直线和圆锥曲线常考题型
运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22
x x y y
x ++=
=，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，
则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB ===
=
或者AB =
==
= 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-
两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =r r
g
4、韦达定理：若一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a
+=-=。 常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22
:
14x y C m
+=始终有交点，求m 的取值范围
解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22
:
14x y C m +=过动点04m ≠（，且，如
果直线:1l y kx =+和椭圆22
:
14x y C m
+=14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：
:101l y kx =+⇒过定点（，） :(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）
题型二：弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2
y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x
=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2
2
4
2
(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2
1
04
k <<
② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22
211
(,)22k k k
--。 线段的垂直平分线方程为：
221112()22k y x k k k --=--令y=0,得0
21122x k =-，则211
(,0)22
E k - ABE ∆Q 为正三角形，∴2
11
(
,0)22
E k -到直线AB 的距离d 为32AB 。 2
2
1212()()AB x x y y =-+-Q 22
141k k -=+g 212k d k
+= 222
23141122k k k k k -+∴+=g 解得3913k =±满足②式此时0
53
x =。 题型三：动弦过定点的问题
例题3、已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为3，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
解：（I）由已知椭圆C的离心率
3
c
e
a
==，2
a=,则得3,1
c b
==。从而椭圆的方程为
2
21
4
x
y
+=
（II）设
11
(,)
M x y，
22
(,)
N x y，直线
1
A M的斜率为
1
k,则直线
1
A M的方程为
1
(2)
y k x
=+，由1
22
(2)
44
y k x
x y
=+
⎧
⎨
+=
⎩
消y
整理得222
121
(14)161640
k x k x k
+++-=
1
2x
-
Q和是方程的两个根，
2
1
12
1
164
2
14
k
x
k
-
∴-=
+
则
2
1
12
1
28
14
k
x
k
-
=
+
，
1
12
1
4
14
k
y
k
=
+
，即点M的坐标为
2
11
22
11
284
(,)
1414
k k
k k
-
++
，
同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为
2
22
22
22
824
(,)
1414
k k
k k
--
++
12
(2),(2)
p p
y k t y k t
=+=-
Q12
12
2
k k
k k t
-
∴=-
+
，Q直线MN的方程为：121
121
y y y y
x x x x
--
=
--
，
∴令y=0，得2112
12
x y x y
x
y y
-
=
-
，将点M、N的坐标代入，化简后得：
4
x
t
=
又2
t>
Q，∴
4
02
t
<4
3
t
∴=，即
43
t=
故当
43
3
t=时，MN过椭圆的焦点。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A、B、C是椭圆E：
22
22
1
x y
a b
+=(0)
a b
>>上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O，且0
AC BC=
u u u r u u u r
g，2
BC AC
=
u u u r u u u r
，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点
P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线3
x=对称，求直线PQ的斜率。
