椭圆练习题1
A组基础过关
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )．
A.1
2
B.
2
2
C. 2
D.
3 2
解析由题意得2a＝22b⇒a＝2b，又a2＝b2＋c2
⇒b＝c⇒a＝2c⇒e＝
2 2 .
答案B
2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )．
A.x2
81
＋
y2
72
＝1 B.
x2
81
＋
y2
9
＝1 C.
x2
81
＋
y2
45
＝1
D.x2
81＋
y2
36
＝1
解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1
3×2a ，∴c
＝3，
∴b 2
＝a 2
－c 2
＝81－9＝72，∴椭圆方程为x
2
81
＋
y
2
72
＝1.
答案 A
3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )．
A.
32 B.34 C.22 D.23
解析 先将
x 2＋4y 2＝1
化为标准方程x 21＋y 214
＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝3
2
.
离心率e ＝c a ＝3
2.
答案 A
4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2
＝1的左、右焦点，P 是第一象
限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.26
3
解析 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x
24
＋y 2＝1在第一象限的交点，
解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2
＝1，得点P 的横坐标为
26
3
. 答案 D
5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
3
2
，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )．
A.x2
4＋
y2
9＝1 B.
x2
9＋
y2
4＝1 C.
x2
36＋
y2
9＝1 D.
x2
9＋
y2
36＝1
解析依题意设椭圆G的方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6，
∵椭圆的离心率为
3
2. ∴
a2－b2
a＝
3
2，
∴36－b2
6＝
3
2.解得b
2＝9，
∴椭圆G的方程为：x2
36＋
y2
9＝1.
答案 C
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．若椭圆x2
25＋
y2
16＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2
的距离是________．
解析由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以点P到其另一个焦点F2的距离为|PF2|＝2a－|PF1|＝10－6＝4.
答案 4
7．(2011·皖南八校联考)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．
解析在三角形PF1F2中，由正弦定理得
sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝π2，
设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝3，
∴离心率e＝2c
2a＝
3 3.
答案
3 3
8．(2011·江西)若椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1的焦点在x轴上，过点⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1，
1
2作圆x2＋y2＝1的
切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方
程是________．
解析 由题可设斜率存在的切线的方程为y －1
2＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，
即2k x －2y －2k ＋1＝0， 由|－2k ＋1|4k 2＋4
＝1，解得k ＝－34， 所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0， 求得切点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，45，
易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)，
令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2＝5， 故得所求椭圆方程为x 25＋y 2
4＝1.
答案 x 25＋y 2
4＝1
三、解答题(共23分)
9．(11分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两
焦点，若PF 1⊥PF 2.
试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF 1F 2的面积． 解 (1)∵P 点在椭圆上， ∴9a 2＋16
b 2＝1.①
又PF 1⊥PF 2，∴
43＋c ·43－c
＝－1，得：c 2＝25，② 又a 2＝b 2＋c 2，③
由①②③得a 2＝45，b 2＝20. 椭圆方程为x 245＋y 2
20
＝1.
(2)S △PF 1F 2＝1
2
|F 1F 2|×4＝5×4＝20.
10．(12分)(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4
5
|PD |.
