《线性代数》作业
一、选择题
1．如果D=333231232221
131211
a a a a a a a a a ，则行列式33
3231232221
13
1211
96364232a a a a a a a a a 的值应为： A ． 6D B ．12D C ．24D D ．36D 2．设A 为n 阶方阵，R （A ）=r<n,那么：
A ．A 的解不可逆
B ．0=A
C.A 中所有r 阶子式全不为零
D. A 中没有不等于零的r 阶子式 3．设n 阶方阵A 与B 相似，那么：
A ．存在可逆矩阵P ，使
B AP P =-1
B ．存在对角阵D ，使A 与B 都相似于D
C ．E B E A λλ-=-
D ．B A ≠
4．如果3333231232221
131211
==a a a a a a a a a D ，则13
1211332332
22312133
32
31
323232a a a a a a a a a a a a ---等于
A ． 6
B ． -9
C ．-3
D ．-6 5．设矩阵n m ij a A ⨯=)(，m<n,且R （A ）=r,那么：
A ．r<m
B ．r<n
C ．A 中r 阶子式不为零
D ．A 的标准型为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛0E ， 其中E 为r 阶单位阵。 6．A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵*
A 的特征根之一是：
A ．n
A
1-λ B ．A λ C ．A 1
-λ
D ．n
A λ
7．如果⎪⎩
⎪
⎨⎧=--=+=++050403z y kx z y z ky x 有非零解，则k 应为：____________。
A ． k =0
B ． k =1
C ． k =2
D ． k =-2 8．设A 是n 阶方阵，3≥n 且2)(-=n A R ，*
A 是A 的伴随阵，那么：___________。
A ． 0≠*A
B ． ()0R A *
= C ． 1
-*=n A
A D ． 2)(≤*
A R
9．设A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=AX 仅有零解的充要条件是：
A ． A 的列向量线性无关
B ． A 的列向量线性相关
C ． A 的行向量线性相关
D ． A 的行向量线性相关
10．如果
⎝
⎛=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k 应为：________。
A ．0=k
B ．1-=k
C ．2=k
D ．2-=k 11．下列命题正确的是___________。
A ．T T T
B A AB =)( B ．若B A ≠则B A ≠
C ．设A 、B 为三角形矩阵，则A+B 为三角矩阵
D ．))((22
E A E A E A -+=- 12．矩阵A 、B 相似的充要条件是____________。
A ．A 与
B 有相同的特征值 B ．A 与B 相似于同一矩阵
C ．A 与B 有相同的特征向量
D ．k
A 形似于k
B 二、填空题
1．行列式与它的转置行列式的值是__________。 2．矩阵n m A ⨯的K 阶子式共有___________;
3．n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 有__________________________________; 4．行列式的某行（列）加上另一行（列）的k 倍，行列式的值______________。
5．设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=11334221t
A ，
B 为三阶非零矩阵，且0=AB ，则t=________________。 6．A 、B 为n 阶方阵，若存在可逆矩P ，使_________则称A 与B 相似。
7．__________________0
1
=
n
λλ。 8．若矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=11012321k A 的2)(=A R ，则____________=k 。
9．若方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
321321x x x x x x x x x λλλ仅有零解，则λ应满足的条件是_______________。
10．设多项式x
x x x x f 21211
1)(=则)(x f 中3x 的系数等于_________，2x 的系数等于_________。
11．已知)3,2,
1(=α，)1,2,3(=β，且α与βα+k 正交，则=k ____________。
12．设A 是3阶方阵，且3||-=A ，则行列式|3|1-A =（ ）
13．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=315021001A ,⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=443112112013B ,则AB 的秩是）
（ 14．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=00
0430000200
0010A ，则1
-A =）
（ 15若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+4
143432
321
21a x x a x x a x x a x x 有解，则常量4321,,,a a a a 应满足条件___________。
16.设4阶方阵，),,,(),,,,(43214321B A A A B A A A A A ==其中44321,,,,B A A A A 都是四元列向量，已知
2,1=-=B A ,则行列式B A 2+=( )
17已知矩阵A=PQ,其中⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=121P ,Q=)2,1,2(-,则矩阵)(100=A
18.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100230211A ,⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=026328421421B ,则秩)(AB =( )
三、证明题
1．设A 是三阶方阵，*
A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式为,4
1
=
A 求证：2
1)2(A A A =-*-．
2．已知A 为n 阶方阵，且0432=--E A A ，试证A 可逆，并求1
-A 。
