二次函数根的分布
一、简单的三种类型
利用Δ与韦达定理研究)0(02
≠=++a c bx ax 的根的分布
（1）方程有两个正根⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=>-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b
（2）方程有两个负根⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=<-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b
（3）方程有一正一负根0<⇔
a
c
例1.若一元二次方程0)1(2)1(2
=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
例2.k 在何范围内取值，一元二次方程0332
=-++k kx kx 有一个正根和一个负根
二、其它几种类型
借助函数图像研究)0(02
≠=++a c bx ax 的根的分布
设一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两实根为1x ，2x ，且12x x ≤。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布
（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干类型：
（1）⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
>->≥-=∆⇔≤b k af a
c b x x k 20)(04221【图例】
b
a
k f
a b x 2
)( k
解析：发现无论开口向上或向下，)(k f 与a 的值都是同号的.
例3.若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m 的取值范围.
（2）⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<->≥-=∆⇔<≤k a
b k af a
c b k x x 20)(04221【图例】
解析：发现无论开口向上或向下，)(k f 与a 的值都是同号的.
（3）21x k x <<⇔0)(解析：要保证两根分布于k 的两边，观察发现两种情况都是)(k f 与a 异号.
例4.方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围.
(4) 11x k <2k <⇔0)()(21a
(f
(5) 112122,k x k p x p <<<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧<>><<0
)(0
)(0)(0
)(021
21p f p f k f k f a
例5.若关于x 的方程x 2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围.
(6)2211k x x k <≤<，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆212
1220
)(0)(004k a b k k f k f a ac b
例4.已知关于x 的方程223230x x m -+-=的两根都在［－1，1］上.求实数m 的取值范围.
针对练习
1.关于x 的方程m 2x +(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m 的取值范围是（ ）
A.(-41, +∞)
B.(-∞,-41)
C.[-41，+∞]
D.(-4
1
,0)∪(0,+∞)
2.若方程2x -(k+2)x+4=0有两负根，求k 的取值范围.
3.若方程01222=-+-t tx x 的两个实根都在2-和4之间，求实数t 的取值范围.
4.若关于x 的方程kx 2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k 的取值范围.
5.已知集合26
{|
1,},{|220,}1
A x x R
B x x x m x R x =≥∈=-+<∈+. （1）当{|14}A B x x =-<
