2014年数学二真题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1 : 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
• • •
1 ________________________________________ (1)当X 0时，若In (1 2x)，(1 cosx)—均是比X咼阶的无
2
(A) (2, )(B) (1,2)(C)(2,1)
(D)囲)
⑵下列曲线中有渐近线的是()
(A) y x sin x (B) 2 .
y x sin x
(C) y x sin 1 x (D) y 2 . 1
x sin
x
⑶设函数f( x)具有2阶导数，g(x) f(0)(1 x) f(1)x，贝y 在区间［0,1］上( )
(A)当f(x)0 时，f (x) g(x) (B)当f (x) 0时，
f(x) g(x)
(C)当f(x) 0 时，f (x) » g(x) (D)当f (x) 0时，f(x) g(x)
⑷丄 2
曲线x t2 y t27上对'
4t 1
应于t 1的点处的曲率半径是
3
2
4
(D) 5.10
(D )1 (6)设函数u(x,y)在有界闭区域D 上连续，在D 的内部
2
2
2
具有2阶连续偏导数，且满足」0及-u -4 0，则
x y
x y
( )
(A) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) u(x,y)
的最大值和最小值都在D 的内部上取得
(C)
u(x,y)
的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的
边界上取得
(A)
10 50
■ 10 100
(C) 10.10
(5) 设函数 f (x) arctan x ,
f(x) xf ()
,
lim 2 x 0
x 2
(A)
1
(叫 (C)1
(D)u(x, y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得
5
2 6
(C) a 2d 2
b 2e 2
(D) b 2e 2
a 2d 2
(8)设
1, 2,
3
均为3维向量，则对任意常数k,l ,向量 组
1
k 3, 2
l 3
线性无关是向量组
无 关 的
要条件
非必要条件
1、填空题：9： 14小题,每小题4分,共24分.请将 答案写在答题纸指定位置上.
• • •
dx
2x 5
(10)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且
f(x) 2(x 1), x [0,2]
，贝V f(7)
_________________
.
⑺
行
列
(
)
(A)
2
(ad bc)
0 a b 0 式
a 0 0
b 0
c
d 0
c
0 0 d
(A)必要非充分条件 (B)充分非必 (C)充分必要条件 (D)既非充分也
((9)
(B) (ad be)2
7
(11) 设z z(x,y)是由方程e
2yz
x y 2 z 4
确定的函数，则
dz
(2$ --------------------------------------------------------------
.
(12) 曲线r r()的极坐标方程是r ，则L 在点
(r ，)(-.-)
处的切线的直角坐标方程是 _______________ .
(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间［0,1］上，若其 线密度 x x 2
2x 1 ,则该细棒的质心坐标
x _________________
.
(14) 设二次型 f x 1
,x,,x 3
x ,
2
x,2
2ax ,
x 4乂2
冷的负惯性指
数为1,则a 的取值范围为 ________ .
三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在 答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过
• • •
程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
(16)(本题满分10分)
已知函数y y x 满足微分方程x 2
y 2y 1 y ，且y 2 0 ,
求极限
x lim
1
X 2 t t e ' 1 t dt
1
x 2ln 1
丄
x
8
求y x 的极大值与极小 值.
(17) (本题满分10分) 设平面区域D
xsin 、x 2 y 2 dxdy .
D x y
(18) (本题满分10分)
设函数f (u)具有二阶连续导数, 三乍
(4z excosy)e2x
，若
f(0) 0'f
(0) 0
，
(19)(本题满分10分) 设函数f(x),g(x)的区间［a,b ］上连续，且f(x)单调增
加，0 g(x) 1.证明: (I) 0 a
g(t)dt x a,x [a,b],
(20)(本题满分11分)
f 1(x) f(x), f 2(x) f(f 1(x)), L f n (x) f(f n 1(x) ),L
，记 S n
是由曲线 y 围
成平面图形的面积，求极限
x, y 1
x 2 y
4,x 0, y 0 ,
计算
z f (e x cosy)满足 f
(u)
的表达式.
(II)
g(t)dt
a
f(x)dx f (x)g(x)dx . 设函数 f(x) —,x 0,1
1 x
定义函数列 f n (x)
，直线x 1及x 轴所
lim nS n
n
