推荐：考研数字题库与资料 2014年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α
，α
1
1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）
（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2
10
【详解】α
ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2
11
21
1x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121
α
α
所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是
（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2
（C ）x
x y 1sin
+= （D ）x x y 12
sin +=
【详解】对于x
x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01
==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =
应该选（C ）
3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）
（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然
x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹
的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当
0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
4．曲线⎩⎨⎧++=+=1
472
2t t y t x ,
上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）
（Ａ）
5010（Ｂ）100
10 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式3
21)'("y y K +=
，曲率半径K
R 1
=
． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122t
t t dx y d -=-
=，
对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10
10113
2=
+=)'("y y K ，曲率半径10101
==
K
R ． 应该选（C ）
5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→2
2
x
x ξlim
（ ）
（Ａ）1 （Ｂ）
32 （Ｃ）21 （Ｄ）3
1 【详解】注意（1）2
11x
x f +=
)('，（2）)(arctan ,3
3310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=
211ξξ，2
2
)
(arctan arctan x x x -=ξ， 31313
33
020
2
2
=+-
-=-=→→→x
x o x x x x x x
arx x x x x x )
()(lim )
(arctan tan lim
lim
ξ
． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足
02≠∂∂∂y x u
及02
222=∂∂+∂∂y u
x u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；
（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；
