《线性代数》作业

线性代数在线作业文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]地大《线性代数》在线作业1-2一、判断题每题分，共25题，100分1.任意n价实称矩阵都存在n个线性无关的特征向量。

A错误 B正确√2. 两个矩阵A与B，若AB=0则一定有A=0或者B=0.A错误√ B正确3. 两对对称矩阵不一定合同。

A错误 B正确√4. 满足A的平方=A的n价方阵的特征值的和等于1.A错误 B正确√5. 如果一个矩阵的行向量组为正交的单位向量组且为方阵，那么这个矩阵的行列式为1.A错误 B正确√6. 二次型为正定的充要条件是对应的矩阵为正定矩阵。

A错误 B正确√7. 合同的两个矩阵的秩一定相等。

A错误 B正确√8. 非齐次线性方程组任意两个解之差为对应系数的齐次线性方程组的解。

A错误 B正确√9. 如果方阵A是不可逆的，则一定有任意一个行向量是其余行向量的线性组合。

A错误√ B正确10. 若AX=0只有零解，那么AX=b有唯一解。

A错误√ B正确11. (作业1.题24) （1,1,0）.（1,0,1）.（0,1,1）构成为3维向量空间的一个基。

A错误 B正确√12. n阶方阵可逆的充要条件是它的行列式不等于0.A错误 B正确√13. 满秩方阵的列向量组线性无关。

A错误 B正确√14. 对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B).A错误√ B正确15. (作业2.题22)等价的两个线性无关向量组所含有向量的个数一定相等.A错误 B正确√16. 两个行列式相等的正交矩阵的乘积也是正交矩阵。

A错误√ B正确17. 如果行列式值为0则必然有该行列式对应的矩阵是不可逆的。

A错误 B正确√18. 反对称矩阵的主对角线上的元素和为0.A错误 B正确√19. 矩阵A的行列式不等于零，那么A的行向量组线性相关。

A错误√ B正确20. 如果线性方程组的系数矩阵满秩，则该方程组一定有解组，且解是唯一的。

作业成绩班级 姓名 序号第1次作业 行列式的性质本次作业目的熟悉行列式的性质；会用化三角法计算简单行列式。

1. 用行列式性质证明下列等式：(1) 1111111122222223333333a kb b c c a b c a kb b c c a b c a kb b c c a b c ++++=++23； 证 (2) 2y z z x x y x yz x yy z z x z x y z xx yy z yzx ++++++=+++； 证(3)()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++。

证作业成绩班级姓名序号第2次作业行列式展开克莱姆法则本次作业目的熟悉行列式展开法则和克莱姆法则；会熟练应用展开法则计算行列式；会用克莱姆法则解低阶方程组，讨论方程组的解。

1.1121234134124206D−−=−，求3132342A A A++。

解2. 计算下列行列式：(1) 1111 1111 1111 1111xxyy+−+−；解(2)222b c c a a ba b ca b c+++；解作业成绩班级 姓名 序号第3次作业 矩阵及其运算本次作业目的掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置和方阵的行列式及其运算规律。

1. 计算：(1) ；()123223−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠解(2) 111213112312222321332333()a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎞⎟⎟⎟⎠。

解2. 设，求3111123111,124111051⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−=−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝A B AB 解3. 已知11(1,2,3),1,,23⎛⎞==⎜⎝⎠αβ⎟，矩阵=A T αβ，其中T α是α的转置，求(为正整数)。

《线性代数》作业第一章1、求排列(2n)(2n-1)…(n+1)1 2…(n -1)n 的逆序数。

解：后面是正常顺序，逆序出现在前n 个数与后n 个数之间，2n 的逆序数是2n-1，2n-1的逆序数是2n-2，……，n+1的逆序数是n ，所以整个排列的逆序数是(2n-1)＋(2n-2)＋……＋n ＝n(3n-1)/22、求排列246......(2n)135……(2n-1)的逆序数。

解析：后一项比前一项的算逆序一次，246......(2n)无逆序，所以从1开始，有246......(2n)共N 个，3开始有46......(2n)有N-1个，.......，.2n-1有一个，所以，加一起得，逆序数为1+2+......+N=N （N+1）/2N=n+(n-1)+......+2+1=n(n+1)/23、试判断655642312314a a a a a a ，662551144332a a a a a a -，662552144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项。

解a 14a 23a 31a 42a 56a 65 下标的逆序数为 t （431265）=0+1+2+2+0+1=6所以655642312314a a a a a a 是六阶行列式中的项。

662551144332a a a a a a -下标的逆序数为 t （452316）=8所以662551144332a a a a a a -不是六阶行列式中的项。

662552144332a a a a a a -下标的逆序数为t(452316)=8所以662552144332a a a a a a -不是六阶行列式中的项。

4、已知4阶行列式D 中的第3列上的元素分别是3，-4，4，2，第1列上元素的余子式依次为8，2，-10，X ，求X 。

解：X=205、设15234312a a a a a j i 是5阶行列式的一项，若该项的符号为负，则 i= 5 ,j= 4 。

第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---;解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(3)222111c b a cb a ;解222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).4. 计算下列各行列式:(1)7110025*******214; 解 7110251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-;解 2605232112131412-260503212213041224--=====cc 041203212213041224--=====rr000003212213041214=--=====r r .(3)efcf bf decd bd ae ac ab ---;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b ec b e c b ad f ---=a b c d e fa d fbc e 4111111111=---=.(4)dc b a 100110011001---.解dc b a100110011001---dc b a ab ar r 10011001101021---++=====d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cdc ad a ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 6. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213ab a b a a b a ab ac c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=yx z x z y zy x b a )(33+=.8. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解a a a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n行展开))1()1(10 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a n n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=an-a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x aa a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a aa a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n 第二章 矩阵及其运算 1. 计算下列乘积: (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.3.已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.5. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y . 7.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫.用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.8. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵. 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x . 19.设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 20. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114.21. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.22. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.3. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010********* 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211.5. (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BA X . 9. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量. 12.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r .(1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3. P106/ 1.已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------531400251552000751610421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示. 4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.5. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.9.设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.证明 由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1,于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211. 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. 13. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5. 20.求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A ,于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x .取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .。

第一章：行列式1、计算下列行列式1 2 2 … 2 22 2 2 … 2 22 23 … 2 2：：：：：2 2 2 … n-1 22 2 2 … 2 n解：首先利用每一行元素分别减去第二行元素得到：-1 0 0 02 2 2 00 0 1 00 0 0 2 00 0 0.......n-2可利用代数余子式求出：（-1）*2*（n-2）！2、计算下列行列式：|x y x+y||y x+y y||x+y y xl解：|x y x+y||y x+y y||x+y y x|=x|x+y y|+y(-1)| y y|+(x+y)| y x+y|| y x| |x+y x| |x+y y |=x(x²+xy-y²)-y(xy-xy-y²)+(x+y)(y²-x²-2xy-y²)=x(x²+xy-y²)-y(-y²)+(x+y)(-x²-2xy)=x³+x²y-xy²+y³-x³-x²y-2x²y-2xy²=y³-2x²y-3xy²=y(y²-2x²-3xy)3、计算下列行列式：1 2 -5 1-3 1 0 -62 0 -1 24 1 -7 6解：根据行（列）与行（列）之间互换，行列式值改变符号。

所以第一列与第二列互换，得出2 1 -5 11 -3 0 -60 2 -1 21 4 -7 6根据行列式倍加不变原理。

第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列，结果如下。

0 -7 9 -110 -7 7 -120 2 -1 21 4 -7 6根据行列式倍加不变原理。

第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列0 -7 9 -110 -7 7 -12- 0 2 -1 21 4 -7 6根据计算，得出= （-14）+49-62=-274、求二阶行列式1-x^2 2x----- -----1+X^2 1+X^2解：原式＝（[1-x²]²+4x²）/（1+x²）²＝（1+x²）²/（1+x²）²＝15、设A B为n阶方阵，满足ATA=AAT=E,BTB=BBT=E及|A|+|B|=0，求|A+B|解：原式＝（[1-x²]²+4x²）/（1+x²）²＝（1+x²）²/（1+x²）²＝1由已知, |A|^2=|B|^2 = 1所以|A|, |B| 等于1 或-1因为|A|+|B|=0所以|A||B|= -1所以有|A+B|= - |A||A+B||B|= - |A^T||A+B||B^T|= - |A^T AB^T+A^T BB^T|= - |B^T+A^T|= - |(A+B)^T|= - |A+B|.所以|A+B| = 0.第二章：矩阵1、已知矩阵A=[1 1 1][2 -1 0][1 0 1]B=[3 1 1][2 1 2][1 2 3 ] 求：AB解：AB=[1×3+1×2+1×1 1×1+1×1+1×2 1×1+1×2+1×32×3-1×2+0×1 2×1-1×1+0×2 2×1-1×2+0×31×3+0×2+1×1 1×1+0×2+1×2 1×1+0×2+1×3]=[6 4 6][ 4 3 4]2、设A=[2 2 3][1 -1 0][3 1 2] A*为A的伴随矩阵，求A(-1)A*解：AA*=|A|EA* = |A|A^-1所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2|A|=4AA*=|A|EA* = |A|A^-1所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2|A|=4A^-1=-1/2 -1/4 3/4-1/2 -5/4 3/41 1 -1(A^-1)^2=9/8 19/16 -21/1613/8 39/16 -33/16-2 -5/2 5/2所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2 =9/2 19/4 -21/413/2 39/4 -33/4-8 -10 103、判断关于逆矩阵（A+B）的逆等于不等于A的逆加B的逆解：一般不等于，反例：令A=B=E则(A+B)=2E，(A+B)逆=E/2而A逆+B逆=E+E=2E所以不等4、求矩阵的秩[1 3 2 a][2 -4 -1 b]其中a,b,c为任意实数解：r(A)=3因为[1 3 2][2－4－1][3－2 0]的行列式不为0，说明原矩阵有一个3阶子式不为0，秩至少是3；又因为原矩阵是3*4的矩阵，它的秩最多为3，所以答案就是35、一个方程组x+y+z=22x+y+3z=03y+4z=1求方程的解解：设A=[111213034]B=[21]A的逆阵为C=(1/7)*[5,1,-28,-4,1-6,3,1]x=C.B=1/7[817-11]第三章：向量空间1、已知α1=（1,1,2，-1）α2=（-2,1,0,0,）α3=（-1,2,0,1）又β满足3（α1-β）+2（α3+β）=5（α2+β）求β解：由题设，有3α1-3β+2α3+2β=5α2+5β3α1+2α3-5α2=6β(3,3,0,-3)+(-2,4,0,2)-(-10,5,0,0)=6β6β=(11,2,0,-1)β=(11/6,1/3,0,-1/6)2、设数域F上向量空间V的向量组{α1 , α2 , α3}线性无关，向量β1可由α1 , α2 , α3线性表示，而β2不能由α1 , α2 , α3线性表示。

第一章 矩阵作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一、选择题 (每小题5分，共20分)1． 设A 为任意n 阶矩阵，下列4项中（ B ）是反对称矩阵。

（A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T2．设n 阶矩阵A ,B 是可交换的，即BA AB =，则不正确的结论是（ D ）。

（A ）当A ,B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）2222)(B AB A B A ++=+ （C ）22))((B A B A B A -=-+（D ）当A ,B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵3．设n 阶矩阵A ,B 和C 满足E ABAC =，则（ A）。

（A ）E C A B A T T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =24. 设÷øöçèæ=21,0,0,21a ，a a T E A -=,a a T E B 2+=,则AB =( B )(A) a a TE + (B) E (C) E - (D) 0二、计算与证明题 (每小题20分，共80分)1．已知úûùêëé--=1121A ，试求与A 可交换的所有二阶矩阵X得分得分2. 已知úúúûùêêêëé=010101001A , (1)证明：E A A A n nn -+=³-223时，(2)求100A.3. 已知矩阵,,试作初等变换把A 化成B ,并用初等矩阵表示从A 到B 的变换.BQ AQ Q Q B a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A c c c c =úúúûùêêêëé=úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé=«+21213133323321232223111312133333323123232221131312113332312322211312110010101001100100013123所以，设解：4．已知矩阵,试作初等行变换,把分块矩阵化成,其中E 是单位矩阵,B 是当左块A 化成E 时,右块E 所变成的矩阵;并计算矩阵的乘积AB 与BA .úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé+-+-101110012430001321100431010212001321312112r r r r ）（）（解：úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé---¾¾®¾úúúûùêêêëé----¾¾®¾+-+-+--+«3151004160101120013151001011100013210124301011100013211213233321223113r r r r rr r r r r r ）（）（）（）（úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé----=100010001315416112BA AB B 则第二章 行列式与矩阵求逆作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一．计算下列行列式：(每题10分,共30分)1. 已知4阶行列式44332211400000a b a b b a b a D =， 求4D 的值． 解：得分2. 计算n 阶行列式111111111111nn n n D n ----=3. 计算5阶行列式242322214321500032100111011110x x x x x x x x D =二．计算题：(每题15分,共60分)1. 已知3阶行列式2101123z y x D =，且,1,0322213331311-=++=+-M M M M M M2132131=+-M M M其中的值的余之式，求中元素是33D a D M ij ij ．得分2. 求4阶行列式22350070222204034--=D 中第4行各元素余之式之和．3. 设úúúúûùêêêêëé=5400320000430021A , 则求1-A ．4. 若úúúúûùêêêêëé=121106223211043a A 可逆，则求a 的值．三．（10分）问m l 、取何值时，齐次方程组ïîïíì=+m +=+m +=++l 0200321321321x x x x x x x x x有非零解？零解。

普通高等教育“十一五”国家级规划教材大学数学系列线性代数标准化作业(A、B)吉林大学数学中心2012.9学院 班级 姓名 学号第 一 章 作 业（矩阵的运算与初等变换）1、计算题（1）()31,2,321⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）()211,2,13⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（3）()111213112312222321323333,,a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（4）12101031010101210021002300030003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.2、计算下列方阵的幂：（1）已知α=（1，2，3），β=（1，-1，2），A=αTβ，求A4;（2）已知024003000A=，求A n;3、通过初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：（1）3102 1121 1344;（2）21837 23075 32580 10320⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.4、用初等变换把下列矩阵化为标准形矩阵：（1）32131 21313 70518---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）11343 33541 22320 33421--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦.5、利用初等矩阵计算：（1）1111100111100010111010011222011---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）已知AX =B ，其中111213111213122122232122232231323331323332A=B=,a a a a a a a a a a ,a a a a a a a a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求X .6、设121132A=,B=,a b⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦若矩阵A与B可交换，求a、b的值.7、设A、B均为n阶对称矩阵，证明AB+BA是n阶对称矩阵.学院 班级 姓名 学号第 二 章 作 业（方阵的行列式）1、填空题（1）排列52341的逆序数是________,它是________排列； （2）排列54321的逆序数是________,它是________排列；（3）1~9这九数的排列1274i 56j 9为偶排列，则i_______， j _______； （4）4阶行列式中含有因子a 11a 23的项为________________； （5）一个n 阶行列式D 中的各行元素之和为零，则D =__________. 2、计算行列式21211132110xx x x xx展开式中x 4与x 3的系数.3、计算下列各行列式的值：（1）2116415012051422D--=----；（2）1111222111122211112221111222D=；（3）222b c c a a bD a b c a b c +++=；（4）3333333333333333a a D b b+-=+-；（5）102201202013D=.4、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m 、k 、1，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、5，且行列式的值为2，求m 、k 的值.5、设3阶矩阵1122,2,3A=B=αβγγγγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 其中α， β， γ1， γ2均为3维行向量，且|A |=18，|B |=2，求|A -B |.学院班级姓名学号第三章作业（可逆矩阵）1、填空题（1）设A＝100220345，A*为A的伴随矩阵，则(A*)1-=；（2）设A为4阶数量矩阵，且|A|=16，则A＝，1A＝，A*＝；（3）设A＝5200210000120011，则│A│＝，A1-＝；（4）设实矩阵A33⨯＝≠)(ija0，且011≠a，ijijAa=（ijA为ija的代数余子式），则│A│＝；（5）设A为2阶方阵，B为3阶方阵，且│A│＝1B＝21，则1(2)--O BA O＝.2、选择题（1）设同阶方阵A、B、C、E满足关系式ABC=E，则必有（）.（A）ACB=E；（B）CBA=E；（C）BAC=E；（D）BCA=E.（2）若A，B为同阶方阵，且满足AB＝0，则有（）.（A）A＝O或B＝O；（B）|A|＝0或|B|＝0；（C）(A＋B)2＝A2＋B2；（D）A与B均可逆.（3）若对任意方阵B，C，由AB=AC（A，B，C为同阶方阵）能推出B=C，则A满足（）.（A）A≠O；（B）A＝O；（C）|A|≠0；（D）|AB|≠0.（4）已知A为n阶非零方阵，若有n阶方阵B使AB＝BA＝A，则（）.（A）B为单位矩阵；（B）B为零方阵；（C）B1-＝A；（D）不一定.（5）若A，B，(B1-+A1-)为同阶可逆方阵，则(B1-+A1-)1-＝（）.（A）B1-+A1-；（B）B＋A；（C）(B+A)1-；（D）B(B+A)1-A.3、求下列矩阵的逆矩阵：（1）求1234113413440101A的逆矩阵；（2）求600000000012000023010000011000011100A的逆矩阵.4、已知210121012A，1223B，123421C =，求解下列矩阵方程：（1）AX=X+C; (2) AXB=C.5、设A为n阶可逆矩阵，将A的第i行和第j行对换后得矩阵B，试证：（1）B可逆；（2）求AB-1.6、设11221021512031311041A=⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A的秩.7、设矩阵10002300,04500067A=⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦且满足B=(E+A)-1(E-A)，求(E+B)-1.8、设A为nm⨯矩阵，B为mn⨯矩阵，且m＞n，试证|AB|＝0.学院班级姓名学号第四章作业（线性方程组与向量组的线性相关性）1、填空题（1）设β=（3，- 4），α1=（1，2），α2=（-1，3），则β表成α1，α2的线性组合为；（2）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t）线性相关，则t= ；（3）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t）的秩为3，则参数t应满足的条件是；（4）n元线性方程组Ax=0有非零解时，它的每一个基础解系所含解向量的个数均为；（5）设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且R(A)=n-1，则方程组Ax=0的通解为.（6）设线性方程组123123123220,20,20x x xx x xx x xλ-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩的系数矩阵为A，且存在3阶非零矩阵B使得AB=O，则λ=.2、选择题（1）设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则正确的结论是（）.（A ）α1，α2，α3线性相关； （B ）α1，α2，α3线性无关； （C ）α1可由β，α2，α3线性表示； （D ）β可由α1，α2线性表示. （2）设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）. （A ）α1，α2，α3 - α1； （B ）α1，α1+α2，α1+α3； （C ）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （D ）α1-α2，α2-α3，α3-α1.（3）设n 元线性方程组Ax =0，且R(A )=n -3，且α1，α2，α3为线性方程组Ax =0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax =0的基础解系为（ ）.（A ）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （B ）α2 -α1，α3 -α2，α1 -α3；（C ）2α2 -α1，12α3 -α2，α1 -α3； （D ）α1+α2+α3，α3--α2，-α1-2α3.（4）设α1，α2是n 元线性方程组Ax =0的两个不同的解向量，且R （A ）=n -1，k 为任意常数，则方程组Ax =0的通解为（ ）.（A ）k α1； （B ）k α2； （C ）k (α1-α2)； （D ）k (α1+α2). （5）设向量组α1，α2是方程组Ax =0的基础解系，β1，β2是方程组Ax =b的两个解向量，k 1，k 2是任意常数，则方程组Ax =b 的通解为（ ）.（A ）1211222k k -++x=ββαα;（B ）1211212();2k k ++-+x=ββααα（C ）1211212();2k k ++-+x=ββαββ （D ）1211212().2k k -+++x=ββααα （6）设非齐次线性方程组Ax =b 所对应的齐次线性方程组为Ax =0，则下面结论中正确的是（ ）.（A ）若Ax =0有唯一解，则Ax =b 必有唯一解； （B ）若Ax =0有唯一解，则Ax =b 必无解；（C ）若Ax =0有无穷多个解，则Ax =b 也有无穷多个解； （D ）若Ax =b 有无穷多个解，则Ax =0也有无穷多个解.3、设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Ax =b 的三个解向量，且R （A ）=3，其中T T 123(1,9,4,9),(2,0,0,4),ααα=+=求Ax =b 的通解.4、求解齐次线性方程组124512345123451234530,20,42650,2424160.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-+=⎪⎨-+-+=⎪⎪+-+-=⎩5、求解非齐次线性方程组123451234512345123453,233414,343211,48431.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++-+=-⎪⎪-+++=⎩6、设向量组12341111101121,,,,,2324335185a b a ααααβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦试问（1）当a 、b 为何值时，β能由α1，α2，α3，α4唯一线性表示？（2）当a 、b 为何值时，β不能由α1，α2，α3，α4线性表示？（3）当a 、b 为何值时，β能由α1，α2，α3，α4线性表示，但表示法不唯一，并写出表示式.7、已知4阶方阵A =（α1，α2，α3，α4），其中α1，α2，α3，α4均为4维的列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1 = 2α2 - α3， 如果β = α1 + α2 + α4，求线性方程组Ax =β的通解.8、求向量组123452313712024,,,,3283023743ααααα--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的秩，并求出它的一个极大无关组.9、设非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系为ξ1，ξ2，…，ξn-r，且η*为Ax=b的一个特解，试证ξ1，ξ2，…，ξn-r，η*线性无关.学院班级姓名学号第五章作业（方阵的特征值、特征向量与相似化简）1、填空题（1）A为幂零矩阵(A k＝O，k为正整数)，则A的特征值；（2）设A是n阶方阵，|A|＝5，则方阵B＝AA*的特征值是，特征向量是；（3）设4阶方阵A相似B，且A的特征值为1111 ,,,2345，则|B-1-E|=；（4）若λ是n阶方阵A的特征方程的单根，则R(A－λE)＝；（5）若n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a，则2A-1+E的一个特征值为.2、选择题（1）设三阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝（）.(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦；(B)100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；(C)000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；(D)000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（2）与矩阵100010002Λ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似的矩阵是（）.110100101110(A)010;(B)021;(C)020;(D)011.002001001002 ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3）矩阵A 与B 相似，则（ ）.(A) |A －λE | = |B －λE | ； (B) A －λE = B －λE ；(C) A 与B 与同一对角阵相似； (D) 存在正交阵P ，使得P －1AP ＝B .（4） n 阶方阵A 与某对角矩阵相似，则（ ）.(A) R(A )= n ； (B) A 有n 个不同的特征值；(C) A 是实对称阵； (D) A 有n 个线性无关的特征向量.（5）设矩阵001010100B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似A ，则R （A -2E ）+R （A -E ）= （ ）. (A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5.3、计算题（1）设α=（a 1，a 2，…，a n ）T ，（a 1≠0，n ＞1），A ＝ααT ，求A 的特征值和特征向量.（2）设3阶方阵A的特征值为1，－2，3，矩阵B＝A2－2A，求:①B的特征值；②B是否可对角化，若可以，试写出其相似对角形矩阵；③求|B|，|A－2E| .（3）在实数域上，设4阶实方阵A有两个不同的特征值，且满足条件AA T=2E，|A|＜0，求A*的两个特征值.（4）设有3阶方阵A满足A3-5A2+6A=O，且tr A=5，|A|=0，试求A的特征值，并判定A能否相似于对角矩阵，若能，求出相似的对角矩阵.（5）设A＝20002023a⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦与B＝10002000b⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，①求a，b；②求一个可逆矩阵C，使C－1AC＝B.（6）设三阶矩阵A满足Aαi＝iαi (i＝1,2,3)，其中列向量α1＝(1,2,2)T，α2＝(2,－2,1)T，α3＝(－2,－1,2)T，试求矩阵A.（7）设矩阵22082006A a⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于∧,求①a；②可逆矩阵P和对角矩阵∧，使P-1AP=∧.4、证明题（1）设实方阵A满足A T A=E，试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1（2）设A是n阶正交矩阵，且|A|＝－1，证明－1是A的一个特征值.学院班级姓名学号第六章作业（二次型与对称矩阵）1、填空题(1) 二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12+3x22－x32+2x1x2+2x1x3－3x2x3的矩阵是，秩是.(2)二次型f(x1，x2，x3)＝112323135(, , )246785xx x x xx⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的矩阵为.(3) 设122331,A B⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦λλλλλλ，则存在可逆矩阵P，使得P T AP=B，其中P =.(4) 二次型f(x1，x2，x3)＝2x12+x22+x32－2tx1x2+2x1x3正定时，t应满足的条件是.(5) 设A为实对称矩阵，且|A|≠0，则把二次型f＝x T Ax化为f＝y T A－1y的线性变换是x＝y.2、选择题(1) 实二次型f＝x T Ax为正定的充分必要条件是（）.(A) R (A ) = n ； (B) A 的负惯性指数为零； (C) |A | > 0 ； (D) A 的特征值全大于零.(2)设1111400011110000,,1111000011110000A= B=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B 的关系为（ ）. (A) 合同且相似； (B) 合同但不相似；(C) 相似但不合同； (D) 既不相似也不合同. （3）设矩阵320242025A=⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦正定，则相似的对角矩阵为（ ）.(A)1 210⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (B) 2010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (C) 147⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (D) 671⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. (4) 设A 、B 为n 阶正定矩阵，则（ ）是正定矩阵.(A) k 1A ＋k 2B ； (B) A *+B *； (C) A －1－B －1 ； (D) AB . (5) 设A =（a ij ）n ×n 为实对称矩阵，二次型211221()ni i in n i=f=a x a x a x +++∑为正定的充要条件是（ ）.（A ）|A |=0； （B ）|A |≠0； （C ）|A |＞0； （D ）|A |＜0.3、计算题(1) 已知二次型f(x1，x2，x3)＝5x12+5x22+cx32－2x1x2+6x1x3－6x2x3的秩为2，求c.(2) 设二次型f = 4x12+3x22+2x2x3+3x32.①求一个正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；②用配方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换；③用合同变换法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换.(3) 求一正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)＝5x12+5x22+3x32－2x1x2+6x1x3－6x2x3化为标准形，并指出f(x1，x2，x3)＝1表示何种二次曲面.(4) 求二次型f(x1，x2，x3)＝x12+3x32＋2x1x2+4x1x3+2x2x3的正、负惯性指数及符号差.(5) 设n元二次型f(x1，x2，…，x n)＝(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(x n-1+a n-1x n)2+(x n+a n x1)2其中a i(i=1,2,…,n)为实数，试问当a1，a2，…，a n-1，a n满足什么条件时，二次型f(x1，x2，…，x n)为正定二次型？4、证明题（1）设f(x1，x2，…，x n)＝x T Ax 是一实二次型，λ1，λ2，…，λn是A的特征值,且λ1≤λ2 ≤…≤λn.证明对于任一实n维列向量x有λ1x T x≤x T Ax≤λn x T x.（2）设A是n阶正定矩阵，证明|A＋2E|>2n.（3）设A m×n为实矩阵，若R（A）=n，试证A T A为正定矩阵.（4）设A为m阶的正定矩阵，B为m×n实阵，试证B T AB正定的充分必要条件是R（B）=n.学院班级姓名学号第七章作业（线性空间与线性变换）1、下列集合对于给定的运算是否构成实数域R上的线性空间，如果是，找出一个基，并求维数.（1）V0={x=(0,x2,…,x n)| x2,…,x n∈R},对于通常向量的加法和数乘；（2）V1={ x=(1,x2,…,x n)| x2,…,x n∈R},对于通常向量的加法和数乘；（3）全体n阶实矩阵集合R n×n，定义加法：∀A、B∈R n×n A⊕B＝AB－BA数乘：按通常的矩阵数乘.（4）S＝0bb a⎡⎤⎢⎥⎣⎦－a，b∈R（5）V={ x=(x1,x2,…,x n)| x1+x2+…+x n=0；x1, x2,…,x n∈R},对于通常向量的加法和数乘.2、全体实反对称矩阵的集合W,对于通常矩阵的加法和数乘是否构成R n×n 的子空间？为什么？3、求线性空间R 4中由向量组123421050121,,,10122311αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所生成的子空间的维数和一个基.4、求数域F 上三阶实对称矩阵在通常的矩阵的加法和数乘下构成的线性空间的基与维数.5、设线性空间R n×n中一组基101 11E⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，21011E⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，31101E⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，41110E⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求0123A⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦在这组基下的坐标.6. 已知1，x，x2，x3是R[x]4的一组基：(1) 证明1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3也是R[x]4的一组基；(2) 求由基1，x，x2，x3到基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3的过渡矩阵；(3) 求由基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3到基1，x，x2，x3的过渡矩阵；(4) 求a3x3＋a2x2＋a1x＋a0对于基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3的坐标.7、设R 3的两组基分别为1231000,1,0001εεε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 及 '''1231110,1,1.001εεε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦求R 3中的向量α=（a 1,a 2,a 3）T 分别在这两组基下的坐标.8、设有两组基ξ1＝(0，1，1)T , ξ2 = (1，0，1)T，ξ3 = (1，1，0)T；η1＝(1，0，0)T , η2 = (1，1，0)T，η3 = (1，1，1)T.求（1）由基ξ1，ξ2 ，ξ3到基η1，η2 ，η3的过渡矩阵C；（2）α＝η1＋3η2 ＋5η3关于基ξ1，ξ2 ，ξ3的坐标；β＝ξ1＋2ξ2 ＋3ξ3关于基η1，η2 ，η3的坐标.9、验证1231231,1,1032ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦为R 3的一个基，并求向量12590,8713ββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦在这组基下的坐标.10. 设R 3中由基α1，α2 ，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵为111111111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－－. (1) 若基α1 = (1，0，0) ，α2 = (1，1，0)，α3 = (1，1，1) ， 试求基β1，β2 ，β3；(2) 若基β1 = (0，1，1) ，β2 = (1，0，2)，β3 = (2，1，0)， 试求基α1，α2 ，α3.11. 在R[x]3中有三组基(1) 1，x，x2；(2) x＋1，x＋x2，x2；(3) 1，x－x2，x＋x2.α在基(1)下的坐标为(1，0，－1)T，β在基(2)下的坐标为(2，1，0)T，γ在基(3)下的坐标为(0，－1，1)T，求α＋β＋γ在基1，x，x2下的坐标，并求由基(2)到基(3)的过渡矩阵.12、已知R 3中的两个基分别为123001,,011a b c ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 及 123111,1,11y z x βββ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 且由基α1，α2 ，α3到基β1，β2 ，β3的过渡矩阵为111012020C=--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 试求a 、b 、c 、x 、y 、z .《线性代数A 》模拟试卷一、填空题（每小题3分、共计18分） （1） 设向量组123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα线性相关，则t=⎽⎽⎽⎽⎽.（2） 设向量11135135αβ(,,),(,,)，令ΑαβT =，则A = ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽. （3） 设22211223242f x tx x x x =+++为正定二次型，则 t 的取值范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.（4） 设A 、B 均为n 阶方阵，且|A | = 2，|B | = - 4，则12-ΑOO Β=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽. （5）设A 为5阶方阵，且满足A 2+A =E ，则R(A +E )= .（6） 设A 为n 阶可逆矩阵，将A 的i ， j 两行对换后得矩阵B ，则|AB -1|= _______. 二、单项选择题（每小题3分，共计18分）（1）设n 阶方阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则下面的结论正确的是（ ）. (A) ACB = E ； (B) CBA = E ； (C) BAC = E ； (D) BCA = E . （2）设向量β 能由α1，α2，α3 线性表示，但不能由α1，α2线性表示，则下面结论正确的是（ ）.（A ）α3不能由α1，α2线性表示，但能由β，α1，α2线性表示； （B ）α3不能由α1，α2线性表示，也不能由β ，α1，α2线性表示； （C ）α3能由α1，α2线性表示，但不能由β ，α1，α2线性表示； （D ）α3能由α1，α2线性表示，也能由β，α1，α2线性表示.（3）设A 为n 阶方阵，且R （A ）= n -1， α1，α2是Ax = 0的两个不同的解向量k 为任意的常数，则Ax = 0的通解为（ ）.（A ）k α1； （B ）k α2； （C ）k （α1-α2）； （D ）k （α1+α2）.（4）设有4阶方阵A 满足条件 |A +3E | = 0，T 2=AA E ，，|A |﹤0, 则（ ）为A *的一个特征值.（A ） 4； （B ）-3； （C ）43； （D ）34.（5）已知矩阵123246369A，2461234812B ，1100010101P ，2010100001P ， 则B =（ ）.（A ）AP 1P 2； （B ）P 2P 1A ； （C ）P 1P 2A ； （D ）P 1A P 2.（6）设4阶行列式的第2列元素依次为2、m 、k 、3，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第3列元素的代数余子式依次为3、1、4、2，且行列式的值为1，则m 、k 的值为（ ）.（A ）4、2； （B ）-4、2； （C ）4、-2； （D ）-4、-2. 三、计算题（每小题6分，共计36分）1、设三阶方阵A 、B 满足关系式16,ΑΒΑΑΒΑ且32,1Β求A .2、验证1231231,1,1032ααα为R 3的一个基，并将12580,9713ββ用这个基线性表示.3、已知矩阵20000101Ax 与20000001B y 相似，求x ,y . 4、 设四元线性方程组Ax = b ,且R （A ）= 3，已知123,,ααα是其三个解向量，其中 1232200,1134ααα，求Ax = b 的通解.5、已知向量组α1，α2，α3线性无关，若α1+2α2，4α2+k α3，3α3+2α1线性相关，求k .6、设矩阵A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦11221021512031311041 求R(A )及A 的列向量组的一个极大无关组.四、（12分）已知4阶方阵A =（α1，α2，α3，α4），其中α1，α2，α3，α4均为4维的列向量，并且α2，α3，α4线性无关，而3α1= -2α2-α3，若β=α1+α2+α3+α4，求Ax =β 的通解.五、（10分）已知矩阵A 2112413x y -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦有三个线性无关的特征向量，λ=2是A 的二重特征值，求一个正交矩阵P 使P -1AP =Λ.六、（6分）设有3阶实对称矩阵A 满足A 2-2A =0，已知R (A )=2.①写出用正交变换将二次型f =x T (A +E )x 化成的标准形（不需求出所用的正交变换）；②判断二次型f =x T (A +E )x 的正定性；③令B = A +E ，试判断B 的列向量组的线性相关性.《线性代数A 》模拟试卷一、填空题（每小题3分、共计18分） （1） 设向量组123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα线性无关，则t ⎽⎽⎽⎽.（2） 设向量11(1,3,5),(1,,)35αβ，令ΑαβT =，则A n = ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽. （3） 设22211223242f x tx x x x =+++为正定二次型，则 t 的取值范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.（4） 设A 、B 均为3阶方阵，且|A | = 2，|B | = - 4，则|2A *B -1|=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽. （5） 设A 为3阶方阵，且满足A 2-A =E ，则R （A -E ）= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.（6） 设3阶矩阵A 可相似于对角矩阵，且A 的每行元素之和都等于3，R (A )=1，则a 11+a 22+a 33= ________.二、单项选择题（每小题3分，共计18分）（1）设n 阶方阵A 、B 、C 满足CAB =E ，则下面的结论正确的是（ ）. (A) ACB = E ； (B) CBA = E ； (C) BAC = E ； (D) ABC = E .（2）已知β 可由α1，α2，α3线性表示，而β不能由α1，α2线性表示，则下面结论正确的是（ ）.（A ）α3 能由α1，α2，β 线性表示，也能由α1，α2线性表示； （B ）α3 能由α1，α2，β 线性表示，但不能由α1，α2线性表示； （C ）α3不能由α1，α2，β 线性表示，也不能由α1，α2线性表示； （D ）α3不能由α1，α2，β 线性表示，但能由α1，α2，线性表示.（3）已知正定矩阵 400031013Α,⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则与A 相似的对角矩阵为（ ）. （A ） 156-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（B ）244⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（C ）460⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（D ）117⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （4） 设A 为m ×n 矩阵，Ax =0是非齐次线性方程组Ax =b 所对应的齐次线性方程组 ，则下面结论正确的是（ ）. （A ） 若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解； （B ） 若Ax =b 有无穷多组解，则Ax =0只有零解； （C ） 若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多组解； （D ） 若Ax =b 有无穷多组解，则Ax =0有非零解. （5）已知矩阵123246369A，246123123B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1100010201P ，2010100001P。

《线性代数》作业一、选择题1．如果D=333231232221131211a a a a a a a a a ，则行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a 的值应为： A ． 6D B ．12D C ．24D D ．36D 答案：（1）、ylitw2008 （2）↑↑↑微信↑↑↑ （3）智金宝资料库2．设A 为n 阶方阵，R （A ）=r<n,那么：A ．A 的解不可逆B ．0=AC.A 中所有r 阶子式全不为零D. A 中没有不等于零的r 阶子式 3．设n 阶方阵A 与B 相似，那么：A ．存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1B ．存在对角阵D ，使A 与B 都相似于DC ．E B E A λλ-=-D ．B A ≠4．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则131211332332223121333231323232a a a a a a a a a a a a ---等于A ． 6B ． -9C ．-3D ．-6 5．设矩阵n m ij a A ⨯=)(，m<n,且R （A ）=r,那么：A ．r<mB ．r<nC ．A 中r 阶子式不为零D ．A 的标准型为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0E ， 其中E 为r 阶单位阵。

6．A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是：A ．nA1-λ B ．A λ C ．A 1-λD ．nA λ7．如果⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=++050403z y kx z y z ky x 有非零解，则k 应为：____________。

A ． k =0B ． k =1C ． k =2D ． k =-2 8．设A 是n 阶方阵，3≥n 且2)(-=n A R ，*A 是A 的伴随阵，那么：___________。

A ． 0≠*AB ． ()0R A *= C ． 1-*=n AA D ． 2)(≤*A R9．设A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=AX 仅有零解的充要条件是：A ． A 的列向量线性无关B ． A 的列向量线性相关C ． A 的行向量线性相关D ． A 的行向量线性相关10．如果⎝⎛=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k 应为：________。

《线性代数》作业《线性代数》作业第⼀章1、求排列(2n)(2n-1)…(n+1)1 2…(n -1)n 的逆序数。

解：后⾯是正常顺序，逆序出现在前n 个数与后n 个数之间，2n 的逆序数是2n-1，2n-1的逆序数是2n-2，……，n+1的逆序数是n ，所以整个排列的逆序数是(2n-1)＋(2n-2)＋……＋n ＝n(3n-1)/22、求排列246......(2n)135……(2n-1)的逆序数。

解析：后⼀项⽐前⼀项的算逆序⼀次，246......(2n)⽆逆序，所以从1开始，有246......(2n)共N 个，3开始有46......(2n)有N-1个，.......，.2n-1有⼀个，所以，加⼀起得，逆序数为1+2+......+N=N （N+1）/2N=n+(n-1)+......+2+1=n(n+1)/23、试判断655642312314a a a a a a ，662551144332a a a a a a -，662552144332a a a a a a -是否都是六阶⾏列式中的项。

解a 14a 23a 31a 42a 56a 65 下标的逆序数为 t （431265）=0+1+2+2+0+1=6所以655642312314a a a a a a 是六阶⾏列式中的项。

662551144332a a a a a a -下标的逆序数为 t （452316）=8所以662551144332a a a a a a -不是六阶⾏列式中的项。

662552144332a a a a a a -下标的逆序数为t(452316)=8所以662552144332a a a a a a -不是六阶⾏列式中的项。

4、已知4阶⾏列式D 中的第3列上的元素分别是3，-4，4，2，第1列上元素的余⼦式依次为8，2，-10，X ，求X 。

解：X=205、设15234312a a a a a j i 是5阶⾏列式的⼀项，若该项的符号为负，则 i= 5 ,j= 4 。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

（0343）《线性代数》网上作业题及答案1：第一次作业2：第二次作业3：第三次作业4：第四次作业5：第五次作业1：[论述题]行列式部分主观题参考答案：主观题答案2：[单选题]8.已知四阶行列式D中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D的值等于A:5B:-10C:-15参考答案：C主观题答案3：[单选题]7.行列式A的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a的代数余子式是：A:29B:-29C:0参考答案：B主观题答案4：[单选题]6.排列3721456的逆序数是：A:6B:7C:8参考答案：C主观题答案5：[单选题]5.行列式A的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A的值等于0，则k的取值应是：A:k=3B:k=1C:k=3或k=1参考答案：C主观题答案6：[单选题]3.有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：A:4B:2C:5参考答案：C主观题答案7：[单选题]4.有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），则该行列式的值是：A:9B:-1C:1参考答案：B主观题答案8：[单选题]2.有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：A:-11B:7C:3参考答案：A主观题答案9：[单选题]1.有二阶行列式，其第一行元素是（1，3），第二行元素是（1，4），该行列式的值是:A:-1B:1C:7参考答案：B1.参考答案：《周易》对中国古代数学发展的影响主要表现在以下三个方面:第一，易数在各领域的广泛应用和发展；第二，《周易》对中国古代数学家知识结构的影响；第三，《周易》对中国古代数学思维方式的影响。

中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院线性代数 课程作业1（共 4 次作业） 学习层次：专升本 涉及章节：第1章 ——第2章1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）21141183---；（2）a b cb c a c a b。

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）4 1 3 2； （2）1 4 6 2 3 5。

3.利用行列式性质计算下列各行列式：（1）4124120210520117；（2）ab ac ae bdcd de bf cfef---。

4.用克莱姆法则解下列方程组：12312312320,21,23;x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩5．设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 123124051B ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求 32AB A - 及T A B 。

6．计算下列乘积：(1)431712325701⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)()31,2,321⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；(3)()211,23⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭。

7．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =。

8．求下列矩阵的逆矩阵：(1)1225⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭。

9．解下列矩阵方程：(1) 25461321X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2) 142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

参考答案1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）201 141 183---；解201141183--=-2(4)30(1)(1)118⨯-⨯+⨯-⨯-+⨯⨯0132(1)81(4)(1)-⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-248164=-++-=4-。

（2）a b cb c ac a b。

解a b cb c ac a bacb bac cba bbb aaa ccc=++---3333abc a b c=---。

《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

线性代数（专升本）综合作业答案综合作业1. (判断题) (本题1.0分)A、正确B、错误学⽣答案： B标准答案：B解析：得分： 12. (判断题) (本题1.0分)A、正确B、错误学⽣答案： A标准答案：A解析：得分： 13. (判断题) (本题1.0分)A、正确B、错误学⽣答案： B标准答案：B解析：得分： 14. (单选题) ⾏列式中元素的代数余⼦式为( )(本题1.0分)A、B、C、D、学⽣答案： B标准答案：A解析：得分： 05. (单选题) 矩阵的逆矩阵为( )(本题1.0分)C、D、学⽣答案： C标准答案：D解析：得分： 06. (单选题) 阶⽅阵,若,则中( )(本题1.0分)A、必有⼀列元素全为零B、必有两列元素对应成⽐例C、必有⼀列向量是其余列向量的线性组合D、任⼀列向量是其余列向量的线性组合学⽣答案： C标准答案：C解析：得分： 17. (单选题) 设为矩阵,为阶可逆⽅阵,,⽽,则( )(本题1.0分)A、B、C、D、与的关系不定学⽣答案： C标准答案：A解析：得分： 08. (单选题) 阶⽅阵具有个不同的特征值是与对⾓矩阵相似的( )(本题1.0分)A、充分必要条件B、充分⽽⾮必要条件C、必要⽽⾮充分条件D、既⾮充分也⾮必要条件学⽣答案： A标准答案：B解析：得分： 0B、是负定矩阵C、是半正定矩阵D、不定学⽣答案： A标准答案：A解析：得分： 110. (单选题) 设⾏列式则⾏列式 ( )(本题1.0分)A、B、 1C、 2D、学⽣答案： C标准答案：A解析：得分： 011. (单选题) 设A为n阶⽅阵,将A的第1列与第2列交换得到⽅阵B,若,则必有( )(本题1.0分) A、B、C、D、学⽣答案： C标准答案：C解析：得分： 112. (单选题) 设,则⽅程的根的个数为( )(本题1.0分)A、0B、 1C、 2D、 3学⽣答案： D 标准答案：B 解析：得分： 013. (单选题) 设⾏列式D==3,D 1=D 、 15 学⽣答案： D 标准答案：C 解析：得分： 014. (单选题) 已知4阶⾏列式D 第⼀⾏的元素依次为1,1,0,2,它们对应的余⼦式分别为2,3,6,0,则D= ( )(本题1.0分)A 、 5B 、 0C 、 -1D 、 1 学⽣答案： A 标准答案：C解析：得分： 015. (单选题) 设,则的常数项为( )(本题1.0分)A、0B、 1C、 2D、-1学⽣答案： D标准答案：A解析：得分： 016. (单选题) ⾏列式中第4⾏各元素的代数余⼦式之和为( )(本题1.0分)A、 1B、0C、 3D、 4学⽣答案： D标准答案：B解析：得分： 017. (单选题) 已知⾏列式=0,则数a=( )(本题1.0分)A、 1B、 3C、-3D、018. (单选题) 设A是4阶⽅阵,且det(A)=4,则det(4A)=( )(本题1.0分)A、44B、45C、46D、47学⽣答案： B标准答案：B解析：得分： 119. (单选题) 已知A2+A+E=0,则矩阵A-1=( )(本题1.0分)A、A+EB、A-EC、-A-ED、-A+E学⽣答案： D标准答案：C解析：得分： 020. (单选题) 设矩阵A,B,C,X为同阶⽅阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=( )(本题1.0分)A、A-1CB-1B、CA-1B-1C、B-1A-1CD、CB-1A-1学⽣答案： A标准答案：A解析：得分： 121. (单选题) 设A是s×n 矩阵(s≠n),则以下关于矩阵A的叙述正确的是( )(本题1.0分)A、A T A是s×s对称矩阵B、A T A=AA TC、(A T A)T =AA T得分： 122. (单选题) 下列等式中,正确的是( )(本题1.0分)A、B、C、D、学⽣答案： B标准答案：D解析：得分： 023. (单选题) 下列矩阵中,是初等矩阵的为( )(本题1.0分)A、B、C、D、学⽣答案： B标准答案：C解析：得分： 024. (单选题) 设A、B均为n阶可逆矩阵,且是( )(本题1.0分)A、B、C、D、学⽣答案： B标准答案：C解析：得分： 025. (单选题) 设A为3阶矩阵,A的秩r(A)=3,则矩阵A*的秩r(A*)=( )(本题1.0分)A、0B、 1标准答案：D解析：得分： 126. (单选题) 设⽅阵A满⾜A5=E,则必有( )(本题1.0分)A、A=EB、A=-EC、|A|=1D、|A|=-1学⽣答案： C标准答案：C解析：得分： 127. (单选题) 设A为n阶⽅阵,则下列结论中不正确的是( )(本题1.0分)A、A T A是对称矩阵B、AA T是对称矩阵C、E+A T是对称矩阵D、A+A T是对称矩阵学⽣答案： C标准答案：C解析：得分： 128. (单选题) 设向量=(-1,4),=(1,-2),=(3,-8),若有常数a,b使a-b-=0,则( )(本题1.0分) A、B、a=-1,b=2C、a=1,b=-2D、a=1,b=2学⽣答案： D标准答案：A解析：得分： 029. (单选题) 设矩阵,那么矩阵A的列向量组的秩为( )(本题1.0分)A、 3D、0学⽣答案：未答题标准答案：B解析：得分： 030. (单选题) 设1,2,3,4,5是四维向量,则( )(本题1.0分)A、l,2,3,4,5⼀定线性⽆关B、l,2,3,4,5⼀定线性相关C、5⼀定可以由1,2,3,4线性表出D、1⼀定可以由2,3,4,5线性表出学⽣答案： B标准答案：B解析：得分： 131. (单选题) 向量组=(1,2,0),=(2,4,0),=(3,6,0),=(4,9,0)的极⼤线性⽆关组为( )(本题1.0分)A、,B、,C、,D、,学⽣答案：未答题标准答案：A解析：得分： 032. (单选题) 设向量组α1,α2,α4线性相关,则( )(本题1.0分)A、α1,α2,α3,α4中⾄少有⼀向量为零向量B、α1,α2,α3,α4中⾄少有两个向量成⽐例C、α1,α2,α3,α4中⾄少有⼀个向量可由其余向量线性表⽰D、α1,α2,α3,α4中每⼀个向量都可由其余向量线性表⽰学⽣答案： C 标准答案：C解析：得分： 133. (单选题) 设α1,α2,α3,α4为三维向量,已知α1,α2,α3,线性⽆关,⽽α2,α3,α4线性相关,则( )(本题1.0分)A、α1必可由α2,α3,α4线性表出B、α2必可由α1,α3,α4线性表出C、α3必可由α1,α2,α4线性表出D、α4必可由α1,α2,α3线性表出解析：得分： 034. (单选题) 设A是n阶⽅阵|A|=0,则下列结论中错误的是( )(本题1.0分)A、r(A)B、A必有两⾏元素成⽐例C、A的n个⾏向量线性相关D、A有⼀个列向量可由其余n-1个列向量线性表出学⽣答案：未答题标准答案：B解析：得分： 035. (单选题) 设向量α=(1,-2,3)与β=(2,k,6)正交,则数k为( )(本题1.0分)A、-10B、-4C、 4D、10学⽣答案： D标准答案：D得分： 136. (单选题) 矩阵A的⾏向量组的秩是a,列向量组的秩是b,矩阵A的秩是c,则( )。

作业1 行列式矩阵基础运算1 / 25 单选题（4分）正确答案 BA9B10C11D122 / 25 单选题（4分）正确答案 CA4312B51432C45312D6543213 / 25 单选题（4分）正确答案 C若是5阶行列式中带有正号的一项,则的值是( ).ABCD4 / 25 单选题（4分）正确答案 D设为阶行列式,则在行列式中的符号为( ).A正B负CD5 / 25 单选题（4分）正确答案 B行列式,. 若,则的取值为( ).ABCD6 / 25 单选题（4分）正确答案 A设为行列式中元素()的代数余子式,则( ). A0B1C2D37 / 25 单选题（4分）正确答案 A行列式( ).A0B1C2D38 / 25 单选题（4分）正确答案 B 行列式( ).ABCD9 / 25 单选题（4分）正确答案 C 排列的逆序数是( ).A10B11C12D1310 / 25 单选题（4分）正确答案 D行列式( ).A10B20CD11 / 25 单选题（4分）正确答案 C行列式( ).A20B200C2000D2000012 / 25 单选题（4分）正确答案 D行列式( ).A30B50C70D9013 / 25 单选题（4分）正确答案 D行列式( ).ABCD14 / 25 单选题（4分）正确答案 C行列式( ).A512B1024C1536D204815 / 25 单选题（4分）正确答案 C阶行列式( ).ABCD16 / 25 单选题（4分）正确答案 A为阶方阵,为阶单位矩阵,则下面等式正确的是( ). ABCD17 / 25 单选题（4分）正确答案 CABCD18 / 25 单选题（4分）正确答案 C设阶方阵的伴随矩阵为,且,则( ).ABCD19 / 25 单选题（4分）正确答案 BAB,则称为的逆矩阵CD方阵可逆的充分必要条件是20 / 25 单选题（4分）正确答案 B设方阵经若干次初等变换变成方阵,则必成立( ). AB若,则C若,则D21 / 25 判断题（4分）标准排列是偶排列.( )正确错误正确答案正确22 / 25 判断题（4分）正确错误正确答案正确23 / 25 判断题（4分）( ) 正确错误正确答案错误24 / 25 判断题（4分）正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）一个阶行列式与一个阶行列式,必不相等.( )正确错误正确答案错误作业2 矩阵性质向量基本运算1 / 25 单选题（4分）正确答案 C设和均为阶矩阵,则必有( ).ABCD2 / 25 单选题（4分）正确答案 D设均为阶方阵,且,则必有( ).ABCD3 / 25 单选题（4分）正确答案 B为阶矩阵,下列运算正确的是( ).AB若可逆,,则CD4 / 25 单选题（4分）正确答案 C为阶方阵,则( ).A或可逆必有可逆B与都可逆,必有可逆C或不可逆,必有不可逆D与都不可逆,必有不可逆5 / 25 单选题（4分）正确答案 DA非零矩阵的秩必大于零B如果阶方阵可逆,则的秩为C如果可逆,则D如果不可逆,则6 / 25 单选题（4分）正确答案 D设矩阵,且矩阵的秩,则( ). ABCD7 / 25 单选题（4分）正确答案 DA若且,则B若,则或C若,则D若,则8 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为3阶方阵,且,则( ).A1BCD9 / 25 单选题（4分）正确答案 B设是矩阵,且,而,则( ).A1B2C3D410 / 25 单选题（4分）正确答案 B设阶方阵都是非零矩阵,若,则与的秩( ). A必有一个等于B都小于C一个小于,一个等于D都等于11 / 25 单选题（4分）正确答案 A已知,满足,则( ).ABCD12 / 25 单选题（4分）正确答案 B已知,,则( ).ABCD13 / 25 单选题（4分）正确答案 D设向量组Ⅰ:可由向量组Ⅱ:线性表示,则( ). A当时,向量组Ⅱ必线性相关B当时,向量组Ⅱ必线性相关C当时,向量组Ⅰ必线性相关D当时,向量组Ⅰ必线性相关14 / 25 单选题（4分）正确答案 B向量组的秩为,则必有( ).ABCD15 / 25 单选题（4分）正确答案 A线性相关的向量组的秩为,则必有( ).ABCD16 / 25 单选题（4分）正确答案 C线性无关的向量组的秩为,则必有( ).ABCD以上均有可能17 / 25 单选题（4分）正确答案 D维向量组线性无关的充要条件是( ). A中任何两个向量都线性无关B存在不全为零的个数,使得C中存在一个向量不能用其余向量线性表示D中任何一个向量都不能用其余向量线性表示18 / 25 单选题（4分）正确答案 D设向量组的秩为,则( ).A必有B向量组中任意个数小于的部分组线性无关C向量组中任意个向量线性无关D若,则向量组中任意个向量必线性相关19 / 25 单选题（4分）正确答案 BA不含零向量的向量组一定线性无关B含有零向量的向量组一定线性相关C不含零向量的向量组一定线性相关D含有零向量的向量组一定线性无关20 / 25 单选题（4分）正确答案 C设向量组线性无关,则下列向量组中线性相关的是( ). ABCD21 / 25 判断题（4分）若,则或.( )正确错误正确答案错误22 / 25 判断题（4分）若均为阶方阵,则有.( )正确错误正确答案错误23 / 25 判断题（4分）若,且,则有.( )正确错误正确答案错误24 / 25 判断题（4分）若均为阶方阵,则有.( )正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）若阶方阵的秩为,则的伴随矩阵的秩也为.( )正确错误正确答案正确作业3 向量组的线性相关性方程组可解性判断1 / 25 单选题（4分）正确答案 B设为维向量组,且秩为(),则( ).A线性无关B线性相关C任一向量都可以表示为其余向量的线性组合D任一向量都不可以表示为其余向量的线性组合2 / 25 单选题（4分）正确答案 C若向量组线性无关,向量组线性相关,则( ).A必可由线性表示B必不可由线性表示C必可由线性表示D必不可由线性表示3 / 25 单选题（4分）正确答案 C若矩阵中个列向量线性无关,则的秩( ).A大于B大于C等于D等于4 / 25 单选题（4分）正确答案 C至多为( ).A1B2C3D45 / 25 单选题（4分）正确答案 CA若向量与正交,则对任意实数,与也正交B若向量与向量都正交,则与的任一线性组合也正交C若向量与正交,则,中至少有一个是零向量D若向量与任意同维向量正交,则是零向量6 / 25 单选题（4分）正确答案 A若为阶方阵,,则齐次线性方程组的基础解系含有的解向量个数为( ).BCD不确定7 / 25 单选题（4分）正确答案 A设矩阵,方程组仅有零解的充分必要条件是( ).A的列向量组线性无关B的列向量组线性相关C的行向量组线性无关D的行向量组线性相关8 / 25 单选题（4分）正确答案 B齐次线性方程组,其中为矩阵,且,是该方程组的三个线性无关的解向量,则下列选项中哪个是的基础解系( ).ABCD9 / 25 单选题（4分）正确答案 B已知是非齐次线性方程组的两个不同解,是其对应的齐次线性方程组的基础解系,为任意常数,则方程组的通解为( ).ABCD10 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为阶方阵,且的秩,是的两个不同的解,则的通解为( ).BCD11 / 25 单选题（4分）正确答案 D已知齐次线性方程组有非零解,则为( ).A3B4CD12 / 25 单选题（4分）正确答案 D设为阶方阵,且的秩,则的基础解系( ).A仅有唯一向量B有有限个向量C有无限个向量D不存在13 / 25 单选题（4分）正确答案 D为阶方阵,则可逆的充要条件是( ).A任一行向量都是非零向量B任一列向量都是非零向量C有解D14 / 25 单选题（4分）正确答案 D元线性方程组有唯一解的充要条件是( ).ABC为方阵且D,且可由的列向量线性表示15 / 25 单选题（4分）正确答案 D设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A若仅有零解,则有唯一解B若有非零解,则有无穷多个解C若有无穷多个解,则仅有零解D若有无穷多个解,则有非零解16 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为4元非齐次线性方程组的三个解向量,且,若,,为任意常数,则线性方程组的通解为( ).ABCD17 / 25 单选题（4分）正确答案 B若方程组无解,则( ).A1BCD18 / 25 单选题（4分）正确答案 D设是齐次线性方程组的一个基础解系,则该方程组的基础解系也可以是( ). A用表示出的向量组B与秩相同的向量组C与等价的一个向量组D与等价的一个线性无关向量组19 / 25 单选题（4分）正确答案 C与向量都正交的全部向量为( ).ABCD20 / 25 单选题（4分）正确答案 B若为阶方阵,,则齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为( ).A1B3CD21 / 25 判断题（4分）若两个维向量组等价,则这两个向量组的秩相等.( )正确错误正确答案正确22 / 25 判断题（4分）若两个维向量组的秩相等,则这两个向量组等价.( )正确错误正确答案错误23 / 25 判断题（4分）量.( )正确错误正确答案错误24 / 25 判断题（4分）若向量组线性相关,则必含有零向量.( )正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）若向量组线性无关,则必不含有零向量.( )正确错误正确答案正确作业4 线性方程组求解矩阵对角化1 / 25 单选题（4分）正确答案 D设是的特征值,则矩阵的一个特征值为( ).ABCD2 / 25 单选题（4分）正确答案 C设是非奇异矩阵的特征值,则矩阵有一个特征值为( ).ABCD3 / 25 单选题（4分）正确答案 C已知3阶矩阵的三个特征值分别为,则( ).ABCD4 / 25 单选题（4分）正确答案 C设是方阵的一个特征值,则矩阵的一个特征值为( ).ABCD5 / 25 单选题（4分）正确答案 A如果矩阵与相似,则( ).ABCD6 / 25 单选题（4分）正确答案 C已知3阶方阵的特征值分别为,,则( ).A3BCD17 / 25 单选题（4分）正确答案 C3阶方阵的特征值分别为,,则的特征值为( ). ABCD8 / 25 单选题（4分）正确答案 D已知与相似,则( ).A1B2C3D69 / 25 单选题（4分）正确答案 D三阶方阵的特征值为,则的特征值为( ).ABCD10 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为阶可逆矩阵,是的一个特征值,则的伴随矩阵的特征值之一是( ). ABCD11 / 25 单选题（4分）正确答案 B若是矩阵的特征值,则( ).A0B1C2D312 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为阶方阵,且为的个特征值,与相似,则( ).A0BCD13 / 25 单选题（4分）正确答案 D若为阶正交矩阵,则( ).A0B1CD14 / 25 单选题（4分）正确答案 B若方阵相似,则下列结论不正确的是( ).A的秩必定相等B均可逆C必定等价D的行列式必定相等15 / 25 单选题（4分）正确答案 B若方阵可对角化,则满足的条件为( ).ABCD16 / 25 判断题（4分）若,则方程组仅有零解.( )正确错误正确答案错误17 / 25 判断题（4分）若方程组有非零解,则方程组有无穷多解.( ) 正确错误正确答案错误18 / 25 判断题（4分）若方程组有无穷多解,则方程组有非零解.( ) 正确错误正确答案正确19 / 25 判断题（4分）若,则的列向量都是方程组的解.( )正确错误正确答案正确20 / 25 判断题（4分）若,则的列向量都是方程组的解.( )正确错误正确答案错误21 / 25 判断题（4分）若是阶方阵的一个特征值,则.( )正确错误正确答案正确22 / 25 判断题（4分）设,则的内积等于0.( )正确错误正确答案正确23 / 25 判断题（4分）若为正交矩阵,则也是正交矩阵.( )正确错误正确答案正确24 / 25 判断题（4分）若可对角化,则必定可逆.( )正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）若可逆,则必可对角化.( )正确错误正确答案错误作业5 二次型1 / 20 单选题（5分）正确答案 A二次型的秩为2,则( ).A0B1C2D32 / 20 单选题（5分）正确答案 B实二次型的秩为2,则( ).A0B1C2D33 / 20 单选题（5分）正确答案 B设是正定矩阵,则应满足的条件是( ). ABCD4 / 20 单选题（5分）正确答案 B已知矩阵为正定矩阵,则一定满足条件( ).ABCD5 / 20 单选题（5分）正确答案 C矩阵正定,则满足( ).ABCD6 / 20 单选题（5分）正确答案 B二次型正定,则满足( ).ABCD7 / 20 单选题（5分）正确答案 C二次型为正定二次型,则满足( ).ABCD8 / 20 单选题（5分）正确答案 C若二次型为正定二次型,则应该满足条件( ).ABCD9 / 20 单选题（5分）正确答案 C二次型的矩阵是( ).ABCD10 / 20 单选题（5分）正确答案 C矩阵对应的二次型是( ).ABCD11 / 20 单选题（5分）正确答案 A已知方阵合同,则( ).A必定等价B必定相似C都可逆D都不可逆12 / 20 单选题（5分）正确答案 C二次型,下列哪个是它的标准型( ). ABCD13 / 20 单选题（5分）正确答案 D二次型的规范型为( ).ABCD14 / 20 单选题（5分）正确答案 A若是阶正定矩阵,则( ).A必为正定矩阵B必为负定矩阵C必为半正定矩阵D必为半负定矩阵15 / 20 单选题（5分）正确答案 B二次型的正定性是( ). A正定B负定C半正定D半负定16 / 20 判断题（5分）二次型的矩阵一定是对称矩阵.( )正确错误正确答案正确17 / 20 判断题（5分）若正定,则必定可逆.( )正确错误正确答案正确18 / 20 判断题（5分）若可逆,则必为正定矩阵.( )正确错误正确答案错误19 / 20 判断题（5分）正确错误正确答案正确20 / 20 判断题（5分）正确错误正确答案错误。

《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1） 二阶行列式2a abbb=___________。

（2） 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。

（3） 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。

（4） 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。

（5） 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。

答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2a b -；4.3333x y z xyz ++-；5.4abc 。

【2】选择题（1）若行列式12513225x-=0，则x=（）。

A -3；B -2；C 2；D 3。

（2）若行列式1111011x x x=，则x=（）。

A -1，； B 0， C 1， D 2，（3）三阶行列式231503201298523-=（）。

A -70；B -63；C 70；D 82。

（4）行列式00000000a ba b b a ba=()。

A 44a b -；B ()222a b-；C 44b a -；D 44a b 。

（5）n 阶行列式0100002000100n n -=（）。

A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()11!n n +-∙。

答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。

【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。

【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。

答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。