第一章 晶体的结构
思考题
1.1 为什么自然界中大多数固体以晶态形式存在？为什么面指数简单的晶面往往暴露在外表面？ 解答：
在密勒指数（面指数）简单的晶面族中，面间距d 较大。对于一定的晶格，单位体积内格点数目一定，因此在晶面间距大的晶面上，格点（原子）的面密度必然大。面间距大的晶面，由于单位表面能量小，容易在晶体生长过程中显露在外表面，所以面指数简单的晶面往往暴露在外表面。 1.2 任何晶面族中最靠近原点的那个晶面必定通过一个或多个基矢的末端吗？ 解答：
根据《固体物理学》式（1-10a ）
()()(
)
()111222333cos ,cos ,110cos ,a a n h d a a n h d a a a n h d
⎧=⎪⎪
=-⎨⎪
⎪=⎩
1.3 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？
解答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.
1.4在14种布喇菲格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方？ 解答：参考陈金富P33页，徐至中1-13
1）图（a ）代表向c 轴俯视所观察到的体心四方的格点分布。格点②距离由格点①组成的晶面的C/2处。如C=a ，则点阵为bcc;如图所示，为已经伸长的bcc ，c ≠a ，它是体心四方点阵。如
图（b ）与图（a ）代表同样的点阵，只是观察的角度不同，图中①构成四方面心格点，
面心格点间的距离a '=
，如2a C '=
=，则点阵为fcc ；对于一般的C 值，图（b ）
是沿c 轴伸长后的点阵，因此相同的点阵从（a ）是体心点阵，从（b ）看是面心点阵，本质上相同，都称为体心四方点阵。
2）类似的底心四方和简单四方是同一种点阵。
3）底心立方不再具有立方对称性。所以不存在。
1.5
许多金属既可以形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积
变化很小。设体积的变化可以忽略，并以f R 和b R 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问/f d R R 等于多少？
解答：在面心立方晶胞结构的空间面对角线为4f R
，晶胞的边长4f R a =
；一个晶胞包含4个原子，单
位体积中的原子数为(3
44
4/f f
f
n V R
=
=
。
在体心晶胞结构的空间体对角线为4b R
，晶胞的边长4b R a =
；一个晶胞包含两个原子，单位体积中的
原子数为(3
22
4/b b
b
n V R
=
=
。
依题意，在两种晶格变化时设体积的变化可以忽略，即密度相等。f b n n =
即
(
(3
3
4
2
4/4/f
b
R
R
=
得13
/2 1.029f d R R =
=
1.6 将等体积的硬球在平面上密积排列时，空间利用率等于多少？ 解答：在平面上排列时可以理解为是圆在二维平面上的排列，
1）每一个圆如图所示排列时，最紧密，空间利用率最大。
每一个圆在平面四边形一个顶角上，为四个四边形共有，每个四边形有四个圆，所以每个四边形包含一个圆。
每个四边形的面积(
)222
112cos 22sin 22
3
2
3
S a R ππ=⨯⨯=⨯⨯=⨯
每个圆的面积2
S R π'=
空间利用率面利用率2S S S
ρ'=
=
=
=
空间利用率体利用率3
4
S R
V V
πρ'==
== 2）球排成正方形格子
每个正方形的面积()2
2
2
24S a R R ===
每个圆的面积2
S R π'=
空间利用率面利用率22
44
S S R S R ππρ'=
=
=
=
空间利用率体利用率3
2
4
3426
S R
V V
R R ππρ'=
=
==⨯
1.7 在立方晶系中，晶列hkl 垂直于同指数的晶面（hkl ）。这个结论对别的晶系，例如四方晶系
(,)2
a b c π
αβγ===
=≠，是否成立？
解答：设d 为晶面族的（hkl ）的面间距，n 为法向单位矢量，根据晶面的定义，晶面族（hkl ）将,,a b c 分
别截为,,h k l 等分，即
()()()
cos ,cos ,cos ,a n a a n hd b n b b n kd c n c c n ld
⎧⋅==⎪⎪⋅==⎨⎪⎪⋅==⎩
于是有
()1d d d n h i k i l i a b c =++
其中,,i k l 分别是,,a b c
三个坐标轴的单位矢量，面晶列[]hkl 的方向矢量为
()2R hai kb j lck
=++
如果是立方晶系a b c ==，
()
()1d d d d
n h i k j l k hi k j l k
a b c a
'=++=
++
(
)
()2R hai kb j lc k ha
i k j l k
'=++=++
比较两式得2d n R a
=
，n R 即与平行，晶列hkl 垂直于同指数的晶面（hkl ）
()
()
2
22
cos d d d h i k
j l k hai kb j lc k h
k l n R a b c d d d n R h i k j l k hai kb j lc k a b c
θ⎛⎫++⋅++ ⎪++⋅⎝
⎭===
⋅++⨯++
如果是立方晶系，cos 1θ=，表示平行，即晶列hkl 垂直于同指数的晶面（hkl ）
如果不是立方晶系，例如四方晶系(,)2
a b c π
αβγ====≠
2
22
cos h
k l n R
n R
θ++⋅==
⋅
