此共有535614400A A⋅=种不同的排法.练习1：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有2656A A ⋅=14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生的排法2636A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636000A A A-⋅=种不同的排法.类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有1288C C+36=种方案.练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有210C 种选法，第二步满足乙任务有18C 种选法，第三步满足丙任务，有17C 种选法，故共有21110872520C C C =种不同选法.类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？[答案] 362880[解析] 从10名男运动员中选3名有310C 种，从9名女运动员中选3名有39C 种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A ，B ，C ；先让A 选择女运动员，有3种不同选法；B 选择女运动员的方法有2种；C 只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为33A ，根据分步计数原理，共有33310936362880CC A ⨯⨯=种不同参赛方法.练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A.36个B.24个C.18个D.6个 [答案] Ａ[解析] 由各位数字之和为偶数，可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成，由乘法原理，各位数字之和为偶数的数共有21332336CC A ⋅⋅=个．1.89×90×91×…×100可表示为( )A.10100A B.11100AC.12100AD.13100A[答案] C 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( ) A.5B.6C.7D.8[答案] C３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( )A.36B.120C.720D.140[答案] C４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种 [答案] C ５.若266,x C C =则x 的值是( )A.2B.4C.4或2D.0[答案] C６.1171010r r CC +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个 [答案] B7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( ) A.222574CC C ++ B.222574C C CC.222574AA A ++D.216C[答案] A8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种 B .180种 C.270种 D.540种 [答案] D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )A.10人B.8人C.6人D.12人 [答案] Ａ2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( ) A.1334A AB.2343C AC.3242C AD.132442C C C[答案] Ｂ3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( ) A.3538A AB.5354A AC.5355A AD.5356A A[答案] Ｃ4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片. [答案] 565.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种.[答案]864006.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.[答案]3007.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.[答案]1268.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.[答案]140能力提升1.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A.144个B.120个C.96个D.72个[答案]B2.方程22a b c∈--，且,,a b c互不相ay b x c=+中的,,{3,2,0,1,2,3}同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A.60条B.62条C.71条D.80条[答案]B3. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24[答案] D4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个[答案]Ｃ5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)【答案】９６6. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________种.[答案]３６7. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．[答案] 1208.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a ，只能从1，3，5，7中选一个，有14A 种，然后从余下的4个数中任选两个作b 、c ，有24A 种.所以由分步计数原理，共组成一元二次方程：124448A A⋅=个.方程更有实根，必须满足240.bac -≥分类讨论如下：当c =0时，a ，b 可在1，3，5，7中任取两个排列，有24A 个；当c ≠0时，分析判别式知b 只能取5，7.当b 取5时，a ，c 只能取1，3这两个数，有22A 个；当b 取7时a ，c 可取1，3或1，5这两组数，有222A 个，此时共有22222AA +个.由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有：2224222AA A ++=18个.。

1.2 排列与组合排列第1课时 排列与排列数公式A 级 基础巩固一、选择题1．从集合{3， 5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是( ) A ．①②③④B ．②④C ．②③D ．①④解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如53≠35，所以②是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中不管a >b 还是a <b ，方程均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④是排列问题．答案：B2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：A 67＝7×6A 45，A 56＝6A 45，所以A 67－A 56A 45＝36A 45A 45＝36.答案：D3．、某某、某某三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析：这个问题就是从、某某、某某三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．起点站终点站飞机票答案：B4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种解析：由排列定义知选派方案有A 46＝6×5×4×3＝360(种)． 答案：B5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ) A ．24个 B ．30个 C ．40个 D ．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A 24个，另一类是4作个位数，也有A 24个．因此符合条件的偶数共有A 24＋A 24＝24(个)．答案：A 二、填空题6．若A m10＝10×9×…×5，则m ＝_________________________. 解析：由10－(m －1)＝5，得m ＝6. 答案：67．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A 48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6808．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有23，25，27，35，37，57，共6个．答案：12 6 三、解答题9．求下列各式中n 的值： (1)90A 2n ＝A 4n ； (2)A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2. 解：(1)因为90A 2n ＝A 4n ，所以90n (n －1)＝n (n －1)(n －2)(n －3)． 所以n 2－5n ＋6＝90. 所以(n －12)(n ＋7)＝0. 解得n ＝－7(舍去)或n ＝12. 所以满足90A 2n ＝A 4n 的n 的值为12.(2)由A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2，得n ！（n －4）！·(n －4)！＝42(n －2)！.所以n (n －1)＝42.所以n 2－n －42＝0.解得n ＝－6(舍去)或n ＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数． (1)能被5整除的四位数有多少个？ (2)这些四位数中偶数有多少个？解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4， 6，有A 13种排法，其他位上有A 36种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A 13·A 36＝360(个)．B 级 能力提升1．满足不等式A 7nA 5n ＞12的n 的最小值为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析：由排列数公式得n ！（n －5）！（n －7）！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n ≥7，所以n ＞9.又n ∈N *，所以n 的最小值为10.答案：B2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种．所以符合条件的直线有A 26＝30(条)． 答案：303．一条铁路线原有m 个车站，为了适应客运需要，新增加了n (n ≥1，n ∈N *)个车站，因而客运车票增加了58种，问：原来这条铁路线有多少个车站？现在又有多少个车站？解：原有m 个车站，所以原有客运车票A 2m 种，现有(n ＋m )个车站，所以现有客运车票A 2n ＋m 种．所以A 2n ＋m －A 2m ＝58，所以(n ＋m )(n ＋m －1)－m (m －1)＝58. 即2mn ＋n 2－n ＝58，即n (2m ＋n －1)＝29×2＝1×58.由于n ，2m ＋n －1均为正整数，故可得方程组①⎩⎪⎨⎪⎧n ＝29，2m ＋n －1＝2或②⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，2m ＋n －1＝29 或③⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，2m ＋n －1＝58或④⎩⎪⎨⎪⎧n ＝58，2m ＋n －1＝1. 方程组①与④不符合题意．解方程组②得m ＝14，n ＝2，解方程组③得m ＝29，n ＝1.所以原有14个车站，现有16个车站或原有29个车站，现有30个车站．。