北师大版平行四边形的性质 (2) PPT

把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看
是不是正方形.
正方形
你能证明这两个猜想吗？
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
一个角是直角
菱形
对角线相等
正方形
新知讲解
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
A
D
B
C
∴ AB = BC = CD = DA，
新知讲解
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
一组邻边相等
矩形
Байду номын сангаас正方形
对角线互相垂直
你能证明这两种猜想吗？
新知讲解
证明：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，
A
D
B
C
∴∠A = 90°，
又∵AB = BC，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
又∵∠A = 90° ，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
新知讲解
已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD
A
D
∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）
E
又∵四边形 ABCD 是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
∴∠1=90°，∠2=90°.
∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）
B
H
A
O
P

F D
B
C
E
体验中考
1．（06常州）已知：如图，在四边形ABCD AO CO， 中，AC与BD相交与点O，AB∥CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形.
A O B C D
体验中考
2.（06大连西岗）如图，ABCD中， AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 求证：AE = CF
A F E B D
典型例题
E 变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形. D 变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形. G H 变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形 是正方形. B F 变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形 A 是菱形. 变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形. 变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、 BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形. C 变式7：如图：在四边形ABCD中， M D E为边AB上的一点，△ADE和△ Q BCE都是等边三角形，P、Q、M、 N N分别是AB、BC、CD、DA边上 的中点，求证：四边形PQMN是菱形. B A E P
二、选择题： 1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长 为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直 线上，则下列关系中正确的是（ ） C A、DE＞BF B、DE＝BF D C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF E F B
C
典型例题
例3 已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上， 且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于 P，求∠BPM的度数.
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中 的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN. 证明：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四 边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC ∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中， ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC A ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2， ∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90° 1 ∴∠2＋∠4＝90 ° ，且BE＝NE N P ∴△BEN是等腰直角三角形 3 C B ∴∠BNE＝45 ° ∵AM∥NE M ∴∠BPM＝∠BNE ＝45 ° 2

O
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
应用新知
例题：已知:如图,在□ ABCD中，点E 、F
在对角线AC上，并且AE=CF．
求证:四边形BFDE是平行四边形.
A
D
E
O
F
B
C
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
解题过程
连接BD，交AC于点O ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO,BO=DO 又∵AE=CF ∴AO-AE=CO-CF
A E
B
D FC
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
西安行知中学
A E
B
D FC
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
课堂小结
1.如何证明四边形为平行四边形？
①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
求证：四边形ABCD是平行
O
四边形
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
判定定理： 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言： ∵ OA=OC,OB=OD. ∴_四_边__形__A_B_C_D__是_平__行__四__边__形__ （对__角_线_互_相__平_分_的_四__边_形_是_平__行_四_边_形__)
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
课堂练习
1.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，再添加一个
条件__AB_=_C_D__或 AD∥BC 使四边形ABCD是
平行四边形.

活动探究
探究点一 问题2：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E F过点O且与AB、CD 分别相交于点E、F，求证：OE=OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO，AB∥CD. ∴∠ABO=∠CDO. 又∵∠BOE=∠DOF , ∴△BOE≌△DOF. ∴OE=OF.
活动探究
解：∵▱A BCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝18， ∴AO＝12AC＝6，BO＝12 BD＝9. 又∵△AOB的周长l＝23， ∴AB＝l－(AO＋BO) ＝23－(6＋9)＝8.
课堂小结
平行四边形的性质 对称性：平行四边形是 中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心； 边：对边平行且相等； 角：对角相等，邻角互补. 对角线：相互平分
探究点二 问题1：如图, □ABCD的对角线AC、BD相交于点O, ∠ADB=90º,OA=6,0B=3. 求AD和AC的长度. 解：在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ∴OD=OB=3 ∠ADB=90º 在Rt∆AOD中，
AD = OA2 - OD2 = 62 + 32 = 3 3， AC=2OA=2×6=12 所以，AD和AC的长度分别为 3 3 和12.
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 4.3013: 39:1113 :39Apr-2130-A pr-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。13:39: 1113:3 9:1113: 39Frida y, April 30, 2021
6.1 平行四边形的性质第源自课时八年级下册-学习目标 1 掌握平行四边形对角线互相平分的性质; 2 利用平行四边形对角线的性质解决有关问题.

左边的大平行四边形？说一说你是怎么想的。
96÷24＝4（个）
答：需要4个。
课堂小结
通过这节课的学习，
你有什么收获?
• 多边形的面积
•平行四边形的面积(2)
右图中是一个平行四
边形广告牌，它的面
积是12.8m2，高是
0.8m。
这条高对应的底边长是多少米？
可以用两种方法
解决这个问题
方法一：用算术方法解决问题
一个平行四边形广告牌的面积是12.8m2，高
是0.8m。这条高对应的底边长是多少米？
根据平行四边形的面积公式计算
平行四边形的面积＝底×高
底＝平行四边形的面积÷高
12.8÷0.8＝16（米）
答：这条高对应的底边长是16米。
一个平行四边形广告牌的面积是12.8m2，高
是0.8m。这条高对应的底边长是多少米？
40
60
50
60×40=2400(平方米)
温馨提示：求平
行四边形的面积
时用的是对应的
底和高（互相垂
直的）相乘。
长50米的底边对应的高是多少呢? （单位:米)
S=a×h
40
60
50
h=S÷a
Hale Waihona Puke 2400÷50=48(米)
分别计算图中每个平行四边形的面积,你
发现了什么?
S=ah=2×5=10(cm2)
同底等高的平行四边形的面积相等。
5.如图，一块平行四边形的草地中间有一
条长8m、宽1m的小路，求草地的面积。
• (25-1)×8=192(m2)
答：草地的面积是192m2。
6.⑴看图计算下面两个平行四边形的面积。
12×8=96(cm2) 6×4=24(cm2)

B
E
参考答案
一、填空题： 1、180；2、20cm；3、3；4、；5、200 提示：4题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求 解； 5题连结AC，证△ABE≌△ACF得AE＝AF，从而△AEF 是等边三角形. 6、 2 1 ；7、2 1 ；8、②
参考答案
二、DDBBA 三、解答题： 14、可证△DEA≌△ABF 15、略证：AE平分∠BAC，且EG⊥AB， EC⊥AC，故EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF， ∵CF＝EC，EG＝CF，又因EG⊥AB，CD⊥AB， 故EG∥CF.四边形GECF是平行四边形，又因EG ＝FG，故GECF是菱形.
A
D G B E F C
能力训练
16、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作 三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.请回答下 列问题（不要求证明）： （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点 的四边形不存在？ E F D
第十讲 四边形（二）
复习目标
1．复习矩形、菱形、正方形的判定与性质. 2．复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性质 解决相关的证明和计算问题.
知识要点
1．矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形 的四条边相等，对角线互相垂直平分. 2. 三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行 四边形是矩形;四边相等的四边形，或对角线互 相垂直的平行四边形是菱形. 3. 是矩形又是菱形的四边形是正方形.正方形既 具有矩形的性质又具有菱形的性质.
典型例题
例1 如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O，AE⊥BD，垂足为E， ∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度数. 分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个 等腰三角形的基本图形进行求解. 答案：45° A D

A.1800° B.540 °
C.720 °
D.710 °
3.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ B ）
A.360°
B.540 ° C.720 ° D.900 °
课堂小结
多边形的 内角和
内角和计 算公式
(n-2) × 180 °(n 是不小于3的 任意整数）
第六章 平行四边形 6.4 多边形的内角和与外角和
问题2：运用所学的知识，证明自己的推论.
已知：四边形ABCD.
A
求证：∠A+∠B+∠C=∠D=360°.
证明：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
B
180°×2=360°.
D C
课程讲授
1 多边形的内角和
问题3：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五 边形和六边形内角和吗?
？？
内角和
180° 360° 360° ？360°
课程讲授
1 多边形的内角和
问题1：根据前面所学的知识，我们已经知道三角形， 正方形和长方形的内角和，那么任意一个四边形的内角 和是否为一个定值呢？
D
A
提示：可将四边形分割成两个三角形.
归纳：四边形ABCD的内角和是 360°.
B
C
课程讲授
1 多边形的内角和
E
A
A
F
B
E
B
D
C
D
C
课程讲授
1 多边形的内角和
E
A
A
B
B
D
F E
C
D
C
归纳：五边形的内角和是540°.六边形的内角和是720°.

两个全等三角形纸片，在平面上把它拼在一起，你能 把它拼成一个平行四边形吗？有多少种不同的拼法？
活动三
两个全等三角形纸片，在平面上把它拼在一起，你能 把它拼成一个平行四边形吗？有多少种不同的拼法？
活动三
两个全等三角形纸片，在平面上把它拼在一起，你能 把它拼成一个平行四边形吗？有多少种不同的拼法？
A
两个全等三角形纸片，在平面上把它拼在一起，你能 把它拼成一个平行四边形吗？有多少种不同的拼法？
活动三
两个全等三角形纸片，在平面上把它拼在一起，你能 把它拼成一个平行四边形吗？有多少种不同的拼法？
活动三
两个全等三角形纸片，在平面上把它拼在一起，你能 把它拼成一个平行四边形吗？有多少种不同的拼法？
活动三
A
D
E
F
B
C
思考：
符合下列条件的四边形是平行四边形吗？ 如果是，请说明理由.如果不是，请举出反例.
（1）一组对边平行，一组对边相等. （2）一组对边平行，一组对角相等. （3）两组对角分别相等.
（4）一组对边相等，一组对角相等.
课堂小结：
请同学们从以下三个方面谈谈本堂作业：
课时作业本P108 ~109.
第六章 平行四边形 第二节 平行四边形的判定（1）
活活动动一一：
1.什么是平行四边形？ 2.这句话又有什么作用？
请各小组合作交流讨论一下。
A B
D C
活活动动一一：
1.什么是平行四边形？ 2.这句话又有什么作用？
请各小组合作交流讨论一下。 判定： ∵ AB//CD，AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形.
体验新知
例1. 已知，如图，在 ABCD中，
E、F分别为AD和BC的中点.

成都市2019年中学数学优秀课展示与培训 北师大版数学八年级下册
6.1平行四边形的性质
情境导入 • 同学们，你们玩过七巧板么？
讲授新知
• 定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
• 记作： ABCD
A
• 读作：平行四边形ABCD
D
O
B
C
讲授新知
• 边：AB , BC,CD,AD 叫平行四边形的边
活动探究三
猜想
猜测平形四边形具有其他性质么？ 小组讨论，并分享你们的研究成果
学案
猜想平行四边形是否还有其他性质？小组讨论，分享成果.
猜想
活动探究四
证明
活动探究四：根据以上的猜想，可否总结平行四边形 的性质，并结合定义进行严格证明
学案
已知：四边形ABCD是平行四边形 求证：
学案
已知：四边形ABCD是平行四边形
知识小结
平行四边形
边：对边平行且相等 对角线：对角线相互平分 角：对角相等，邻角互补
教学目标检测
例1：已知：如图,在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，
并且 AE=CF 求证：BE=DF
教学目标检测
例1变式1：已知：如图,在 ABCD中，E.F是对角线AC所在上的两点， 并且AE=CF 求证：BE=DF
•角: ∠ABC, ∠BCD,∠ADC,∠BAD叫平行四边形的角
A
D
O
B
C
讲授新知
• 对角线:平行四边形不相邻的两个顶点连成的 线段叫对角线，
• 如图，BD,AC叫平行四边形的对角线
A
D
O
B
C
合作探究一
实验
探究活动一：不借助直尺和量角器，你能用剪刀 和双面胶做出一个平行四边形么？

(x
+
b )2 2a
b2 4ac 4a 2
0
.
移项，得
( x + b )2 b2 4ac . 能直接开方吗？
2a
4a 2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)， 请用配方法解此方程.
(x+
b )2 2a
=
1 2
.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
议一议
(1) 你能解一元二次方程 x2 -2x + 3 = 0 吗？
分析：∵a = 1，b = -2，c = 3， ∴ b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×3= -8 < 0.
你是怎么想 的呢？
根据求根公式的条件知：无法使用求根公式.
正方形判定的两条途径：
(1)
+ 一个直角 对角线相等
先判定菱形
矩形条件
(2)
+ 一组邻边相等 对角线垂直
先判定矩形
菱形条件
正方形 正方形
知识讲解
例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB ,
BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形； 再由一组邻边相等得出是菱形；最后由一个直角可得 正方形.
随堂练习 2.用公式法解下列方程： (1) 2x2 - 9x + 8 = 0； (3) 16x2 + 8x = 3；
(2) 9x2 + 6x + 1 = 0 ； (4) x(x-3) + 5 = 0 .

北 师 大 版 八 年级数 学平行 四边形 的性质
第一页，共23页。
内容摘要
北师大版八年级数学平行四边形的性质。AB∥CD AD∥BC。２．平行四边形的对角相等．。求证：AB=CD，BC=DA。∵AD∥BC，AB∥CD
No （平行四边形的对边平行）。如果是，你能验证你的结论吗。谢谢观赏 Image
已知： ABCD（如图） 求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠BAD=∠DCB
证明：连结AC
∵AD∥BC，AB∥CD（平行四边形的对边平行）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
在 ABC和 CDA中 ∠1＝∠2，AC＝CA，∠3＝∠4
∴ ABC ≌ CDA（ASA）
∴AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D
第二页，共23页。
下面的图片中，有你熟悉的哪些图形？
3
第三页，共23页。
第四页，共23页。
第五页，共23页。
平行四边形的性质（1）
6
第六页，共23页。
观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
梯形
第七页，共23页。
平 两组对边 行 分别平行
四
边 形 四边形
第二十一页，共23页。
第二十二页，共23页。
谢 谢
谢谢观赏
第二十三页，共23页。
第十九页，共23页。
本节课主要学习了哪些知识?
(1)平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形叫
平行四边形。
平行四边形的对边相等
（2）平行四边形的性质 平行四边形的对角相等
（3）性质的应用
平行四边形是中心对称图形 ，对称中心是角平分线交点 。
2200

下课了!
•你的收获感有多大，我的满足感就有多强烈！
由于它相对边之间的宽度总是保持一定，我们就说它的对边是平行的。条边?边的长度有什么特点? 有四条边，对边相等。 有四个角，都不是直角。 它是由四条边围成的图形，也叫四边形。
刚才我们学习了平行 四边形的特点，一起 来总结一下吧！
➢ 平行四边形的易变性 做一做，说一说，这个图形什么变了，什么没变。
平行四边形具有易变性。
➢ 画平行四边形 接着画出平行四边形。
课堂练习
1.做一做。 (1)用附页3图2中的七巧板拼出一个平行四边形。
(2)用小棒摆出一个平行四边形。
2.从下面的图案中分别找出三种你认识的图形。
平行四边形 三角形 正方形
长方形 平行四边形
三角形
3.接着画出平行四边形。
5.读一读，讲一讲。 生活中有很多有趣的四边形。
这三种图形的两组对边都分别 相等 ，而且 平行 ，对角也相等。 （2）不同点：
长方形的４个角都是 直角 。 正方形不仅４个角都是 直角 ，而且４条边的长度也 相等 。
8.数一数，下图中有（ 9 ）个平行四边形。
9.剪一剪：在平行四边形纸上剪一刀，剪下的两个图形可能是什么图形？ 三角形和梯形 梯形和梯形 三角形和三角形
平行四边形
北师大版二年级下册
激趣导入
这些图形是由四条边围成的图形。 我们把这样的四边形叫做平行四边形。
新知探究
➢ 平行四边形的特点
一起来看看平行 四边形有什么特 点吧！
➢ 平行四边形的特点
可见，平行四边形的对边是相等的。
➢ 平行四边形的特点 认真观看动画演示，说说你发现了什么。
平行四边形对边之间的宽度处处相等。
梯形

知识点八 位似
(1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相 交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这 个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比)
(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直 线上.
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影. 投影所在的平面叫做投影面．
投影
投影面
2.中心投影指的是由同一点（知点识光源专）题发出的光线所形成的投影。
中心投影的投射线相交于一点，这 一点称为投影中心。
3.中心投影的特点：
知识专题
1).物体离光源越远，影子越长。
2）.物体方向改变，影子方向随之改变。
3）.光源离物体越近，影子越短。 4）.光源方向改变，影子方向随之改变。
第一章 特殊的平行四边形
本章小结
一、菱形、矩形、正方形的性质
对边
角
平行
对角相等
且四边相等 邻角互补
平行且相等
四个角 都是直角
平行
四个角
且四边相等 都是直角
对角线
互相垂直且平分， 每一条对角线平分
一组对角
互相平分且 相等
互相垂直平分且相 等，每一条对角线
平分一组对角
二、菱形、矩形、正方形的判定方法
(2) 反比例函数的性质
k＞0
图象 y
o yk
x
(k≠0) k＜0
y
o
所在象限 性质
一、三象 在每个象
限(x，y 限内，y
同号) 随 x 的增
x
大而减小
二、四象 在每个象
限(x，y 限内，y

证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， AB＝CD，BC＝AD. ∵△BCE和△CDF都是等边三角形， ∴BE＝BC，DF＝CD，∠EBC＝∠CDF＝60°. ∴∠ABE＝∠FDA，AB＝DF，BE＝AD. 在△ABE和△FDA中， ∴△ABE≌△FDA（SAS）， ∴AE＝AF ．
结论 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是 它的对称中心.
巩固练习
如图，在平行四边形ABCD中，过其对角线的交点O引一
直线交BC于点E，交AD于点F，若AB＝3cm，BC＝4cm，
OE＝2cm，则四边形CDFE的周长是（ C ）
A．9cm
B．7cm
C．11cm D．8cm
解析：∵四边形ABCD是平行四边形， 由图形的中心对称性
∴△ABF≌ △CDE(SAS), ∴∠ABF=∠CDE.
探究新知
方法总结 平行四边形角的性质: (1)平行四边形的对角相等,邻角互补. (2)平行四边形+角平分线→角相等→等腰三角形.
巩固练习
变式训练
如图,在▱ABCD中,AC=BC,AE⊥DC于点E,若∠B=65°,则 ∠CAE的度数为____2_5_°___.
得FD＝EB，OF＝OE＝2． ∴四边形CDFE周长＝DF+CE+CD+EF ＝BC+AB+2OE＝11（cm）． 故选C．
探究新知
知识点 3 平行四边形边和角的性质
活动：将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你 能拼出平行四边形吗？你能拼出几个？与同学交流你的拼 法，并把它展示出来.
说一说：通过拼图你可以得到什么启示？ 平行四边形对边相等，对角相等. 这个结论正确吗？