2019版高考数学一轮经典版培优讲义：第3章 三角函数、解三角形 第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

3
3
C. 3
D．± 3
答案 B
( )3
1
x，
解析 ∵P 2 在单位圆上，∴x＝±2.
∴tanα＝± 3.
4π
|sinα|
3．[2018·成都模拟]已知角 α＝2kπ－ 3 (k∈Z)，则 sinα ＋ tanα
|tanα|的值是( )
A．0
B．2
C．－2
D．不存在
答案 A
4π
解析 因为 α＝2kπ－ 3 (k∈Z)是第二象限角， |sinα| tanα
3.[课本改编]若 sinα＜0 且 tanα＞0，则 α 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案 C
解析 sinα＜0，则 α 为第三、四象限角或 y 轴负半轴上的角，
tanα＞0，则 α 为第一、三象限角，故 α 为第三象限角．选 C.
x
4．若角 α 终边上有一点 P(x,5)，且 cosα＝13(x≠0)，则
的值．
x
解 ∵r＝ x2＋9，cosθ＝r，
10
x
∴ 10 x＝ x2＋9.
又∵x≠0，∴x＝±1.
又∵y＝3＞0，∴θ 是第一或第二象限角．
3 10
当 θ 为第一象限角时，sinθ＝ 10 ，tanθ＝3；
3 10
当 θ 为第二象限角时，sinθ＝ 10 ，tanθ＝－3.
板块四 模拟演练·提能增分 [A 级 基础达标]
考向 扇形的弧长、面积公式的应用 例 5 若扇形的周长为 10，面积为 4，则该扇形的圆心角为 ________．
1 答案 2 解析 设圆心角是 θ，半径是 r， 则Error!⇒Error!(舍)或Error!
1 故扇形的圆心角为2.
若去掉本例条件“面积为 4”，则当它
的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？
所以 sinα＞0，tanα＜0，所以 sinα ＋|tanα|＝1－1＝0.
同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2.角度制与弧度制可利用 180°＝π rad 进行互化，在同一个式子
中，采用的度量制必须一致，不可混用．
3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐
标轴上的情况.
板块三 启智培优·破译高考
易错警示系列 4——三角函数定义中忽略分类讨论致误
y
则 sinα＝y，cosα＝x，tanα＝x(x≠0)．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. 正
弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都
是(1,0)．
如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 α 的正弦线、余弦
线和正切线．
[必会结论]
1．三角函数值的符号规律
9π
2．[课本改编]下列与 4 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) 9π
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋ 4 (k∈Z) 5π
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋ 4 (k∈Z)
答案 C
9π
9π
解析 与 4 的终边相同的角可以写成 2kπ＋ 4 (k∈Z)，但是角度
制与弧度制不能混用，所以只有 C 正确．
第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识]
考点 1 角的概念
1．分类Error!
2．终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，
可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
考点 2 弧度的定义和公式
1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，
1．已知点 P(tanα，cosα)在第三象限，则角 α 的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 B
解析 因为点 P 在第三象限，所以Error!所以角 α 的终边在第二
象限．
( )3
x， 2．已知角 α 的终边与单位圆的交点 P 2 ，则 tanα＝( )
A. 3
B．± 3
解 设圆心角是 θ，半径是 r，
则 2r＋rθ＝10.
11
S＝2θ·r2＝2r(10－2r)＝r(5－r)
( )5 25 25
r－ ＝－ 2 2＋ 4 ≤ 4 ，
5
25
当且仅当 r＝2时，Smax＝ 4 ，θ＝2.
5 所以当 r＝2，θ＝2 时，扇形面积最大． 触类旁通
弧长和扇形面积的计算方法
(1)在弧度制下，记住下列公式 11
3
4
3
当 a<0 时，r＝－5a，sinα＝－5，cosα＝5，tanα＝－4.
答题启示 对于利用三角函数定义解题的题目中，如果含有参
数，一定要考虑运用分类讨论.在分类讨论时要注意统一分类标准，
明确分类的对象，逐类讨论，最后归纳总结.
跟踪训练
10
已知角 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0)且 cosθ＝ 10 x，求 sinθ，tanθ
＝－cos38°＜0.选 C 项．
考向 三角函数的定义及其应用
命题角度 1 利用定义求三角函数值
例 2 已知角 α 的终边经过点 P(－4a,3a)(a<0)，则
2sinα＋cosα 的值为( )
2
2
A．－5
B.5 22
C．0
D.5或－5
答案 A
解析 因为 x＝－4a，y＝3a，a＜0，所以 r＝－5a，
[2018·福州检测]若角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上，求
sinα，cosα 和 tanα 的值．
错因分析 由终边上一点求三角函数时，没有考虑参数的取值
情况，没有分类讨论，而直接求出 r＝5a，导致错误．
解 设 α 终边上任一点为 P(－4a,3a)，
3
4
3
当 a>0 时，r＝5a，sinα＝5，cosα＝－5，tanα＝－4；
弧度记作 rad.
2．公式：(1)弧度与角度的换算：360°＝2π 弧度；180°＝π 弧度；
1
1
(2)弧长公式：l＝|α|r；(3)扇形面积公式：S 扇形＝2lr 和 S 扇形＝2|α|r2. 说明：(2)(3)公式中的 α 必须为弧度制．
考点 3 任意角的三角函数
1．定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，
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(1)由题意可得Error!解得Error!或Error!
l2
l
∴α＝r＝3或 α＝r＝6.
(2)∵2r＋l＝8，
( ) ( ) 1 1 1 l＋2r 1 8
∴S 扇＝2lr＝4l·2r≤4 2 2＝4× 2 2＝4，当且仅当 2r＝l，即 l α＝r＝2 时，扇形面积取得最大值，
∴r＝2，∴弦长 AB＝2sin1×2＝4sin1.
(2)已知角 α 的某三角函数值，求角 α 终边上一点 P 的坐标中的 参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断．已知一角的三角 函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边 所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置．注意终边在坐 标轴上的特殊情况．
①弧长公式：l＝|α|r；②扇形的面积公式：S＝2lr＝2|α|r2(其中 l 是扇形的弧长，α 是扇形的圆心角，r 是扇形的半径)．
(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量 中的任意两个量．
【变式训练 2】 [2018·盐城模拟]扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解 设扇形 AOB 的半径为 r，弧长为 l，圆心角为 α，
(1)第一象限角必是锐角．( )
(2)不相等的角终边一定不相同．( )
(3)终边落在 x 轴非正半轴上的角可表示为 α＝2kπ＋π(k∈Z). ( )
(4)1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角
的一种度量单位．( )
(5)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四
余弦．
2．任意角的三角函数的定义(推广)
设 P(x，y)是角 α 终边上异于顶点的任一点，其到原点 O 的距离
y
x
y
为 r，则 sinα＝r，cosα＝r，tanα＝x(x≠0)．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
( ) 3
4
34 2
－
所以 sinα＝－5，cosα＝5，2sinα＋cosα＝2× 5 ＋5＝－5.故
选 A.
命题角度 2 判断三角函数值的符号
cosα
例 3 若 sinαtanα＜0，且tanα＜0，则角 α 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案 C
解析 角 α 在第三象限时，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，满足
sinα＝________.
5
答案 13
x
x
5
解析 ∵cosα＝ x2＋25＝13，x＝±12，∴sinα＝13.
5．[2018·石家庄模拟]已知角 α 的终边在直线 y＝－x 上，且
cosα＜0，则 tanα＝________.
答案 －1
解析 如图，由题意知，角 α 的终边在第二象限，在其上任取 y －x
写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参
数 k 赋值来求得所需角．
【变式训练 1】 (1)[2018·潍坊模拟]集合Error!Error!中的角所
表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
π
π
解析 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋4≤α≤2nπ＋2， 此时 α 表示的 ππ
范围与4≤α≤2表示的范围一样；当 k＝2n＋1(n∈Z)时，
π
π
5π 3π
2nπ＋π＋4≤α≤2nπ＋π＋2，此时 α 表示的范围与 4 ≤α≤ 2 表示的
范围一样．
(2)[2018·绵阳质检]点 A(sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上
位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 C
解析 sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°
| |α
αα
cos
(2)设角 α 是第二象限的角，且 2 ＝－cos2，则2是第
________象限角．
答案 三
α
解析 因为 α 是第二象限角，所以2是第一或第三象限角．又因
| |α
α
αα
cos
为 2 ＝－cos2，所以 cos2<0.故2是第三象限角．
触类旁通
终边相同角的集合的应用
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先
题意．选 C 项．
命题角度 3 利用三角函数的定义求参数的值 例 4 已知角 α 的终边上一点 P(－ 3，m)(m≠0)，且 sinα＝
2m
4 ，求 cosα，tanα 的值． 解 由题设知 x＝－ 3，y＝m，
∴r2＝|OP|2＝(－ 3)2＋m2(O 为原点)，r＝ 3＋m2. m 2m m
从而 sinα＝ r ＝ 4 ＝2 2， ∴r＝ 3＋m2＝2 2，于是 3＋m2＝8，解得 m＝± 5. 当 m＝ 5时，r＝2 2，x＝－ 3，y＝ 5，
一点 P(x，y)，则 y＝－x，由三角函数的定义得 tanα＝x＝ x ＝－1. 板块二 典例探究·考向突破
考向 象限角及终边相同的角
例 1 (1)设集合 M＝Error!，N＝Error!，判断两集合的关系( )
A．M＝N
B．MN
C．NM
D．M∩N＝∅
答案 B k
解析 解法一：由于 M＝{x|x＝2·180°＋45°，k∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
－3 6
15
∴cosα＝ 2 2 ＝－ 4 ，tanα＝－ 3 ； 当 m＝－ 5时，r＝2 2，x＝－ 3，y＝－ 5，
－3 6
15
∴cosα＝ 2 2 ＝－ 4 ，tanα＝ 3 .
触类旁通
三角函数定义问题的常见类型及解题策略
(1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标，可求角 α 的三角函数值：先 求点 P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
核心规律 1.在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上任一点，如有可能 则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r 一定是正值． 2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口
诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个
小技巧． 满分策略
1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概念不
N＝Error!＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，
显然有 MN.
k
解法二：在集合 M 中，x＝2·180°＋45°＝k·90°＋45°
k
＝45°·(2k＋1)，2k＋1 是奇数；在集合 N 中，x＝4·180°＋45°＝k·45°
＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必有 MN.故选 B.