债券的久期和凸性40页PPT

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二、久期、息票(xī piào)率和到期收益率
下表给出了三种(sān zhǒnɡ)不同的到期收益率和 四种不同息票率条件下，五种不同到期期限的债券 的久期变化。
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到期期限
1 5 10 15 20
1 5 10 15 20
1 5 10 15 20
6％
0.93 4.05 6.61 7.96 8.53
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债券(zhàiquàn)久期的计算公式为：
d
1
C1 (1 k
)
2
C2 (1 k)2
3
C3 (1 k)3
... t
(Cn F (1 k)t
)
/
P
上式是用现金流现值对现金流所发生的时间加权。
现金流入包括利息(lìxī)C和赎回本金F，并且时间加权 数是从1到t。最后，现金流对时间加权后求和，再除以 债券价格P（债券估值公式中的P）。
650 508
600
550
463
500 450
400
422 386
350
322
300
295
7 8 9 10 11 12 13 利率%
图5 利率变化对债券价值影响关系图示
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如前所述，零息票债券(zhàiquàn)的久期与其期限相 同。因此图中债券(zhàiquàn)的久期与期限一样也是 10年，而且其变化关系是一条直线，这条直线是当前 到期收益率为10％时价格变化曲线的切线。
T t(t 1)CT
cv ( 1 ) t1 (1 k )T
(
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
)
10(11)(1000) (1.10)10
55
2

债券价值评估模型
零息债券定价模型
零息债券(zero-coupon bonds)
-持有期间不支付利息，只在到期时偿付本金； -债券的发行价格和面值之间的价值，代表持有人在持有期间的收益；
PV买价
Fபைடு நூலகம்面值
零息债券估值的基本模型
PV(1F rV)n
债券价值评估模型
零息债券的价值计算
【例】假设面值为1000元、期限为2年的零息债券，如果投 资者的预期年收益率是8%，那么该债券的内在价值是多少？
( 1 y 2 ) 2 ( 1 y 1 ) ( 1 E ( r 2 ) )
第1年投资（已知）
第2年投资（预期）
根据远期利率公式有
(1y2)2 (1y1)(1f2)，则 E(r2)f2
利率的期限结构
(1 y3)3 (1 y2 )2 (1 f3) (1 y2)2(1 E(r3))
f3 E(r3)
利率的期限结构
3. 流动性溢酬理论（the liquidity preference theory） ◆ 理论内容：
通过对债券的考察，可以看到由于通货膨胀和将来利率的不确定性，即使是无违约风险 的债券也存在风险。这些风险是理解债券收益率曲线的关键。债券持有者面临着通货膨胀和 利率的风险。债券的期限越长，这两种风险就越大。既然一些债券的持有者想要在债券到期 之前出售债券，那么就存在利率风险。这些投资者要求对于他们购买的长期债券所承担的风 险进行补偿。正如在通货膨胀的情形下，到期时间越长，风险越大，因此补偿也必须随之上 升。流动性溢价理论是预期理论与分割市场理论结合的产物。
1 r n n1 0 f1 1 1 f21 2 f3 1 n 1 fn 流动性
利率的期限结构

3
久期的定义及其用途
金融工程课程
（１）当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价 值变化作出大致的估计。
（２）风险管理。
4
金融工程课程
二、麦考利久期（Macaulay Duration）的计算
（１）麦考莱久期估算法
将久期表述为债券现金流的时间加权现值之和与现金流的总现值 的比率。
D

时间加权现值
T
t(t 1)Ct (1 i)t
14
五、 凸度
金融工程课程
例9-3： 一种债券的面值为100元。票息额为每年9元。债券的到期期限为6年。 计算在不同市场利率情况下以及市场利率增加0.5%，该债券的久期和凸度以及 债券市场价格的估计变化。
市场 利率％
债券的 价格
PB
修正久期 D*
近考虑久期 的价格变化
免疫的概念： 性； 在投资期末，资产组合的总价值等于投资期初预计的价值；
20
金融工程课程
零息债券显然是具有免疫的。 因为它没有息票收入的再投资。 零息债券的久期等于债券的期限。 因而债券息票收入再投资收益率的变动是问题的关键
21
二、 债券组合的久期与免疫资产的组合
i 解 ： PB ＝125美元
＝5％
DM＝4.6年
i ＝＋0.004
PB DM PBi 4.6 125 0.004 2.3美元
更加精确的计算结果为：
PB
DM PB (1 i)
i
4.6 125 0.004 1.05
2.19美元
11
四、 久期的数学解释
)
di
DM
di
PB
(1 i)PB

20.24308 24.33865, ?
久期的局限性
凸性
• 债券的凸性是由收益率的微小变化引起的 价格-收益率曲线斜率的变化，价格-收益率 曲线的二阶导数提供了凸性的计算方法。 • 根据泰勒展开式，价格变化可以写为： P 1 2P 2 P y 2 y (3) y 2 y
P
• 当收益率上升0.005%时，价格为：
P
4 104 101.91832 0.05995 0.05995 2 (1 ) (1 ) 2 2
4 104 101.90862 0.06005 0.06005 2 (1 ) (1 ) 2 2
• 因此如果面值为1百万美元，则其PVBP为：
简介
• 债券的价格风险（或者等价的称为利率风 险）指的是由于市场中利率的变化所引起 的价格的变化。
PVBP or DV01
• DV01 (PVBP)测量的是当收益率变化一个基 点（0.01%）时债券价格的变化。 • 假设P为债券的价格，y为债券的收益率， 一阶导数dP/dy测量了当收益率变化时价格 的变化。
久期的局限性
P • 根据修正久期的公式： MD y P
• 当收益率增加200个基点时：
P 200 12.12 24.24% P 10000
• 因此价格的实际变化为：
P 100.40695 24.24% 24.33865
久期的局限性
• 当然，我们也可以利用价格——收益率曲线 计算新的收益率7.216%+200个基点下的债 券价格为80.16387，因此其价格的实际变化 为： • 100.40695-80.16387=20.24308
久期（Duration）
• 久期是另外一个较常用的测量风险的工具 • 久期克服了需要重复计算价格的缺陷 • 债券价格公式：

如果增加债券的票面利率，那么债券的凸度会发生什么变化呢？如果增加债券的到期收益率，那么债券的凸度又会发生什么变化呢？ 你可以通过创建动态图，并使用“微调项”来回答上述及更多的其他问题。 问题：一张债券的面值为1000美元，年票面利率为5.
二、包含凸度的价格敏感度
在度量债券价格对利率变化的敏感度的过程中，债 券凸度是对债券存续期的一个补充。换句话说，债 券的存续期和凸度共同度量了债券的利率风险。与 只考虑存续期相比，加入债券凸度可以使你对由给 定的到期收益率的变化导致的债券价格的百分比变 化做更佳的概算。为了全面了解债券价格的敏感度， 我们将同时在一张图上对三者进行比较：根据存续 期做出的债券价格的近似百分比变化、根据存续期 和凸度做出的债券价格的近似百分比变化以及债券 价格的实际百分比变化。
实验工具：Excel。 问题：一张债券的面值为1000美元，年票面利率为5. 实验6 债券的凸度 其次，我们使用公式计算债券的凸度。 与只考虑存续期相比，加入债券凸度可以使你对由给定的到期收益率的变化导致的债券价格的百分比变化做更佳的概算。
为了全面了解债券价格的敏感度，我们将同时在一张图上对三者进行比较：根据存续期做出的债券价格的近似百分比变化、根据存续 期和凸度做出的债券价格的近似百分比变化以及债券价格的实际百分比变化。 二、包含凸度的价格敏感度
凸
度
我们通过对债券的现金流进行加权平均
（时间的平方加上时间）来计算债券的凸 首先，我们通过对债券的现金流进行加权平均(时间的平方加上时间)来计算债券的凸度；
实验6 债券的凸度
度；其次，我们使用公式计算债券的凸度。 请计算这张债券的凸度(convexity)。
请计算这张债券的凸度(convexity)。
为了全面了解债券价格的敏感度，我们将同时在一张图上对三者进行比较：根据存续期做出的债券价格的近似百分比变化、根据存续 期和凸度做出的债券价格的近似百分比变化以及债券价格的实际百分比变化。

• 组合的凸性
与组合的久期相似，这也是一种近似

• 基于久期和凸性的利率风险管理

基于久期的利率风险管理 考虑凸性情况下的利率风险管理
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基于久期的利率风险管理
• 风险管理目标

组合的久期和美元久期为0
从本质上说，久期套期保值的本质是匹配并 对冲组合中的美元久期，而非久期，通常称 之为“美元久期中性”
V V 1 V t V V V t D 2 V t y V t y 2 V t y
久期
• 投资组合的久期

组合的美元久期：等于单资产美元久期的加总 $ DP $ D j
ti t
V t


不存在麦考林久期和修正久期的差别
久期的真正含义是固定收益证券价格对利率的一阶敏 感性
久期
• 关于不含权债久期的一些结论

零息票债券的麦考利久期等于其剩余到期期限

只剩一期到期的附息票债券等价于零息票债券，其麦 考利久期也等于其剩余期限
对于剩余期限超过一期的（固定利率）附息票债券来 说，其麦考利久期由于是未来付息期的加权平均，因 此一定小于其剩余期限
基于久期的利率风险管理
• 基于久期的利率风险管理：例

假设一个手中管理着价值1000万美元、久期为6.8的国债组合 的基金经理非常担心利率在接下来的一个月内波动剧烈，决 定于2007年10月3日使用12月到期的长期国债期货USZ7进行利 率风险管理。当她进入市场时，USZ7报价为111.27美元。 2007年10月3日，针对USZ7期货而言交割最合算的债券是息票 率为7.125％、将于2023年2月15日到期的长期国债。其转换 因子为1.1103，现货报价为126.40美元。根据债券修正久期 的计算公式，该债券的修正久期为10.18，故此USZ7的久期近 似等于10.18-2/12=10.01。

凸性
• 久期本身也会随着利率的变化而变化。所 以它不能完全描述债券价格对利率变动的 敏感性，1984年Stanley Diller引进凸性 的概念。
• 久期描述了价格-收益率曲线的斜率，凸性 描述了曲线的弯曲程度。凸性是债券价格 对收益率的二阶导数。
• 久期的计算，是假设债券价格与收益率的关系是线 性的，（如图中的斜直线），然而，实际上债券价 格与收益率的关系并不是线性的，而是凸向原点的 弧线。因此，当原来债券价格为平价之P*,而收益率 等于R*，当收益率上升为R1，根据久期的估计，债 券价格将下跌为P1，然而事实上债券价格只下跌为 P1’；反之，若收益率下跌为R2，则久期估计债券价 格只上涨到P2，而事实上债券价格却会涨到P2’。
提纲
• 4.1 需要与动机 • 4.2 性格与气质 • 4.3 情绪与情感
一、谈判人员的情绪管理和调控
情绪调控能力是指人有能力通过情绪调节和控 制，使积极的个人情绪压倒消极的个人情绪。特别 地，谈判人员不仅对自己的情绪要加以调整，对谈 判对手的情绪也应该做好相应的防范和引导。
一般地，在国际商务谈判过程中，经常采用的 情绪策略主要有： • 攻心术 • 软硬兼施策略
实例
• 债券价格为100元；久期为4.393年；修正久 期为4.265年；凸性系数为10.883
• 假设收益率上升100bps，则债券价格变动： • 债券价格变动比例= • 即债券价格会下跌4.16%； 4 .2 6 5 0 .0 1 1 0 .8 8 3 0 .0 1 2 4 .1 6 % • 假设收益率下降100bps，则债券价格变动： • 债券价格变动比例= • 即债券价格会上涨4.37%
4 .2 6 5 0 .0 1 1 0 .8 8 3 0 .0 1 2 4 .3 7 %

债券的久期——债券利率风险的衡量
债券投资者关心债券价格的利率敏感性，即利 率的一定幅度变化会导致债券价格发生多大的 变化。
债券价格的利率敏感性一般用久期来衡量。
一、久期的计算公式
久期（Duration）又称为马考勒久性 (MD、D) 或持续期，使用加权平均数的形式计算债券的平 均到期时间。
第一步：计算负债的久期
支付时间 [t]
1 2 3 … 15 合计
未来现金流 未来现金流的现值 现 值 乘 以 支 付 时 间
[ct ]
[ PV (ct ) ]
100
90.909
[ PV (ct ) t ] 90.909
100
82.645
165.29
100
75.131
…
…
225.393 …
100
66.12 美元 132.23 美元
3
1080 美元 0.7513 811.40 美元 2434.21 美元
加总
950.25 美元 2639.17 美元
D 72.731 66.12 2 811.40 3 2639.17 2.78 （年）
950.25
950.25
二、马考勒久性定理
第三，该方法是基于这样的一个基本假设：收益率曲线 平行移动，即当市场利率发生变化时，不同期限债券的 收益率都以相同的幅度上涨或下调。但事实并非如此。
练习题：
1、一个附息率为6%，每年支付一次利 息的债券，距到期有3年，到期收益率为 6%，计算它的久期。如果到期收益率为 10%，久期又是多少？
对于一年计 m 次复利的收益率而言，修
正的持续期为：
，D t1 (1 r m)t m

D麦 1 r
=
1 r
（5—14）
r
5.1久期
➢ 5.1.3久期值的计算方法
1）列表法，这便是上文所有计算久期的方法。
2）封闭式久期计算法
D麦=
C
(1
r)n 1 (1 r) r2(1 r)n
rn
F n (1 r)n
P
（5—15）
C表示息票额，F表示面值，r表示到期收益率，n表示债券剩余期限
付息次数，P表示债券价格
5.1久期
➢ 3）有效久期计算法
（1）有效久期是1996年弗兰克法波齐（Frank Fabovi）提出的。
（2）有效久期≈D修（条件：收益率发生很小变动，收益率曲线平
滑）。 （3）计算公式D有效=
P _ P P0(R R _)
（5—17）
其中，P指收益率下降x个基点债券价格，P+ 指收益率上升x个基点时
5.1久期
➢ 5.1.6风险免疫（risk immunization） ➢ 3）风险免疫策略
（1）有特定目标期限的风险免疫。 （2）资产负债管理的风险免疫。
➢ 4）风险免疫的本质
使资产组合的久期与负债组合的久期期限相等，从而使净资产值不 受利率变化的影响。
5.1久期
➢ 5.1.7基于久期的套期保值策略
D2
（5—21）
其中，W1表示第一份债券价值所占总价值的比例，W2表示第二份债券价值
所占总价值的比例
【例5—7】一个资产组合由B1和B2组成，它们的价格、收益率、久期分别 是：
P1=90，D1=0.58；P2=110，D2=1.76 DM=W1 D1＋W2 D2= ×0.58＋ ×1.76=0.261＋0.968=1.229

例5：三种债券到期收益率分别为5%，5.5%和6%，票息 ：三种债券到期收益率分别为 ， 和 ， 率都为5.5%，结算日为 率都为 ，结算日为1999年8月2日，到期日为 年 月 日 到期日为2004 次息， 年6月15日，每年付 次息，应计天数法则为 月 日 每年付2次息 应计天数法则为ACT/ACT。 。 求上修正久期，年和半年麦考利久期。 求上修正久期，年和半年麦考利久期。 解：>> Yield=[0.04, 0.05, 0.06]; >> CouponRate = 0.055; >> Settle = '02-Aug-1999'; >> Maturity='15-Jun-2004'; >> Period =2; >> Basis=0; >> [ModDuration, YearDuration, PerDuration] = bnddury(Yield, CouponRate, Settle, Maturity, Period, Basis) ModDuration = YearDuration = PerDuration = 4.2444 4.3292 8.6585 4.2097 4.3149 8.6299 4.1751 4.3004 8.6007
（4）现金流久期的计算 ）
调用方式： 调用方式：[Duration, ModDuration] = cfdur (Cashflow, Yeild) Yeild：the periodic yield可以理解为贴现率。 可以理解为贴现率。 ： 可以理解为贴现率 例3：Nine payments of $2.50 and a final payment of ： $102.50 with a yield of 2.5% returns a duration of 8.97 periods and a modified duration of 8.75 periods. 验算一下： 验算一下： >> cashflow= [2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,102.50] >> [Durartion, ModDuration]=cfdur(cashflow,0.025) Durartion = 8.9709 ModDuration = 8.7521

凸性的意义：在久期给定的情况下，凸性反映 了债券带来的现金流的集中程度，现金流越集中凸 性越小，现金流越分散则凸性越大。 注意：久期是平均意义上的到期时间。
凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发 生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。
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债券的凸性
凸性的性质
1. 现金流越集中凸性越小，现金流越分散则凸性 越大。
D
1 p
T t 1
tct (1 y)t
T t 1
t
[
(1
Ct y)t
/
T t 1
(1
Ct y
)t
]
[ 1 0 2 0 ... TCT ] / CT
(1 y) (1 y)2
(1 y)T (1 y)t
T
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债券的久期
定理2：息票债券的Macaulay久期小于它们的到期
凸性是根据债券价格p对收益率y的二阶导数给出的，其 金融学意义比较难以理解，其中一种解释把凸性看成久期 对利率的敏感度，这是错误的。
dD dy
d(dp/ dy
dy
p)
[p(ddy2p2 p)2 (ddpy)2]
D2－c
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债券的凸性
凸性的金融学含义
由定理6可知
dD
1
T
{
t2ct(1y)t D2}
F (1 i)n2
F (1 i)n1
PVn,n2 PVn,n1 1 1 PVn,n1 PVn 1 i
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18
债券的久期
久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。其原因是： 本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。
当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重 变小，重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加 大，但增速递减。

T
P ( y ) '
t 1 2
T
tCt y (1 ) 2t 1 2
金融风险管理
Ct P y 2t 1 t (1 ) 2 2
33
T
赵建群
tCt y 2t t 0.5 (1 ) 2 D T Ct y 2t t 0.5 (1 ) 2
T
金融风险管理
34
金融风险管理
29
赵建群
5、久期的推导Ⅱ：付息方式为半年一次
金融风险管理
30
赵建群
T C0.5 C1.5 CT 0.5 Ct C1 C2 CT P y y y y y y y 2t 1 (1 ) 2 (1 ) 3 (1 ) 4 (1 ) 2T 1 (1 ) 2T t 1 ( 1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2
B 100 100 100 100 100
C 100 40 100 180 120 90
D 200 50 30 150 70
2
3 4 5 6
200
100
时间跨度不同 各期流量不同 金融风险管理
6
赵建群
思路： 设置一个指标，综合衡量时间跨度和流量大小？ 同时体现出对风险因子的敏感性程度？ ——久期
赵建群
D
dP dy P 1 y 2
D*
1 dP P dy
y D D (1 ) 2
*
dP D * dy P
金融风险管理
35
赵建群
6、久期的推导Ⅲ：利息一年支付a次
1 at Ct T a y at 1 (1 ) t a a D T Ct y at 1 ) t (1 a a