信息光学-----第3章 标量衍射的角谱理论

U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
定义:复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率 平面波在 x 和 y 方向的空间频率分别为: 三、平面波的复振幅表示 平面波的空间频率一般情形
1 cos a fx ; X l
1 cos b fy Y l
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 2 z ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 可以作泰勒展开 r z 2z (1+D)1/2 1+ D /2
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似。 但因为 k 很大，对位相中的 r 须作二级近似 a0 jkr a0 exp(jkz) exp j k ( x x ) 2 ( y y ) 2 U ( P) e 0 0 z r 2z
k: 传播矢量
球面波的等位相面：以S为中心的球面，r =const
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 会聚球面波
a0 jkr 会聚球面波 U ( P ) e r
(P(x,y,z))
y k
会聚点S
(r
z
0 x
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波的空间分布
P点处的复振幅:U ( P )
概述
标量衍射理论的发展历程
• 1665年格里马蒂首次报道和精确描述了衍射现象；
• 1678年惠更斯提出子波的假设； • 1804年托马斯杨认为在适当条件下，光与光干涉叠加 可以产生暗斑； • 1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理； • 1860年麦克斯韦认为光等同于一个电磁波；
• 1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解 波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式；
光场随时间的变化e
-j2pnt：
n ~1014Hz n为常数，线性运算后不变
对于携带信息的光波，空间变化部分需要详细分析。 故引入复振幅U(P): jj(P)
U(P) = a(P) e
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt }
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
U(P) = a(P) e jj(P)


§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示--近轴近似 a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z


对给定平面 是常量
随x, y变化的二次位相因子 球面波特征位相
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
如果平面波传播方向在xz平面(或yz平面), 与z轴夹角为q，则此平面波复振幅沿x方向 (或y方向)的空间频率为:
j(P) = k . r
k : 传播矢量 球面波: k//r
k = | k |=2p /l , 为波数。表 示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明 了光场变化的“空间频率”
(P(x,y,z))
y k
(r
z
则P点处的复振幅：
源点S
a0: 单位距离 处的光振幅 0 x
a0 jkr U ( P) e r
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j (P)必须满足的关系，将光场用复数表 示，以利于简化运算
u(P,t) = a(P){cos[2pnt - j(P)]} = e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于 = e{a(P) e jj(P). e -j2pnt } 将时空变量分开
已将球面波中心取在 z = 0的平面，且光波沿 z 轴正方向传播。 如果 z > 0，上式代表从 S 发散的球面波。 如果 z < 0，上式代表向 S 会聚的球面波。 x-y 平面上等位相线方程为 : 球面波中心 在原点：
x x y y


C
a0 k 2 2 U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x y ) z 2z
E 0(电场) 2 t 2 B 0(磁场) 2 t 传播速度
2
波动方程是线性的，也就是说满足该方程的基本解的线性组 合都是方程的解。可以证明，球面波和平面波都是波动方程 的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组 合表示，也都是波动方程的解。
§3-1 光波的数学描述
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的复振幅:
cos g 1 cos 2 a cos 2 b
U ( x, y, z ) a exp( jkz 1 cos 2 a cos 2 b ) exp[ jk ( x cos a y cos b )]
常数幅相因子, A
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
• 瑞利-索末菲公式的提出与完善。
概述
本章主要研究内容和特点
• 主要研究内容：
从基尔霍夫衍射理论和角谱衍射理论出发，讨 论衍射问题。
• 特点：
–光的衍射将利用线性系统理论进行重新解释； –将衍射现象看做线性不变系统，分别讨论光学 系统的脉冲响应和传递函数。
第三章 标量衍射的角谱理论 §3-1 光波的数学描述
• U(P)是空间点的复函数，描写光场的空间分布， 与时间无关； • U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)| 和相对位相 arg(U)= j(P) • 方便运算，满足叠加原理 • 实际物理量是实量，要恢复为真实光振动： u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可 • 光强分布：I = UU*
a0 jkr e r
取决于k与r是平行 还是反平行
距离 r 的表达
若球面波中心在原点:
r x y z
2 2
2
若球面波中心在 S (x0, y0, z0):
r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波在给定平面的分布 以系统的光轴为z轴，光沿 z 轴正方向传播。所 考察的平面垂直于z 轴。 令点光源位于z = 0的平面上坐标(x0, y0)处。考察与 其距离为z的x - y平面上的光分布
一、光振动的复振幅表示
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为: u P, t a P cos 2πn t j P 振幅 频率 初位相 光场随时间的变化关系: 由频率n表征。 可见光: n ~1014Hz 光场变化的时间周期为1/ n。 严格单色光: n为常数 光场随空间的变化关系体现在： (1) 空间各点的振幅可能不同 (2) 空间各点的初位相可能不 光场变化的空间周期为l。 同，由传播引起。 由于u(P,t) 必须满足波动方程， 可以导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系
以 k 表示的等相平面方程为 k .r = const.
故平面波复振幅表达式为：
U ( x, y, z ) a exp( jk r ) a exp[ jk ( x cosa y cos b z cosg )]
常量振幅 线性位相因子
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示 平面波:在给定平面的分布
在x-y平面上的等位相线 xcosa + ycosb = const 为平行直线族
随x,y线性变化的 位相因子
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示－－平面波的空间频率
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的位相分布。等位相 线是平行直线族。为简单计，先看k在x-z平面内：cosb =0 复振幅分布:
概述
什么是标量衍射理论？
• 光的衍射
几何光学：不能用反射或折射来解释的光线对直线 光路的任何偏离。 信息光学：衍射是由光波的横向宽度受到限制而引 起的，当限制的尺度与所用的辐射波长在一个量级 时，衍射现象最显著。
• 光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多； （2）观察点离衍射孔不靠太近。 标量衍射理论是一种近似理论，当衍射场能量分布 与光的偏振状态密切相关时，必须采用矢量衍射理 论。
r [(x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 z 2 ]1/ 2 ( x x0 ) ( y y0 ) z 1 2 z
2 2 1/ 2
需要作近轴近似
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波：近轴近似 只考虑 x - y平面上对源点 S 张角不大的范围，即
第三章 标量衍射理论
概述
• 信息光学为什么要研究光的传播？
信息光学主要是研究光波作为载波，实现信息的 传递、变换、记录、和再现问题。这些研究问题 都涉及对光的传播规律的描述，所以要研究光的 传播规律。
• 光的传播规律应该用什么理论进行描述？
在课程范畴内，认为光属于电磁波，它的传播规 律是用电磁波理论来描述的。
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心的波 点光源或会聚中心 设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示
等相面为平面， 且这些平面垂直 于光波传播矢量 k。 k 的方向余弦
均为常量
等相平面的法线方向k (kcosa, kcosb, kcosg)
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示
等相面为平面，且这些平面垂直于光波传播矢量 k。 等相平面的法线方向 k (kcosa, kcosb, kcosg) k 的方向余弦, 均为常量
光强是波印廷矢量的时间平均值，正比于电场振幅的平方
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
• 电磁波的传播：电场和磁场紧密联系，相互激发形成统一的 场——电磁场，交变电磁场在空间以一定的速度由近及远的 传播形成电磁波。
• 波动方程：
拉普拉斯算符
2 1 E 2 c 2 1 B 2 c
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
练习 1
单位振幅的单色平面波，波矢量k与x轴 夹角为30，与y轴夹角为60。 (1)画出z = z1平面上间隔为2p的等相线族, 并求出Tx、 Ty、T 和fx 、fy和 f。 (2)画出y = y1平面上间隔为2p的等相线族, 并求出Tx、 Tz 和fx 、fz.
一、光振动的复振幅表示
1 2 将U(P)exp(j2pn t)代入波动方程 2u 2 2 u 0 c t 可导出复振幅满足的方程为：
( k )U 0 ——不含时间变量的波动方程 2p 称为波数或传播常数， k 表示单位长度上产生的相位变化 l
2 2
即亥姆霍兹（Helmholtz)方程
U ( x, y) A exp(jkx cosa )
等位相面是平行于y 轴的一系列平面，间隔为l 等位相面与x-z平面相交 等位相面与x-y平面相交 形成平行于y轴的直线 形成平行直线 沿x方向的等相线 间距：
z
2p l X k cos a cos a
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示－－平面波的空间频率
fx wenku.baidu.com
x
cosa, cosb 为波 矢的方向余弦
1 sin q y fy Y l
若波矢在 x-z 平面或 y-z 平面中, a b 又常用它 们的余角qx (qy)表示，故： 1 sin q 引入空间频率概念后， 单色平面波 在xy 平面的复振幅分布可以表示为
X
l
;
U ( x, y) A exp[j 2p ( f x x f y y)]
复振幅分布:
U ( x, y) A exp(jkx cosa )
1 cos a fx X l
Y = ∞， fy=0
复振幅分布可改写为:
定义 复振幅分布在x方向的空间频率：
对于在x-z平面内传播的平面波，在y方向上有：
U ( x, y) A exp(j 2pf x x)
§3-1 光波的数学描述