求椭圆离心率范围的常见题型解析
解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e 的不等式.
一、利用曲线的范围，建立不等关系
例1已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂
直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围.
例2
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在
一点P 使
1221
sin sin a c
PF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为
(
)
21,1-.
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足
的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心
率的取值范围是（ ）
Ａ．(0,1) Ｂ．
1(0,]2
Ｃ．2
(0,
)2 Ｄ．2[,1)2
x
y O
F 1
F 2
三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系
例4已知ABC ∆的顶点B 为椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在
椭圆上，若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围.
四、利用函数的值域，建立不等关系
例5椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=⋅OB OA （O
为原点），若椭圆长轴长的取值范围为
[]6,5，求椭圆离心率的范围.
五、利用均值不等式，建立不等关系.
例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围；
解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a.
在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mncos 60°＝(m ＋n)2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝
⎛⎭
⎪⎫m ＋n 22
＝4a 2－3a 2＝a 2 x
y O
A B
F M
C
(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥1
2.
又012，1.
例7 已知1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使
︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围.
解析1：令
n PF m pF ==21,，则a n m 2=+ 由21PF PF ⊥
2
2
2
4c n m
=+∴ ()2
2
222
22
4a n
m n m c
=+≥
+=∴ 即21
222
≥=a
c e
又12
2
10<≤∴
<解析2：不妨设短轴一端点为B 则2245tan 2
1
b b S PF
F =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=∆22
1
21
b ⇒≤
c 2
b ⇒≤2
c 2
2
c a -⇒≤2c 222
a
c e =⇒≥21
故
2
2
≤e ＜1 七、利用实数性质，建立不等关系
解析3：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得
1-=-⋅+c
x y c x y ，即222x c y -=，代入12
222=+b
y a x 得()22222
c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥
即222
c a c
-≥，2
2
≥=
∴a c e 又1解析4：21PF PF ⊥ 为直径的圆上点在以21F F P ∴ 又P 在椭圆上，
2
2
2
c y x P =+∴为圆 与 122
22=+b
y a x 的公共点.由图可知
222a c b a c b <≤⇒<≤ ∴2
222a c c a <≤-12
2
<≤∴
e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.
九、利用21PF F ∠最大位置，建立不等关系
解析4：椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大
无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <0
90
2
245sin sin 001=<∠=<
∴OPF a c 又10<2
<≤e .
