2020年高考数学模拟试卷(4月份)

2020年江苏省南京外国语学校、金陵中学、海安高中高考数学四模试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设全集U={x|x＜5，x∈N*}，集合A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=______．2.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在第象限______．3.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于10的概率是______．4.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30）内为一等品，在区间[20，25）和[30，35）内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为______．5.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px的焦点恰好是双曲线的右焦点，则该抛物线的准线方程为______．6.如图是一个算法流程图，则输出的b的值为______．7.已知α∈（0，π），，则=______．8.函数的定义域为______．9.设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a7=60，a2+a5+a8=51，若对任意n∈N*，都有S n≤S k成立，则正整数k的值为______．10.如图，该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等．若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为______．11.在平面直角坐标系xOy中，圆C经过M（1，3），N（4，2），P（1，-7）三点，且直线l：x+ay-1=0（a∈R）是圆C的一条对称轴，过点A（-6，a）作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长度为______．12.已知实数a，b∈（0，2），且满足，则a+b的值为______．13.已知菱形ABCD中，对角线AC=，BD=1，P是AD边上的动点（包括端点），则的取值范围为______．14.在△ABC中，若cos2A+cos2B+cos2C＜1，sin B=，则（tan2A-2）•sin2C的最小值为______．二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15.已知函数f（x）=2sin（x+）•cos x．（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．16.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB=BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点．（1）求证：FG∥平面EBO；（2）求证：PA⊥BE．17.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P为椭圆上顶点，点A是椭圆C上异于顶点的任意一点，直线PA交x轴于点M．点B 与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：在y轴的正半轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18.如图，已知某市穿城公路MON自西向东到达市中心O后转向东北方向，∠MON=，现准备修建一条直线型高架公路L，在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B，且要求市中心O到AB所在的直线距离为10km．（1）求A，B两出入口间距离的最小值；（2）在公路MO段上距离市中心O点30km处有一古建筑C（视为一点），现设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区，问如何在古建筑C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？19.已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且2S n+1-3S n=2a1，n∈N*．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）若a1与a t（t为常数，t≥3，t∈N*）均为正整数，且存在正整数q，使得，，求a1的值．20.已知函数f（x）=ax-ln x-a，a∈R．（1）若a=1，求方程f（x）=0的根；（2）已知函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a在区间（1，+∞）上存在唯一的零点，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，是否存在实数m，使不等式在（1，+∞）上恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．21.已知直线l：x+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l'：x-y=1，求矩阵A．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（-2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．23.设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，求证：x+y+z=．24.一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．（1）求甲三次都取得白球的概率；（2）求甲总得分ξ的分布列和数学期望．25.设n∈N*．（1）若，求S2019的值；（2）若，求T2019的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：{3}解析：解：U={x|x＜5，x∈N*}={1，2，3，4}，因为A={1，2}，B={2，4}，所以A∪B={1，2，4}，所以∁U（A∪B）={3}，故答案为：{3}．U={x|x＜5，x∈N*}={1，2，3，4}，求出A∪B，然后求出其补集即可．本题考查了集合的并集和补集的混合运算，属基础题．2.答案：三解析：解：∵=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，-），在第三象限．故答案为：三．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：解析：解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和大于10包含的基本事件有：（5，6），（6，5），（6，6），共有m=3个，∴出现向上的点数之和大于10的概率p==．故答案为：．先求出基本事件总数，再利用列举法求出出现向上的点数之和大于10包含的基本事件的个数，由此能求出出现向上的点数之和大于10的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．4.答案：200解析：解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30）内为一等品，在区间[20，25）和[30，35）内为二等品，其余为次品．其件数为：800×（0.0125+0.0250+0.0125）×5=200故答案为：200结合频数分布直方图确定落在[10，15，）、[15，20）、[35，40]的人数由容量××组距求出．本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．5.答案：x=-2解析：解：双曲线的右焦点是（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点为（2，0），∴=2，∴p=4∴抛物线的准线方程为：x=-=-2．故答案为：x=-2．根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p和准线方程．本题考查了抛物线的性质，属中档题．6.答案：8解析：解：a=1，b=1，a＞10否，a=2，b=1，a＞10否，a=1+2=3，b=2-1=1，a＞10否，a=3+1=4，b=3-1=2，a＞10否，a=4+2=6，b=4-2=2，a＞10否，a=6+2=8，b=6-2=4，a＞10否，a=8+4=12，b=12-4=8，a＞10是，输出b=8，故答案为：8根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．7.答案：-2解析：解：α∈（0，π），，故：，则：=-．故答案为：-2直接利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.答案：{x|-1＜x≤2}解析：解：要使函数有意义，则≥0，得≤0，得-1＜x≤2，即函数的定义域为{x|-1＜x≤2}，故答案为：{x|-1＜x≤2}根据函数成立的条件，建立不等式进行求解即可．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．9.答案：10解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a4+a7=60，a2+a5+a8=51，∴3a1+9d=60，3a1+12d=51，联立解得：a1=29，d=-3，∴a n=29-3（n-1）=32-3n．令a n32-3n≥0，解得n≤=10+．由对任意n∈N*，都有S n≤S k成立，则正整数k的值=10．故答案为：10．设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a4+a7=60，a2+a5+a8=51，可得3a1+9d=60，3a1+12d=51，联立解得：a1，d，利用a n≥0，解得n．本题主要考查等差数列的通项公式求和公式及其单调性，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．10.答案：解析：解：设圆柱的底面圆半径为r，则圆柱的高为h=r，其侧面积为S1=2πr•r=2πr2；设圆锥的高为H，则母线长为，其侧面积为S2=πr•；又S1=S2，则2πr2=πr•，解得H=r，所以圆锥与圆柱的高之比为=．故答案为：．设圆柱的底面圆半径为r，高为r，求出侧面积S1；设圆锥的高为H，求出母线长和侧面积S2，利用S1=S2求出H，再计算的值．本题考查了圆柱与圆锥的侧面积计算问题，是基础题．11.答案：2解析：解：设圆的一般式方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆过M（1，3），N（4，2），P（1，-7）三点，∴，得D=-2，E=4，F=-20，即圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0，即（x-1）2+（y+2）2=25，圆心C（1，-2），半径R=5，∵直线l：x+ay-1=0（a∈R）是圆C的一条对称轴，∴直线过圆心，则1-2a-1=0，得a=0，则A（-6，0），过点A（-6，0）作圆C的一条切线，切点为B，则|AC|===，则线段AB的长度为==2，故答案为：2利用待定系数法求出圆的一般式方程，求a的值，结合切线长公式进行计算即可．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用待定系数法求出圆的方程，利用切线长公式是解决本题的关键．12.答案：2解析：解：已知实数a，b∈（0，2），且满足，则：a2-b2-4=22-b-2a-4b，即：（a2-22-b）+（2a-b2）+（4b-4）=0，∵实数a，b∈（0，2），且满足，即满足：（a2-22-b）+（2a-b2）+（4b-4）=0，取b=1代入方程计算方程的根a且在（0，2）即可，即：（a2-2）+（2a-1）=0，a∈（0，2），当a=1时（a2-2）+（2a-1）=0成立，所以a=1是方程（a2-2）+（2a-1）=0的一个根，且符合a，b∈（0，2）范围，所以a，b∈（0，2）时，且满足成立的a、b有a=b=1是符合．故a+b的值为2故答案为：2．利用已知将化简，计算a、b的值在实数a，b∈（0，2），且满足即可得答案．考查观察法．方程为0 时各部分的系数，对数据的分析．13.答案：[]解析：解：设=，（0≤λ≤1）由已知易得|AD|=1，∠DAB=，则=（）•（）=（-）•[-（λ-1）]=2+λ（λ-1）2-（2λ-1）=λ2=（λ-1）2，又0≤λ≤1，则≤，故答案为：[，]．由平面向量数量积的运算及二次函数的值域问题得：易得|AD|=1，∠DAB=，则=（）•（）=（-）•[-（λ-1）]=2+λ（λ-1）2-（2λ-1）=λ2=（λ-1）2，又0≤λ≤1，则≤，得解．本题考查了平面向量数量积的运算及二次函数的值域问题，属中档题．14.答案：2-5解析：解：因为cos2A+cos2B+cos2C＜1，sin B=，所以cos2A+cos2C＜1-sin2B=，所以+，所以cos2A+cos2C＜-1，所以2cos（A+C）cos（A-C）＜-1，又sin B=，当B=时，A+C=，-，即2cos（A+C）cos（A-C）＞0，即B=不合题意，即B=，即A+C=，所以（tan2A-2）•sin2C=（tan2A-2）•sin2（-A）=（tan2A-2）•cos2A=（tan2A-2）•，令1+tan2A=t（t＞1），则（tan2A-2）•==t≥2=2-5，故答案为：2-5．由三角函数求值及重要不等式得：因为cos2A+cos2B+cos2C＜1，sin B=，所以B=，即A+C=，所以（tan2A-2）•sin2C=（tan2A-2）•sin2（-A）=（tan2A-2）•cos2A=（tan2A-2）•，令1+tan2A=t，（t＞1）则（tan2A-2）•==t≥2=2-5，得解．本题考查了三角函数求值及重要不等式，属难度很大的题型．15.答案：解：（1）f（x）=2sin（x+）•cos x=（sin x+cos x）•cos x=sin x cosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+；…（2分）由得，，∴，…（4分）∴，即函数f（x）的值域为；…（6分）（2）由，得，又由，∴，∴，解得；…（8分）在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A=7，解得；…（10分）由正弦定理，得，…（12分）∵b＜a，∴B＜A，∴，∴cos（A-B）=cos A cos B+sin A sin B=．…（15分）解析：（1）利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围即可求出函数f（x）的值域；（2）由f（A）的值求出角A的大小，再利用余弦定理和正弦定理，即可求出cos（A-B）的值．本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．16.答案：证明：（1）连接AF交BE于Q，连接QO，因为E，F分别为边PA，PB的中点，所以Q为△PAB的重心，可得：=2，又因为O为线段AC的中点，G是线段CO的中点，所以=2，于是，所以FG∥QO，因为FG⊄平面EBO，QO⊂平面EBO，所以FG∥平面EBO．（2）因为O为边AC的中点，AB=BC，所以BO⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥平面PAC，因为PA⊂平面PAC，所以BO⊥PA，因为点E，O分别为线段PA，AC的中点，所以EO∥PC，因为PA⊥PC，所以PA⊥EO，又BO∩OE=O，BO，EO⊂平面EBO，所以PA⊥平面EBO，因为BE⊂平面EBO，所以PA⊥BE．解析：（1）连AF交BE于Q，连QO，推导出Q是△PAB的重心，从而FG∥QO，由此能证明FG∥平面EBO．（2）推导出BO⊥AC，从而BO⊥面PAC，进而BO⊥PA，再求出OE⊥PA，由此能证明PA⊥平面EBO，利用线面垂直的性质可证PA⊥BE．本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．17.答案：解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得：b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2．∴椭圆C的标准方程为+y2=1．（2）设B（m，n），M（x M，0），直线BP的方程为：y-1=x，令y=0，可得：x N=，∴N（，0）．由点A，B关于x轴对称，∴A（m，-n）．同理可得：M．假设在y轴的正半轴上存在点Q（0，t）（t＞0），使得∠OQM=∠ONQ．由tan∠OQM=tan∠ONQ，可得：=，即t2=|x M x N|，∴t2==4，又t＞0，解得t=2．经过验证：t=2时，∠OQM=∠ONQ．∴在y轴的正半轴上存在点Q（0，2），使得∠OQM=∠ONQ．解析：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得：b=1，=，a2=b2+c2，解得a．即可得出椭圆C的标准方程．（2）设B（m，n），M（x M，0），直线BP的方程为：y-1=x，令y=0，可得N（，0）．由点A，B关于x轴对称，可得A（m，-n）．同理可得：M．假设在y轴的正半轴上存在点Q（0，t）（t＞0），使得∠OQM=∠ONQ．由tan∠OQM=tan∠ONQ，可得：=，即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=10．设∠AOE=α，，则．∴AB=AE+BE=10tanα+10tan（）=．∵．∴当，AB取最小值20（）．（2）以O为原点建立平面直角坐标系，则圆C的方程为（x+30）2+y2=25．设直线AB的方程为y=kx+t，（k＞0，t＞0）．∴，，解得t＜20k或＞60k（舍），∴OA＜20．又∵当AB∥ON时，OA→10，∴．解析：（1）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=10．设∠AOE=α，，则．AB=AE+BE=10tanα+10tan（）=．利用三角函数知识，可得AB取最小值．（2）以O为原点建立平面直角坐标系，则圆C的方程为（x+30）2+y2=25．设直线AB的方程为y=kx+t，（k＞0，t＞0）．可得，即可求解本题考查了三角知识的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．19.答案：（1）证明：2S n+1-3S n=2a1，n∈N*．可得2S n+2-3S n+1=2a1，相减可得：2a n+2=3a n+1，即=．又2S2-3S1=2a1，解得：=．综上可得：数列{a n}为等比数列，公比为．（2）解：∵a t=a1•，a1与a t为正整数．∴a1是2t-1的倍数，不妨设a1=k2t-1，k∈N*．故a t=k•3t-1．由a t≤（q+1）t-1，得（q+1）t-1≥k•3t-1≥3t-1，于是q≥2．又a1≥q t-1，a t≤（q+1）t-1，得≤，于是≤，∴≤，即q≤2．∴q=2．由a t=a1•≤3t-1，知a1≤2t-1，又a1≥2t-1，∴a1=2t-1．解析：（1）2S n+1-3S n=2a1，n∈N*．可得2S n+2-3S n+1=2a1，相减可得：2a n+2=3a n+1．又2S2-3S1=2a1，可得：．即可证明结论．（2）a t=a1•，a1与a t为正整数．可得a1是2t-1的倍数，不妨设a1=k2t-1，k∈N*．故a t=k•3t-1．由a t≤（q+1）t-1，得（q+1）t-1≥k•3t-1≥3t-1，于是q≥2．又a1≥q t-1，a t≤（q+1）t-1，得≤，可得≤，即q≤2．解得q，即可得出．本题主要考查等比数列的定义通项公式、不等式的性质，考查学生的转化能力和逻辑推理与计算能力，属于难题．20.答案：解：（1）当a=1时，f（x）=0即为，x-ln x-1=0，令t（x）=x-ln x-1，所以t′（x）=1-=，当x∈（0，1）时，t′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0，（x）单调递增，所以，t（x）min=t（1）=0，故方程f（x）=0的根为：x=1；（2）函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a=x lnx-a（x-1）．所以g′（x）=ln x+1-a，当a≤1时，由x＞1，知g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函数，且图象不间断；又g（1）=0，所以：x＞1时，g（x）＞g（1）=0，即函数g（x）在（1，+∞）上没有零点，不合题意；当a＞1时，由g′（x）=0，解得：x=＞1，当1＜x＜时，g′（x）＜0，故g（x）在（1，）上是减函数；当x＞时，g′（x）＞0，故g（x）在（，+∞）上是增函数；所以1＜x＜时，g（x）＜g（1）=0，因为，g（e a）=ae a-a（e a-1）=a＞0且函数g（x）的图象在（1，+∞）上不间断，所以函数g（x）在（1，+∞）上有一个零点，符合题意；综上所述，实数a的取值范围为：a∈（1，+∞）．（3）存在吗，使不等式在（1，+∞）上恒成立；设h（x）=-=，令t（x）=e x-1-x，则t′（x）=）=e x-1-1，当x＞1时，t′（x）＞0，t（x）在（1，+∞）单调增，又t（1）=0，故t（x）＞0恒成立，所以当x＞1时，h（x）＞0；当a=0时，φ（x）=f（x）+m（x2-1）=-ln x+m（x2-1），①当m≤0，x＞1时，φ（x）=f（x）+m（x2-1）=-ln x+m（x2-1）＜0恒成立；所以不等式在（1，+∞）上不恒成立；②当m＞0时，由φ′（x）=-+mx==0，得：x=；当x∈（0，）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，J）单调减，当x∈（，+∞时，φ′（x）＞0，φ（x）在（，+∞）单调增，故φ（x）在x=；处取得极小值；（i）当0＜m＜1时，＞1；φ（）＜φ（1）=0，而h（）＞0．故不等式在（1，+∞）上不恒成立；（ii）当m≥1时，构造函数F（x）=φ（x）-h（x）=-ln x+m（x2-1）-，F′（x）=-+mx-+；当m≥1，x＞1时，mx≥x，＜1，-＞-1，F′（x）=-+mx-+＞）=-+x+-1=＞0；所以F（x）在（1，+∞）单调增，又F（1）=0；所以当x∈（1，+∞时，F（x）＞0恒成立，即φ（x）-h（x）＞0恒成立，故存在m≥1，使得在（1，+∞）上恒成立；综上所述，m的最小值为1；故答案为：（1）：x=1；（2）：a∈（1，+∞）；（3）：m的最小值为1．解析：（1）若a=1时求方程f（x）=0的根转换成令t（x）=x-ln x-1求极值可得；（2）利用函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a求导，讨论a利用函数的性质判断增减性讨论零点可得实数a的取值范围；（3）当a=0时，假设存在实数m，使不等式在（1，+∞）上恒成立，证明假设，转化成新函数h（x）=-=，令t（x）=e x-1-x，则t′（x）=）=e x-1-1，讨论单调性集m可判断是否存在m．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：设直线l：x+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A的变换作用下，变换为点M′（x′，y′），由[]=[][]=[]，得，又点M′（x′，y′）在l′：x-y=1上，∴x′-y′=1，即（mx+ny）-y=1，依题意，解得：，则矩阵A=[]．解析：设直线l：x+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A的变换作用下，变换为点M′（x′，y′），根据矩阵A列出关系式，得到x与x′，y与y′的关系式，再由M′（x′，y′）在直线l'上，求出m与n的值，即可确定出矩阵A．此题考查了几种特殊的矩形变换，找出M在矩阵A的变换作用下点M′两点的坐标关系是解本题的关键．22.答案：解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x-3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ-3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x-y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）解析：（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x-y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．23.答案：证明：∵14=（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14，∴，∴z=3x，y=2x，又，∴x=，y=，z=，∴．解析：由条件利用二维形式的柯西不等式求得x、y、z的值，从而证得x+y+z=．本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题．24.答案：解：（1）记事件A表示甲取球时取得白球，则P（A）==，∴甲三次都取得白球的概率P=（）3=．（2）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记ξ为甲总得分，则P（ξ=6）=（）3=，P（ξ=7）==，P（ξ=8）==，P（ξ=9）=（）3=，∴甲总得分ξ的分布列为：ξ 6 7 8 9P甲总得分ξ的数学期望为：E（ξ）==．解析：（1）记事件A表示甲取球时取得白球，则P（A）==，由此能求出甲三次都取得白球的概率．（2）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记ξ为甲总得分，分别求出相应的概率，由此能求出甲总得分ξ的分布列和甲总得分ξ的数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．25.答案：解：（1）因为（x-1）2n=+++……+，令x=1，则=0，即++……+=++……+，而=22n，所以=22n-1，故S2019=24037，（2）因为T n=，当1≤k≤n，k∈N*时，=====，故T n+1==+T n-+ =2=3×8n+1-T n，所以T n+1-=-（T n-），又T1=2，所以（）是以为首项，以-为公比的等比数列，所以T n=，所以T2019=．解析：（1）根据二项式（x-1）2n=+++……+，令x=1，结合而=22n，即可得到结论．（2）因为T n=，当1≤k≤n，k∈N*时，=====，得到T n+1和T n的递推关系，进而构造等比数列，得到T n的表达式，即可求出T2019．本题考查了二项式定理的应用，组合数的运算，构造法求数列的通项公式等，属于难题．。

2020年高考数学（4月份）第一次模拟试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|0＜x＜1}2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．23．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12B．36C．72D．7207．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝48．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729B．332C．181D．969．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是．（填写所有正确说法的编号）三、解答题16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．参考答案一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|0＜x＜1}【分析】先求出集合A，集合B，由此能求出A∪B．解：∵集合A＝{x|x（x+1）≤0}＝{x|﹣1≤x≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜1}．故选：C．2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．2【分析】利用复数模长的性质即可求解．解：∵复数z＝，∴＝＝，故选：A．3．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）【分析】利用抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，即可求出抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标．解：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，∴抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1），故选：B．4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数【分析】根据x＜0即可根据基本不等式得出，从而可得出f（x）≤﹣4，并且x＝﹣1时取等号，从而得出f（x）有最大值，没有单调性，从而得出正确的选项．解：∵x＜0，∴，当且仅当，即x＝﹣1时取等号，∴f（x）有最大值，∴f（x）在（﹣∞，0）上没有单调性．故选：A．5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若a＞b＞0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足a＞﹣b＞0，即a＞0，b＜0，满足a＞b，即必要性成立，即“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12B．36C．72D．720【分析】根据题意，由捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有＝36种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有＝2种情况，则有36×2＝72种不同的坐法；故选：C．7．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4【分析】根据圆心在直线y＝x上，设出圆心坐标为（a，a），利用圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．解：圆心在y＝x上，设圆心为（a，a），∵圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，∴圆心到两直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的距离相等，即：⇒a＝1，∴圆心坐标为（1，1），R＝＝，圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．故选：A．8．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729B．332C．181D．96【分析】正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值．解：正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，由a1a5a9＝27，可得a53＝27，即a5＝3，即a1q4＝3，①a6与a7的等差中项为9，可得a6+a7＝18，即a1q5+a1q6＝18，②①②相除可得q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），则a10＝a5q5＝3×32＝96．故选：D．9．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可．解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a•2x（x∈N+），根据题意，令2（a•2x）＝a•220，解得x＝19，故选：C．10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C 中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n （C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B ∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n （A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤＝6．故选：C．二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．【分析】利用向量平行的条件直接求解．解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+＝t（+2）＝，∴，解得实数λ＝．故答案为：．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝1．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得α的值，可得sinα的值．解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），∴tan（α+）＝＝﹣，故α+为第二象限角．∴可令α+＝，此时，α＝，sinα＝1，故答案为：1．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为：×1×2×2＝．故答案为：．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．【分析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0），然后分类求解得答案．解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p＝，则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，）在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．故答案为：x2＝8y或y2＝x．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是②③．（填写所有正确说法的编号）【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：②③．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；【分析】（Ⅰ）推导出A1O⊥DE，从而A1O⊥平面BCDE，由此能证明A1O⊥BD．（Ⅱ）以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：∵在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．∴A1O⊥DE，∵将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，∴A1O⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴A1O⊥BD．（Ⅱ）解：以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，2），C（2，2，0），B（2，﹣2，0），D（0，﹣1，0），＝（2，2，﹣2），＝（2，﹣1，0），＝（0，1，2），设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，﹣1），设直线A1C和平面A1BD所成角为θ，则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．【分析】取①，由余弦定理可得cos B＝进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；取②a cos B＝b sin A，由正弦定理可得：tan B＝1，B∈（0，π），解得B，可得sin C＝sin（A+B），由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出；取③，可得，由此可求出B的大小，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；解：（1）若选择①，由余弦定理，……………因为B∈（0，π），所以；……………………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以………所以．……………（2）若选择②a cos B＝b sin A，则sin A cos B＝sin B sin A，……………因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，……………因为B∈（0，π），所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，…所以．……………（3）若选择③，则，所以，……………因为B∈（0，π），所以，所以，所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，………18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．【分析】（Ⅰ）由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数．（Ⅱ）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：＝（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）＝36，众数为33．（Ⅱ）设a为乙公司员工B投递件数，则当a＝34时，X＝136元，当a＞35时，X＝35×4+（a﹣35）×7元，∴X的可能取值为136，147，154，189，203，P（X＝136）＝，P（X＝147）＝，P（X＝154）＝，P（X＝189）＝，P（X＝203）＝，X的分布列为：X136147154189203P＝．（Ⅲ）根据图中数据，由（Ⅱ）可估算：甲公司被抽取员工该月收入＝36×4.5×30＝4860元，乙公司被抽取员工该月收入＝165.5×30＝4965元．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为x2+x+a＝0存在大于0的实数根，根据y＝x2+x+a 在x＞0时递增，求出a的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数g（x）的导数，根据f（e）＝﹣＞0，得到存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．解：（1）由f（x）＝lnx﹣﹣1得：f′（x）＝，（x＞0），由已知曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）＝﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a＝0存在大于0的实数根，∵y＝x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）＝，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）＝及题设得：g′（x）＝＝，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）＝﹣a﹣1＜0，取x＝e，显然e＞1，f（e）＝﹣＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）＝0，即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，令g′（x）＞0，解得：x＞x0，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．【分析】（I）由椭圆的标准方程即可得出；（II）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，可得l：y＝k（x﹣2）．代入椭圆的标准方程可得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得根与系数的关系．点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．可得直线P'Q的方程可以为，令y＝0，，把根与系数的关系代入化简即可得出．解：（Ⅰ）∵椭圆C：，∴c2＝a2﹣b2＝4，解得c＝2，∴焦点F（2，0），离心率．（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，∴m＝﹣2k，∴l：y＝k（x﹣2）．由，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∵点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．∴直线P'Q的方程可以设为，令y＝0，＝＝＝＝3．∴直线P'Q过x轴上定点（3，0）．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．【分析】（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）对a2、a3分类取值，再结合各项均为非负整数列式求m的值；（Ⅲ）令S n＝a1+a2+…+a n，则．进一步推得存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．再由成立证明a n为常数．【解答】（Ⅰ）解：m＝5时，数列{a n}的前五项分别为：5，1，0，2，2．（Ⅱ）解：∵0≤a n≤n﹣1，∴0≤a2≤1，0≤a3≤2，又数列{a n}的前3项互不相等，（1）当a2＝0时，若a3＝1，则a3＝a4＝a5＝ (1)且对n≥3，都为整数，∴m＝2；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝4；（2）当a2＝1时，若a3＝0，则a3＝a4＝a5＝ 0且对n≥3，都为整数，∴m＝﹣1，不符合题意；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝3；综上，m的值为2，3，4．（Ⅲ）证明：对于n≥1，令S n＝a1+a2+…+a n，则．又对每一个n，都为正整数，∴，其中“＜”至多出现m﹣1个．故存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及a n+1均为整数，∴＝a n+1＝，故＝常数．从而＝常数．故存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．。

2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x⋅ln(x+3)0}，则A∪B＝（）A.{−1, 0, 1}B.{−2, −1, 1}C.{−2, 0, 1}D.{−2, −1, 0, 1}2.设z是复数z的共轭复数，若z⋅i＝1+i，则z⋅z=()A.√2B.2C.1D.03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A.y＝xsinxB.y＝xlnxC.y=x⋅e x−1e x+1D.y=xln(√x2+1−x)4.数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n>0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A.283B.12 C.383D.135.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.43B.2 C.83D.1036.已知函数f(x)＝2cos2x−cos(2x−π3)，则下列结论正确的个数是（）①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0, π3]上单调递增；③函数f(x)在[0, π2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x=π3对称．A.1B.2C.3D.47.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC=π3，M、N分别为BC、AM 的中点，则CN→⋅AB→=（）A.−2B.−34C.−54D.548.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A.13B.12C.25D.349.已知函数f(x)=log12(x2−ax+a)在(12, +∞)上为减函数，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, 1]B.[−12, 1]C.(−12, 1] D.(−12, +∞)10.若x，y满足约束条件{4x−3y−6≤02x−2y+1≥0x+2y−1≥0，则z＝|x−y+1|的最大值为（）A.2B.2411C.2811D.311.如图所示，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为（）A.9πB.10πC.12πD.14π12.已知函数f(x)=x+aax−1(x>0)，若a=√1−x2>0，则f(x)的取值范围是（）A.[−√2−1, −1)B.(−2√2, −1)C.[−2√2, −1)D.(−√2, 0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为________．14.已知函数f(x)＝x3−5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f(x)的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为________．15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则yx +9x2x+y的最小值为________．16.F1、F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e 的取值范围是________+√2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sinC+tanBcosC＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足AP→⋅CP→=0，求BP的最小值，并求BP取得最小值时△APC的面积S．18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：K2=n(ad−bc)2，n＝a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC=π，E为CD中3点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P−ABCE．（1）求证：平面PAE ⊥平面PBE ； （2）求点B 到平面PEC 的距离．20.动圆P 过定点A(2, 0)，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4． （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l ′与曲线C 的交点S 、T 满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)＝ax +1x ，g(x)=e x x−1．（1）讨论函数f(x)在(0, +∞)上的单调性；（2）若对任意的x ∈(0, +∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ （θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P 为直线l 上的任意一点 （1）Q 为曲线C 上任意一点，求P 、Q 两点间的最小距离；．（2）过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A 、B ，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=√|x+2|+|x−1|−a．（1）当a＝4时，求函数f(x)的定义域；+（2）若函数f(x)的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足12m+n2=s时，求3m+4n的最小值．m+3n。

河北省邯郸市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·林芝期末) 已知全集，，，则为（）A . {1}B . {1,6}C . {1,3,5}D . {1,3,5,6}2. （2分）复数=（）A . 1-2iB . 1+2iC . -1+2iD . -1-2i3. （2分）设的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n为（）A . 4B . 5C . 6D . 84. （2分）设，则a，b，c的大小关系是（）A . a＜b＜cB . c＜a＜bC . b＜a＜cD . b＜c＜a5. （2分） (2017高一上·福州期末) 一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于（）．A . 2B . 4C .D .6. （2分）某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的值是（）A . 63B . 31C . 27D . 157. （2分） (2016高一下·正阳期中) y=sin2x的图象是由函数y=sin（2x+ ）的图象向（）个单位而得到．A . 左平移B . 左平移C . 右平移D . 右平移8. （2分）若直线和圆相交，则过点与椭圆的位置关系为（）A . 点P在椭圆C内B . 点P在椭圆C上C . 点P在椭圆C外D . 以上三种均有可能9. （2分） (2017高一下·天津期末) 若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A . ﹣5B . 1C .D . 310. （2分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，M是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体A﹣PEF中必有（）A . PM⊥△AEF所在平面B . AM⊥△PEF所在平面C . PF⊥△AEF所在平面D . AP⊥△PEF所在平面11. （2分）抛物线x2=-y，的准线方程是（）。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B = ，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分隔率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即12sin182-=,设12m =,则2tan 811tan 81=+（）A.4mB.2m C.m3.若5(4)(2)x m x --的展开式中的3x 的系数为600-,则实数m =（）A.8.B.7C.9D.104.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A ．518B ．625C ．925D ．895.设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为（）A.52B.5C.9D.926.已知函数()()()sin f x x x ωω=+，若沿x 轴方向平移()f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线1y =在区间[]0,π上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（）A.82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)2,47.已知()6116,ln ,log 71ln 510115a b c =+==-,则（）A.a b c >> B.b c a>> C.a c b >> D.c a b>>8.已知正方体1121ABCD A B C D -的棱长为2,P 为线段11C D 上的动点，则三棱锥P BCD -外接球半径的取值范围为（）A．,24⎤⎥⎣⎦B．4⎣C．1⎣D．4⎣二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知复数123,,z z z ,下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =,则12||||z z =B.若22120z z +=,则120z z ==C.若1213z z z z =,则10z =或23z z =D.若1212||||z z z z -=+,则120z z =10.已知抛物线2:4C x =y 的焦点为F ,准线为l ,过F 的直线与抛物线C 交于A,B 两点，M 为线段AB 中点，,,A B M '''分别为A,B,M 在ι上的射影，且||3||AF BF =,则下列结论中正确的是A.F 的坐标为(1,0)B.||2||A B M F '''=C.,,,A A M F ''四点共圆D.直线AB 的方程为313y x =±+11.对于[]()0,1,x f x ∈满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤．恒有()()12f x f x ≤．则（）A ．10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑B ．112624f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1113216016f ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布2(100,)N σ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为.（若2~(,)X N μσ，则{||2}0.9545)P X μσ-<=13.ABC △中，,,a b c ,分别为角,,A B C的对边，若3A π=，a b c +=+，则ABC △的面积S 的最小值为.14.函数sin cos ()e e x x f x =-在(0,2π)范围内极值点的个数为.四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分13分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.16.(本小题满分15分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m （2m >且*m ∈N ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B 的概率为p ．（i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用()g p 表示恰有3组被标为B 的概率，试求()g p 的最大值及此时m 的值．17.(本小题满分15分)如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，2AB AD ==，13AA =，11π3BAA BAD DAA ∠=∠=∠=，点P 满足1221333DP DA DC DD =++ ．(1)证明：O ，P ，1B 三点共线；(2)求直线1AC 与平面PAB 所成角的正弦值．18.(本小题满分17分)已知椭圆22:11612x y E +=的左右焦点分别为12,F F ,点A 在椭圆E 上,且在第一象限内,满足1|| 5.AF =(1)求12F AF ∠的平分线所在的直线l 的方程；(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异的两点,若存在,请找出这两点；若不存在请说明理由；(3)已知双曲线M 与椭圆E 有共同的焦点,且双曲线M 与椭圆E 相交于1234,,,P P P P ,若四边形1234P P P P 的面积最大时,求双曲线M 的标准方程.19.(本小题满分17分)已知数列{}n a ,记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.（1）若数列{}n a 为1,2,3,写出集合T ；（2）若2n a n =,是否存在*,N i j ∈,使得(),512S i j =？若存在,求出一组符合条件的,i j ；若不存在,说明理由；（3）若n a n =,把集合T 中的元素从小到大排列,得到的新数列为12,,...,,...m b b b ,若2024m b ≤,求m 的最大值．。

2020年陕西省商洛市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|4−x >0}，B ={x|x >1}，则A ∩B =( )A. φB. (1,4)C. (1,+∞)D. (4,+∞)2. 已知复数z =−1−2i(1+i)2，则z −=( )A. −34+14iB. −14+34iC. −1+12iD. −1−12i3. 设F 1，F 2为椭圆的两焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，若△BF 1F 2为正三角形，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √22C. √32D. 24. 某地气象局把当地某月(共30天)每一天的最低气温作了统计，并绘制了如图所示的统计图，假设该月最低气温的中位数为m c ，众数为m 0，平均数为x −，则( )A. m c =m 0=x −B. m c =m 0<x −C. m c <m 0<x −D. m 0<m c <x −5. 已知函数f(x)={x −1,x <0log 2x −3,x >0,则f(16)+f(−12)=( ) A. 3 B. 1 C. −1 D. −26. 已知等比数列{a n }的公比q >1，若其前4项和为40，且a 5=10a 3−9a 1，则a 3=( )A. 81B. 27C. 9D. 37. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. b ⃗ −13a ⃗ B.b ⃗ −23a ⃗ C.b ⃗ −43a ⃗ D.b ⃗ +13a ⃗ 8. PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，连接PB ，PC ，PD ，AC ，BD ，则下列垂直关系正确的是( ) ①面PAB ⊥面PBC; ②面PAB ⊥面PAD;③面PAB ⊥面PCD; ④面PAB ⊥面PAC ．A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④9. 函数在区间[0,π2]上的最小值是( )A.B. √22C.D. 010. 曲线y =x 3−3x 2+1在点(1,−1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A. 43B. 23C. 29D. 4911. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为( )A. √32π B. 32π C. √3π D. 3π12. 已知函数f(x)={2−x ,x ≤0−lnx,x >0若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同实数根，则m 的取值范围是( )A. m <14B. m ≤−2C. −2≤m <14D. m >2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 从{1,2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{2,3，4}中随机选取一个数b ，则b >a 的概率是________． 14. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0，则z =3x −y 的最小值等于______． 15. 设F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点M(a,b).若∠MF 1F 2=30°，则双曲线的离心率为______ ．16. 等差数列{a n }中，a 1>0，S n 是前n 项和且S 9=S 18，则当n =__________时，S n 最大． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．(Ⅰ)求A(Ⅱ)若a=2，求△ABC面积的最大值．18.如图所示，正三棱柱A1B1C1−ABC中，A1A=4，D，E分别为A1C1，BC1的中点．(1)求证：DE//平面A1ABB1；(2)若三棱锥E−ACD的体积为2√3，求该三棱柱底面边长．19.为激发果农对樱桃种植的热情，某商场每年六月会从果农中订购他们所种植的樱桃，假设商场每天进货量相同且每公斤20元，售价为每公斤24元，当天未售完的樱桃降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完．根据往年情况，每天需求量n(单位：公斤)与当天平均气温ℎ(单位：℃)有关．如果ℎ≥25，n=300；如果ℎ∈[20,25),n=200；ℎ∈[15,20),n=100；ℎ<15，n=50.为了确定今年6月1日到30日的订购数量，统计了前三年6月平均气温数据，得到如下所示的频数分布表：(1)若设该商场某天进货220公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率；(2)假设该商场打算在这90天内每天进货200公斤或220公斤，请你以销售樱桃每天为商场带来的利润的期望值作为决策依据，帮该商场作出正确的进货量选择．20.已知函数f(x)=xe x，g(x)=x2−x−a，a∈R．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)+g(x)≥0对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．21.已知抛物线x2=2py(p>0)过点(2,1).(Ⅰ)求抛物线的方程和焦点坐标；(Ⅱ)过点A(0,−4)的直线l与抛物线交于两点M,N，点M关于y轴的对称点为T，试判断直线TN 是否过定点，并加以证明．22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，求曲线C的直角坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−2|+2|x+1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤6的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≥−x2+m对∀x∈R成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵A ={x|x <4}； ∴A ∩B ={x|1<x <4}=(1,4)． 故选：B ．可解出集合A ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 解：复数z =−1−2i(1+i)2=−1−2i 2i=(1+2i)⋅i −2i⋅i =−2+i 2，则z −=−1−12i. 故选：D ．3.答案：A解析：解：由题意，设椭圆的半焦距长为c ，则 ∵△BF 1F 2为正三角形， ∴b =√3c ∴a 2−c 2=3c 2 ∴a =2c ∴e =ca =12 故选：A ．利用△BF 1F 2为正三角形，确定几何量之间的关系，进而可求椭圆的离心率．本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：本题考查中位数，众数，平均数的求法，考查条形统计图，属于简单题．由统计图分别求出该月每一天的最低气温的中位数，众数，平均数，由此能求出结果． 解：由统计图得：最低气温在3−5之间的频数为15，最低气温在6−10之间的频数也为15， 故该月最低气温的中位数为m c =5+62=5.5，众数为m 0=5，平均数为x −=130×(2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10)≈5.97． ∴m 0<m c <x −． 故选：D ．5.答案：C解析：本题考查分段函数的求值，属于基础题．根据分段函数的定义域结合解析式，分别代入即可求出结果． 解：根据分段函数的解析式和定义域， 知f (16)+f (−12)=(log 216−3)+(−12)−1=1−2=−1， 故选C ．6.答案：C解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，根据条件联立方程组求出首项和公比，即可求出答案，属于基础题．解：设等比数列{a n }的公比为q ．由题意知{a 1(1−q 4)1−q =40,①a 1q 4=10a 1q 2−9a 1,②由②得q 4−10q 2+9=0，所以q 2=1(舍去)或q 2=9，又q >1， 所以q =3，代入①有a 1=1， 所以a 3=a 1q 2=9． 故选C ．7.答案：C解析：本题考查平面向量基本定理的应用，属于基础题目． 解：因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB →−AB ⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB →−AB ⃗⃗⃗⃗⃗=AC⃗⃗⃗⃗⃗ −43AB →=b →−43a →．故选C ．8.答案：A解析：证明： 由于BC ⊥AB ，又由PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，所以BC ⊥PA ， 易证BC ⊥平面PAB ，则平面PAB ⊥平面PBC ，故①正确； 又AD//BC ，故AD ⊥平面PAB ， 则平面PAD ⊥平面PAB ，故②正确．综上可判断①②正确，故选A．分析：由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直．本题考查面面垂直的判定定理的应用，要注意转化思想的应用，将面面垂直转化为线面垂直．9.答案：C解析：本题考查正弦函数的最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的图像与性质，能根据正弦函数的图像与性质求最值．由题意，可先求出2x−π4取值范围，再由正弦函数的图像与性质即可求出所求的最小值．解：由题意x∈[0,π2]，得2x−π4∈[−π4,3π4]，∴sin(2x−π4)∈[−√22,1]，∴函数f(x)=sin(2x−π4)在区间[0,π2]的最小值为−√22．故选C．10.答案：B解析：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率．属基础题．先对函数进行求导，求出在x=1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．解：∵y=x3−3x2+1，∴y′=3x2−6x∴f′(1)=−3，点(1,−1)处的切线为：y=−3x+2，与坐标轴的交点为：(0,2)，(23,0)，S=12×23×2=23，故选B．11.答案：D解析：解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA =1， 补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为√3，∴该四棱锥外接球的半径r =√32，表面积为4π×(√32)2=3π． 故选：D ．由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA =1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为√3，则半径可求，代入球的表面积公式得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．12.答案：B解析：本题考查的是方程的根的存在性以及根的个数判断，考查转化的思想、数形结合的思想方法，属中档题．结合方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同的实数根，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，结合函数f(x)的图象即可获得解答．解：函数f(x)={2−x ,x ≤0−lnx,x >0的图象如图，若关于x的方程f2(x)+f(x)+m=0有三个不同实数根，令f(x)=t，则方程t2+t+m=0的两根一个大于等于1而另一个小于1．再令g(t)=t2+t+m，则g(1)≤0，即2+m≤0，得m≤−2．故选：B．13.答案：25解析：本题考查利用古典概型求概率，解题的关键是确定基本事件的个数，属于基础题．求出基本事件的个数和满足b>a事件的个数即可得解．解：由题意，从{1,2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{2,3，4}中随机选取一个数为b，共有5×3=15种情况，满足b>a的事件(a,b)有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，则b>a的概率是615=25．故答案为25．14.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)， 所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72．故答案为：−72． 15.答案：2解析：解：由题意可得F 1(−c,0)，M(a,b)，直线MF 1的斜率为tan30°=√33， 即有b a+c =√33， 即a +c =√3b ，平方可得(a +c)2=3b 2=3(c 2−a 2)=3(c +a)(c −a)，化简可得a +c =3(c −a)，即为c =2a ，可得e =c a =2．故答案为：2．求得直线MF 1的斜率为tan30°=√33，即有b a+c =√33，运用a ，b ，c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和a ，b ，c 的关系和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于基础题．16.答案：13或14解析：由S 9=S 18，可知9a 1+9×82d =18a 1+18×172d ，整理得a 1=−13d.所以S n =d 2n 2+(a 1+d 2)n =d 2(n −272)−7298d.又因为a 1>0，所以d <0，且n ∈N ∗，故当n =13或14时，S n 最大． 17.答案：解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得sinC =sinAcosB +sinBsinA ①又A +B +C =π，故有sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ②由①②得sinA=cosA即tanA=1，又A∈(0,π)∴A=π4；(Ⅱ)△ABC的面积为S=12bcsinA=√24bc，又已知及余弦定理可得4=b2+c2−2bccosA≥2bc−2bccosA=(2−√2)bc，∴bc≤2−√2，当且仅当b=c时，等号成立，∴面积S=12⋅bcsinA≤√2+1，即面积最大值为√2+1．解析：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题．(Ⅰ)运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，同角的商数关系，计算即可得到所求；(Ⅱ)由三角形的面积公式，余弦定理，结合基本不等式，即可得到所求最大值．18.答案：解析：(1)分别取A1B1，B1B中点M，N，连接DM，MN，EN，则DM//B1C1，EN//B1C1，∴EN//DM，且EN=DM=12B1C1，∴DMNE为平行四边形，∴DE//MN且MN⊂平面A1ABB1，DE⊄平面A1ABB1，所以DE//平面A1ABB1；(2)设该三棱柱底面边长为a，由正三棱柱可知，点B到平面A1ACC1的距离为ℎ=√32a，而S△ACD=12AC·A1A=2a，V E−ACD=12V B−ACD=12×13S△ACD·ℎ=16×2a×√32a=2√3，∴a2=12，a=2√3，所以三棱柱底面边长为2√3．解析：本题考查线面平行的证明，考查正三棱锥底面边长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．(1)连接取A1B1，B1B中点M，N，连接DM，MN，EN，推导出DE//MN，由此能证明DE//平面A1ABB1；.(2)由V E−ACD=12V B−ACD，作AF⊥BC交BC于F，由正三棱柱的性质，得AF⊥平面BCC1B1，设底面正三角形边长为a，点B到平面A1ACC1的距离为ℎ=√32a，而S△ACD=12AC·A1A=2a，由此能求出该正三棱柱的底面边长．19.答案：解：(1)当需求量n=300时，利润为4×220=880元；当需求量n=200时，利润为4×200−20×4=720元；当需求量n=100时，利润为4×100−120×4=−80元；即n=50时，利润为4×50−4×170=−480元．所以当天该商场不亏损的概率P=90−1890=45.(2)设每天的进货量为220公斤，则每天销售樱桃为该商场带来的利润的期望值为：880×3690+720×3690−80×1690−480×290=61519(元)．设每天的进货量为200公斤，当需求量n≥200时，利润为4×200=800元；当需求量n=100时，利润为4×100−4×100=0元；当需求量n=50时，利润为4×50−4×150=−400元；此时利润的期望值为800×7290+0×1690−400×290=63119(元)，因为63119>61519，故从每天销售樱桃给商场带来的利润的期望值考虑，应选择进货量为200公斤．解析：本题考查古典概率及数学期望，考查了学生的运算求解能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)根据题意可得当需求量n =300时，利润为4×220=880元；当需求量n =200时，利润为4×200−20×4=720元；当需求量n =100时，利润为4×100−120×4=−80元；即n =50时，利润为4×50−4×170=−480元；进而利用古典概率公式即可得到结果；(2)设每天的进货量为220公斤，可求得每天销售樱桃为该商场带来的利润的期望值，设每天的进货量为200公斤，求得此时利润的期望值，进而即可得到结果．20.答案：(Ⅰ)f′(x)=e x (x +1)，令f′(x)=0得x =−1，当x <−1时，f′(x)<0；当x >−1时，f′(x)>0，所以函数f(x)的递减区间为(−∞,−1]，递增区间为(−1,+∞)；(Ⅱ)f(x)+g(x)≥0恒成立等价于a ≤xe x +x 2−x ，令F(x)=xe x +x 2−x ，则F′(x)=xe x +e x +2x −1，F′(x)为增函数且满足F′(0)=0，显然当x >0时，F′(x)>0；当x <0时F′(x)<0；当x =0时F′(x)=0，所以F(x)在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增，∴F(x)≥F(0)=0，∴a ≤F(0)=0，故a 的取值范围是(−∞,0]．解析：本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．(Ⅰ)先求出函数f(x)的导数，通过解关于导函数的不等式，从而求出函数f(x)的单调区间； (Ⅱ)f(x)+g(x)≥0恒成立等价于a ≤xe x +x 2−x ，令F(x)=xe x +x 2−x ，通过求导得到函数F(x)的单调性，从而判断出a 的范围．21.答案：解：(Ⅰ)因为抛物线x 2=2py(p >0)过点P(2,1)，所以2p =4所以抛物线方程为x 2=4y ，焦点坐标为(0,1)(Ⅱ)由题意可知直线斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y =kx −4，由{y =kx −4x 2=4y，消y 整理得x 2−4kx +16=0， 则△=16k 2−64>0，即|k|>2设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)则T(−x 1,y 1)且x 1+x 2=4k ，x 1x 2=16．直线TN ：y −y 2=y 2−y1x 2+x 1(x −x 2)， ∴y =y 2−y 1x 2+x 1(x −x 2)+y 2， ∴y =x 22−x 124(x 1+x 2)(x −x 2)+14x 22， ∴y =x 2−x 14x −x 22−x 1x 24+14x 22， ∴y =x 2−x 14x +x 1x 24， 即y =x 2−x 14x +4所以，直线TN 恒过定点(0,4)．解析：本题考查抛物线方程的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力． (Ⅰ)因为抛物线x 2=2py(p >0)过点P(2,1)，求出p ，得到抛物线方程然后求解焦点坐标．(Ⅱ)设直线l 的方程为y =kx −4，由{y =kx −4x 2=4y，消y 整理得x 2−4kx +16=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)则T(−x 1,y 1)利用韦达定理转化求解直线方程，推出恒过的定点即可．22.答案：解：将曲线C 的极坐标方程ρ=2sinθ，两边同乘以一个ρ，得ρ2=2ρsinθ，即x 2+y 2=2y ，故曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−2y =0．解析：本题考查极坐标与直角坐标的转化，将曲线C 的极坐标方程ρ=2sinθ，两边同乘以一个ρ，得ρ2=2ρsinθ，利用极坐标与直角坐标的互化，求解即可．23.答案：解：(Ⅰ)当x ≥2时，3x ≤6，即x ≤2，∴x =2；当−1≤x<2时，2−x+2x+2≤6，即x≤2，∴−1≤x<2；当x<−1时，2−x−2x−2≤6，即x≥−2，∴−2≤x<−1；综上，原不等式的解集为[−2,2]；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)={3x,x≥2x+4,−1<x<2−3x,x≤−1,画出函数f(x)与y=m−x2的图象，如图所示，当−1≤x<2时，f(x)=x+4，此时斜率为1，∴当二者相切时，y′=−2x=1，即x=−12，(或由两方程联立，Δ=0解得)此时m−(−12)2=f(−12)=72，即m=154，由题意可得，m≤154．解析：本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论思想方法和数形结合思想，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)讨论当x≥2时，当−1≤x<2时，当x<−1时，去绝对值，解不等式求并集即可得到所求解集；(Ⅱ)画出函数f(x)与y=m−x2的图象，考虑两图象相切，求得m的值，结合不等式恒成立思想及图象，可得m的范围．。

2020年高考数学模拟试卷 (4)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知偶函数()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，其导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有2()()0f x xf x '+>成立，若(2)1f =，则不等式2()4x f x <的解集为( )A ．{}|0,2x x ≠±B ．(2,0)(0,2)-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,2)(0,2)-∞-⋃2．现有7件互不相同的产品，其中有4件正品，3件次品，每次从中任取一件测试，直到3件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有（ ）种.A ．1080B ．72C ．432D ．864 3．定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，(0)0f =若对任意x ∈R ，都有()'()1f x f x >+，即使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞B ．(,0)-∞C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞ 4．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )A ．2231344C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ B ．2233144C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C ．21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 5．数列1，3，5，7，…的一个通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．31n a n =-D ．31n a n =+ 6．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（ ）．A ．115B ．215C ．15D ．4157．下列说法正确的是（ ）A ．“1x <-”是“()2lg 91x x ->”的必要不充分条件 B ．命题“00123x x ∃>>，”的否定是“123x x ∀><，”C ．若{}11|2302|::11x x p x q x x ⎧⎫∈-<∈>⎨⎬-⎩⎭，，则p q ∧是真命题 D ．若200020x x x m ∃∈-+<R ，，则实数m 的取值范围是(,1)-∞8．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩()2~90,X N σ，已知(7090)0.35P X <=，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（ ）A ．0.15B ．0.50C ．0.70D ．0.859．若k ∈R 则“k >5”是“方程22152x y k k -=-+ 表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．设复数11i z i+=-（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则z =（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．1211．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数，且()'()f x xf x >恒成立，则不等式21()()0x f f x x->的解集为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(2,)+∞ D ．(,2)-∞ 12．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”③命题“x R ∃∈，211x +<”的否定是“x R ∀∈，211x +≥”④在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件其中正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知函数f （x ）=x 2﹣4x+c 只有一个零点，且函数g （x ）=x （f （x ）+mx ﹣5）在（2，3）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是______．14．设函数1()ln ()f x x a x a R x=-+∈的两个极值点分别为12,x x ，若()()12212221f x f x e a x x e ----恒成立，则实数a 的取值范围是_______． 15．定积分()11x x e edx ---=⎰________.16．在二项式n +的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中含x 的项为______．三、解答题17．已知函数()21f x x x =+--.(1)求()f x 的值域;(2)设()233(0)ax x g x a x-+=>若对于任意()0,s ∞∈+,任意t ∈R ,恒有()()g s f t ≥成立,试求实数a 的取值范围.18．甲参加A ，B ，C 三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．（I ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X ，求X 的分布列和数学期望．19．设函数321()32a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（1）求b ，c 的值；（2）若2a =，求函数()f x 的极值；（3）设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间(2,1)--内为单调递减函数，求实数a 的取值范围.20．已知2:8200p x x -++≥，()22:2100q x x m m -+-≤>，若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.21．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查.（1）已知抽取的n 名学生中含女生45人，求n 的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22⨯列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况，求2人中至少有1名男生的概率.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 22．在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为sin 2ρθ=，点M 是C 1上任意一点，点P在射线OM 上，且|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2，求曲线C 2的极坐标方程． 23．已知函数()ln 1ax f x x x =-+. （Ⅰ）若函数()f x 有极值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当()f x 有两个极值点（记为1x 和2x ）时，求证：121()()[()1]x f x f x f x x x++≥⋅-+．参考答案1．B【解析】【分析】构造新函数2()()g x x f x =，由已知可确定其导函数的正负，从而确定()g x 的单调性，同时确定()g x 的奇偶性，利用奇偶性和单调性可解不等式．【详解】当0x >时，由2()()0f x xf x '+>得，222()()()0xf x x f x x f x ''⎡⎤+=>⎣⎦， 令2()()g x x f x =，则()g x 在(,0)(0,)-∞+∞上也为偶函数，且当0x >时，()0g x '>总成立，()g x 在区间(0,)+∞上是增函数.2()4x f x <可化为(||)(2)g x g <，则||2x <，又(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，解得(2,0)(0,2)x ∈-⋃.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性不等式，解题关键是构造新函数2()()g x x f x =． 2．B【解析】【分析】根据排列组合的特点依照题意列式，即可得出结果.【详解】解：根据题意，第三件次品恰好在第4次被测出，说明前三次中有两件次品和一件正品被测出.∴第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有11334372C C A ⋅⋅=种. 故选：B.【点睛】本题考查排列组合的简单计数问题，属于基础题.3．D【解析】分析：构造函数()()1,x f x g x e -=由()()'1f x f x >+判断函数()g x 的单调性，根据单调性可得结果. 详解：构造函数：()()()0101,01x f x g x g e e--===-， 对任意x ∈R ，都有()()'1f x f x >+，()()()()()()2'1'1'0x x x x f x e f x ef x f xg x e e ⎡⎤--+-⎣⎦∴==<，∴函数()g x 在R 单调递减，()1x f x e +<化为()()()110,0x f x g x g x e -=-=∴，∴使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围是()0,∞+，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.4．C【解析】ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，本题选择C 选项.点睛：准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键，()()1n k k k n P X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率.5．A【解析】【分析】根据1，3，5，7，…，数列的规律采用验证的方法得到数列的通项公式..【详解】因为1234211,221,231,241,...a a a a =⨯-=⨯-=⨯-=⨯-所以21n a n =-.故选：A【点睛】本题主要考查数列的通项公式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．C【解析】【分析】先求得不超过15的素数的个数，进而得出其中能够组成孪生素数的组数，结合排列组合和古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数． 其中不超过15的素数有2，3，5，7，11，13，可得能够组成孪生素数的有(3,5)，(5,7)，(11,13)，在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，共有2615n C ==种，其中能够组成孪生素数包含的基本事件个数133m C ==， 所以其中能够组成孪生素数的概率是31155m p n ===． 故选：C ．【点睛】 本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列数公式的应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 7．D【解析】【分析】由充分不必要条件判断A ；直接写出命题的否定判断B ；由“且”命题真假判断C ；特称命。

2023年全国高考数学模拟试卷一、单选题1．设全集U={1 2 3 4 5 6 7 8} 集合S={1 3 5} T={3 6} 则∁U （S∁T ）等于（ ） A ．∁B ．{2 4 7 8}C ．{1 3 5 6}D ．{2 4 6 8}2．在四边形ABCD 中＝ ＋则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形3．已知复数 z =(2+i)(a +2i 3) 在复平面对应的点在第四象限 则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−1)B ．(4,+∞)C ．(−1,4)D ．[-1,4]4．在直三棱柱 ABC −A ′B ′C ′ 中 侧棱长为2 底面是边长为2的正三角形 则异面直线 AB ′ 与BC ′ 所成角的余弦值为（ ） A ．12B ．√33C ．14D ．√555．一个袋子中有5个大小相同的球 其中有3个黑球与2个红球 如果从中任取两个球 则恰好取到两个同色球的概率是（ ） A ．15B ．310C ．25D ．126．已知 f(x)=√3sin2020x +cos2020x 的最大值为A 若存在实数 x 1 x 2 使得对任意的实数x 总有 f(x 1)≤f(x)≤f(x 2) 成立 则 A|x 1−x 2| 的最小值为（ ）A ．π2020B ．π1010C ．π505D ．π40407．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数 其最小正周期为3 且x∁（-320）时 f(x)=log 2(-3x+1)则f(2011）=（ ） A ．4B ．2C ．-2D ．log 278．已知函数f(x)={1−x ，0≤x ≤1lnx ，x >1 若f(a)=f(b) 且a ≠b 则bf(a)+af(b)的最大值为（ ） A ．0 B ．(3−ln2)⋅ln2 C ．1D ．e二、多选题9．下列命题中正确的命题的是（）A．已知随机变量服从二项分布B(n，p)若E(x)=30D(x)=20则p=23；B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后方差恒不变；C．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)若P(ξ>1)=p则P(−1<ξ≤0)=12−P；D．某人在10次射击中击中目标的次数为X X~B(10，0.8)则当x=8时概率最大．10．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F准线为l P是抛物线C上第一象限的点|PF|=5直线PF 与抛物线C的另一个交点为Q 则下列选项正确的是（）A．点P的坐标为（4 4）B．|QF|=54C．S△OPQ=103D．过点M(x0，−1)作抛物线C的两条切线MA，MB其中A，B为切点则直线AB的方程为：x0x−2y+2=011．已知函数f(x)=e x g(x)=ln x2+12的图象与直线y=m分别交于A、B两点则（）A．|AB|的最小值为2+ln2B．∃m使得曲线f(x)在A处的切线平行于曲线g(x)在B处的切线C．函数f(x)−g(x)+m至少存在一个零点D．∃m使得曲线f(x)在点A处的切线也是曲线g(x)的切线12．已知正n边形的边长为a 内切圆的半径为r 外接圆的半径为R 则（）A．当n=4时R=√2a B．当n=6时r=√32aC．R=a2sinπ2n D．R+r=a2tanπ2n三、填空题13．某学校有教师300人男学生1500人女学生1200人现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为150人的样本进行某项调查则应抽取的女学生人数为．14．在（2x2﹣√x）6的展开式中含x7的项的系数是．15．函数f(x)=|2x−1|−2lnx的最小值为.16．定义max{a,b}={a,a≥bb,a<b已知函数f(x)=max{(12)x,12x−34}则f(x)最小值为不等式f(x)<2的解集为.四、解答题17．记S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>06S n=a n2+3a n−4.（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n2+a n+12a n a n+1求数列{b n}的前n项和T n.18．已知数列{a n}的前n项和为S n a1=2n(a n+1−2a n)=4a n−a n+1.（1）证明：{a nn+1}为等比数列；（2）求S n.19．记△ABC的内角A B C的对边分别为a b c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．（1）若A=2B求C；（2）证明：2a2=b2+c2.20．受突如其来的新冠疫情的影响全国各地学校都推迟2020年的春季开学某学校“停课不停学” 利用云课平台提供免费线上课程该学校为了解学生对线上课程的满意程度随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图.（1）求图中a的值；（2）求评分的中位数；（3）以频率当作概率若采用分层抽样的方法从样本评分在[60,70)和[90,100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果再从中选取2人进行跟踪分析求这2人中至少一人评分在[60,70)内的概率.21．已知椭圆与双曲线x 22−y2=1有相同的焦点坐标且点(√3,12)在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设A、B分别是椭圆的左、右顶点动点M满足MB⊥AB垂足为B连接AM交椭圆于点P（异于A）则是否存在定点T使得以线段MP为直径的圆恒过直线BP与MT的交点Q若存在求出点T的坐标；若不存在请说明理由.22．已知函数f(x)=e x(x−2),g(x)=x−lnx.（1）求函数y=f(x)+g(x)的最小值；（2）设函数ℎ(x)=f(x)−ag(x)(a≠0)讨论函数ℎ(x)的零点个数.答案解析部分1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B,C,D 10．【答案】A,B,D 11．【答案】A,B,D 12．【答案】B,D 13．【答案】60 14．【答案】240 15．【答案】116．【答案】14；(−1,112)17．【答案】（1）解：当 n =1 时 6S 1=a 12+3a 1−4 所以 a 1=4 或 −1 （不合 舍去）. 因为 6S n =a n 2+3a n −4① 所以当 n ⩾2 时 6S n−1=a n−12+3a n−1−4② 由①－②得 6a n =a n 2+3a n −a n−12−3a n−1所以 (a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0 . 又 a n >0 所以 a n −a n−1=3 .因此 {a n } 是首项为4 公差为3的等差数列. 故 a n =4+3(n −1)=3n +1 .（2）解：由（1）得 b n =(3n+1)2+(3n+4)2(3n+1)(3n+4)=2+33n+1−33n+4所以 T n =2+34−37+2+37−310+⋯+2+33n+1−33n+4=2n +(34−37+37−310+⋯+33n +1−33n +4)=2n +9n4(3n +4)18．【答案】（1）证明：∵n(a n+1−2a n )=4a n −a n+1∴na n+1−2na n =4a n −a n+1 即(n +1)a n+1=2⋅a n (n +2)∴a n+1n+2=2⋅a nn+1 故{a nn+1}为等比数列. （2）解：由（1）知 a nn+1=1×2n−1⇒a n =(n +1)⋅2n−1 S n =2×20+3×2+4×22⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n−1 2S n =2×21+3×22+4×23⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n∴−S n =2+2+22+⋯+2n−1−(n +1)⋅2n=2+2−2n−1×21−2−(n +1)⋅2n=−n ⋅2n∴S n =n ⋅2n19．【答案】（1）解：∵sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)且 A =2B∴sinCsinB =sinBsin(C −A) ∵sinB ＞0∴sinC =sin(C −A)∴C=C-A （舍）或C+（C-A ）=π 即：2C-A=π又∵A+B+C=π A=2B ∴C= 5π8（2）证明：由 sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A) 可得sinC(sinAcosB −cosAsinB)=sinB(sinCcosA −cosCsinA) 再由正弦定理可得 accosB −bccosA =bccosA −abcosC 然后根据余弦定理可知12(a 2+c 2−b 2)−12(b 2+c 2−a 2)=12(b 2+c 2−a 2)−12(a 2+b 2−c 2) 化简得： 2a 2=b 2+c 2 故原等式成立．20．【答案】（1）解：由题意 (0.005+0.010+0.030+a +0.015)×10=1所以 a =0.040 ；（2）解：由频率分布直方图可得评分的中位数在 [80,90) 内 设评分的中位数为x则 (0.005+0.010+0.030)×10+0.040×(x −80)=0.5 解得 x =81.25 所以评分的中位数为81.25；（3）解：由题知评分在 [60,70) 和 [90,100] 内的频率分别为0.1和0.15 则抽取的5人中 评分在 [60,70) 内的为2人 评分在 [90,100] 的有3人记评分在 [90,100] 内的3位学生为a b c 评分在 [60,70) 内的2位学生为D E 则从5人中任选2人的所有可能结果为：(a,b) (a,c) (a,D) (a,E) (b,c) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共10种；其中 这2人中至少一人评分在 [60,70) 内可能结果为：(a,D) (a,E) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共7种；所以这2人中至少一人评分在 [60,70) 的概率 P =710.21．【答案】（1）解：因为双曲线 x 22−y 2=1 的焦点坐标为 (±√3,0)所以设所求的椭圆的方程为 x 2a 2+y 2b2=1 （ a >b >0 ）则 {a 2=b 2+33a 2+14b 2=1 解得 a 2=4,b 2=1 所以椭圆的标准方程是 x 24+y 2=1（2）解：设直线AP 的方程是 y =k(x +2) （ k ≠0 ）将其与 x 24+y 2=1 联立 消去y 得 (4k 2+1)x 2+16k 2x +16k 2−4=0 设 P(x 1,y 1)则 −2⋅x 1=16k 2−44k 2+1所以 x 1=2−8k 24k 2+1,y 1=4k 4k 2+1 所以 P(2−8k 24k 2+1,4k4k 2+1) 易知 M(2,4k)设存在点 T(x 0,y 0) 使得以MP 为直径的圆恒过直线BP 、MT 的交点Q ⇔MT ⊥BP ⇔4k−y 02−x 0⋅4k−16k2=−1 对于任意 k ≠0 成立 即 4k(1−x 0)+y 0=0 对于任意 k ≠0 成立 x 0=1,y 0=0 所以存在 T(1,0) 符合题意.22．【答案】（1）解：令 φ(x)=f(x)+g(x)φ′(x)=e x(x−1)+(1−1x)=(x−1)(e x+1x)令φ′(x)=0,x=1φ′(x)>0,x>1,φ′(x)<0,0<x<1所以φ(x)的单调递增区间是(1,+∞)单调递减区间是(0,1)所以x=1时φ(x)取得极小值也是最小值所以φ(x)min=φ(1)=1−e（2）解：g′(x)=1−1x=x−1x令g′(x)=0,x=1g′(x)<0,0<x<1,g′(x)>0,x>1 g(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)所以g(x)的极小值为g(1)也是最小值g(x)≥g(1)=1>0.所以ℎ(x)=0⇔a=e x(x−2)x−lnx=s(x)因为s′(x)=e x(x−1)(x−lnx−1+2x)(x−lnx)2令k(x)=x−lnx−1+2x⇒k′(x)=(x+1)(x−2)x2令k′(x)=0,x=2k′(x)<0,0<x<2,k′(x)>0,x>2k(x)的递减区间是(0,2)递增区间是(2,+∞)所以k(x)的极小值为k(2)也是最小值所以k(x)≥k(2)=2−ln2>0所以s(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)又因为x→0+,s(x)→0,x→+∞,s(x)→+∞且s(1)=−e 所以当a<−e时ℎ(x)有0个零点；当a=−e或a>0时ℎ(x)有1个零点；当−e<a<0时ℎ(x)有2个零点.。

山东省2020年普通高等院校统一招生模拟考试高三教学质量检测数学试题2020．02本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b r r ，满足()()1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r，则向量a b r r 与的夹角为 A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o4．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，若，则 A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．22y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考（4月份）数学模拟试卷（理科）一、选择题.1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈N}，则集合A的真子集有（）A．5个B．6个C．7个D．8个2．已知i是虚数单位，则化简（1+i1−i）2020的结果为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．13．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A．4500元B．5000元C．5500元D．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）A．27B．37C．17D．3145．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(3，2√3)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF|：|NM|等于（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：√36．在所有棱长都相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为棱CC1，AC的中点，则直线AB 与平面B 1DE 所成角的余弦值为（ ） A ．√3010B ．√3020C ．√13020D ．√70107．已知点A （4，3），点B 为不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0所表示平面区域上的任意一点，则|AB |的最小值为（ ） A ．5 B ．4√55C ．√5D ．2√558．给出下列说法①定义在[a ，b ]上的偶函数f （x ）＝x 2﹣（a +4）x +b 的最大值为20； ②“x =π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件；③命题“∃x 0∈(0，+∞)，x 0+1x 0≥2”的否定形式是“∀x ∈(0，+∞)，x +1x＜2”其中正确说法的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．已知log m 3＞0，a =m log 42，b =m log 32，c =m 20.5，则a ，b ，c 间的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤＝15斤，1斤＝16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两B ．266127两 C ．26663两 D ．250127两11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若acosB −bcosA =c3，则acosBacosA+bcosB的最大值为（ ）A ．√2B ．√22C ．√32D ．2√3312．已知f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，且f （x ）+g （x ）＝log 3（3x +1），不等式3g （x ）﹣f （x ）﹣t ≥0对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为（ ）A ．1B ．3﹣2log 32C ．2D ．32log 32−1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量a →=（2，−√5），b →=（1，2√5），则b →在a →方向上的投影等于 ．14．在△ABC 中，∠B =2π3，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC =12AB ，则E 的离心率为 ．15．已知函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在[−π6，π4]上单调减，则ω的最大值是 ．16．已知三棱锥A ﹣BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC ＝CD ＝2，AB ＝AD =√6，则三棱锥A ﹣BCD 的外接球的体积为 ．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =12na n +a n −1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{2a n2}的前n 项和为T n ，证明：T n ＜32．18．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF =2√2FD ，∠DFE ＝∠CEF ＝45． （1）证明：DC ∥FE ；（2）求二面角D ﹣BE ﹣C 的平面角的余弦值．19．已知点P在圆O：x2+y2＝9上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足4PQ→=3√2MQ→．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设G（﹣3，0），H（3，0），过点F（1，0）的动直线l与曲线E交于A、B两点．问：直线AG与BH的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C．经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p（0.6≤p≤0.8）．（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵？21．已知函数f（x）＝（a﹣1）x+xlnx的图象在点A（e2，f（e2））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为4．（1）求实数a的值；（2）若m∈Z，且m（x﹣1）＜f（x）+1对任意x＞1恒成立，求m的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=√2(θ∈[−π2，π2])，直线l的参数方程为{x=−2+tcosαy=−4+tssinα（t为参数）．（1）点A在曲线C上，且曲线C在点A处的切线与直线：x+2+1＝0垂直，求点A的直角坐标；（2）设直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的斜率的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|+2|x+1|，x∈R．（1）求不等式f（x）＜5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）+2＜|2t﹣1|在实数范围内解集为空集，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0，x ∈N}，则集合A 的真子集有（ ） A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【分析】由列举法得到集合A 中的元素个数，再由结论：含有n 个元素的集合的真子集数共有：2n ﹣1个，即得答案解：集合A ＝{x |x |x 2﹣2x ﹣3＜0，x ∈Z}＝{x |﹣1＜x ＜3，x ∈Z}＝{0，1，2}， 所以集合A 的真子集个数为：23﹣1＝7个． 故选：C ．【点评】本题主要考查了集合的子集，一般地，含有n 个元素的集合的真子集数共有：2n ﹣1个．2．已知i 是虚数单位，则化简（1+i 1−i）2020的结果为（ ）A ．iB ．﹣iC ．﹣1D ．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简1+i 1−i，再由虚数单位i 的运算性质得答案．解：∵1+i 1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=i ，∴（1+i 1−i）2020＝i 2020＝i 4×505＝1．故选：D ．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，是基础题． 3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A．4500元B．5000元C．5500元D．6000元【分析】根据题中目前的月就医费比刚退休时少100元可列等式，求出即可．解：设目前该教师的月退休金为x元，则有10%x＝4000×15%﹣100，解之得x＝5000，故选：B．【点评】本题考查对条形图，折线图的数据整合能力，属于基础题．4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）A．27B．37C．17D．314【分析】①甲指挥交通，乙不指挥交通，是丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有C52=10种方法，甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，由此能求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率．解：①甲指挥交通，乙不指挥交通，是丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有C52=10种方法，③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，∴甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为：p =3C 52C 84=37．故选：B ．【点评】本题考查概率的求法，考查分类讨论思想、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M(3，2√3)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |：|NM |等于（ ） A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：√3【分析】求出抛物线的焦点坐标，通过直线与抛物线方程联立，求出MN 的坐标，然后转化求解|NF |：|NM |即可．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），所以k FM =2√33−1=√3，由{y 2=4x y =√3(x −1)，可得3x 2﹣10x +3＝0，所以x 1＝3，x 2=13，所以|FN||MN|=x 2+p2x 1+x 2+p=13+13+13+2=14．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的焦点弦，抛物线的简单性质以及数形结合的思想的应用，是中档题．6．在所有棱长都相等的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别为棱CC 1，AC 的中点，则直线AB 与平面B 1DE 所成角的余弦值为（ ） A ．√3010B ．√3020C ．√13020D ．√7010【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，将所求的角转化为直线AB 与平面B 1DE 的法向量的夹角来求，问题就容易多了．解：因为是所有棱长都相等的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1．∴该棱柱的上下底面是正三角形，侧面都是正方形，设各棱长均为2，取AB 的中点为原点，直线OC ，OB 分为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则O （0，0，0），B （0，1，0），E （√32，−12，0），D （√3，0，1），B 1（0，1，2）．∴ED →=(√32，12，1)，EB 1→=(−√32，32，2)，设平面B 1DE 的法向量m →=(x ，y ，z)，∴{m →⋅ED →=0m →⋅EB 1→=0，∴{√32x +12y +z =0−√32x +32y +2z =0，令x ＝2，得m →=(2，6√3，−4√3)． ∵OB →=(0，1，0)且AB →∥OB →．设所求角为θ，则sinθ=|m →⋅OB →|m →|OB→|=3√3020，∴cosθ=√13020．故选：C ．【点评】本题考查了利用空间向量求线面角的问题，同时考查了学生的空间想象、数学运算以及逻辑推理等数学核心素养．本题容易将结果看成正弦值，属于易错题． 7．已知点A （4，3），点B 为不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0所表示平面区域上的任意一点，则|AB |的最小值为（ ） A ．5B ．4√55C ．√5D ．2√55【分析】画出约束条件的可行域，利用已知条件求解距离的最小值即可． 解：不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0的可行域如图：则|AB |的最小值为A 到B 的距离． 由{x −y =0x +2y −6=0解得B （2，2）， |AB |的最小值：√(4−2)2+(3−2)2=√5， 故选：C ．【点评】本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查，考查数形结合以及点到直线的距离公式的应用．8．给出下列说法①定义在[a，b]上的偶函数f（x）＝x2﹣（a+4）x+b的最大值为20；②“x=π4”是“tan x＝1”的充分不必要条件；③命题“∃x0∈(0，+∞)，x0+1x0≥2”的否定形式是“∀x∈(0，+∞)，x+1x＜2”其中正确说法的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】①利用函数的奇偶性和最值可得答案，②由充要条件定义可判断，③由命题的否定定义可判断，从而可得三个选项出结论．解：①定义在[a，b]上的偶函数f（x）＝x2﹣（a+4）x+b，所以有f（﹣x）＝f（x），即a＝﹣4，定义域为[a，b]，所以b＝4，所以函数f（x）在x＝±4时取得最大值为20，正确；②由充要条件的定义“x=π4”能推出“tan x＝1”成立，而“tan x＝1”不能推出“x=π4”成立，所以“x=π4”是“tan x＝1”的充分不必要条件正确；③由全称特称量词命题的否定定义可得命题“∃x0∈(0，+∞)，x0+1x≥2”的否定形式是“∀x∈(0，+∞)，x+1x＜2”正确；其中正确说法的个数为①②③三个，故选：D．【点评】本题考查命题真假判断及充要条件，函数的奇偶性和最值，属中档题的考查．9．已知log m3＞0，a=m log42，b=m log32，c=m20.5，则a，b，c间的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log m3＞0，∴m＞1，∵0＜log42＜log32＜1，20.5＞1，∴a＜b＜c，故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤＝15斤，1斤＝16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（）A．9两B．266127两C．26663两D．250127两【分析】共有银：16×16+10＝266两，设分银最少的为a两，则7人的分银量构成以a 为首项，2为公比的等比数列，由此利用等比数列前n项和公式能求出结果．解：由题意共有银：16×16+10＝266两，设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成以a 为首项，2为公比的等比数列，则a(1−27)1−2=266，解得a =266127． 故选：B ．【点评】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若acosB −bcosA =c3，则acosBacosA+bcosB的最大值为（ ） A ．√2B ．√22C ．√32D ．2√33【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式化简可得tan A ＝2tan B ，然后对所求式子进行化简，结合基本不等式即可求解．解：因为acosB −bcosA =c3，由正弦定理可得，sin A cos B ﹣sin B cos A =13sin C =13（sin A cos B +sin B cos A ）， 化简可得，tan A ＝2tan B ，则acosBacosA+bcosB=sinAcosB sinAcosA+sinBcosB=1cosA cosB +sinBsinA≤2√sinBcosA sinAcosB，当且仅当cosAcosB =sinB sinA时取等号，=1√tanB tanA=√22，即最大值√22，故选：B ．【点评】本题主要考查了正弦定理及三角恒等变形在求解三角形中的应用，还考查了基本不等式求解最值的应用，属于中档试题．12．已知f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，且f （x ）+g （x ）＝log 3（3x +1），不等式3g （x ）﹣f （x ）﹣t ≥0对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为（ ）A ．1B ．3﹣2log 32C ．2D ．32log 32−1【分析】运用奇偶性的定义，将x 换为﹣x ，联立两个方程求得f （x ），g （x ），由题意可得t ≤3g （x ）﹣f （x ）的最小值，构造函数h （x ），求得导数和单调性、极值和最小值，可得所求范围．解：f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），g （﹣x ）＝g （x ）， 由f （x ）+g （x ）＝log 3（3x +1），① 可得f （﹣x ）+g （﹣x ）＝log 3（3﹣x +1）， 即为﹣f （x ）+g （x ）＝log 3（3﹣x +1），②联立①②可得f （x ）=12x ，g （x ）＝log 3（3x +1）−12x ， 由不等式3g （x ）﹣f （x ）﹣t ≥0对x ∈R 恒成立，可得t ≤3g （x ）﹣f （x ）＝3log 3（3x+1）﹣2x ＝log 3(3x +1)33恒成立，设h （x ）=(3x +1)332x，h ′（x ）=ln3⋅32x(1+3x )2(3x−2)34x ， 当x ＞log 32时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增，当x ＜log 32时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减， 可得x ＝log 32处h （x ）取得极小值，且为最小值3﹣2log 32， 则t ≤3﹣2log 32， 故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和函数恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用导数求得单调性和最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量a →=（2，−√5），b →=（1，2√5），则b →在a →方向上的投影等于 −83 ．【分析】根据平面向量投影的定义，计算即可． 解：向量a →=（2，−√5），b →=（1，2√5），则b →在a →方向上的投影为|b →|cos θ=a →⋅b →|a →|=2×1−√5×2√5√2+(−√5)2=−83． 故答案为：−83．【点评】本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．14．在△ABC 中，∠B =2π3，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC =12AB ，则E 的离心率为√7+13． 【分析】根据余弦定理可得AC =√7c ，结合双曲线定义，则有√7c ﹣c ＝2a ，即可解出e ． 解：由题得，AB ＝2c ，BC ＝c ，∠B =23π， 则根据余弦定理可得AC=√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =√4c 2+c 2−2×2c ×(−12)=√7c ，所以√7c ﹣c ＝2a ，解得e =√7+13，故答案为√7+13．【点评】本题考查双曲线离心率的求法，考查余弦定理的应用，属于中档题． 15．已知函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在[−π6，π4]上单调减，则ω的最大值是 2 ．【分析】根据f（x）是奇函数即可得出φ=π2，进而得出f（x）＝﹣sinωx，然后根据题意即可得出[−π6，π4]⊆[−π2ω，π2ω]，然后即可得出ω≤2，从而得出ω的最大值．解：∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝cosφ＝0，且0≤φ≤π，∴φ=π2，∴f(x)=cos(ωx+π2)=−sinωx，且ω＞0，f（x）在[−π6，π4]上单调减，∴[−π6，π4]⊆[−π2ω，π2ω]，∴π2ω≥π4，解得ω≤2，∴ω的最大值是2．故答案为：2．【点评】本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，三角函数的诱导公式，正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．16．已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC＝CD＝2，AB＝AD=√6，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为9π2．【分析】根据四棱锥的性质可先求出球心的位置，然后根据勾股定理可求半径R，然后代入球的体积公式可求．解：∵AB＝AD，取BD中点E，则AE⊥BD∵平面ABD⊥平面BCD，则AE⊥BD，故AE⊥平面BCD，则球心O在AE上，且BD＝2√2，EB=√2，AE=√AD2−BE2=2，设外接球的半径R，则OB2＝OE2+EB2，∴R2＝2+（2﹣R）2，解可得，R =32，V =4πR 33=43×(32)3=9π2．【点评】本题主要通过空间几何体的外接球问题，考查了考生的空间想象能力，推理论证能力，属于中档试题．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =12na n +a n −1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{2a n2}的前n 项和为T n ，证明：T n ＜32．【分析】（1）当n ＝1时，S 1=12a 1+a 1−1=a 1，得a 1＝2，当n ≥2时，由S n =12na n +a n −1得，S n−1=12(n −1)a n−1+a n−1−1，作差化简求出a n 的通项公式；（2）根据（1）得，当n ＝1时，2a 12=12，当n ≥2时，2a n2=2(n+1)2＜2n(n+1)=2(1n−1n+1)，根据裂项相消法和放缩法，证明结论成立．解：（1）当n ＝1时，S 1=12a 1+a 1−1=a 1，得a 1＝2，当n ≥2时，由S n =12na n +a n −1得，S n−1=12(n−1)a n−1+a n−1−1，作差得，a n=12na n+a n−1−12a n−1−a n−1+1，化简得，na n＝（n+1）a n﹣1，即a na n−1=n+1n，由a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋯a2a1⋅a1=n+1n⋅n n−1⋯32⋅2=n+1，综上，a n＝n+1（n∈N*）；（2）证明：根据（1）得，当n＝1时，2a12=12，当n≥2时，2a n2=2(n+1)＜2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以T n=222+232+242+⋯+2(n+1)2＜12+2(12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)=12+1−2n+1＜3 2，故命题成立．【点评】本题考查了数列递推式求数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力，中档题．18．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，AF=2√2FD，∠DFE＝∠CEF＝45．（1）证明：DC∥FE；（2）求二面角D﹣BE﹣C的平面角的余弦值．【分析】（1）推导出AB ∥FE ，从而AB ∥平面EFDC ，进而DC ∥AB ，由此能证明DC ∥FE ．（2）由AF ⊥EF ，AF ⊥DF ，得AF ⊥平面EFDC ，从而平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG ⊥EF ，垂足为G ，则DG ⊥平面ABEF ，以G 为原点，GF 为x 轴，在平面ABEF 中，过G 作EF 的垂线为y 轴，GD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角D ﹣BE ﹣C 的平面角的余弦值．解：（1）证明：∵四边形ABEF 为正方形，∴AB ∥FE ， ∵AB ⊄平面EFDC ，FE ⊂平面EFDC ，∴AB ∥平面EFDC ， ∵AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFDC ＝DC ， ∴DC ∥AB ，∴DC ∥FE ．（2）解：∵AF ⊥EF ，AF ⊥DF ，∴AF ⊥平面EFDC ， ∴平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG ⊥EF ，垂足为G ，则DG ⊥平面ABEF ，∴以G 为原点，GF 为x 轴，在平面ABEF 中，过G 作EF 的垂线为y 轴，GD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则题意得∠DFG ＝∠CEF ＝45°，设AB ＝4，则D （0，0，1），E （﹣3，0，0），C （﹣2，0，1），B （﹣3，4，0），BD →=（3，﹣4，1），ED →=（3，0，1），BC →=（1，﹣4，1），EC →=（1，0，1）， 设平面DBE 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅BD →=3x −4y +z =0m →⋅ED →=3x +z =0，取x ＝1，得m →=（1，0，﹣3）， 设平面BEC 的法向量n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅BC →=a −4b +c =0n →⋅EC →=a +c =0，取a ＝1，得n →=（1，0，﹣1）， 设二面角D ﹣BE ﹣C 的平面角为θ， 则二面角D ﹣BE ﹣C 的平面角的余弦值为：cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√10⋅√2=2√55．【点评】本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．已知点P 在圆O ：x 2+y 2＝9上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足4PQ →=3√2MQ →． （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （﹣3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点．问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．【分析】（1）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），Q （x 0，0），则由4PQ →=3√2MQ →，得x 0＝x ，y 03√24y ，代入圆O ：x 2+y 2＝9，可得动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线l 为x ＝my +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线AG 与BH 的斜率之比为定值12．解：（1）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），Q （x 0，0），则由4PQ →=3√2MQ →，得4（0，﹣y 0）=3√2（x 0﹣x ，﹣y ），∴x 0＝x ，y 03√24y ， 代入圆O ：x 2+y 2＝9，可得x 29+y 28=1．∴动点M 的轨迹E 的方程为x 29+y 28=1；（2）直线AG 与BH 的斜率之比为定值12．证明如下：设直线l 为x ＝my +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立{x =my +1x 29+y 28=1，得（8m 2+9）y 2+16my ﹣64＝0． 则y 1+y 2=−16m 8m 2+9，y 1y 2=−648m 2+9． ∴my 1y 2＝4（y 1+y 2），则k AGk BH =y 1x 1+3⋅x 2−3y 2=y 1(my 2−2)(my 1+4)y 2=my 1y 2−2y 1my 1y 2+4y 2=4(y 1+y 2)−2y 14(y 1+y 2)+4y 2=2y 1+4y 24y 1+8y 2=12．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．20．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C．经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p（0.6≤p≤0.8）．（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵？【分析】（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，然后用p分别表示出每个X的取值所对应的概率即可得分布列和数学期望；（2）先结合p的取值范围和（1）中的结论确定p的取值，然后就能得到一颗B种树苗成活的概率；记Y为n棵树苗的成活棵数，则Y～B（n，0.92），再结合二项分布的性质，列出关于n的不等式，解之并取整即可．解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝0.3（1﹣p）2＝0.3﹣0.6p+0.3p2，P（X＝1）＝0.7（1﹣p）2+0.3×2p（1﹣p）＝0.1p2﹣0.8p+0.7，P（X＝2）＝2×0.7p（1﹣p）+0.3p2＝﹣1.1p2+1.4p，P（X＝3）＝0.7p2，所以X的分布列为X0123P0.3﹣0.6p+0.3p20.1p2﹣0.8p+0.7﹣1.1p2+1.4p0.7p2所以E（X）＝1×0.1p2﹣0.8p+0.7+2×﹣1.1p2+1.4p+3×0.7p2＝2p+0.7．（2）因为0.6≤p≤0.8，由（1）可知，当p＝0.8时，E（X）取得最大值，①一棵B种树苗最终成活的概率为0.8+（1﹣0.8）×0.75×0.8＝0.92，②记Y为n棵树苗的成活棵数，则Y～B（n，0.92），E（Y）＝0.92n，∴（0.92×400﹣0.08×80）n≥100000，解得n≥100000361.6≈276.55，∴n≥277，∴该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元．【点评】本题考查了随机变量的分布列、数学期望等基础知识点，考查了学生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属于中档题．21．已知函数f（x）＝（a﹣1）x+xlnx的图象在点A（e2，f（e2））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为4．（1）求实数a的值；（2）若m∈一、选择题，且m（x﹣1）＜f（x）+1对任意x＞1恒成立，求m的最大值．【分析】（1）f（x）＝（a﹣1）x+xlnx⇒f′（x）＝a+lnx，依题意，f′（e2）＝a+lne2＝4，可求得a的值；（2）由（1）知f（x）＝x+xlnx，∀x＞1，m（x﹣1）＜f（x）+1⇔m＜f(x)+1x−1对任意x＞1恒成立，构造函数g（x）=f(x)+1x−1，求g′（x）=x−lnx−3(x−1)2，再令μ（x）＝x﹣lnx﹣3，分析得到∃x0∈（4，5），使得μ（x0）＝x0﹣lnx0﹣3＝0，g（x）min＝g（x0）＝x0﹣1∈（3，4），从而可求得m的最大值．解：（1）∵f（x）＝（a﹣1）x+xlnx，∴f′（x）＝a+lnx，∵函数f（x）＝（a﹣1）x+xlnx 的图象在点A（e2，f（e2））处的切线斜率为4，∴f′（e2）＝a+lne2＝4，∴a＝2．（2）由（1）知f（x）＝x+xlnx，∵m（x﹣1）＜f（x）+1对任意x＞1恒成立，∴m＜f(x)+1x−1对任意x＞1恒成立，令g（x）=f(x)+1x−1，则g′（x）=(lnx+2)(x−1)−(x+xlnx+1)(x−1)2=x−lnx−3(x−1)2．令μ（x）＝x﹣lnx﹣3，则μ′（x）＝1−1 x，∵x＞1，∴μ′（x）＞0，∴μ（x）＝x﹣lnx﹣3在（1，+∞）为增函数．∵μ（4）＝1﹣ln4＜0，μ（5）＝2﹣ln5＞0，∴∃x0∈（4，5），使得μ（x0）＝x0﹣lnx0﹣3＝0，∴x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g （x）单调递增，∴g（x）min＝g（x0）=x0+x0lnx0+1x0−1=x0+x0(x0−3)+1x0−1=x0﹣1，故有m＜x0﹣1对x＞1都成立，∵x0∈（4，5），x0﹣1∈（3，4），∴m的最大值为3．【点评】本题第（1）问考查切线问题，第（2）问考查恒成立问题，通过分离参数后，构造函数，利用导数解决问题，考查转化思想与运算能力，对学生要求较高，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=√2(θ∈[−π2，π2])，直线l的参数方程为{x=−2+tcosαy=−4+tssinα（t为参数）．（1）点A在曲线C上，且曲线C在点A处的切线与直线：x+2+1＝0垂直，求点A的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果． （2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围的值． 解：（1）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=√2(θ∈[−π2，π2])，转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝2（x ≥0），A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x +2+1＝0垂直，所以{x 2+y 2=2y =−12x x ≥0，解得{x =2√105y =−√105，即A （2√105，−√105）． （2）直线l 的直角坐标方程为y ＝﹣4+k （x +2）与半圆x 2+y 2＝2（x ≥0）有且只有一个交点， 故√1+k 2=√2，整理得k 2﹣8k +7＝0，解得k ＝1或7，由于B （0，√2），C （0，−√2）P （﹣2，﹣4），所以k PB =4+√22，k PC =4−√22， 所以直线l 的斜率的范围为(4−√22，4−√22]∪{1}． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝|x ﹣1|+2|x +1|，x ∈R ．（1）求不等式f （x ）＜5的解集；（2）若关于x 的不等式f （x ）+2＜|2t ﹣1|在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围．【分析】（1）将f （x ）写成分段函数的形式，f （x ）＜5等价为一次不等式组，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得（f （x ）+2）min ≥|2t ﹣1|，由f （x ）的解析式可得f （﹣1）为最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围．解：（1）函数f （x ）={−3x −1，x ＜−1x +3，−1≤x ≤13x +1，x ＞1，则{x ＜−1−3x −1＜5或{x ＞13x +1＜5或{−1≤x ≤1x +3＜5， 解得﹣2＜x ＜﹣1或1＜x ＜43或﹣1≤x ≤1，则原不等式的解集为（﹣2，43）；（2）关于x 的不等式f （x ）+2＜|2t ﹣1|在实数范围内解集为空集，等价为（f （x ）+2）min ≥|2t ﹣1|，由（1）可得f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2，则2+f （x ）的最小值为4，则|2t ﹣1|≤4，解得−32≤t ≤52，则t 的取值范围是[−32，52]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年广东省韶关市高考数学模拟试卷（一）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0≤x＜3}，B={x|（x-2）（x-4）＜0}，则集合A∩B=（）A. {x|0＜x＜2}B. {x|0＜x＜4}C. {x|2＜x＜4}D. {x|2＜x＜3}2.已知是z的共轭复数，且满足（1+i）=4（其中i是虚数单位），则|z|=（）A. 2B. 2C.D. 13.已知变量x与y负相关，且由观测数据得到样本的平均数，，则由观测数据得到的回归方程可能是（）A. B.C. D.4.若x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值为（）A. -B.C. 5D. 65.若等比数列的各项均为正数，，，则（）A. B. C. 12 D. 246.已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的相邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则g（x）=（）A. sin（x+）B. sin（2x+）C. cos2xD. cos（2x+）7.已知圆C：x2+y2-4x+3=0，则圆C关于直线y=-x-4的对称圆的方程是（）A. （x+4）2+（y+6）2=1B. （x+6）2+（y+4）2=1C. （x+5）2+（y+7）2=1D. （x+7）2+（y+5）2=18.下列三个数：a=ln，b=-log3，c=（），大小顺序正确的是（）A. c＞a＞bB. c＞b＞aC. b＞a＞cD. a＞b＞c9.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，20，则输出的a=（）A. 14B. 4C. 2D. 010.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥最长的棱长为（）A.B.C.D.11.已知数列{a n}满足a1++a3+…+=n2+n（n∈N*），设数列{b n}满足：b n=，数列{b n}的前n项和为T n，若T n＜λ（n∈N*）恒成立，则实数λ的取值范围为（） .A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，（其中a∈R），若f（x）的四个零点从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x i的值是（）A. 16B. 13C. 12D. 10二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，x），=（-2，4），且（-）⊥，则实数x=______14.曲线在处的切线的斜率为，则切线的方程为_____________．15.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则=______．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，BC=2，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点E，F分别在线段PA，CD上，若EF∥平面PBC，且DF=2FC，则点E到平面ABCD的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且b cos A=sin A（a cos C+c cos A）．（1）求角A的大小；（2）若a=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18.如图1，四边形ABCD是直角梯形，其中BC=CD=1，AD=2，∠ADC=90°．点E是AD的中点，将△ABE沿BE折起如图2，使得A'E⊥平面BCDE．点M、N分别是线段A'B、EC的中点．（1）求证：MN⊥BE；（2）求三棱锥E-BNM的体积19.某工厂每年定期对职工进行培训以提高工人的生产能力（生产能力是指一天加工的零件数）．现有A、B两类培训，为了比较哪类培训更有利于提高工人的生产能力，工厂决定从同一车间随机抽取100名工人平均分成两个小组分别参加这两类培训．培训后测试各组工人的生产能力得到如下频率分布直方图．（1）记M表示事件“参加A类培训工人的生产能力不低于130件”，估计事件M 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为工人的生产能力与培训类有关：生产能力＜130件生产能力≥130件总计A类培训50B类培训50总计100（）根据频率分布直方图，判断哪类培训更有利于提高工人的生产能力，请说明理由．P（K2≥k0）0.150.100.0500.0250.0100.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879参考公式：，其中n=a+b+c+d．20.已知点M到抛物线y2=4x的焦点F的距离和它到直线x=2的距离之比是．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过圆O：x2+y2=上任意一点P作圆的切线l与轨迹C交于A，B两点，求证：OA⊥OB．21.已知函数f（x）=xe x（e≈2.71828…）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）-ln x，求证：g（x）＞（参考数据：ln2≈0.69）．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x-2）2+y2=4，过点（-2，0）且斜率为k（k＞0）的直线l与曲线C相切于点A．（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程和点A的极坐标；（2）若点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值．23.已知f（x）=|x|．（1）解不等式f（2x-3）≤5；（2）若x2+2x+f（x-2）+f（x+3）≥a+1在x∈[-1，3]上恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：解二次不等式（x-2）（x-4）＜0得：2＜x＜4，即B=，又A={x|0≤x＜3}，则A∩B=，故选：D．由二次不等式的解法及集合交集的运算得：B=，又A={x|0≤x＜3}，则A∩B=，得解．本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属简单题．2.答案：A解析：解：由（1+i）=4，得，∴|z|=||=．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用|z|=||求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：【分析】本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，基本知识的考查，属于基础题. 利用变量x与y负相关，排除选项，然后利用回归直线方程经过样本中心验证即可. 【解答】解：变量x与y负相关，排除选项B，C；回归直线方程经过样本中心，把，，代入A成立，代入D不成立．故选A.4.答案：C解析：解：变量x，y满足约束条件条件的可行域如图：目标函数z=x-y经过可行域的B点时，目标函数取得最大值，由可得A（4，-1），目标函数z=x-y的最大值为：5．故选：C．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．5.答案：D解析：解：数列{a n}是等比数列，各项均为正数，4a32=a1a7=a42，所以，所以q=2。

2020年安徽省江南十校高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数2(1)(1)(z a a i i =-+-为虚数单位，)a l >，则z 在复平面内的对应点所在的象限为( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知集合{|34}A x x x =<+，2(|870}B x x x =-+<，则(A B =I ) A ．(1,2)-B ．(2,7)C ．(2,)+∞D ．(1,2)3．（5分）某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120︒，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计）．已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为( ) A ．58厘米 B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米4．（5分）函数cos ()22x x x x f x -=+在[2π-，]2π上的图象大致为( ) A ．B ．C ．D ．5．（5分）若5()()l ax l x ++的展开式中2x ，3y 的系数之和为10-，则实数a 的值为( ) A ．3-B ．2-C ．l -D ．16．（5分）已知3log 2a =，3b ln =，0.992c -=，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．（5分）执行如图的程序框图，则输出S 的值为()A ．112-B ．2360C ．1120D ．43608．（5分）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“11+”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为( )A ．15B ．13C ．35D ．239．（5分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，219S =，3727S =，则12n a a a ⋯的最小值为( ) A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()2710．（5分）已知点P 是双曲线2222:(0x y C l a a b-=>，0b >，22)c a b =+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为( )A 2B 5C 3D ．211．（5分）已知2()12cos ()(0)3f x x πωω=-+>．给出下列判断：①若()l f x l =，2()1f x =-，且12||min x x π-=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈，使得()f x 的图象右移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[0，2]π上恰有7个零点，则ω的取值范围为41[24，47]24④若()f x 在[6π-，]4π上单调递增，则ω的取值范围为(0，2]3其中，判断正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．412．（5分）如图，在平面四边形ABCD 中，满足AB BC =，CD AD =，且10AB AD +=，8BD =．沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD-体积的最大值为( )A ．12B ．122C 162D ．163二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数2()f x lnx x =+，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为 ．14．（5分）若0x R ∃∈，2200150x a x -+<为假，则实数a 的取值范围为 ．15．（5分）在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(3,4)B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且||310OC =u u u r OC u u u r的坐标为 ．16．（5分）已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线C 上一动点，过点P 作圆22:(3)4M x y -+=的切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 长度的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin()33c B b C b π=-+． ()l 求角C 的大小；（2）若7c =3a b +=，求AB 边上的高．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，24CD AB ==，2AD =．PAB ∆为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）求证：//AE 平面PBC ；（2）若平面EBC 与平面PAD 的交线为l ，求二面角P l B --的正弦值．19．（12分）一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分． （1）设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望．（2）当游戏得分为(*)n x N ∈时，游戏停止，记得n 分的概率和为n Q ，112Q =． ①求2Q ；②当*n N ∈时，记112n n n A Q Q +=+，1n n n B Q Q +=-，证明：数列{}n A 为常数列，数列{}n B 为等比数列．20．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y E a b a b +=>>的离心率为3，且过点7(，3)4．点P 在第一象限，A 为左顶点．B 为下顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若//CD AB ，求点P 的坐标．21．（12分）已知函数2()()f x lnx x ax a R =-+∈． （1）若()0f x …恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点0(x ，0())f x 构成曲线M ．证明：过原点的任意直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1((1)x mm y k m =-⎧⎨=-⎩为参数），直线2l 的参数方程为(2x nn k y n =⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）．若直1l ，2l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C ．()l 求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线3l 的极坐标方程为(0)θαρ=…，4tan (0)32παα=<<，点Q 为射线3l 与曲线C 的交点，求点Q 的极径．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x x =-++． ()l 求不等式()3f x x <+的解集；（2）若不等式22()m x x f x --„在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．2020年安徽省江南十校高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数2(1)(1)(z a a i i =-+-为虚数单位，)a l >，则z 在复平面内的对应点所在的象限为( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：当1a >时，10a -<，210a ->， z ∴在复平面内的对应点所在的象限为第二象限．故选：B ．2．（5分）已知集合{|34}A x x x =<+，2(|870}B x x x =-+<，则(A B =I ) A ．(1,2)-B ．(2,7)C ．(2,)+∞D ．(1,2)【解答】解：{|2}A x x =<，{|17}B x x =<<， (1,2)A B ∴=I ．故选：D ．3．（5分）某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120︒，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计）．已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为( ) A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【解答】解：因为弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 可以用弧长近似代替弦长， 所以导线长度为2302020 3.14633ππ⨯==⨯≈（厘米）． 故选：B ．4．（5分）函数cos ()22x xx x f x -=+在[2π-，]2π上的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，cos ()22x x x x f x -=+，有cos ()()22x xx xf x f x --=-=-+， 则[2π-，]2π上，()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除AB ，又由在区间(0,)2π上，cos 0x >，20x >，20x ->，则()0f x >，排除D ；故选：C ．5．（5分）若5()()l ax l x ++的展开式中2x ，3y 的系数之和为10-，则实数a 的值为( ) A ．3-B ．2-C ．l -D ．1【解答】解：因为5()l x +的展开式的通项公式为：15r r r T x +=g ð； 可得展开式中x ，2x ，3x 的系数分别为：15ð，25ð，35ð；故5()()l ax l x ++的展开式中2x 的系数为：2155105a a +=+g 痧；故5()()l ax l x ++的展开式中3x 的系数为：23551010a a +=+g 痧；1051010201510a a a ∴+++=+=-；2a ∴=-．故选：B ．6．（5分）已知3log 2a =，3b ln =，0.992c -=，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【解答】解：因为31log 2(0,)2a =∈，31b ln =>，0.9911222c --=>=，故b c a >>． 故选：A ． 7．（5分）执行如图的程序框图，则输出S 的值为()A ．112-B ．2360C ．1120D ．4360【解答】解：由题意得12131415143155253545560S =-+-+-+-+-=．故选：D ．8．（5分）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“11+”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为( )A ．15B ．13C ．35D ．23【解答】解：由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，分别为：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，而加数全为质数的有(3,3)，∴拆成的和式中，加数全部为质数的概率为15P =． 故选：A ．9．（5分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，219S =，3727S =，则12n a a a ⋯的最小值为( ) A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()27【解答】解：由题意可得，121(1)97(1)27a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解可得，11272a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或11323a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍)， 故11227n n a -=g ， 当15n 剟时，1n a <，当6n …，1n a >， 则12n a a a ⋯的最小值为5512534()()27a a a a ⋯==． 故选：D ．10．（5分）已知点P 是双曲线2222:(0x y C l a a b-=>，0b >，c =上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为( )ABCD ．2【解答】解：双曲线2222:(0x y C l a a b-=>，0b >的两条渐近线的方程为0bx ay ±=，设(,)P x y ，利用点P 到双曲线的两条渐近线的距离之积为22222221||4b x a yc b a -=+， 可得222221||4a b c a b a b =⇒=+， ∴双曲线的离心率c e a ===故选：A ．11．（5分）已知2()12cos ()(0)3f x x πωω=-+>．给出下列判断：①若()l f x l =，2()1f x =-，且12||min x x π-=，则2ω=； ②存在(0,2)ω∈，使得()f x 的图象右移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称；③若()f x 在[0，2]π上恰有7个零点，则ω的取值范围为41[24，47]24④若()f x 在[6π-，]4π上单调递增，则ω的取值范围为(0，2]3其中，判断正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：Q 22()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x πππωωω=-+=-+=+，∴周期22T ππωω==．①由条件知，周期为2π，∴12w =，故①错误； ②函数图象右移6π个单位长度后得到的函数为sin(2)36x y x ωπω=-+，其图象关于y 轴对称， 则()362k k Z ωππππ-+=+∈，13()k k Z ω∴=--∈，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，故②错误； ③由条件，得74221212πππππωωωω--剟，∴41472424ω剟，故③正确； ④由条件，得362262w w ππππππ⎧-+-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩…„，∴23ω„，又0ω>，∴203ω<„，故④正确．故选：B ．12．（5分）如图，在平面四边形ABCD 中，满足AB BC =，CD AD =，且10AB AD +=，8BD =．沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD-体积的最大值为( )A ．12B ．122C 162D ．163【解答】解：过点P 作PE BD ⊥于E ，连结CE ， 由题意知BPD BCD ∆≅∆，CE BD ⊥，且PE CE =，BD ∴⊥平面PCE ，1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---∆∆∴=+==g ，∴当PCE S ∆最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥，2112PCE S PC EF PE ∆∴==-g ，10PB PD +=Q ，8BD =，∴点P 到以BD 为焦点的椭圆上，PE ∴的最大值为对应短半轴长，PE ∴最大值为22543-=，PCE S ∆∴最大值为22，∴三棱锥P BCD -体积的最大值为162． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数2()f x lnx x =+，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为 320x y --= ．【解答】解：易知f （1）1=，故切点为(1,1)，1()2f x x x'=+， 故f '（1）3=，所以切线方程为13(1)y x -=-， 即320x y --=即为所求． 故答案为：320x y --=．14．（5分）若0x R ∃∈，2200150x a x -+<为假，则实数a 的取值范围为 (-∞，4] ．【解答】解：若0x R ∃∈，2200150x a x -+<为假，则其否定命题为真，即x R ∀∈，22150x a x -+…为真， 所以221a x +„对任意实数恒成立；设22()1f x x =+x R ∈；则()24f x ，=，即x =时等号成立，所以实数a 的取值范围是4a „． 故答案为：(-∞，4]．15．（5分）在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(3,4)B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且||OC =u u u r OC u u u r的坐标为 (3,9)- ．【解答】解：由点C 在AOB ∠的平分线上， 所以存在(0,)λ∈+∞，使()(0||||OA OB OC OA OB λλ=+=u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ，31)(5λ+-，43)(55λ=-，9)5λ；又||OC =u u u r所以2239()()9055λλ-+=，解得5λ=，所以向量(3,9)OC =-u u u r ． 故答案为：(3,9)-．16．（5分）已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线C 上一动点，过点P 作圆22:(3)4M x y -+=的切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 长度的取值范围为 ． 【解答】解：如图：连接PM ，PA ，PB ，易得MA PA ⊥，MB PB ⊥，PM AB ⊥，所以四边形PAMN 的面积为：12PM ，AB g ，另外四边形PAMB 的面积为三角形PAM 面积的两倍，所以1||||||||2PM AB PA MA =g g ，所以2||||||||PA MA AB PM ===g所以当||PM 取得最小值时，||AB 最小，设点(,)P x y ，则||PM =所以1x =时，||PM 取得最小值为：AB 的最小值为：=P 向无穷远处运动时，||AB 的长度趋近于圆的直径，故||AB 的取值范围是4)．故答案为：4)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin()33c B b C b π=-+． ()l 求角C 的大小；（2）若7c =3a b +=，求AB 边上的高． 【解答】解：（1）因为sin sin()33c B b C b π=-．由正弦定理可得，sin sin sin sin()3sin 3C B B C B π=-+，因为sin 0B >，所以31sin sin()3sin 32C C C C π=-+-31cos 12C C -=，所以sin()16C π-=， 0C π<<Q ，所以23C π=， （2）由余弦定理可得，2222cos c a b ab C =+-， 所以227a b ab ++=，即2()7a b ab +-=， 所以2ab =，13sin 2ABC S ab C ∆==，设AB 边上的高为h ，则73h =，故21h =． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，24CD AB ==，2AD =．PAB ∆为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）求证：//AE 平面PBC ；（2）若平面EBC 与平面PAD 的交线为l ，求二面角P l B --的正弦值．【解答】解：（1）证明：如图1，取PC 的中点F ，连结EF ，BF ，PE DE =Q ，PF CF =，//EF CD ∴，2CD EF =， //AB CD Q ，2CD AB =，//AB EF ∴，且EF AB =，∴四边形ABFE 为平行四边形，//AE BF ∴，BF ⊂Q 平面PBC ，AE ⊂/平面PBC ， //AE ∴平面PBC ．（2）解：如图2，取AB 中点O ，CD 中点Q ，连结OQ ，OA OB =Q ，CQ DQ =，PA PB =，PO AB ∴⊥，OQ AB ⊥，Q 平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，PO ∴⊥平面ABCD ，OQ ⊥平面PAB ，AB ∴，OQ ，OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，OQ ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 由PA PB ⊥，2AB =，得1OA OB OP ===，2DQ CQ ==， 在等腰梯形ABCD 中，2AB =，4CD =，2AD ，1OQ =，(0O ，0，0)，(0A ，1-，0)，(0B ，1，0)，(1C ，2，0)，(0P ，0，1)，(1D ，2-，0)，1(2E ，1-，1)2， 设平面PAD 的法向量为(m x =r，y ，)z ， (0AP =u u u r ，1，1)，(1AD =u u u r，1-，0)，则00m AP y z m AD x y ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1y =，得(1m =r ，1，1)-， 设平面EBC 的法向量(n a =r，b ，)c ，(1BC =u u u r ，1，0)，11(,2,)22EB=--u u u r ，则0112022n BC a b n BP a b c ⎧=+=⎪⎨=-+-=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1a =，得(1n =r ，1-，5)-， 设二面角P l B --的平面角为θ，则||5|cos |||||9m n m n θ==r rg r r g ，P l B --的正弦值为25214sin 1()9θ=-=．19．（12分）一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分． （1）设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望．（2）当游戏得分为(*)n x N ∈时，游戏停止，记得n 分的概率和为n Q ，112Q =． ①求2Q ；②当*n N ∈时，记112n n n A Q Q +=+，1n n n B Q Q +=-，证明：数列{}n A 为常数列，数列{}n B 为等比数列．【解答】解：（1）解：变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8， Q 每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为12，反面向上的概率为12，411(4)()216P X ∴===，14411(5)()24P X C ===，24413(6)()28P X C ===，34411(7)()24P X C ===，44411(8)()216P X C ===，X ∴的分布列为：（2）①解：得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为：22113()224Q =+=，②证明：得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上， 第二种为得1n -分后，抛掷一次反面向上，∴当3n …，且*n N ∈时，121122n n n Q Q Q --=+，1211111111122222n n n n n n n n n A Q Q Q Q Q Q Q A ++++++=+=++=+=，∴数列{}n A 为常数列，12111111112222n n n n n n n n B Q Q Q Q Q Q Q ++++++=-=+-=-+Q111()22n n n Q Q B +=--=-，121311424B P P =-=-=Q ， ∴数列{}n B 为等比数列．20．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y E a b a b +=>>，且过点3)4．点P 在第一象限，A 为左顶点．B 为下顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若//CD AB ，求点P 的坐标．【解答】解：（1）由题意可得222227914163a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆E 的标准方程为：2214x y +=；（2）由（1）知点(2,0)A -，(0,1)B -，由题意可设直线AP 的方程为：1(2)(0)2y k x k =+<<，所以点C 的坐标为(0,2)k ，联立方程22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(14)161640k x k x k +++-=， 设1(P x ，1)y ，则212164214k x k --=+g ，所以2128214k x k -=-+，所以2122824()1414k ky k k k -=-=++， 所以2282(14k P k --+，2414kk + )， 设D 点的坐标为0(x ，0)，因为点P ，B ，D 三点共线，所以BD PB k k =， 即2202411148214kk k x k ++=---+，所以02412k x k -=+，所以24(12k D k -+，0)， 因为//CD AB ，所以CD AB k k =，即(21)1212k k k +=--，所以24410k k +-=，解得12k -±=， 又因为102k <<，所以21k -， 所以点P 的坐标为(22)．21．（12分）已知函数2()()f x lnx x ax a R =-+∈． （1）若()0f x „恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点0(x ，0())f x 构成曲线M ．证明：过原点的任意直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点． 【解答】解：（1）由0x >可得()0f x „恒成立等价为lnxa x x-„恒成立． 设()lnxg x x x=-，22211()1lnx x lnx g x x x --+'=-=，再令2()1h x x lnx =-+， 则1()20h x x x'=+>，则()h x 在(0,)+∞递增，又h （1）0=，则01x <<，()0h x <，1x >，()0h x >，即01x <<时，()0g x '<；1x >时，()0g x '>，可得()g x 在(0,1)递减；在(1,)+∞递增， 即有()g x 在1x =处取得极小值，即最小值g （1）1=，所以1a „；（2）证明：由（1）可得20000()f x lnx x ax =-+， 0()0f x '=，即00120x a x -+=，即0012a x x =-， 所以2000()1f x lnx x =+-，可得曲线M 的方程为21y lnx x =+-，由题意可得对任意实数k ，方程21lnx x kx +-=有唯一解． 设2()1h x lnx x kx =+--，则2121()2x kx h x x k x x-+'=+-=，①当0k „时，()0h x '>恒成立，()h x 在(0,)+∞递增，由h （1）0k =-…，22()1(1)10k k k k k h e k e ke k e e =+--=-+-„， 所以存在0x 满足01k e x 剟时，使得0()0h x =．又因为()h x 在(0,)+∞递增，所以0x x =为唯一解．②当0k >时，且△280k =-„即0k <„()0h x '…恒成立，所以()h x 在(0,)+∞递增， 由h （1）0k =-<，363323()31()0h e e ke e k e =+--=+>，所以存在30(1,)x e ∈，使得0()0h x =．又()h x 在(0,)+∞递增，所以0x x =为唯一解． ③当k >时，()0h x '=有两解1x ，2x ，设12x x <，因为1212x x =，所以12x x <<，当1(0,)x x ∈时，()0h x '>，()h x 递增；当1(x x ∈，2)x 时，()0h x '<，()h x 递减， 当2(x x ∈，)+∞，()0h x '>，()h x 递增，可得()h x 的极大值为21111()1h x lnx x kx =+--， 因为211210x kx -+=，所以2111()20h x lnx x =--<，所以21()()0h x h x <<，22222222()1()10k k k k k h e k e ke e k e k =+--=-+->，令2()x m x e x =-，x >，可得2()210x m x x e '=->g ，所以()0m x m >>，所以存在02(x x ∈，2)k e ，使得0()0h x =， 又因为()h x 在2(x ，)+∞递增，所以0x x =为唯一解．综上可得，过原点的任意直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1((1)x mm y k m =-⎧⎨=-⎩为参数），直线2l 的参数方程为(2x nn k y n =⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）．若直1l ，2l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C ．()l 求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线3l 的极坐标方程为(0)θαρ=…，4tan (0)32παα=<<，点Q 为射线3l 与曲线C 的交点，求点Q 的极径．【解答】解：（1）直线1l 的参数方程为1((1)x mm y k m =-⎧⎨=-⎩为参数），转换为直角坐标方程为y kx =-．直线2l 的参数方程为(2x nn k y n =⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数），转换为直角坐标方程为2x y k -=． 联立两直线的方程消去参数k 得：22(1)1(0)x y x +-=≠． （2）设点(cos ,sin )Q ραρα由4tan 3α=，可得：43sin ,cos 55αα==．代入曲线C ，得2805ρρ-=，解得85ρ=或0ρ=（舍去），故点Q 的极径为85．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x x =-++． ()l 求不等式()3f x x <+的解集；（2）若不等式22()m x x f x --„在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）当2x <-时，()3f x x <+可化为123x x x ---<+，解得43x >-，无解；当21x -剟时，()3f x x <+可化为123x x x -++<+，解得0x >，故01x <„； 当1x >时，()3f x x <+可化为123x x x -++<+，解得2x <，故12x <<． 综上可得，()3f x x <+的解集为(0,2)；（2）不等式22()m x x f x --„在R 上恒成立，可得22()m x x f x ++„，即2(2())min m x x f x ++„，由222(1)1y x x x =+=+-的最小值为1-，此时1x =-；由()|1||2||12|3f x x x x x =-++---=…，当且仅当21x -剟时，取得等号， 则2(2())132min x x f x ++=-+=，所以2m „， 即m 的取值范围是(-∞，2]．。

2020年河南省、广东省等五岳联考高考数学模拟试卷2（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合的真子集的个数是()A. 9B. 8C. 15D. 162.已知i为虚数单位，则2−4i1+3i=()A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为()A. 100000元B. 95000元C. 90000元D. 85000元4.每年的3月5日是“青年志愿者服务日”，共青团中央号召全国青年积极参加志愿服务活动．甲、乙2人随机参加“文明交通”和“邻里互助”两项活动中的一项，那么2人参加的活动恰好相同的概率是()A. 16B. 14C. 13D. 125.过抛物线C:y2=4x焦点F的直线l交C于点A,B，若线段AB中点M的纵坐标为1，则|AB|=()A. 3B. 4C. √17D. 56.若正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1和平面BB1C1C所成角的余弦值为()A. √104B. √66C. C√62D. √1027.设点是平面区域{x≤0x+y+1≤02x+y+2≥0内的任意一点，则z=x−y的最小值为()A. B. −1 C. 1 D. 28.下列命题中：(1)“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件；(2)定义在[a,b]上的偶函数f(x)=x 2+(a +5)x +b 最小值为5;(3)命题“∀x >0，都有x +1x ≥2”的否定是“∃x 0≤0，使得x 0+1x 0<2”；(4)已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )=f (2x )+√8−2x 的定义域为[0,1]． 正确命题的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 9. 三个数a =0.312,b =log 20.31,c =20.31之间的大小关系为( )A. a <c <bB. a <b <cC. b <a <cD. b <c <a10. 《张丘建算经》中载有如下叙述：“今有马行转迟，次日减半，疾七曰，行七百里，问末日行几何.”其大意为：“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少？”根据以上叙述，则问题的答案大约为( )里(四舍五入，只取整数)．A. 10B. 8C. 6D. 411. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a =2b ，cosA =35，则sin B 的值是 ( )A. 25 B. 35 C. 45 D. 85 12. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=2x 2−2x +1，则f(−1)=( )A. 3B. −3C. 2D. −2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为______． 14. 已知Rt △ABC 中，cosC =2√55，则过点C 且以A ，B 为两焦点的双曲线的离心率为______． 15. 若函数f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在x ∈[0,π3]上的最大值是√2，则ω=________．16. 已知三棱锥A −BCD 中，BC ⊥面ABD ，AB =3，AD =1，BD =2√2，BC =4，则三棱锥A −BCD 外接球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1=1，S n =na n −n(n −1)(n ∈N ∗).(1)求证：数列{a n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)记b n =(−1)n+1a n ，求数列{b n }的前2019项和T 2019．18.如图，多面体ABCDEFG中，FA⊥平面ABCD，FA//BG//DE，BG=14AF，DE=34AF，四边形ABCD是正方形，AF=AB．(1)求证：GC//平面ADEF；(2)求二面角C−GE−D的余弦值．19.已知点A(1,0)和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2+y2=4．(Ⅰ)求动点B的轨迹方程；(Ⅱ)已知点P(2,0)，Q(2,−1)，经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值．20.为了检测某果林树苗的高度，需要抽检一批树苗(共10棵树苗)，已知这批树苗的高度数据如下：(单位：cm)195，194，196，193，194，197，196，195，193，197．(Ⅰ)求这批树苗高度的平均值；(Ⅱ)现将这批树苗送去质检部进行抽检，抽检方案是：从这批树苗中任取5棵作检验，这5棵树苗的高度都在[194,196]内，则称这批树苗合格，如果抽检不合格，就要重新再抽检一次，若还是不合格，这批树苗就认定不合格．①求这批树苗第一次抽检就合格的概率；②记X为这批树苗的抽检次数，求X的分布列及数学期望．21.已知函数f(x)=x(a+lnx)的图象在点(e,f(e))(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3．(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)若k为整数时，k(x−1)<f(x)对任意x>1恒成立，求k的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．(1)求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(t为参数)，其中0≤α<π.l与C2交于点A,|OA|=√3，求直(2)直线l的参数方程是{x=tcosαx=tsinα线l的斜率．23.设函数f(x)=|x+1|+|x−a|(a>0)．(1)当a=2时，求不等式f(x)>8的解集；(2)若∃x∈R，使得f(x)≤3成立，求实数a的取值范围．2-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的子集有2n个，真子集有2n−1个，非空子集有2n−1个，属于基础题．先求出集合，根据集合的元素数目与真子集个数的关系，计算可得答案．【解答】解：因为集合，所以集合为{1,3，5，7}∵根据集合的元素数目与真子集个数的关系，有n个元素的集合的真子集有2n−1个，已知集合有4个元素，则其真子集个数为24−1=15，故选C．2.答案：A解析：【分析】本题考查复数的运算，属基础题．化简复数即可得解．【解答】依题意，2−4i1+3i =(2−4i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)=−1−i，故选A．3.答案：D解析：【分析】本题主要考查折线图、条形图，属于基础题．根据折线图求出2017年就医花费，根据条形图求出2018年收入．【解答】解：根据折线图可知，2017年就医花费80000×10％=8000元，则2018年就医花费8000+4750=12750元， 根据条形图可知，2018年收入为1275015％=85000元． 故选D ．4.答案：D解析：解：甲、乙2人随机参加“文明交通”和“邻里互助”两项活动中的一项， 基本事件总数n =2×2=4，2人参加的活动恰好相同包含的基本事件个数m =C 21=2，∴2人参加的活动恰好相同的概率p =m n=24=12．故选：D ．先求出基本事件总数n =2×2=4，再求出2人参加的活动恰好相同包含的基本事件个数m =C 21=2，由此能求出2人参加的活动恰好相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．5.答案：D解析： 【分析】本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法．设出直线AB 的方程，联立抛物线方程，由中点坐标公式得出斜率k ，得出x 1+x 2，由|AB|=x 1+x 2+p 得出即可． 【解答】解：抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0)，由题意可知直线l 的斜率存在，设为k(k ≠0)，则直线l 的方程为y =k(x −1)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =k(x −1)y 2=4x 可得y =k(y 24−1)，即ky 2−4y −4k =0， 则y 1+y 2=4k =2， ∴k =2，则直线l 的方程为y =2(x −1)，联立{y =2(x −1)y 2=4x消去y 得x 2−3x +1=0，∴x 1+x 2=3，∴|AB|=x 1+x 2+2=5． 故选D ．6.答案：A解析：解：设正三棱柱的棱长为1，以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图：则C 1(0,1，1)，A(√32,12,0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,0)， 又因为平面BB 1C 1C 的一个法向量n⃗ =(1,0，0)， 所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为：sinθ=AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |=√2×1=√64， ∴cosθ=√1−sin 2θ=√104． 故选：A ．建立空间直角坐标系，求出直线的向量，平面的法向量，利用数量积求解即可． 本题考查直线与平面所成角的求法，空间想象能力以及计算能力．7.答案：B解析： 【分析】本题考查了利用简单的线性规划求范围与最值问题，属于基础题． 先作出可行域，利用图象即可求出z =x −y 的最小值． 【解答】解：由约束条件{x ≤0x +y +1≤02x +y +2≥0作出可行域，如图：由图可知，当直线z=x−y过A(−1,0)时，z取得最小值，最小值为−1．故选B．8.答案：C解析：【分析】本题考查了充分、必要条件的判断，二次函数的奇偶性与最值，含有一个量词命题的否定以及函数的定义域问题，属于中档题．对四个命题逐一判断即可．【解答】解：(1)“x>1”是“x2>1，即x>1或x<−1”的充分不必要条件，正确；(2)定义在[a,b]上的偶函数f(x)=x2+(a+5)x+b，可知a+5=0，即a=−5，b=5，所以y= x2+5，故最小值为5，正确;(3)命题“∀x>0，都有x+1x ⩾2”的否定应是“∃x0>0，使得x0+1x0<2”，错误；(4)已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)=f(2x)+√8−2x的定义域为{0≤2x≤28−2x≥0，故x∈[0,1]，正确．故选C．9.答案：C解析：【分析】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0<0.312<0.310=1，log20.31<log21=0，20.31>20=1，∴b<a<c．故选C．10.答案：C解析： 【分析】本题主要考查等比数列的应用，等比数列求和公式，是基础题．由题意，该马每日路程构成等比数列{a n }，公比q =12，前7项的和S 7=700，由此可求出a 1，再求a 7即可． 【解答】解：设该马第一日路程为a 1，每日路程构成等比数列{a n }，公比q =12，前7项的和S 7=700， 所以700=a 1[1−(12)7]1−12，解得a 1=350×128127.所以a 7=a 1·(12)6=700127≈5.5118≈6． 故选C ．11.答案：A解析： 【分析】本题主要考查正弦定理，是基础题．解决本题的关键在于根据三角形的内角和以及a =2b 把所求问题转化．先根据三角形的内角和以及a =2b 把所求问题转化，再结合正弦定理即可得到答案． 【解答】解：∵A +B +C =π，cosA =35， ∴∠A 为锐角，∴sinA =√1−cos 2A =45， ∵a sinA =bsinB ， ∴2b45=bsinB .∴sinB =25. 故选A ．12.答案：A解析： 【分析】本题考查函数的奇偶性，根据题意利用函数的奇偶性可得f(x)及g(x)的解析式，进而即可求得结果．【解答】解：∵函数f(x)、g(x)分别是偶函数、奇函数，∴f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，令x 取−x ，代入f(x)+g(x)=2x 2−2x +1 ①，f(−x)+g(−x)=2x 2+2x +1，即f(x)−g(x)=2x 2+2x +1 ②，由①②解得，f(x)=2x 2+1，g(x)=−2x ，因此f(−1)=2×(−1)2+1=3．故选A ．13.答案：1解析：由条件可知，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×2+(−1)×0=2，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 所以向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1． 故答案为：1．根据投影公式AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |进行计算即可． 本题考查了投影的概念以及利用平面向量数量积进行投影计算，属于基础题．14.答案：√5+2解析：【分析】利用三角形以及双曲线的性质，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．【解答】解：由题意可知：cosC =2√55，故可设BC =2k,AB =k,AC =√5k ，又AC −BC =2a =(√5−2)k,AB =2c =k ，故c a =k 2√5−22k =√5+2，故答案为：2+√5．15.答案：34解析：【分析】本题考查正弦函数的性质，根据已知区间，确定ωx的范围，求出它的最大值，结合0<ω<1，求出ω的值．【解答】解：因为x∈[0,π3]，0<ω<1，所以ωx∈[0,ωπ3]，且0<ωπ3<π3，所以f(x)max=f(ωπ3)=2sinωπ3=√2，即ωπ3=π4，所以ω=34．故答案为34．16.答案：1256π解析：【分析】本题考查的知识要点：三棱锥和球的体积运算，属于中档题．直接利用三棱锥和球的体积公式的应用求出结果．【解答】解：AB=3，AD=1，BC=4，BD=2√2，所以：BD2+AD2=AB2，则：△ABD为直角三角形，设外接球的半径为r，将三棱锥构建在长方体中，则：(2r)2=42+(2√2)2+1，解得：r=52，所以球体的体积为：V=43π×(52)3=125π6．故答案为125π6．17.答案：解：(1)∵S n=na n−n(n−1)，所以当n≥2时,S n−1=(n−1)a n−1−(n−1)(n−2)，两式相减，得a n=na n−(n−1)a n−1−2(n−1) (n≥2)，即a n−a n−1=2 (n≥2)，所以数列{a n}是以2为公差的等差数列，所以a n=a1+2(n−1)=2n−1;(2)b n=(−1)n+1a n=(−1)n+1(2n−1)，T2019=1−3+5−7⋯+(2×2017−1)−(2×2018−1)+(2×2019−1) =(1−3)+(5−7)+⋯+[(2×2017−1)−(2×2018)−1]+(2×2019)−1=−2×1009+2×1009−1=2019解析：本题主要考查了数列的通项公式和数列求和，难度一般；(1)根据S n−S n−1=a n，即可求得数列的公差，然后求得等差数列的通项公式；(2)将(1)中求得的数列代入，然后将前2019项写出来，即可求出．18.答案：(1)证明：∵FA//BG，BG⊂平面BGC，FA⊄平面BGC，∴FA//平面BGC，又∵AD//BC，BC⊂平面BGC，AD⊄平面BGC，∴AD//平面BGC，又∵AF∩AD=A，AF、AD⊂平面ADEF，∴平面BGC//平面ADEF，又GC⊂平面BGC，∴GC//平面ADEF．(2)解：∵FA⊥平面ABCD，AB、AD⊂平面ABCD，∴FA⊥AB，FA⊥AD，又∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥AD，故以A为原点，以AB、AD、AF分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令AB =AF =4，则BG =1，DE =3，∴G(4,0，1)，C(4,4，0)，E(0,4，3)，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,1),CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0,3)， 设平面CGE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ·CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−4y +z =0,−4x +3z =0, 令y =1，则n⃗ =(3,1,4)． ∵FA//ED,FA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥ED ．∵AC ⊥BD,ED ∩BD =D,ED,BD ⊂平面BDEG ，∴AC ⊥平面BDEG ．则平面DEG 的一个法向量为AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4,0)． 设二面角C −GE −D 的大小为θ，由图得θ为锐角，∴cosθ=|n ⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13=2√1313． ∴二面角C −GE −D 的余弦值为2√1313．解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于一般题．(1)由已知条件得平面BGC//平面ADEF ，由此能证明GC//平面ADEF ．(2)以A 为原点，以AB 、AD 、AF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C −GE −D 余弦值．19.答案：(Ⅰ)解：如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(−1,0)，依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O 、C 、D 三点共线，∵O 为AA′的中点，C 为AB 中点，∴|A′B |=2|OC|，∴|A′B |+|BA|=2|OC|+2|AC|=2|OC|+2|CD|=2|OD|=4>|AA′|=2，依椭圆的定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中：|A′B |+|BA|=2a =4，|AA′|=2c =2，∴a =2，c =1，∴b 2=a 2−c 2=3，∴动点B 的轨迹方程为x 24+y 23=1；(Ⅱ)证明：①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =2，此时直线l 与椭圆x 24+y 23=1相切，与题意不符；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y +1=k(x −2)，联立{y +1=k(x −2)x 24+y 23=1,得(4k 2+3)x 2−(16k 2+8k)x +16k 2+16k −8=0，Δ>0，解得k <12，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=16k 2+8k 4k 2+3x 1x 2=16k 2+16k−84k 2+3, ∴k PM +k PN =y 1x 1−2+y 2x 2−2 =k(x 1−2)−1x 1−2+k(x 2−2)−1x 2−2=2k −(1x 1−2+1x 2−2) =2k −x 1+x 2−4(x 1−2)(x 2−2)=2k −x 1+x 2−4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k −16k 2+8k 4k 2+3−416k 2+16k −84k 2+3−2(16k 2+8k 4k 2+3)+4 =2k +3−2k =3，∴直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3．解析：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查两直线的斜率之和为定值的证明，属于较难题． (Ⅰ)设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(−1,0)，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O 、C 、D 三点共线，依椭圆的定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，由此能求出动点B 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线l 的方程为y +1=k(x −2)，由{y +1=k(x −2)x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2−(16k 2+8k)x +16k 2+16k −8=0.由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能证明直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3．20.答案：(Ⅰ)这批树苗高度的平均值为195+194+196+193+194+197+196+195+193+19710=195( cm )．(Ⅱ)①这批树苗高度都在[194,196]内的个数为6，故这批树苗第一次抽检就合格的概率为P 0=C 65C 105=142． ②易知X 的所有可能取值为1，2，则P (X =1)=P 0=142．P (X =2)=1−P 0=4142．则X 的分布列为故X 的数学期望E (X )=1×142+2×4142=8342．解析：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望与方差，属于中档题． (Ⅰ)直接根据表中的数据代入即可求解；(Ⅱ)根据古典概型的概率公式即可求出①X 的可能取值为1，2，即可写出X 的分布列及数学期望．②写出X 的分布列即可得到X 的数学期望．21.答案：解：(Ⅰ)求导数可得f′(x)=a +lnx +1，∵函数f(x)=ax +xlnx 的图象在点x =e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3，∴f′(e)=3，∴a +lne +1=3．∴a =1(Ⅱ)k(x −1)<f(x)对任意x >1恒成立，∴k <f(x)x−1对任意x >1恒成立， 由(Ⅰ)知，f(x)=x +xlnx ，令g(x)=f(x)x−1=x+xlnx x−1，则g′(x)=x−lnx−2(x−1)2，令ℎ(x)=x −lnx −2(x >1)，则ℎ′(x)=x−1x >0，所以函数ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增． 因为ℎ(3)=1−ln3<0，ℎ(4)=2−2ln2>0，所以方程ℎ(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3,4)．当1<x <x 0时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，当x >x 0时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，所以函数g(x)=f(x)x−1=x+xlnx x−1在(1,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增．所以g(x)min =g(x 0)=x 0．因为x 0>3，k 为整数，所以x >1时，k ≤3恒成立，故整数k 的最大值是3．解析：(Ⅰ)求导数，利用函数f(x)=ax +xlnx 的图象在点x =e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3，可得f′(e)=3，从而可求实数a 的值；(Ⅱ)构造g(x)=f(x)x−1=x+xlnx x−1，求导函数，令ℎ(x)=x −lnx −2(x >1)，确定ℎ(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3,4)，进而可得g(x)=f(x)x−1=x+xlnx x−1在(1,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增，求出最小值，即可得解． 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时构造函数是关键．22.答案：解：(1)设点P 的极坐标(ρ,θ)(ρ>0)，点M 的极坐标(ρ1,θ)(ρ1>0)，由题意可知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=2sinθ，由|OP||OM|=4得曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ(ρ>0)，∴点P 的轨迹C 2的直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1(y ≠0)；(2)法一：由直线的参数方程可知，直线l 过原点且倾角为α，则直线l 极坐标方程为θ=α，联立{θ=αρ=2sinθ(ρ>0)， ∴A(2sinα,α)，∴|OA|=2sinα=√3,sinα=√32，∴α=π3或23π， ∴tanα=√3或−√3，∴直线l 的斜率为√3或−√3；法二：由题意|OA|=√3≠2分析可知直线l 的斜率一定存在，且由直线l 的参数方程可得， 直线l 过原点，设直线l 的普通方程为y =kx ，∴C 2到l 的距离d =√1+k 2=√1−(√32)2， 可得k =±√3，∴直线l 的斜率为√3或−√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用极坐标方程和点到直线的距离公式求出结果．23.答案：解：(1)f(x)>8即|x +1|+|x −2|>8，当x ≥2时，x +1+x −2>8，解得x >92；当−1<x <2时，x +1+2−x >8，解得x ∈⌀；当x ≤−1时，−x −1+2−x >8，可得x <−72．综上可得，原不等式的解集为{x|x >92或x <−72}；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，可得f(x)min ≤32，由f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)≥|x +1−x +a|=|1+a|=a +1，当−1≤x ≤a 时，f(x)取得最小值a +1，由a +1≤32，可得0<a ≤12，即a 的范围是(0,12].解析：本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．(1)去绝对值，讨论x 的范围，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min≤3，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值，解不等式可得a的范围．2。

2020年重庆市高等职业教育分类考试高考数学模拟试卷理科4月份2020年重庆市高等职业教育分类考试高考数学模拟试卷理科（4月份）考试时间：_____（请自行填写）考试科目：数学考试形式：闭卷，答题时间______分钟注意事项：1. 答题前，请将姓名、考试科目、考试时间填写在答题卡上。

2. 在答题卡上准确填写题号与选择的选项，答案写在答题纸上。

3. 考试结束后，请将答题卡与答题纸一起交回。

第一部分：选择题（每题3分，共40分）1. 请在以下选项中选择出结果最接近√2的数值。

A. 1.4B. 1.5C. 1.414D. 1.4152. 已知函数 f(x) = x^2 - 4x + k，其中 k 是实数常量。

若方程 f(x) = 0 的两个根之和为 5，则 k 的值为多少？A. 1B. 2C. 3D. 43. 若 a, b, c 表示等差数列的三个连续项，且 a + b + c = 12，那么 a 的值为多少？A. 3B. 4C. 5D. 6...第二部分：填空题（每题4分，共40分）1. 已知点 A 为坐标平面上一点，其坐标为 (2, -3)。

点 B 为坐标平面上一点，其纵坐标为 7，则点 B 的横坐标为________。

2. 长方形的长和宽分别为 a 和 b，周长为 38，面积为 84，则 a 的值为________。

3. 若函数 f(x) = kx - 7，且 f(3) = 2，那么 k 的值为________。

...第三部分：解答题（共40分）1. 已知等差数列的首项为 a，公差为 d，且前 n 项的和为 S_n。

根据已知条件：（a）写出该等差数列的通项公式。

（b）写出该等差数列的前 n 项和公式。

（c）如果前 n 项和 S_n 为常数 k，求出该等差数列的公差 d。

解答：（a）通项公式为：________（b）前 n 项和公式为：________（c）当 S_n = k 时，公差 d 的值为：________2. 解方程：2x^2 - 5x - 3 = 0。

四川省乐山市2024年数学（高考）部编版模拟(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（）A．与垂直B．与平面垂直C．与平行D．与平面平行第(2)题设，，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知两条直线和互相垂直，则等于（）A．2B．1C．0D．-1第(4)题已知集合，，，则（）A．B．C．D．第(5)题三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（）A．B．C．D．第(6)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（）A．0B．1C．2D．3第(8)题满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为A．14B．13C．12D．10二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知函数f(x)=x ln()，则以下结论正确的是（）A．为奇函数B．在区间(0，+∞)上单调递增C．曲线在(0，f(0))处的切线的斜率为ln2D．函数有三个零点第(2)题已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（）A．1B．4C．9D．32第(3)题已知函数，则（）A．有两个零点B．过坐标原点可作曲线的切线C．有唯一极值点D．曲线上存在三条互相平行的切线三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题在抛物线y2＝2px上，横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，则p＝____第(2)题马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是________；的数学期望是________.第(3)题不等式的解集为________.四、解答题（本题包含5小题，共77分。

2022年湖北省武汉市七联体高考数学模拟试卷1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 复数的虚部为( )A. B.C. D.3. “”是“方程表示圆”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知，，则( )A. B. C.D.5. 函数的大致图象为( )A. B. C.D.6. 核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量，与扩增次数n 满足，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p 约为参考数据：，( )A. B. C. D.7.已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，M 是C 的渐近线上一点，，，则双曲线C 的离心率为( )A. B. C. D.8. 已知函数的定义域为R，，是偶函数，任意，满足，则不等式的解集为( )A. B.C. D.9. 中国仓储指数是基于仓储企业快速调查建立的一套指数体系，由相互关联的若干指标构成，它能够反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况．如图是2019年1月至2020年6月中国仓储业务量指数走势图，则下列说法正确的是( )A. 2019年全年仓储业务量指数的极差为B. 两年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，4月份最高C. 两年上半年仓储业务量指数的方差相比，2019年低于2020年D. 2019年仓储业务量指数的中位数为10. 已知，则下列结论正确的是( )A. B.C. D.11. 已知函数，则下列结论正确的是( )A. 的图象关于点对称B. 在上的值域为C.若，则，D. 将的图象向右平移个单位长度得的图象12. 已知三棱柱为正三棱柱，且，，D是的中点，点P是线段上的动点，则下列结论正确的是( )A. 正三棱柱外接球的表面积为B. 若直线PB与底面ABC所成角为，则的取值范围为C. 若，则异面直线AP与所成的角为D. 若过BC且与AP垂直的截面与AP交于点E，则三棱锥的体积的最小值为13. 已知向量，，且，则__________.14. 二项式的展开式中的常数项为__________.15. 若函数有最小值，则m的一个正整数取值可以为______.16. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P是l上一点，过点P作PF的垂线交x 轴的正半轴于点A，AF交抛物线于点B，PB与y轴平行，则______.17. 在条件：①，，②，，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，______，求的面积．18. 已知数列的前n项和为，且，求数列的通项公式；若数列满足，，求数列的前n项和19. 某企业从生产的一批零件中抽取100个作为样本，检测其质量指标值，得到如图的频率分布直方图．并依据质量指标值划分等级如表所示：质量指标值m 或等级A 级B 级根据频率分布直方图估计这100个零件的质量指标的平均数每组数据以区间的中点值为代表；以样本分布的频率作为总体分布的概率，解决下列问题：从所生产的零件中随机抽取3个零件，记其中A 级零件的个数为，求的分布列和数学期望；该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有零件按400个一箱包装，已知一个A 级零件的利润是12元，一个B 级零件的利润是4元，试估计每箱零件的利润．20. 如图所示，在三棱台中，，，，D ，E 分别为，的中点．证明：平面；若，求平面和平面所成锐二面角的余弦值．21. 已知椭圆C ：的离心率为，椭圆C 的左、右焦点分别为，，点，且的面积为求椭圆C的标准方程；过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线PA，PB的斜率分别为，，当最大时，求直线l的方程．22. 已知函数若的图象在点处的切线与直线平行，求m的值；在的条件下，证明：当时，；当时，求的零点个数．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解不等式，属于基础题．先利用一元二次不等式的解法求出集合B，然后由集合交集的定义求解即可．【解答】解：因为，又集合，所以故选：2.【答案】C【解析】解：由复数的运算法则，可得的虚部为，故选：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：方程表示圆，，，，是方程表示圆的必要不充分条件，故选：先求出方程表示圆的等价条件，再根据充分条件、必要条件定义判定即可．本题考查了充分条件、必要条件定义及判定，考查了表示圆的条件，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由二倍角公式化简已知条件可得，结合角的范围可求得，，可得，根据同角三角函数基本关系式即可解得的值．【解答】解：，由二倍角公式可得，，，，，则有，解得故选5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的图象的内容，属于基础题．根据奇偶性排除AB，代入特殊点排除【解答】解：因为是偶函数，为奇函数，且定义域为，所以为奇函数，排除AB，取，，排除故选：6.【答案】C【解析】解：由题意可知，，即，，解得故选：根据已知条件，可推得，结合对数函数的性质，即可求解．本题考查对数函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：设，，，由对称性不妨设点M在第一象限，可知点M在直线上，因为，，所以，，即点M坐标为，代入，得，所以双曲线C的离心率，故选：由对称性不妨设点M在第一象限，且点M在直线上，解得M点坐标，代入，得，再计算离心率，即可得出答案．本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，所以，因为任意的，满足，所以在上单调递增，在上单调递减，所以等价于，解得故选：由是偶函数，知的图象关于直线对称，再根据单调性的定义得出的单调区间，从而将原问题转化为，解之即可．本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：2019年全年仓储业务量指数3月份最高为，2月份最低为，所以极差为，A正确；2019年以及2020年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，3月份最高，所以两年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，3月份最高，B错误；由折线图可知两年上半年仓储业务量指数的方差相比，2019年低于2020年，故C正确；2019年仓储业务量指数按从小到大的顺序排列为，，，，，，，，，所以中位数为，故D错误．故选：根据折线图读出全年的数据关系，再根据极差，方差等求法进行求解即可分析得解．本题考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了对数函数、指数函数的单调性的判断与应用，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．由题意知，从而可判断，；由对数函数的性质可知C正确，由基本不等式可得D正确．【解答】解：，，函数是定义在R上的减函数，，，故A正确，B错误；，，，故C正确；，，当且仅当，时等号成立，，故D正确.故选11.【答案】BD【解析】解：函数，对于A：令，，故A错误；对于B：当时，，所以故B正确；对于C：若，则，，故C错误；对于D：的图象向右平移个单位长度得的图象，故D正确．故选：直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】AD【解析】解：因为外接圆的半径，且，故正三棱柱外接球的半径，故其表面积为，故A正确，取BC的中点F，连接DF，AF，BD，，由正三棱柱的性质可知平面平面ABC，所以当点P与重合时，最小，当点P与D重合时，最大，所以，故B错，将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，则或其补角为异面直线AP与所成的角，易得，，所以，故C错，因，故要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大，设BC的中点为F，作出截面如图所示，因为，所以点E在以AF为直径的圆上，所以点E到底面ABC距离的最大值为，所以三棱锥的体积的最小值为，故D正确，故选：可求得底面外接圆的半径，再构造直角三角形求得外接球的半径，从而判断，取BC的中点F，连接DF，AF，BD，，由正三棱柱的性质可求得，从而判断，将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，从而判断，由知，要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大，从而判断．本题考查了命题真假性的判断及立体几何的性质应用，属于中档题．13.【答案】8【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题．由可得，代入向量，，解方程即可．【解答】解：由向量，，且，得，故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查了二项式定理的应用，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．利用二项式定理的展开式的通项公式求解系数，即可得到答案．【解答】解：由二项式定理可知的展开式的通项公式为，令，可得，则的系数为，所以二项式的展开式中的常数项为故答案为：15.【答案】答案不唯一【解析】解：在上单调递增，；当时，，此时，在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为若有最小值，则，即即m的一个正整数取值可以为答案不唯一故答案为：答案不唯一由函数的单调性可得当时，有；再由导数求得时的最小值为，由求得m的范围得答案．本题考查分段函数的应用，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】6【解析】解：抛物线方程为，焦点，准线方程为，点P是l上一点，可设，，，直线PA的方程为，令，解得，即，与y轴平行，且B点在抛物线上，可设，，A，B三点共线，，化简可得，解得或舍去，故答案为：根据已知条件，分别求出F，A，B三点的坐标，结合三点共线与斜率之间的关系，即可求解．本题考查了抛物线的性质，掌握三点共线与斜率之间的关系是解本题的关键，属于中档题．17.【答案】解：选①时，由，利用正弦定理：，整理得：，由于，所以，由于，故，已知：，利用正弦定理：，所以，设，，，利用余弦定理：，解得，故选②时，由于，利用正弦定理：，所以，由于，所以，由于故由于，，利用余弦定理：，解得，所以选③时，由于，整理得：，故，利用余弦定理整理得：，由于，所以，，所以，由于，故，所以【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于一般题．选①时，直接利用三角函数的关系式的变换和正弦定理的应用及三角形的面积公式的应用求出结果；选②时，直接利用正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果；选③时，直接利用三角函数的关系式的变换和正弦定理的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．18.【答案】解：数列的前n项和为，且，当时，，当时，，则，解得所以，故首项符合通项数列满足，，，，，所以，所以则，故【解析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法和应用，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：由频率分布直方图可得，一个零件为A级的概率为，所有可能的取值为0，1，2，3，，，，，故随机变量的分布列为：0 1 2 3P，设每箱零件中A级零件由X个，每箱零件的利润为Y元，则B级零件有个，由题意可得，，，【解析】结合频率分布直方图，即可求解．一个零件为A级的概率为，所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解．根据已知条件，结合离散型随机变量线性期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．20.【答案】证明：取的中点F，连接DF，EF，为中点，即DF为梯形中位线，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，又，AC、平面，DF、平面DEF，平面平面，平面DEF，平面；解：，，，平面ABC，在平面ABC内过点B作交AC于G，则BC，BG，两两垂直，以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，设平面的法向量为，则，则可取，设平面的法向量为，则，则可取，平面和平面所成锐二面角的余弦值为【解析】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的性质定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．取的中点F，先证明平面平面，再利用面面平行的性质定理得证；建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，进而求得平面及平面的法向量，再利用向量的夹角公式得解．21.【答案】解：设，，由题意知，，解得，所以，，所以椭圆的方程为①当直线l的斜率为0时，则②当直线l的斜率不为0时，设，，直线l的方程为，由，整理得，所以，，又，，所以，令，当时，当时，，当且仅当，即时，取等号，所以当最大时，直线l的方程为【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．由椭圆的离心率为，的面积为，列方程组，解得a，b，即可得出答案．分两种情况：①当直线l的斜率为0时，②当直线l的斜率不为0时，设，，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，计算，结合基本不等式，即可得出答案．22.【答案】解：因为的图象在点处的切线与直线平行，所以，因为，所以，解得由得当时，，当时，因为，所以在上单调递增，因为，所以在上恒成立．由可知当且时，，即在上没有零点，当时，，令，，则单调递增，且，所以在上存在唯一零点，记为，且时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为所以，，因为，所以，所以在上存在唯一零点，且在上恒小于零，所以时，；时，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，所以在上至多有一个零点，取，则由，所以由零点的存在定理可得在只有一个零点，所以在上只有一个零点，所以当时，的零点个数为【解析】因为的图象在点处的切线与直线平行，则由导数的几何意义可得，即可解得由得当时，，分析的正负，的单调性，最值，即可得出答案．由可知当且时，由放缩法得，即在上没有零点，再分析当时，分析的正负，的单调性，最值，进而可得零点个数．本题考查利用导数研究函数的单调性和零点，考查零点存在定理，考查分类讨论的数学思想，考查数学抽象和数学运算的核心素养，属于难题．。