(完整版)二项式定理

二项式定理二项式定理是高中数学的重要内容之一、它是一个基本的公式，用来展开二项式的幂次。

在代数学中有广泛应用，并在组合数学、高等数学等领域中发挥了重要作用。

本文将介绍二项式定理的概念、基本公式以及一些常见的应用。

一、二项式定理的概念和基本公式二项式定理的概念：二项式定理是用来展开二项式的幂次的公式。

简而言之，就是把形如(a+b)^n的表达式展开成多项式的形式。

基本公式：根据二项式定理，我们可以得到二项式的展开式。

对于(a+b)^n，其中a和b为任意实数，n为非负整数，根据二项式定理，展开式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,k)a^(n-k)b^k+...+C(n,n)b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。

C(n,k)可以用组合数公式计算得到：C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)C(n,k)即为"n choose k"，读作"n中取k"。

二、二项式定理的应用1.二项式定理的应用于计算：二项式定理可以用于计算各种二项式的展开式，特别是高次幂的情况。

通过展开式，我们可以计算出结果，以及每一项的系数。

例如，我们可以用二项式定理来计算(a+b)^4的展开式为：(a+b)^4 = C(4,0)a^4 + C(4,1)a^3b + C(4,2)a^2b^2 + C(4,3)ab^3 + C(4,4)b^4= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^42.二项式定理的应用于排列组合问题：二项式定理在排列组合问题中也有广泛的应用。

对于排列组合问题，可以使用组合数来解决。

而组合数又可以使用二项式定理来计算。

例如，我们要从n个元素中选取k个元素，所有可能的方案数可以用组合数C(n,k)表示。

由于组合数可以用二项式定理来计算，我们可以直接得到结果。

二项式定理所有公式二项式定理啊，这可是高中数学里挺重要的一部分呢！咱们先来说说二项式定理到底是啥。

二项式定理就是指$(a+b)^n$ 展开后的式子。

这里面就有一系列的公式。

比如说，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b +3ab^2 + b^3$ 。

那如果是更高次幂呢，像$(a+b)^4$ 、$(a+b)^5$ 等等，展开就会更复杂一些。

咱们来具体看看二项式定理的通项公式：$T_{r+1} = C_{n}^r a^{n-r}b^r$ 。

这里的 $C_{n}^r$ 叫做二项式系数，计算方法是 $C_{n}^r =\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 。

给大家讲个我之前遇到的事儿吧。

有一次我在课堂上讲二项式定理，有个学生就特别迷糊，怎么都弄不明白这个系数是怎么来的。

我就给他举了个例子，说假如咱们要从 5 个不同的苹果里选 2 个，有多少种选法？这其实就和二项式系数的计算是一个道理。

咱们先算5 的阶乘，就是 5×4×3×2×1，然后 2 的阶乘是 2×1，3 的阶乘是 3×2×1，用 5 的阶乘除以 2 的阶乘和 3 的阶乘的乘积，就能得到从 5 个里选 2 个的组合数，这就和二项式系数的计算是一样的思路。

这学生听了之后，恍然大悟，后来做这类题就很少出错啦。

再来说说二项式定理的性质。

二项式系数具有对称性，就是说$C_{n}^r = C_{n}^{n-r}$ 。

而且二项式系数的和是 $2^n$ ，也就是当$a = b = 1$ 时，$(1 + 1)^n = 2^n$ 。

在解题的时候，二项式定理用处可大啦。

比如求展开式中的特定项，或者求系数之和等等。

咱们拿个具体的题目来看看。

比如说求 $(2x - 1)^6$ 展开式中$x^3$ 的系数。

那咱们先根据通项公式，$T_{r+1} = C_{6}^r (2x)^{6-r} (-1)^r$ ，要得到 $x^3$ ，那 $6 - r = 3$ ，所以 $r = 3$ 。

二项式定理公式大全一、二项式定理基本公式。

1. 二项式定理。

- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，n∈N^*。

- 例如，当n = 3时，(a +b)^3=C_3^0a^3b^0+C_3^1a^2b^1+C_3^2a^1b^2+C_3^3a^0b^3。

- 计算各项系数：- C_3^0=(3!)/(0!(3 - 0)!)=1- C_3^1=(3!)/(1!(3 - 1)!)=(3!)/(1!2!)=3- C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=(3!)/(2!1!)=3- C_3^3=(3!)/(3!(3 - 3)!)=1- 所以(a + b)^3=a^3+3a^2b + 3ab^2+b^3。

2. 二项展开式的通项公式。

- 二项式(a + b)^n展开式的第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n - kb^k（k =0,1,·s,n）。

- 例如，在(x + 2)^5中，其通项公式为T_k + 1=C_5^kx^5 - k2^k。

当k = 2时，T_3=C_5^2x^5 - 22^2。

- 计算C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=(5×4)/(2×1)=10- 所以T_3=10x^3×4 = 40x^3二、二项式系数的性质。

1. 对称性。

- 在二项式(a + b)^n的展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。

- 例如，在(a + b)^5的展开式中，C_5^1=C_5^4，C_5^2=C_5^3。

- 计算C_5^1=(5!)/(1!(5 - 1)!)=5，C_5^4=(5!)/(4!(5 - 4)!)=5；C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=10，C_5^3=(5!)/(3!(5 - 3)!)=10。

完整版)二项式定理知识点及典型题型总结二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b +。

+ C(n,n)b^n (n∈N*)2、几个基本概念1）二项展开式：右边的多项式叫做(a+b)^n的二项展开式2）项数：二项展开式中共有n+1项3）二项式系数：C(n,r) = n!/r!(n-r)!4）通项：展开式的第r+1项，即T(r+1) = C(n,r) * a^(n-r) * b^r3、展开式的特点1）系数都是组合数,依次为C(n,1)。

C(n,2)。

…。

C(n,n)2)指数的特点①a的指数由n到0(降幂)。

②b的指数由0到n（升幂）。

XXX和b的指数和为n。

3)展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。

4、二项式系数的性质：1）对称性: 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.2）增减性与最值: 二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项取得最大值C(n,n/2)当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值C(n,(n-1)/2)C(n-1.m) = C(n。

m) + C(n。

m-1)C(n,0) + C(n,1) +。

+ C(n,n) = 2^n3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 C(n,0) - C(n,2) + C(n,4) -。

= 2^(n-1)二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“(a+b)^n”型的展开式例1．求(3x+2y)^42．“(a-b)^n”型的展开式例2．求(3x-2y)^43．二项式展开式的“逆用”例3．计算1-3C(n,1) + 9C(n,2) - 27C(n,3) +。

+(-1)^n*3nC(n,n)二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素例4．已知((-ax)/(9x^2+1))^9的展开式中x^3的系数为9，常数a的值为1/32．确定二项展开式的常数项例5．(x-3/x)^10展开式中的常数项是2433．求单一二项式指定幂的系数例6．(x^2-3y)^6中x^3y^3的系数为-540三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．(x-1)^-1(x-1)^2(x-1)^3(x-1)^4(x-1)^5的展开式中，x^2的系数等于-101.展开式中，求(x-2)(x^2+1)^7展开式中x^3的系数。

可编辑修改精选全文完整版高中数学知识点总结---二项式定理1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n n n n C C 最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组11111(,+-+-+⎩⎨⎧≤≤⎩⎨⎧≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.⑷如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢？其中,,,N r q p ∈且n r q p =++把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n r n C b a C -+)(，另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为r q p q r n r n c b a C C -.其系数为r r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=!!!!)!(!)!()!(!!. 2. 近似计算的处理方法.当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时，常用近似公式na a n +≈+1)1(，因为这时展开式的后面部分n n n n na C a C a C +++ 3322很小，可以忽略不计。

二项式定理知识点总结资料
二项式定理是代数学中的一个重要定理，它用于计算任意正整数指数的二项式的展开式。

二项式定理的数学表达式为：
(a+b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... +
C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n
其中，n为任意正整数，a和b为实数或变量，C(n,k)表示组合数，计算公式为：
C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)
该公式表示从n个不同元素中选择k个元素的组合数。

二项式定理的主要思想是将二项式展开为一系列的项，并且每一项的指数和为n，系数为组合数。

通过这种方式，可以计算出任意正整数指数的二项式的展开式。

二项式定理的应用包括：
1. 计算二项式系数。

通过使用二项式定理可以计算出任意两个数之和的平方的展开式，从而得到二项式系数的计算公式。

2. 计算多项式。

通过使用二项式定理可以计算出任意正整数指数的多项式的展开式，从而可以计算多项式的值。

3. 计算概率。

二项式定理可以用于概率计算中的二项分布，通过计算二项分布的概率可以进行概率统计。

4. 解决组合问题。

通过使用二项式定理可以解决组合问题，包括计算排列组合、计算不重复抽样、计算置换组合等。

二项式定理是代数学中的一项重要定理，它可以用于计算任意正整数指数的二项式的展开式，以及解决一系列与组合相关的问题。

第十三讲二项式定理（全面版）资料二项式定理一、知识点1. ⑴二项式定理：nn n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n rn n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大；II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大. ③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n nn n n n C C C C C C C C二、典型例题例1.已知（1－3x ）9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于A.29B.49C.39D.1例2.（2x +x ）4的展开式中x 3的系数是 A.6B.12C.24D.48例3.（2x 3－x1）7的展开式中常数项是 A.14B.－14C.42D.－42例4.已知（x 23+x 31-）n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________.（以数字作答）例5.若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________. 例6 如果在（x +421x）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.例7求式子（｜x ｜+||1x －2）3的展开式中的常数项.例8设a n =1+q +q 2+…+q 1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C nn a n .（1）用q 和n 表示A n ； （2）（理）当－3<q <1时，求lim ∞→n nn A 2.例9 求（a －2b －3c ）10的展开式中含a 3b 4c 3项的系数.三、练习题1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20B.219C.220D.220－12.已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是 A.28B.38C.1或38D.1或283.（x －x1）8展开式中x 5的系数为_____________.4.若（x 3+xx 1）n 的展开式中的常数项为84，则n =_____________5.已知（x x lg +1）n 展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x 的值.二项式定理（第一课时）理脉络1.二项式定理：这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有项，其中各项的系数叫做二项式系数. 注：（1）(a+b)n的二项展开式具有以下特点：①它有n+1项；②各项的次数都等于二项式的幂指数n；③式中a的指数由n开始按降幂排列到0，b的指数由0开始按升幂排列到n；各项的系数依次是。

二项式定理【知识梳理】(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n.这个公式称为二项式定理，1.等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式2.(a＋b)n的二项展开式有n＋1项3.其中每项系数C r n(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数，4.C r n a n－r b r称为二项展开式的第r＋1项，又称为二项式通项即：Tr+1=C r n a n－r b r（注意区别二项式系数和展开式中项的系数）【解题方法】求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致【题型归纳】1．二项式定理主要解决了三类问题，①是求二项式的展开式；②是求二项式的某些特定项；③是二项式系数与项的系数问题．2．在求解二项式的某项系数时，要注意某项的系数与某项的二项式系数之间的区别.【典例解析】1.求413⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式，二项式系数和、各项系数和2. 变式训练：求52222⎪⎭⎫⎝⎛-xx的展开式二项式系数和、各项系数和3.3.求()721x +的展开式的第4项的系数为4.4.已知在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式中第6项为常数项，则=n5.5. 求二项式10221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项【课堂小结】1.二项式定理中的字母a 、b 是不能交换的，即(a ＋b)n 与(b ＋a)n 的展开式是有区别的，两者的展开式中的项的排列顺序是不同的，两者不能混淆．2.二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a 、b ，该等式都成立．通过对a 、b 取不同的特殊值，可给某些问题的解决带来方便【巩固练习】1.()82+x 的展开式中6x 的系数是2.若()2215b a +=+(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于3.3.在5212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，x 的系数为4.()10a x +的展开式中，7x 的系数为15，则a ＝5.求()()()2043111x x x ++⋅⋅⋅++++的展开式中3x 的系数。