数值分析(16)牛顿-柯特斯求积公式

教案一 牛顿－科特斯（Newton-Cotes ）求积公式基本内容提要1 数值积分的基本思想2 代数精度的概念3 牛顿－科特斯求积公式及其余项4 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学目的和要求1 理解机械型求积公式的意义及代数精度的概念2 掌握插值型求积公式基本思想及基本的牛顿－科特斯求积公式: 梯形求积公式、辛普森(Simpson)求积公式或抛物线求积公式、牛顿求积公式、柯特斯求积公式及其余项公式3 了解牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学重点1 插值型求积公式的基本思想2 牛顿－科特斯求积公式的构造过程3 分析牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性4 低阶牛顿－科特斯求积公式及其积分余项公式教学难点1 数值积分公式代数精度概念的理解和应用2 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性的证明课程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入我们可以构造一个多项式近似代替某个未知函数或复杂函数。

据此，可以推导用来近似计算该未知函数或复杂函数的定积分或导数的公式。

这就是数值积分与数值微分的基本内容.推导积分和导数的数值计算公式的重要性是显而易见的。

以定积分的计算为例，要计算定积分∫b a dx x f )( 理论上可以用Newton-Leibniz 公式： ()()()ba f x dx Fb F a =−∫其中)(x F 是被积函数的某个原函数。

但对很多实际问题，上述公式却无能为力。

这是因为：1） 被积函数)(x f 的原函数理论上存在，但无法知道它可用于计算的表达式,如2x e sin ,x x等初等函数。

2） 被积函数)(x f 本身没有可用于计算的表达式，而仅仅是一种数表函数，即只知道该函数在部分特殊点的函数值。

因此，借助于插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一。

§3.1 牛顿-柯特斯求积公式3.1.1 数值积分的基本思想首先利用积分中值定理：()()(),[,]ba f x dx fb a a b ξξ=−∈∫导出矩形求积公式、梯形求积公式。

牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是数值分析中重要的求积公式之一，它可以用于近似计算定积分的值。

牛顿-柯特斯公式是利用插值多项式的积分公式，在积分节点选取相同的情况下，通过不同的插值多项式形式，可以达到不同的精度要求。

牛顿-柯特斯公式的一般形式可以表示为：∫[a,b]f(x)dx = w_0f(x_0)+w_1f(x_1)+...+w_nf(x_n)+R_n其中，x_0, x_1,...,x_n 是n+1个等距节点，a = x_0 < x_1< ... < x_n = b，f(x)是要求积分的函数，w_i是相应的权重系数，R_n是余项，用于表示估计误差。

牛顿-柯特斯公式的权重系数w_i和余项R_n与插值多项式的形式有关。

下面将介绍牛顿-柯特斯公式的一些常见形式。

1. 矩形公式当n = 0时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)f(a)这个公式称为矩形公式或矩形法则。

它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。

2. 梯形公式当n = 1时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+f(b))/2]这个公式称为梯形公式或梯形法则。

它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。

3. 辛普森公式当n = 2时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b))/6]这个公式称为辛普森公式或辛普森法则。

它的准确度为二阶，即误差为O((b-a)^3)。

4. 三点闭合公式当n = 3时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+3f(a+h)+3f(b-h)+f(b))/8]其中，h = (b-a)/3。

这个公式的准确度为三阶，即误差为O((b-a)^4)。

通过不断增加插值节点的数量n，可以得到更高阶的牛顿-柯特斯公式。

一、 填空 1.某数值方法算得6sin π的值为t=0.500012,则t 具有 位有效数字. 2. 设)(x l k 是以40}{==k kk x 为节点的拉格朗日插值基函数，则=∑=4)(k kk kl .3. 牛顿-柯特斯求积公式⎰∑=≈bank k k x f A dx x f 0)()(，则∑=nk kA= .4.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2021012a a A ，为使A 可分解为TLL A =，其中L 是对角元素为正的下三角矩阵，则a 的取值范围是 .5. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111,232221413x A ，则∞Ax = . 6. 求5的牛顿迭代格式为 .7. 在区间[0,1]上满足5.2)1(,5.1)0(==y y 的0次拟合多项式曲线是 .1. 为提高数值计算精度，当||x 充分小时，应将1-x e 改写为2. n ＋1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度至少为________次。

3. 拟合三点(0,1)，(1,3)，(2,2)的直线方程是 。

4. SOR 方法收敛的必要条件：松弛因子ω满足条件_________。

6. 设)(ij a A =为n ×n 矩阵，则1A =___ _____。

7. 判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否）211001)1(0)(233≤≤<≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧-+=x x x x x x x f － ( )8. 求解方程x =g (x )根x *的牛顿迭代公式为二、(8分) 对于四舍五入得到的近似数100.0*,001.0*,105.3*321==-=x x x ，估计下列近似值的相对误差限:***3211x x x y ++=，***3212x x x y = 三、（12分）已知)(x f 的函数表为(1) 试求)(x f 在[0,4]上的Hermite 插值多项式)(x H ，使之满足下列条件 )2,1,0(),()(==k x f x H k k 且21)(1='x H . (2) 试推导余项)()()(x H x f x R -=的表达式.四、(6分) 求解如下方程组的最小二乘解（只需列出法方程，不必求解）.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1175315111961541321321x x x 五、（12分）数值积分公式形如：)1()0()1()0()(1f D f C Bf Af dx x xf '+'++≈⎰确定求积公式中的系数D C B A 、、、使其代数精度尽可能高，指出所得公式的代数精度. 该公式的积分余项是多少？并用此公式计算积分⎰=22cos πxdx x I .六、（10分）对于下列两个方程，(1) 4sin cos x x x +=, (2) xx 24-=，问能不能用迭代法求解？如果不能，试将方程改写成能用迭代法求解的形式，并说明理由. 七、（8分）试用高斯列主元素法求解线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------61423 1505395111076242314321x x x x 八、（12分）用迭代公式)()()()1(b Ax x x k k k -+=+α求解b Ax =，若⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2123A ， 问α取何值迭代收敛？二、(8分) 计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？三、（12分）求出一个次数不高于4次的Hermite 插值多项式)(x P ，使它满足0)0(')0(==P P ，1)1(')1(==P P ，1)2(=P ，并推出余项表达式。