1.2集合的排列与组合

第1章 排列、组合、二项式定理内容提要：本章主要介绍加法原理、乘法原理、排列与组合、多重集合的排列与组合、二项式系数以及一些常见的组合恒等式、集合的分划与第2类Stirling数、正整数的分拆（无序分拆和有序分拆）与分配问题等．排列和组合是人们普遍遇到的、并已被广泛使用的基本概念，只是人们没有从理论上研究它．例如，学生集合站队问题、买水果问题等．如果考虑的对象与秩序有关，则称之为排列问题；如果考虑的对象与秩序无关，则称之为组合问题．除了这种具有普遍意义的排列和组合之外，还有可重复元素的排列和组合问题．为了能深入研究这些问题，下面首先介绍两个最基本最常用的原理．1.1 加法原理（原则）与乘法原理（原则）例如，每周在E校区上4节课，在W校区上8节课，除此之外没有别的课，则每周上4 + 8 = 12节课．这里事件A指的是在E校区上4节课，事件B指的是在W校区上8节课，而每周的课不是在E校区就是在W校区，即属于A或B．如果用集合论的语言描述，则描述如下：证明：当A，B中有一个是空集，定理的结论是平凡的．设A ≠Φ，B ≠Φ，记A = {a1, a 2,L, a m}B = {b1, b 2,L, b n}并做映射Ψ：a i →i（1 ≤i ≤m）b j→m+j（1 ≤j ≤n）因为a i≠b j (1 ≤i ≤m, 1 ≤j ≤n)组合理论及其应用所以 是从A U B 到集合{1，2，L ，m +n }上的一一映射，因而定理成立．【例1】 在所有6位二进制数中，至少有连续4位是1的有多少个？解：把所有满足要求的二进制数分成如下3类：（1）恰有4位连续的1．它们可能是 01111，011110，11110×，其中，“ ”取0或1．故在此种情况下，共有5个不同的6位二进制数．（2）恰有5位连续的1．它们可能是011111和111110，共有2个．（3）恰有6位连续的1．即111111，只有1种可能．综合以上分析，由加法原理知共有5+2+1=8个满足题意要求的6位二进制数．用集合论的语言可叙述如下：证明：若m = 0或n = 0，则等式两边均为0，故等式成立．设m > 0，n > 0，并且记A = {a 1, a 2,L , a m }，B = {b 1, b 2,L , b n }，定义映射Ψ：(a i , b j ) →（i – 1）n + j (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n )，则 是A ×B 到集合{1, 2,L , mn –1, mn }上的一一映射，所以等式成立．【例2】 比5400大的4位数中，数字2，9不出现，且各位数字不同的数有多少个？解：比5400大的4位数可以分为4类：（1）千位比5大的符合题意的整数有3 × 7 × 6 × 5个．（2）千位是5，百位比4大的符合题意的整数有3 × 6 × 5个．（3）前2位是54，十位不为0且符合题意的整数有5 × 5个．（4）前3位是540，个位不为0且符合题意的整数有5个．故共有3 × 7 × 6 × 5 + 3 × 6 × 5 + 5 × 5 + 5 = 750个符合条件的整数．【例3】 在1000到9999之间有多少个各位数字不同的奇数？2第1章 排列、组合、二项式定理解：方法1 如图1.1所示，第4位必须是奇数，可取1，3，5，7，9，共5种选择．第1位不能取0，也不能取第4位已选定的数字，所以在第4位选定后第1位有8种选择．类似地，第2位有8种选择，第3位有7种选择．从而，满足题意的数字共有5 × 8 × 8 × 7 = 2240个．方法2 把满足题意的数分为两类：（1）4位数中没有0出现．类似方法1的分析，第4位有5种选择，第3位有8种选择，第2位有7种选择，第1位有6种选择，此类数共有6 × 7 × 8 × 5 = 1680个．（2）4位数中有0出现，这里，0只能出现在第2位或第3位上．假设0在第2位上，则第4位有5种选择，第3位有8种选择，第1位有7种选择，共有7 × 8 × 5 = 280个数．同理，若0出现在第3位上，也有280个数．由加法原则知，合乎题意的数共有1680 + 280 × 2 = 2240个．1.2 排列与组合本节将探讨一些基本的排列与组合问题．同时，也会做一些延伸，比如圆排列问题．1.2.1 集合的排列n 元集合S 的一个r 排列是指先从S 中选出r 个元素，然后将其按次序排列．一般用 P （n , r ）或r n P 表示n 元集合S 的r 排列数．例如，设S ={a ,b ,c }，则ab , ac , ba , bc , ca , cb是S 的所有6个2排列，所以P (3, 2) = 6．当r = n 时，称n 元集合S 的n 排列为S 的全排列，即P (n , n ) = n !，相应的数称为n 元集合S 的全排列数，如S = {a , b , c }，则abc , acb , bac , bca , cab , cba是S 的所有6个全排列，所以P (3, 3) = 6．显然，有（1）P (n , r ) = 0(r > n )；（2）P (n , 1) = n (n ≥ 1)．证明：要构造n 元集合的一个r 排列，可以在n 元集合中任取一个作为第1项，有n 种取法；在取定第1项后，第2项可以从剩下的n –1 个元素中任选一个作为第2项，有 n – 1种取法；同理，在前r – 1项取定后，第r 项有n – r + 1种取法．由乘法原理知：P (n , r ) = n (n – 1)L (n – r + 1) = n ! / (n – r )!由定理1.2.1，n 元集合的全排列数P (n , n )= n !. 规定：0! = 1．【例4】 有4盏颜色不同的灯：3第1位第2位第3位第4位图 1.14组合理论及其应用（1）把它们按不同的次序全部挂在灯杆上表示信号，共有多少种不同的信号？（2）每次使用1盏、2盏、3盏或4盏灯按一定的次序挂在灯杆上表示信号，共有多少种不同的信号？解：（1）P (4, 4) = 24.（2）P (4, 1) + P (4, 2) +P (4, 3) + P (4, 4) = 64.【例5】 将a, b, c, d, e, f进行排列．问：（1）使得字母b正好在字母e的左邻的排列有多少种？（2）使得字母b在字母e的左边的排列有多少种？解：（1）b正好是e的左邻，那么把be看作一个字母E，则原问题就变成求集合{a, c, E, d, f }的全排列数，共有5！种排列．（2）将{a, b, c, d, e, f }的所有全排列分成如下两类：A = {××L× | 其中b在e的左边}，B = {××L× | 其中b在e的右边}．显然有A I B = Φ，A U B = {a, b, c, d, e, f }的全体全排列，| A U B | = 6!．定义映射f：A→B，使f（L b L e L）=（L e L b L）.即f将A中的任一排列的b与e的位置互换，保持其余字母位置不变，得到B中的一个排列．显然，f是一一映射，所以 |A| = |B| = 1/2×6!.【例6】 现在把例5改一下．从a, b, c, d, e, f中选出3个字母进行排列，且b与e不相邻的排法有多少种？解：方法1从6个字母选出3个的排列共有P(6,3)个，将其分为以下3类：（1）b和e挨在一起，且b是e的左邻．（2）b和e挨在一起，且b是e的右邻．（3）b和e不挨在一起（包括不出现b和e）．从例5的第2问知道，第1类和第2类的排法是同样多的．现在分析第1种情况．选定了b，e，那么只需从a，c，d，f中再选出1个，与代表b是e的左邻的E进行排列；所以第1种情况共P(4, 1) ×P (2, 2)种排法．第2种情况也有P(4, 1) ×P (2, 2)种排法．显然，这里没有其他的可能情况．因此，要求的第3类排法的个数为P (6, 3) – 2 ×P (4, 1) ×P (2, 2) = 104．方法2直接计算．满足题意的排列可分为如下4类：（1）排列中b，e均不出现，即为4元集合{a, c, d, f }的3排列，共有P(4, 3)种．（2）排列中只出现b，不出现e．那么先从4元集合{a, c, d, f }中选出2个进行排列，然后把b放在它们之间或两端，故此类排法共有3 ×P (4, 2)种．（3）排列中只出现e，不出现b．同（2），此类排法共有3×P (4, 2)种．（4）排列中出现e和b，但不相邻．显然，需要从集合{a, c, d, f }中选出1个，然后把b和e放在它两边．那么此类排法有2×P (4, 1)种．所以，共可以得到P (4, 3) + 3×P (4, 2) + 3×P(4, 2) + 2×P (4, 1) = 104种符合题意的排法．第1章 排列、组合、二项式定理前面考虑的排列是在直线上进行的，或者更恰当地说，是线性排列—— r 线排列．若在圆周上进行排列，结果又如何呢？例如，由R ，W ，L ，G ，Y 五色扇形组成的圆盘，只要各种颜色间相对位置不变，就是同一个圆盘．有一种可能是下面这样的排列：RW LG Y 而线性排列RWGYL ，WGYLR ，GYLRW ，YLRWG ，LRWGY 代表的都是这个圆盘．这样可以看出，这五色的循环排列数等于5!/5 = 4!．现在推广到r 圆排列．在1个r 圆排列的任意2个相邻元素之间都有一个位置，共有r 个位置．从这r 个位置处将该圆排列断开，并拉直成线排列，可以得到r 个不同的r 线排列．也就是说，将r 个r 线排列121231121r r r r r r a a a a a a a a a a a a −−− L L L L 的首尾相连围成圆排列，得到的是同一个r 圆排列．因此，下面的定理成立：特别地，n 个元素S 的n 圆排列数为(n – 1)!．1.2.2 集合的组合n 元集合S 的r 组合是指从S 中取出r 个元素的一种无序选择，其组合数记为n r或r n C ．显然，有证明：设S 是一个n 元集合，任取S 的一个r 组合，将该r 组合中的r 个元素进行排列，便可得到P (r , r ) = r !个S 中的r 排列．而且S 中的任一r 排列都可恰好通过将S 中的某一r 组合排列而得到．所以有(, )!P n r r =⋅n r，即5r 个线性排列组合理论及其应用(, )!!!()!n P n r n r r r n r == −.特别的，（1）1, 1.0n n n ==（2）0().n r n r =>【例7】 12个人围坐在圆桌旁，其中一个拒绝与另一个相邻，问有多少种安排方法？解：（1）如果这两个人是确定的：先把其他11个人安排在圆桌旁，共有11!/11种；固定这11人后再把剩下的那个人加以安排，他的位置共9个，所以总的排法为11!/11 × 9 = 9 × 10! 种．（2）如果这两个人是任意的：先选出这两个人来，有122种选法；确定这两个人后，排法有11!/11 × 9种．故总的排法有12211!/11 × 9 = 54 × 11!种．【例8】 现有100件产品，其中有两件是次品．如果从中任意抽出3件，抽出的产品中至少有1件次品的概率是多少？解：从100件产品中任意抽出3件，共有1003种方案；抽出的产品中至少有1件次品，有两种情况：只有1件和有两件，分别有98221    种和98212   种方案．所以，所要求的概率为9822982121100% 5.94%1003   +     ×=．【例9】 把q 个负号和p 个正号排在一条直线上，使得没有两个负号相邻，证明不同的排法有1+p q 种．证明：如果p + 1 ≥ q ，题目相当于把p 个正号排列在一起，然后把q 个负号插入( p +1)个空隙里，每个空隙插一个．现在这样的排列共有1+ p q 种，故而共有1+p q 种排法．如果p +1< q ，显然不可能没有两个负号相邻，记排法为0种．由于此时1+p q = 0，故可以统一地记为1+p q ．得证．【例10】 取定空间中的25个点，其中任意4个点均不共面，问它们能决定多少个三6第1章 排列、组合、二项式定理角形？多少个四面体？解：既然任意4个点均不共面，那么任意3点也不共线（若有3点共线，则这条线与另外任一点共面）．故任意3点可以组成一个三角形，任意4点可以组成一个四面体．因而这25个点可以组成的三角形个数为2523003 = ，四面体个数为25126504 =．下面给出两个组合恒等式．证明：由定理1.2.3中关于n r的显式表达式很容易得出结论．推论1.2.1的组合意义解释：n r 是n 元集合S 的r 元子集的个数，n n r −是n 元集合S 的n – r 元子集的个数，设A 是S 的r 元子集，则S – A 是S 的n – r 元子集，而且这种对应关系是一一对应的．所以S 的r 元子集的个数等于S 的(n – r )元子集的个数．证明：从两个不同的方面计算n 元集合S 的所有子集的个数，说明等式左，右两端均等于S 的子集数，从而证明其成立．一方面，S 的r 元子集的个数为n r，而r 可取0，1，2，L ，n ，由加法原则，S 的所有子集的个数为012n n n n n ++++L 另一方面，S 有n 个元素，在构成S 的一个子集的时候，S 的每个元素都有在该子集中或不在该子集中两种可能，由乘法原则知，共有2n 种方式构造S 的一个子集，即S 的子集有2n 个．综上分析，得知定理成立．【例11】 单射函数f ：X →Y 的个数等于P (m , n )，其中，n = | X |, m = | Y |( m ≥ n )．证明：设X = {x 1, x 2,L , x n }，则f (x i ) ∈ Y (i = 1, 2,L , n ).因f 是单射，所以f (x 1), f (x 2),L , f (x n )互不相同，故f (x 1) f (x 2) L f (x n )是Y 的一个n 排列．由此易知单射函数f ：X →Y 与Y 的n 排列构成一一对应，其个数为 P (m , n ).由例11知，若| X | = | Y | = n ，则一一映射f ：X →Y 的个数等于n !．7组合理论及其应用【例12】 从整数1，2，L ，1000中选取3个数，使它们的和正好被4整除，有多少种选法？解：1～1000中被4整除余1、余2、余3、余0（即被4整除）的数各有250个．3个数如果都能被4整除，其和自然也能被4整除；同样，一个余0的、一个余1的、一个余3的数之和，或一个余0的、两个余2的数之和，或两个余1的、一个余2的数之和，或两个余3的、一个余2的数之和，都可以被4整除．除此之外没有别的情况可以使题设成立了．故而共有250250250250250250250250250250 33 760 5003111122121 ++++＝种选法．【例13】 某车站有6个入口，每个入口每次只能进一个人，则9人小组共有多少种进站方案？解：方法1 将6个入口依次排好序，分别为第1，第2，L ，第6个入口．因9人进站时在每个入口都是有序的，我们如下构造9人的进站方案：先构造9人的全排列，共有9！个；然后选定9人的一个全排列．加入5个分隔符，将其分成6段，第i （i = 1，2，L，6）段对应着第i 个入口的进站方案．如图1.2所示，每个“*”代表一个人，“△”表示分隔符．故进站方案数为1414!9!9!726 485 760.59!5! ×=×= ×方法2 第1个人可以有6种进站方式，即可从6个入口中的任一个进站；第2个人也可以选择6个入口中的任一个进站，但当他选择与第1人相同的入口进站时，有在第1人前还是后两种方式，所以第2人有7种进站方案；同理，第3人有8种进站方案，……，第9人有14种进站方案．由乘法原则，总的进站方案数为6 ×7 ×L × 14 = 726 485 760．【例14】 有8个大小相同的棋子（5个红的、3个蓝的），放在8×8的棋盘上，每行、每列都只能放一个，有多少种放法？解：我们先放红色的．（1）在8行中任选5行放红色棋子，有85种选择．（2）选定行后，再选列．因为每行都不同，故有P (8, 5)种选择．现在再放蓝色的棋子．还剩3行、3列，而每个棋子都是相同的，故可把第1个棋子放在剩下的第1行，3列可选；第2个棋子放第2行，两列可选；第3个棋子则只剩下1行1列可选．于是，有3!种方案．根据乘法原理，共有85P (8, 5) × 3!种放法．如果把棋盘换成12 × 12的，而其他条件不变，结果会如何呢？读者自行思考．8* *△* △* **△* △* △* ↑↑ ↑ ↑↑3 5 9 11 13图 1.2第1章 排列、组合、二项式定理1.3 多重集合的排列与组合前面考虑的集合中，都没有重复的元素，即单重集合；现在考虑多重集合，即有重复元素的集合，例如：M = {a , a , a , b , c , c , d , d , d , d }就是一个10元素的多重集合，其中有3个a ，1个b ，2个c ，4个d ．通常，将M 表示为M = {3⋅a , 1⋅b , 2⋅c , 4⋅d }，一般来说，多重集合表示为M = {k 1⋅a 1, k 2⋅a 2,L , k n ⋅a n }，其中a i （i = 1, 2,L , n ）表示元素的种类，k i （i = 1, 2,L , n ）表示每类元素的个数．1.3.1 多重集合的排列证明：在构造M 的一个r 排列时，第1项有k 种选择，第2项有k 种选择，……，第r 项有k 种选择．由于M 中的每个元素都是无限重的，所以r 排列中的任一项都有k 种选择，且不依赖于前面已选择的项，故M 的r 排列数为k r ．注意：由上面的证明易知，M 中每个元素的重数至少为r ．证明：方法1 集合M 中共有k 1+ k 2+L + k n 个元素，a 1占集合M 的全排列中的k 1个位置，选取a 1所占位置的方法数为121n k k k k +++L ；在确定了k 1个a 1的位置后，还有 (k 2 + k 3 +L + k n )个位置，a 2占其中的k 2个位置，方法数为22n k k k ++L ．类似的，依次选择位置安排a 3, a 4 ,L , a n . 由乘法原则知，M 的全排列数为()()122312122312231212 !()!!!()!!()!!!.!!!n n n n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=××⋅⋅⋅×+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅方法2 先把M 中所有的k 1+ k 2+…+ k n 个元素看成是互不相同的，则它的全排列数为(k 2 + k 3 +L + k n ) !．但这里k i 个a i 是相同的，所以在这(k 2 + k 3 +L + k n )!个排列中，k i ！个a i 的位置相同且同其他元素排列也相同的排列是同一个．故知M 的全排列数为9组合理论及其应用1212()!!!!++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅n n k k k k k k ．【例15】 求1.2节例13的9人小组的进站方案数．解：设9个人分别为a 1, a 2,L , a 9，分隔符为“△”，则集合M ={a 1, a 2,L , a 9，5*}△的每个全排列对应着9人的一种进站方式，共有14 !726 485 7601!1! 5 !=×⋅⋅⋅××种. 【例16】 将52张牌平均分给4个人，每人有一个5张牌的同花顺的概率是多少？解：首先分给4个人每人一个5张牌的同花顺的个数：（1）4个人每人的5张同花顺颜色均不同．每种花色均有9种不同的同花顺．故共有P （4, 4）94种可能．（2）4个人中有两人是同色的同花顺，另外两人是另外两种花色的．两个人是同色的同花顺的分发有10种，他们的花色有4种选择．故共有41P (4, 2)×10×P (3, 2)×92种.（3）4个人中每两人是一种同花顺．同上，共有P (4, 2) ×41 × 10 ×31× 10 × P (2, 2)种.其余32张牌平均分配给4个人的分法有328 248 168 88种．将52张牌平均分给4个人的分法有5213 3913 2613 1313种．因而所求的概率P (n )为42443(4, 4)9(4, 2)10(3, 2)9(4, 2)1010(2, 2)111()52392613131313133224168 0.0006 %.8888P P P P P P n ×+××××+××××× = ×××××××=【例17】 如图1.3所示，只可以沿水平和垂直道路向右或向上走，计算从(0, 0)点到(n , n )点的不穿过直线y = x 的路径数．在解答此题之前，首先考虑两个较简单的 问题．（1）图1.4中，从(0, 0)点开始，只可以沿水平和垂直道路向右或向上走，要走到(m ,n )点，共有多少种走法？（2）利用图1.5来说明等式01=+++ = ∑m i m n n i m i10图 1.3。

1.2.3 组合与组合数公式【学习目标】1.正确理解组合与组合数的概念;2.弄清组合与排列之间的关系;3.掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.重点难点重点:组合的概念和组合数公式难点:组合的概念和组合数公式【使用说明与学法指导】预习教材P 21~ P 23,找出疑惑之处复习1:什么叫排列?排列的定义包括两个方面,分别是取元素和排顺序 . 复习2:排列数的定义:从个不同元素中,任取个元素的排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号表示复习3:排列数公式:m n A =(,,m n N m n *∈≤【问题导学】组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出m (m n ≤个元素合成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.组合数的概念:从n 个不同元素中取出m (m n ≤个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数....用符号 m n C 表示. 组合数公式及性质:问题1:“abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合?问题2:我们知道,“排列”与“排列数”是两个不同的概念,那么“组合”与“组合数”是同一个概念吗?为什么?【合作探究】问题1:判断下列问题是组合还是排列,并求出相应的组合数或排列数.(1若已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,则集合的子集中有3个元素的有多少个?(28人相互发一个电子邮件,共写了多少个邮件?(38人相互握手一次,共握了多少次手?(4在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?解析:(1与顺序无关,是组合问题.共有3735C=个.(2发电子邮件有先后之分,与顺序有关是排列问题,共有2856A=个.(3相互握手无顺序,是组合问题,共有2828C=次.(4飞机票与起点站、终点站有关,是排列问题,共有2412A=种.机票价格只与两站的距离有关,是组合问题,共有246C=种.新知:排列不仅与元素有关,而且与元素的排列顺序有关,组合只与元素有关,与顺序无关,要区分排列与组合,可以选择一个结果,交换这个结果中两个元素先后顺序,看是否对结果产生影响,若无新变化,则是组合问题.变式:判断下列问题是组合还是排列:(1把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法?(2从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数?(3从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同选法?问题2:(1计算4331073C C A -;(2证明11m m n n mC nC --=.解析:(14331073C C A -=43107C A -=1098776504321⨯⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯⨯ (2证明:左边=!(1!!(!(1!(!n n n m m n m m n m -==---(1!(1!(!n n m n m -==--11m n nC --==右边. 新知:组合数的两个公式的应用有所区别,一般地,公式m mn n m mA C A =常用于,n m 为具体自然数的题目,偏向于具体组合数的计算;公式m n C =!!(!n m n m -常用于,n m 为字母或含有字母的式子的题目,偏向于方程的求解或有关组合数的恒等式的证明.变式:(1求值:591n n n n C C --++(2求证:11m m n n m C C n m++=-. 解析:5509190n n n n n n -≤⎧⎪-≥⎪⎨-≤+⎪⎪-≥⎩,解得45n ≤≤.又n N +∈,所以4=5n n =或.当4n =时,原式1545=+=5C C .当5n =时同理得原式=16.问题3:计算:(19796959898982C C C ++; (25555555678910C C C C C C +++++. 解析:(1原式=9796969598989898((C C C C +++=979697399991001001009998161700321C C C C ⨯⨯=+====⨯⨯(2原式= 6555556678910(C C C C C C+++++=65555657789101111462C C C C C C C =++++==== 新知:(1当2n m >时,通常不直接计算m n C ,而改为计算n m n C -(2注意组合数两个性质的灵活应用(凑项、拆项、变用、逆用等.变式:计算:(1598781007C C C + ; (2012345555555C C C C C C +++++ (311n n n n C C -+. 解析:(1原式=5006.(2原式=0125552(C C C ++=32.(3原式=(1(11n n n n n n C C +---+ =111n n C C +=(1n n + 【深化提高】解方程:232551616x x x C C +++=.错解:∵232551616x x x C C +++=, ∴23255x x x ++=+,即2230x x --=,解得11x =-(舍去,23x =,∴原方程的解为3x =.错因:错解的原因有二:一是将组合数的方程转化为代数方程时不等价.事实上, +=,,,,;x y n n x y x y n C C n x n y x y N =⎧⎪=⇔≥≥⎨⎪∈⎩或二是最后得出的结果没有检验,出现根的取舍错误.正解:∵232551616x x x C C +++=, ∴23255x x x ++=+,或2(32+(55=16x x x +++,即2230x x --=或2890x x +-=∴1x =-或3x =或9x =-或1x =.经检验3x =,9x =-不合题意,舍去,故原方程的解为1x =-,或1x =.【学习评价】●自我评价你完成本节导学案的情况为( .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差●当堂检测A 组(你一定行:1.下列四个问题属于组合问题的是(CA.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作.B.从0,1,2,3,4这5个数字中选出3个不同的数字,组成一个三位数.C.从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式.D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员.2.若3212n nA C =,则n 等于( A A.8 B.5或6 C.3或4 D.4B 组(你坚信你能行:3. 5688C C +得值为(B A.36 B.84 C.88 D.5044.已知2110100x x C C +-=,则x = 1或3 .C 组(我对你很有吸引力哟:5. 已知456,,n n nC C C 成等差数列,求12n C 的值. 解析:由已知得5462n n nC C C =+,所以 !!!25!(5!4!(4!6!(6!n n n n n n =+--- 整理得221980n n -+=解得7n =或14n =,要求12nC 的值,故12n ≥,所以14n =,则 122141414139121C C ⨯===⨯.【小结与反思】用后觉得难度、容量都大了。

人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合（教师版）排列组合_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m nC 表示.3.排列数公式与组合数公式： (1)排列数公式：(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ，n *∈N ，且m ≤n .(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示. ○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列.○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.nnAn =○3由此排列数公式(1)(2)(1)m nA n n n n m =---+所以!.()!m nn An m =-(3)组合数公式:!.!()!m nn Cm n m =-(4)组合数的两个性质: 性质1：.m n m nn CC -= 性质2：11.m m m n n n CC C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关.(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.(2)第一问不是第二问是.若方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线22221x y a b-=中，不管a >b 还是a <b ，方程22221x y a b-=均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？[解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式. (1)57;A(2)212;A(3)77.A[解析] [答案] (1)57A =7×6×5×4×3=2520； (2)213A =13×12=156；(3)77A =7×6×5×4×3×2×1=5040.练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( ) A.2mAB.21m AC.2020m A +D.2120m A +[答案] D[解析] 排列的顺序为由小到大，故n =m +20，而项数是21故可表示为2120.m A+例4：计算98100C[答案]98100982100100100100994950.21C C C -⨯====⨯练习2：计算972959898982C C C ++ [答案]原式1231223298989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3399100161700.C C +== 类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634320A A⋅=种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有36A 种不同排法，因此共有535614400A A⋅=种不同的排法.练习1：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有2656A A ⋅=14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生的排法2636A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636000A A A-⋅=种不同的排法.类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有1288C C+36=种方案.练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有210C 种选法，第二步满足乙任务有18C 种选法，第三步满足丙任务，有17C 种选法，故共有21110872520C C C =种不同选法.类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？[答案] 362880[解析] 从10名男运动员中选3名有310C 种，从9名女运动员中选3名有39C 种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A ，B ，C ；先让A 选择女运动员，有3种不同选法；B 选择女运动员的方法有2种；C 只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为33A ，根据分步计数原理，共有33310936362880CC A ⨯⨯=种不同参赛方法.练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A.36个B.24个C.18个D.6个 [答案] Ａ[解析] 由各位数字之和为偶数，可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成，由乘法原理，各位数字之和为偶数的数共有21332336CC A ⋅⋅=个．1.89×90×91×…×100可表示为( )A.10100A B.11100AC.12100AD.13100A[答案] C 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( ) A.5B.6C.7D.8[答案] C３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( )A.36B.120C.720D.140[答案] C４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种 [答案] C ５.若266,x C C =则x 的值是( )A.2B.4C.4或2D.0[答案] C６.1171010r r CC +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个 [答案] B7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( ) A.222574CC C ++ B.222574C C CC.222574AA A ++D.216C[答案] A8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种 B .180种 C.270种 D.540种 [答案] D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )A.10人B.8人C.6人D.12人 [答案] Ａ2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( ) A.1334A AB.2343C AC.3242C AD.132442C C C[答案] Ｂ3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( ) A.3538A AB.5354A AC.5355A AD.5356A A[答案] Ｃ4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片. [答案] 565.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种.[答案]864006.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.[答案]3007.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.[答案]1268.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.[答案]140能力提升1.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A.144个B.120个C.96个D.72个[答案]B2.方程22a b c∈--，且,,a b c互不相ay b x c=+中的,,{3,2,0,1,2,3}同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A.60条B.62条C.71条D.80条[答案]B3. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24[答案] D4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个[答案]Ｃ5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)【答案】９６6. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________种.[答案]３６7. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．[答案] 1208.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a ，只能从1，3，5，7中选一个，有14A 种，然后从余下的4个数中任选两个作b 、c ，有24A 种.所以由分步计数原理，共组成一元二次方程：124448A A⋅=个.方程更有实根，必须满足240.bac -≥分类讨论如下：当c =0时，a ，b 可在1，3，5，7中任取两个排列，有24A 个；当c ≠0时，分析判别式知b 只能取5，7.当b 取5时，a ，c 只能取1，3这两个数，有22A 个；当b 取7时a ，c 可取1，3或1，5这两组数，有222A 个，此时共有22222AA +个.由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有：2224222AA A ++=18个.。

1.2 排列与组合排列第1课时 排列与排列数公式A 级 基础巩固一、选择题1．从集合{3， 5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是( ) A ．①②③④B ．②④C ．②③D ．①④解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如53≠35，所以②是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中不管a >b 还是a <b ，方程均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④是排列问题．答案：B2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：A 67＝7×6A 45，A 56＝6A 45，所以A 67－A 56A 45＝36A 45A 45＝36.答案：D3．、某某、某某三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析：这个问题就是从、某某、某某三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．起点站终点站飞机票答案：B4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种解析：由排列定义知选派方案有A 46＝6×5×4×3＝360(种)． 答案：B5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ) A ．24个 B ．30个 C ．40个 D ．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A 24个，另一类是4作个位数，也有A 24个．因此符合条件的偶数共有A 24＋A 24＝24(个)．答案：A 二、填空题6．若A m10＝10×9×…×5，则m ＝_________________________. 解析：由10－(m －1)＝5，得m ＝6. 答案：67．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A 48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6808．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有23，25，27，35，37，57，共6个．答案：12 6 三、解答题9．求下列各式中n 的值： (1)90A 2n ＝A 4n ； (2)A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2. 解：(1)因为90A 2n ＝A 4n ，所以90n (n －1)＝n (n －1)(n －2)(n －3)． 所以n 2－5n ＋6＝90. 所以(n －12)(n ＋7)＝0. 解得n ＝－7(舍去)或n ＝12. 所以满足90A 2n ＝A 4n 的n 的值为12.(2)由A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2，得n ！（n －4）！·(n －4)！＝42(n －2)！.所以n (n －1)＝42.所以n 2－n －42＝0.解得n ＝－6(舍去)或n ＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数． (1)能被5整除的四位数有多少个？ (2)这些四位数中偶数有多少个？解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4， 6，有A 13种排法，其他位上有A 36种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A 13·A 36＝360(个)．B 级 能力提升1．满足不等式A 7nA 5n ＞12的n 的最小值为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析：由排列数公式得n ！（n －5）！（n －7）！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n ≥7，所以n ＞9.又n ∈N *，所以n 的最小值为10.答案：B2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种．所以符合条件的直线有A 26＝30(条)． 答案：303．一条铁路线原有m 个车站，为了适应客运需要，新增加了n (n ≥1，n ∈N *)个车站，因而客运车票增加了58种，问：原来这条铁路线有多少个车站？现在又有多少个车站？解：原有m 个车站，所以原有客运车票A 2m 种，现有(n ＋m )个车站，所以现有客运车票A 2n ＋m 种．所以A 2n ＋m －A 2m ＝58，所以(n ＋m )(n ＋m －1)－m (m －1)＝58. 即2mn ＋n 2－n ＝58，即n (2m ＋n －1)＝29×2＝1×58.由于n ，2m ＋n －1均为正整数，故可得方程组①⎩⎪⎨⎪⎧n ＝29，2m ＋n －1＝2或②⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，2m ＋n －1＝29 或③⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，2m ＋n －1＝58或④⎩⎪⎨⎪⎧n ＝58，2m ＋n －1＝1. 方程组①与④不符合题意．解方程组②得m ＝14，n ＝2，解方程组③得m ＝29，n ＝1.所以原有14个车站，现有16个车站或原有29个车站，现有30个车站．。

组合数学中的排列与组合问题组合数学是数学中的一个分支，研究对象是集合的排列和组合问题。

排列和组合是数学中常见的概念，在实际生活和各个学科领域中都有广泛应用。

本文将重点讨论组合数学中的排列和组合问题以及相关的性质和应用。

一、排列问题排列是从给定的元素中选取若干个进行有序排列的方法。

通常用P(n,m)表示从n个元素中选取m个进行排列的方法。

排列的性质如下：1.1 排列的计算公式P(n,m) = n! / (n-m)!其中n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。

排列的计算公式可以通过对每个位置的选择数进行递推推导得到。

1.2 排列的应用排列在实际生活和学科领域中有广泛的应用。

例如，在密码学中，使用排列可以实现数据的混淆和加密；在统计学中，使用排列可以处理样本的排列和随机化。

二、组合问题组合是从给定的元素中选取若干个进行无序组合的方法。

通常用C(n,m)表示从n个元素中选取m个进行组合的方法。

组合的性质如下：2.1 组合的计算公式C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)组合的计算公式可以通过排列的计算公式推导得到。

由于组合是无序的，所以需要消除重复计数。

2.2 组合的应用组合也有着广泛的应用。

在概率论中，组合可以用于计算事件的组合数和可能性的计算；在图论中，组合可以用于计算图的连通性和循环结构等问题。

三、排列与组合问题的区别排列和组合问题的区别在于是否考虑元素的顺序。

在排列问题中，元素的顺序是重要的，每个位置上的选择数不同都会导致不同的排列；而在组合问题中，元素的顺序不重要，只要元素相同就被视为相同的组合。

例如，从集合{1, 2, 3}中选取2个元素进行排列，可以得到以下6个排列：{1, 2}，{1, 3}，{2, 1}，{2, 3}，{3, 1}，{3, 2}；而只考虑组合的话，只有3个不同的组合：{1, 2}，{1, 3}，{2, 3}。

第1课时组合与组合数公式学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？答案①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式组合数及组合数公式组合数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示.组合数公式乘积形式C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！阶乘形式C m n＝n！m！(n－m)！性质C m n＝C n－mnC m n＋1＝C m n＋C m－1n备注规定C0n＝11．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.( ×) 2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．( √)3．C35＝5×4×3＝60.( ×)4．C2 0162 017＝C12 017＝2 017.( √)类型一组合概念的理解例1 给出下列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？考点组合的概念题点组合的判断解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．反思与感悟区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果．(1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？考点组合的概念题点组合的判断解(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C35＝10.(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C29＝36(种)．类型二组合数公式及性质的应用命题角度1 有关组合数的计算与证明例2 (1)计算C410－C37·A33；考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算(1)解 原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)求证：C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1. 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 (2)证明 因为右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ， 左边＝C mn ，所以左边＝右边，所以原式成立．反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .跟踪训练2 (1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017的值为( ) A ．C 42 017 B ．C 52 017 C ．C 42 018－1D ．C 52 017－1(2)计算C 98100＋C 199200＝________. 考点 组合数性质 题点 的性质计算与证明 答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017 ＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 017－1＝… ＝C 42 017＋C 32 017－1＝C 42 018－1. (2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200 ＝100×992＋200＝5 150.命题角度2 含组合数的方程或不等式 例3 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m8；(2)解不等式C 4n >C 6n . 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7，∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. ∵0≤m ≤5，∴m ＝2， ∴C m8＋C 5－m8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6即⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6，又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n ∈N *. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3 解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4. 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 原式可变形为3C 4x －3＝5A 2x －4， 即3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝5(x －4)(x －5)，所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.所以x＝11或x＝－2(舍去)．经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.类型三简单的组合问题例4 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案(1)45 (2)21 (3)90解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类加法计算原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90(种)．反思与感悟(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0考点组合的概念题点组合的判断答案 B解析①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B.2．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是 ( ) A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算答案 D解析由C n4知n＝0,1,2,3,4，因为C04＝1，C14＝4，C24＝4×32＝6，C34＝C14＝4，C44＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}．3．若C n12＝C2n－312，则n等于( )A．3 B．5 C．3或5 D．15考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案 C解析由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.4．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 C解析 分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法．5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条． 考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 10 20解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C 25＝10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A 25＝20.所以有向线段共有20条．1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素． (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)组合数的两个性质： 性质1：C mn ＝C n －mn ； 性质2：C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .一、选择题1．以下四个问题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 C解析 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题． 2.A 3101C 2100＋C 97100等于( ) A.16 B ．101 C.1107D ．6考点 组合数公式题点 利用组合数公式进行计算 答案 D解析 A 3101C 2100＋C 97100＝A 3101C 2100＋C 3100＝A 3101C 3101＝A 33＝6.3．下列等式不正确的是( ) A ．C mn ＝n ！m ！(n －m )！B ．C m n ＝C n －mn C ．C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n D ．C mn ＝C m ＋1n ＋1考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 答案 D解析 A 是组合数公式；B ，C 是组合数性质；C mn ＝n ！m ！(n －m )！，C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！，两者不相等，故D 错误．4．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 B解析 由题意知n (n －1)(n －2)＝6·n (n －1)(n －2)(n －3)4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.5．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有( ) A ．A 310种B ．C 310种C．C310A310种D．30种考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案 B解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310.6．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )A．24种B．10种C．12种D．9种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析第一步，为甲地选1名女教师，有C12＝2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C24＝6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)，故选C.7．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是( )A．115 B．90 C．210 D．385考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有C24C26＝90(种)；三个黑球，有C34C16＝24(种)；四个黑球，有C44＝1(种)．根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115，故选A.8．对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为( )A．15 B．7 C．6 D．0考点组合数性质题点利用组合数的性质进行计算与证明答案 C解析因为1≤m≤n≤5，且方程表示椭圆，所以C m n可能为C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25， C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，所以x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个．二、填空题9．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 1∶2解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.10．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种． 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 60解析 根据题意，所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)．11．不等式C 2n －n <5的解集为________． 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 {2,3,4} 解析 由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，即n 2－3n －10<0， 解得－2<n <5.由题意知n ≥2，且n ∈N *，则n ＝2,3,4， 故原不等式的解集为{2,3,4}． 三、解答题12．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 解 由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2×n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14， 要求C 12n 的值，故n ≥12， 所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 13．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加．考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792(种)不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36(种)不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126(种)不同的选法．四、探究与拓展14．以下三个式子：①C mn ＝A m n m ！；②A m n ＝n A m －1n －1；③C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m .其中正确的个数是____． 考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 3解析 ①式显然成立；②式中A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A m －1n －1＝(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，所以A m n ＝n A m －1n －1，故②式成立；对于③式C mn ÷C m ＋1n ＝C m n C m ＋1n ＝A mn ·(m ＋1)！m ！·A m ＋1n ＝m ＋1n －m ，故③式成立． 15．某届世界杯举办期间，共32支球队参加比赛，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛1场，各组第一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，即八分之一淘汰赛，四分之一淘汰赛，半决赛，决赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三、四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛，每组有C 24＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强中每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，根据赛制规则，4强每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，总共将进行48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．。

组合数学与密码学组合数学和密码学是两个看似不相关的领域，但实际上它们之间有着紧密的联系。

本文将探讨组合数学与密码学之间的关系以及它们在现代信息安全中的应用。

一、组合数学的基本概念组合数学是一门研究离散结构的数学学科，它主要关注的是集合、排列、组合、图论等概念。

在密码学中，组合数学的一些基本概念被广泛应用。

1.1 集合论集合论是组合数学的基础，它研究的是元素的集合以及它们之间的关系。

在密码学中，集合论可以用来描述密码空间、密钥空间以及密码算法中的各种操作。

1.2 排列与组合排列是指将若干个元素按照一定的顺序进行排列，而组合则是从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑顺序。

在密码学中，排列与组合的概念常常用于描述密码算法中的置换操作。

1.3 图论图论是研究图及其性质的数学学科，它在密码学中有着广泛的应用。

图论可以用来描述密码算法中的置换网络、密钥扩展算法以及密码分析中的攻击模型等。

二、密码学的基本概念密码学是研究信息安全的学科，它主要关注的是如何保护信息的机密性、完整性和可用性。

密码学分为对称密码学和公钥密码学两个主要分支。

2.1 对称密码学对称密码学使用相同的密钥进行加密和解密操作，常见的对称密码算法有DES、AES等。

在对称密码学中，组合数学的概念可以用来描述密码算法中的置换和代换操作。

2.2 公钥密码学公钥密码学使用不同的密钥进行加密和解密操作，常见的公钥密码算法有RSA、ElGamal等。

在公钥密码学中，组合数学的概念可以用来描述密码算法中的数论问题，如大素数的生成和离散对数的计算。

三、组合数学在密码学中的应用组合数学在密码学中有着广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。

3.1 密码分析密码分析是破解密码算法的过程，它可以分为被动攻击和主动攻击两种类型。

组合数学在密码分析中可以用来描述攻击模型、攻击复杂度以及攻击算法的设计。

3.2 密码算法设计组合数学的概念在密码算法的设计中起着重要的作用。