表面等离极化激元(SPP)基本原理

kspp

m d c m d
SPP的激发需要同时满足能量和动量守恒。由于其色散关系位于光线的右侧，因而 SPP不能由入射光直接来激发。
1968年Otto采用衰减全反射（ATR)的方法首次实现光波与表面等离 子体的耦合；A.otto,Z,Physik216,398(1968) 随后，Otto方法被Kretschmann作了进一步的改进（Kretschmann方 式）;E.Kretchmann,Z,Physik 248,313(1971)
2
) E (t )
ne2 这里， , 称为金属的等离子体频率（Plasma Frequency）， 0m
2 p
它所对应的介电函数（ p）=0,进而可以得到金属介电函数的表达式为：
）=1（
2 p
2 i
如果写为（ ）= （ 1 ）+i 2 ( ), 则
b. 动力学衍射模型
2004 年，Lezec 和Thio 针对增强透射现 象也提出了一个类似的模型——消逝波复 合衍射（CDEW，Composite Diffracted Evanescent Waves）模型[36]，他们也认 为增强透射效应本质上就是光的散射过程。 如图2-4 所示，光入射在样品表面时，就 会被小孔（或狭缝）都散射为可以自由传 播的辐射波（蓝线）和只能沿表面传播的 消逝波（红线）；这些消逝波在表面则进 行相干叠加（如图2-4 所示）。他们认为， 在小孔（或狭缝）的入口处，如果消逝波 干涉加强，则可导致透射极大；如果干涉 相消，则对应于透射极小。如果某一消逝 波和SPP模式匹配就可激发表面等离激元， 所以SPP也是消逝波，但SPP只是众多消 逝波中的一分子，其作用也是微不足道的。 为了证明增强透射和SPP没有直接的联系， 他们还用非金属材料作了对比实验，并观 测到了增强透射效应，只是强度比金属材 料低得多，他们将此归因于所用材料对光 有强烈散射造成的。
2 2 p 1 ( ) 1 1 2 2 2 p 2 ( ) 1 (1 2 2 )
当w<wp时，金属的介电函数的实部是负数。当w>wp时，由于wτ >>1， 其介电损耗就可以忽略，此时的介电常数是以正数，金属就完全变成了 电介质，这就是著名的Drude模型推导的介电函数的表达式，金属的电磁 性质它都可以反映出来。但实际中的金属往往都存在带间跃迁，从而引 起介电函数的虚部在相应的频率范围内增大。如果希望更准确地描述金 属的介电性质，则必须在原来的基础上加入带间跃迁的影响，也就是将 Drude模型修正为Drude-Lorentz模型
i ( K , )
0
如果波长明显大于金属的特征长度（如电子平均自由程），金属对光波德介 电响应可以只考虑对频率有依赖性，即 (K 0, ) () 。当金属的结构单元 小于电子平均自由程时，比如一些极小尺寸的金属针尖，就要考虑到介电函 数对空间位置的色散关系。我们习惯吧介电函数和电导率写为复数的形式：
棱镜耦合
波导耦合(J.Homola,Analy. Bioanaly.Chem.377(3),528(2003))：将金属薄膜做 在光波导的一侧；当波导模的传播常数与SPP相匹配时，金属外侧的SPP即可 被共振激发。 光栅耦合：当光波入射到金属光栅表面时，由于散射和干涉作用，衍射波得以 产生，其切向波矢分量由光栅的倒格矢提供，在特定波长处，某一阶衍射波刚 好与spp匹配，表面等离激元能够被有效地激发。
表面等离子体激元（SPP）是电磁波河金属表面的电子耦合，电子在金属/ 电介质界面上作集体振荡，它是一种表面波，其能量是沿着金属的表面传播， 垂直于金属表面的方向能量是指数衰减的。 其中，alpha_d,alpha_m分别满足 下面的关系
2 2 k 2 d k0 d 2 2 k 2 m k0 m
2
2
c2
E
(1)横波时，K.E=0,其色散关系为
K (K , )
2
2
c2
(2) 纵波时,K.E=KE,则：
( K , ) 0
这表面只有在某一个频率下，介电函数为0，电子的振荡为集体纵振荡， 此对应着金属中体等离激元的激发，下面会继续讨论。
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我们知道，在凝胶模型中，金属可以看成是以正离子为背景的电荷密度为n的 自由电子。金属中的电子在外加电磁场的驱动下振动，其运动阻尼主要来自 电子间的碰撞，电子连续两次碰撞的时间为称为弛豫时间τ ，室温下金属中 的电子的弛豫时间约为10e-14s，而弛豫时间的倒数被称为电子的特征碰撞频 率。在外电场E的驱动下，电子的运动可以写为：
除此以外，利用近场光学显微镜，金属表面的缺陷结构等都可以激发spp
Part 2
我们知道，在透镜成像的过程中，由于衍射效应的存在，物点所成的像实为一 衍射光斑（Airy斑）。这一光斑的大小约为波长的二分之一，这就是通常所谓的 “分辨极限”。为突破衍射极限，1944年，Bethe 针对理想导电且又无限薄的 金属屏上的亚波长小孔，推导出了一个确切的透射率的表达式（正入射）
D( K , ) 0 ( K , ) E ( K , ) J (K ,) (K ,)E(K , )
D( K , ) 0 ( K , ) E ( K , ) J (K ,) (K ,)E(K , )
(K , ) 1
因为我们考虑的都是线性材料，而且处理问题的尺度都远大于材料本 身的晶格常数，所以可以认为材料是均匀的，以及材料对外界信号的 响应时非局域化的，金属对光学信号的响应具有频率依赖性，所以我 们把其响应函数写成如下形式：
D （r,t）= 0 dt ' dr ' (r r ', t t ') E (r ', t ') J (r, t ) dt ' dr ' (r r ', t t ') E (r ', t ')
( ) 1 ( ) i 2 ( ) ( ) 1 ( ) i 2 ( )
可以看出电导率的实部对应介电函数的虚部代表吸收， 而电导率的虚部对应于介电函数的实部表示极化强度的大小
如果没有外界的激励源，Maxwell方程组的行波解形式可以写为：
2 D E 0 2 t K ( K E ) K E ( K , )
物理机制的讨论： （1）表面等离子体激元模型 （2）动力学衍射模型
（3）双波模型
a.表面等离子体激元模型
诚然，Ebbesen 等人的观点既合乎常理，又能解释部分实验事实。尤其是SPP 在其中起着至关重要的作用，这不能不让人感到兴奋。因而，SPP 模型得到广泛 的认同和接受。不过，在解释一些实验事实上，SPP 却遇到了困难。比如，理论所 预言的透射峰的位置与实验测量并不相符（通常要小10%左右）；而且，透射峰的宽 度也比SPP 共振大得多；另外，理论研究还表明，穿孔的理想金属膜（或非金属膜） 也能产生类似的增强透射现象，而它却不支持SPP。这样，SPP 模型受到了一些人 的强烈反对。为此，双方展开了激烈的争论。 首先，Treacy 发表文章认为Appl.Phys.Lett.75,606(1999)&Phys.Rev.B,66,195105 (2002)]，金属光栅中的增强透射效应可完全依据动力学衍射理论来解释；SPP 仅仅 是衍射波场的固有组成部分，因而不起任何独立的作用。他对一维金属光栅作了理论 计算并得到了类似的透射特征，但结果未能与实验比较。2002 年，Cao 等再次指出 [Q.Cao and P.Lalanne, Phys. Rev.Lett,88,057403(2002)]，在一维金属光栅的透射中， SPP 实际上起着一个负效应。这一点与Lochbihler 在较早时提出的观点一致 [H.Lochbihler,Phys.Rev.B,50,4795(1994)]；
应该指出，早期的实验数据以及结论未必全都可信。这在很大程度上与测量 所带来的误差大小有关，也与当时实验资料的占有程度有关。比如，后来的工作 就表明，透射峰的位置不仅与周期有关，而且还与孔的大小、形状有关。近来， 原作者之一Thio 撰文指出[T.Thio, American Scientist94,40(2006)]，上面的增强 因子被严重高估。原因在于，实际所用的孔径比名义上的数值（d =150nm）要 大得多。翻开他们同一年在PRB上发表的文章（见原文[13]中的图1）就可发现， 小孔的直径差不多要有300nm。这样一来，增强因子就从600 减为区区的不到10 了！
利用电磁场边界条件,可得
d / m d / m
kspp

m d c m d
对于TE偏振，计算无解。也就是说，TE偏 振不能形成表面模。所以看出，spp的存在 条件有二。首先，为了使电磁场能够局域于 金属的表面，alpha_d和alpha_m都应该为 正值，那么epsilon_d和epsilon_m互为异号。 这就要求界面的一侧为具有负介电常数的材 料，比如金属。其次，为了能使得spp能够 沿着金属表面传播，kspp应为实数，这就要 求epsilon_d+epsilon_m<0.
64 2 a 4 T ( )( ) 27
可以看出，一个明显的特征是，透射谱中出现了一系 列的峰、谷结构。除了 位于紫外（λ = 326nm，对应于体plasmon 频率）的 透射峰以外，在长波长的范 围内还有两组突出的透射极大（1000nm、1370nm） 和透射极小（900nm、1270nm）。尤其让人感到惊 奇的是，后一个透射峰位于1370nm；此波长约为小 孔直径的10倍。而且，其透射效率为4.4%；如果对 小孔的占空比（2.2%）进行归一化，则相对透射率 将达到2。这意味着，将有两倍于直接入射到小孔上 的光能够被透射；或者说，有一部分光即使没有入射 到小孔上也能被透射。而根据Bethe 的理论，这样大 的小孔，其透射效率充其量也不过3.4e−3。据此可知， 小孔阵列能够产生近600 倍的透射增强。 此外，他们还测试了透射谱对一些参数（如周期、孔径、膜厚及金属材料等） 的依赖关系，并发现了一些共同的特征。如:透射峰的位置决定于周期，而 与孔径、膜厚及金属的种类无关；透射峰的宽度决定于孔径与膜厚的比，孔径 越大、膜厚越小，则峰越宽；而且，透射峰的高度依赖于膜厚，膜越厚，则峰 越低。另外，至关重要的一点是，薄膜必须为金属膜；如果是非金属材料，则 无透射增强效应。
现在讨论w>wp的情况。 当w很大时， wτ>>1，金属的介电函数可以忽略虚 部只考虑实部，可以近似为：
2 p ( ) 1 2
2 2 p K 2 c2
当w>wp，则允许电磁波以群速度 vg=dw/dK<c在金属中传播。当w=wp时， epsilon(w)=0,它所对应的激发必然是电子的 集体纵振动。因为D=0，可以知道电场在wp 是一个纯粹的退极化场E=-P/epsilon0.其运 动状态可以想象为：离子是一块固定的正电 薄板，而电子行成的电子层相对薄板会作来 回不停地纵振动。
Part 1：从Maxwell 方程组出发：
D B 0 B E t D H J t
D 0 E P H 1
0
BM t
P ,同时考虑电荷守恒 J=得到： J
P , 此外还有一个重要的公式： J= E t
mx m x eE 如果外电场的振动是简谐的， E(t)=E 0 e it , 可得到： x(t ) e E (t ) 2 m( i )
由于极化强度P=-nex，所以 ne 2 P E (t ) 2 m( i ) D 0 (1
2 p
i