30°,45°,60°角的三角函数值全面版

三角函数值大全（1）特殊角三角函数值sin0=0,sin15=（√6-√2)/4 ,sin30=1/2,sin45=√2/2,sin60=√3/2,sin75=(√6+√2)/2 ,sin90=1,sin105=√2/2*(√3/2+1/2) sin120=√3/2 sin135=√2/2sin150=1/2sin165=（√6-√2)/4sin180=0sin270=-1sin360=0cos0=1cos30= 二分之根号3 cos45= 二分之根号2 cos60=cos90=0tan0=0tan30= 三分之根号3tan45=1tan60= 根号3tan90=无cot0=无cot30= 根号3cot45=1cot60= 三分之根号3cot90=0（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.附：三角函数值表sin1= sin2= sin3=sin4= sin5= sin6=sin7= sin8= sin9=sin10= sin11= sin12=sin13= sin14= sin15=sin16= sin17= sin18=sin19=0. sin20=0. sin21=sin22= sin23= sin24=sin25= sin26= sin27=sin28= sin29= sin30=sin31= sin32= sin33=sin34= sin35= sin36=0.sin37= sin38= sin39=0.sin40=0. sin41=0. sin42=sin43= sin44= sin45=sin46= sin47= sin48=sin49= sin50= sin51=sin55= sin56=0. sin57=0. sin58= sin59= sin60=0.sin61= sin62=0. sin63=sin64= sin65=0. sin66=sin67=0. sin68= sin69=0. sin70= sin71= sin72=sin73=0. sin74= sin75=0. sin76=0. sin77=0. sin78= sin79= sin80= sin81=sin82=0. sin83= sin84=sin85= sin86= sin87=0.sin88=0. sin89=0.sin90=1cos1=0. cos2=0. cos3=0. cos4= cos5= cos6=cos7= cos8=0. cos9=cos10= cos11= cos12=cos13=0. cos14=0. cos15=0. cos16= cos17=0. cos18=cos22= cos23=0. cos24=cos25=0. cos26= cos27=cos28= cos29= cos30=0.cos31= cos32= cos33=cos34=0. cos35= cos36=cos37= cos38= cos39=cos40= cos41= cos42=cos43= cos44= cos45=cos46= cos47= cos48=cos49=0. cos50=0. cos51=0. cos52= cos53= cos54=0.cos55=0. cos56= cos57=0. cos58= cos59= cos60=cos61= cos62= cos63=0.cos64= cos65= cos66=0.cos67= cos68=0. cos69=cos70=0. cos71= cos72=cos73= cos74= cos75=cos76= cos77= cos78=cos82= cos83= cos84=cos85= cos86= cos87=cos88= cos89=cos90=0tan1= tan2= tan3=tan4= tan5= tan6=tan7= tan8= tan9=tan10= tan11= tan12=tan13=0. tan14= tan15=0. tan16=0. tan17= tan18=tan19= tan20= tan21=0.tan22=0. tan23=0. tan24=0. tan25=0. tan26=0. tan27=0. tan28= tan29= tan30=0.tan31=0. tan32=0. tan33=0. tan34=0. tan35=0. tan36=0. tan37= tan38= tan39=0.tan40=0. tan41=0. tan42=0. tan43= tan44=0. tan45=0.tan46= tan47= tan48=tan49= tan50= tan51=tan52= tan53=1. tan54=tan55= tan56=1. tan57=1. tan58=1. tan59=1. tan60=1. tan61=1. tan62=1. tan63= tan64= tan65= tan66=tan67= tan68=2. tan69=2. tan70=2. tan71= tan72=tan73=3. tan74= tan75=3. tan76= tan77= tan78=tan79= tan80= tan81=tan82= tan83= tan84=tan85= tan86= tan87=tan88= tan89=tan90=无取值。

深入探讨30度、60度和45度的正弦、余弦和正切值，需要从简单的数学概念开始逐步展开，让读者能够全面地理解这些三角函数的概念和性质。

一、简介在数学中，三角函数是研究角和角的变化关系的重要工具。

其中，正弦、余弦和正切是最常见的三角函数。

它们描述了角度和直角三角形边之间的关系。

在本文中，我们将着重讨论特定角度下的正弦、余弦和正切值，即30度、60度和45度，探究它们在数学和实际问题中的应用。

二、30度的正弦、余弦和正切值1. 正弦值：在直角三角形中，30度角的正弦值可以表示为对边与斜边的比值。

即sin(30°) = 1/2。

2. 余弦值：30度角的余弦值可以表示为邻边与斜边的比值。

即cos(30°) = √3/2。

3. 正切值：30度角的正切值可以表示为对边与邻边的比值。

即tan(30°) = 1/√3。

三、60度的正弦、余弦和正切值1. 正弦值：在直角三角形中，60度角的正弦值可以表示为对边与斜边的比值。

即sin(60°) = √3/2。

2. 余弦值：60度角的余弦值可以表示为邻边与斜边的比值。

即cos(60°) = 1/2。

3. 正切值：60度角的正切值可以表示为对边与邻边的比值。

即tan(60°) = √3。

四、45度的正弦、余弦和正切值1. 正弦值：在直角三角形中，45度角的正弦值可以表示为对边与斜边的比值。

即sin(45°) = 1/√2。

2. 余弦值：45度角的余弦值可以表示为邻边与斜边的比值。

即cos(45°) = 1/√2。

3. 正切值：45度角的正切值可以表示为对边与邻边的比值。

即tan(45°) = 1。

五、总结与回顾通过对30度、60度和45度的正弦、余弦和正切值的深入探讨，我们可以发现它们之间的关系和特点。

正弦值描述了角度对应的三角形的竖直分量，余弦值描述了水平分量，而正切值则描述了这两个分量之间的比例关系。

30°,45°,60°角的三角函数值三角函数是数学中一个非常重要的概念，它们被广泛地应用于自然科学、工程技术、计算机科学等领域，具有广泛的应用价值。

在三角函数中，最基本的角度是30°、45°、60°，它们也被称为特殊角度，因为它们的三角函数值是可以精确计算的，非常有用。

本文将详细介绍30°、45°、60°角的三角函数值及其应用。

1. 30°角的三角函数值：（1）正弦函数值：sin30°=1/2（2）余弦函数值：cos30°=√3/2（3）正切函数值：tan30°=√3/3（4）余切函数值：cot30°=√3这种值得到的特殊角度的三角函数被几何学家和导航人员广泛使用，因为它们是关于圆周上的等腰三角形的特殊函数。

例如，sin30°等于1/2，是指在等腰直角三角形中，斜角为30°的边上的正弦比为1/2。

类似地，cos30°等于√3/2，是指在等腰直角三角形中，斜角为30°的角余割比为√3/2。

2. 45°角的三角函数值：（1）正弦函数值：sin45°=√2/2（2）余弦函数值：cos45°=√2/2（3）正切函数值：tan45°=1（4）余切函数值：cot45°=1如果我们构造一个45°-45°-90°等腰直角三角形，那么它的两条直角边就是相等的，而斜边就是两个直角边的平方和的平方根。

因此，sin45°=√2/2，即等腰直角三角形中斜边上的正弦比为√2/2。

cos45°与sin45°相同，并且tan45°=1，这意味着等腰直角三角形中斜边上的正切比为1。

因为余切函数是正切函数的倒数，所以cot45°也等于1;在等腰直角三角形中，斜边上的余切比是1。

初中三角函数公式表，30°,45°,60°角的三角函数值初中三角函数入门知识三角函数在初中数学中占有非常重要的地位。

你必须精通并准备掌握初中常用的三角函数的公式，才能更好的解决数学问题。

接下来给大家分享一下初中常用的三角函数公式，希望同学们能牢记在心。

三角函数基本公式三角函数半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√做粗数((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))三角函数倍角公式Sin2A=2SinA*CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)三角函数三倍角公式sin3A=4sinA*sin(π/3+A)sin(π/3-A) cos3A=4cosA*cos(π/3+A)cos(π/3-A) tan3A=tanA*tan(π/3+A)*tan(π/3-A)三角函数两角和与差公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cossinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)三角函数积化和差sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2三角函数和差化凳拆积sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)三角函数关系公式三角函数的倒数关系公式tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1三角函数的商数关系公式tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα三角函数的平方关系纯首公式(sina)^2+(cosa)^2=11+(tana)^2=(seca)^21+(cota)^2=(csca)^2初中的三角函数的口诀三角函数是初中数学的重要组成部分。

30度,45度,60度的三角函数值三角函数是数学中非常重要的概念，运用它可以计算与直角三角形相关特定角度的三角函数值。

在三角函数的计算中常常会涉及特定的角度，例如30度、45度和60度。

这三个角度是中学生常考的内容。

针对这三者，以下将展示在某些特定情况下该如何计算它们的三角函数值。

首先，让我们从30度开始说起。

当某个角度为30度时，它的正弦值（sinθ）为1/2，其余的三角函数值同样可以以此为基础所得。

而余弦值（cos θ）则等于根号三的一半，正切值（tan θ）则等于根号三的一。

由此可见，若某个角度为30°，其三角函数值可通过上述数值表达出来。

接下来讨论45°的情况。

对于此角度，正弦值等于0.707，而余弦值和正切值则均等于根号二的一半。

所以当某个角度为45°时，它的三角函数值可以通过这一数值表得出。

同样，当某个角度为60°时，其正弦值将等于0.86，余弦值与正切值则各自等于根号三的一半和根号三，以此四舍五入可以求得60°角度对应其三角函数值。

从上述也可以看出，若需要计算三角函数值，常常可以把特定的角度转换为特定的数值，从而比较容易的得出其三角函数值。

当然，除了30°,45°,60°的三角函数值外，在相应把象限角计算出来的时候，也就可以计算出其对应的三角函数值了。

总之，基本的三角函数值计算是数学中的一项基础技能，不管是中学生还是大学生，都应该记住上文提到的三角函数值，这样才能更好地运用三角函数知识，深入认识三角形及相关几何概念，实现更多数学技能的提升。

三角函数值30度45度60度30度的三角函数值：sin 30度= 0.5cos 30度= √3/2tan 30度= 1/√3cot 30度= √3sec 30度= 2/√3csc 30度= 245度的三角函数值：sin 45度= √2/2cos 45度= √2/2tan 45度= 1cot 45度= 1sec 45度= √2csc 45度= √260度的三角函数值：sin 60度= √3/2cos 60度= 0.5tan 60度= √3cot 60度= 1/√3sec 60度= 2csc 60度= 2/√3的篇幅远远不足以讨论三角函数及其应用的全貌，但以下是一些基本概念和公式：三角函数是以弧度或角度为参数的三角形函数，涵盖了正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)、正割函数(sec)及余割函数(csc)。

这些函数能够用来表示三角形中各边与角之间的关系。

以下是它们在0度，90度以及其他特殊角度时的值：特殊角度时的三角函数值：角度/弧度 | sin | cos | tan | cot | sec | csc---------|-----|-----|-----|-----|-----|-----0°/0 | 0 | 1 | 0 | undefined | 1 | undefined30°/π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 | 2/√3 | 245°/π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √260°/π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√390°/π/2 | 1 | 0 | undefined | 0 | undefined | 1180°/π | 0 | -1 | 0 | undefined | -1 | undefined但是，三角函数对于各种角度的值并非如此简单。

30, 45, 60, 90度正弦, 余弦, 正切值在数学中，三角函数是非常重要的概念，而正弦、余弦和正切值则是三角函数中的基本内容之一。

它们分别代表着角度的不同变化和对应的数值关系。

今天，我们将深入探讨30、45、60和90度角的正弦、余弦和正切值，以使我们更好地理解这些数学概念。

1.30度让我们来看看30度角的正弦、余弦和正切值。

在三角函数中，30度角是一个相对较小的角度，其正弦、余弦和正切值分别为1/2、√3/2和1/√3。

这些数值表示了30度角的边长比例关系，可以帮助我们在实际问题中求解各种三角形相关的数值。

2.45度接下来，我们来考虑45度角的正弦、余弦和正切值。

在三角函数中，45度角是一个特殊的角度，其正弦、余弦和正切值均为1/√2。

这意味着在45度角的直角三角形中，两条直角边的长度相等时，斜边的长度为其平方根的一半。

3.60度让我们关注60度角的正弦、余弦和正切值。

在三角函数中，60度角是一个相对较大的角度，其正弦、余弦和正切值分别为√3/2、1/2和√3。

这些数值的变化显示了60度角的特性，可以帮助我们更好地理解等边三角形和正六边形等图形的性质。

4.90度我们来看看90度角的正弦、余弦和正切值。

在三角函数中，90度角是一个直角，其正弦、余弦和正切值分别为1、0和不存在。

这意味着在直角三角形中，直角边的长度与斜边的长度之间的关系。

总结通过对30、45、60和90度角的正弦、余弦和正切值的分析，我们可以更深入地理解三角函数中角度和边长之间的关系。

这些数学概念不仅在学校的数学课程中有重要的应用，还在日常生活和工程技术中发挥着重要作用。

个人观点从个人观点来看，三角函数中的正弦、余弦和正切值是非常有趣且实用的数学概念。

它们不仅帮助我们理解三角形的性质，还能够在物理学、工程学和计算机图形学等领域中得到广泛的应用。

我们应该深入学习和理解这些数学概念，以便更好地应用于实际问题的求解和解决。

通过本文的分析和总结，相信读者已经对30、45、60和90度角的正弦、余弦和正切值有了更深入的理解。

三角函数公式30度45度60度三角函数是数学中的一个重要分支，用来研究三角形的角度和边长之间的关系。

其中，三角函数的角度通常以度为单位来表示。

本文将为您详细介绍30度、45度和60度这三个特殊角度下的三角函数值和相关公式。

1.30度（π/6弧度）：在一个等边三角形中，每个角都是60度，则每个角的一半即为30度。

在30度的特殊角度下，相关的三角函数值如下：正弦函数（sin）：sin30°=1/2余弦函数（cos）：cos30°=√3/2正切函数（tan）：tan30°=1/√3余切函数（cot）：cot30°=√3在30度的特殊角度下，我们可以通过以下公式来计算其他三角函数的值：sin30°=1/2cos30°=√3/2tan30°=sin30°/cos30°=1/√3cot30°=1/tan30°=√3sec30°=1/cos30°=2/√3csc30°=1/sin30°=22.45度（π/4弧度）：在一个等腰直角三角形中，每个角都是45度，则每个角的一半即为45度。

在45度的特殊角度下，相关的三角函数值如下：正弦函数（sin）：sin45°=√2/2余弦函数（cos）：cos45°=√2/2正切函数（tan）：tan45°=1余切函数（cot）：cot45°=1在45度的特殊角度下，我们可以通过以下公式来计算其他三角函数的值：sin45°=√2/2cos45°=√2/2tan45°=sin45°/cos45°=1cot45°=1sec45°=1/cos45°=√2csc45°=1/sin45°=√23.60度（π/3弧度）：在一个等边三角形中，每个角都是60度。

第三课时 §1.2 30°，45°，60°角的三角函数值教学目标 知识与能力目标能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.会进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 过程与方法目标通过自主探索经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 情感与价值观要求通过数学活动，产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯，锻炼克服困难的意志，建立学好数学自信心. 教学重点探索30°、45°、60°角的三角函数值； 含30°、45°、60°角的三角函数值的计算；锐角三角函数值的大小比较. 教学难点进一步体会三角函数的意义. 教学过程创设问题情境，引入新课[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可.提示：在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，AD ＝BE ，BE 是已知的，设BE=a 米，则AD ＝a 米，如何求CD 呢?含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC ＝2CD ，根据勾股定理，(2CD)2＝CD 2+a 2.CD ＝33a.则树的高度即可求出. [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=aCDAD CD ，则CD=atan30°，岂不简单.你能求出30°角的三个三角函数值吗?师生互动、学习新课 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.sin30°＝212=a a . cos30°＝2323=a a .tan30°=33313==a a 2、45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的? sin60°=2323=a a , cos60°=212=a a ,tan60°＝33=a a. 也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=23cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=21.[师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a ，则另一条直角边也为a ，斜边2a.由此可求得 sin45°=22212==a a , cos45°＝22212==a a , tan45°=1=a a [师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢? 2.例题讲解 [例1]计算：(1)sin30°+cos45°；(2)sin 260°+cos 260°-tan45°.分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin 260°表示(sin60°)2，cos 260°表示(cos60°)2.解：(1)sin30°+cos45°=2212221+=+,(2)sin 260°+cos 260°-tan45° =(23)2+(21)2-1=43 +41 -1＝0.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.解：根据题意(如图)可知，∠BOD=60°，OB=OA ＝OD=2.5 m ，∠AOD ＝21×60°＝30°，∴OC=OD ·cos30°=2.5×23≈2.165(m).∴AC ＝2.5-2.165≈0.34(m).所以，最高位置与最低位置的高度约为 0.34 m随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°；(2)cos60°+tan60°；(3)22sin45°+sin60°-2cos45°. 解：(1)原式＝23-1=223-； (2)原式=21+=23213+=(3)原式=22×22+23×22；=22231-+ 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?解：扶梯的长度为21730sin 7=︒=14(m)，所以扶梯的长度为14 m.归纳提炼本节课总结如下：(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值. sin30°＝21，sin45°＝22，sin60°＝23； cos30°＝23，cos45°＝ 22，cos60°＝21；tan30°=33，tan45°＝1，tan60°=3. (2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. 课后作业习题1.3第1、2题 活动与探究(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E ，直射到乙楼D 点，D 点向下便接受不到光线，过D 作DB ⊥AE(甲楼).在Rt △BDE 中.BD=AC ＝24 m ，∠EDB ＝30°.可求出BE ，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE. [结果]在Kt △BDE 中，BE=DB ·tan30°＝24×33=83m. ∵DF ＝BE ，∴DF=83≈8×1.73＝13.84(m).甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m). 备课资料 参考练习1.(2003年北京石景山)计算：13230sin 1+-︒. 答案：3-32.(2003年北京崇文)汁算：(2+1)-1+2sin30°-8 答案：-23.(2003年广东梅州)计算：(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1. 答案：254. (2003 年广西)计算：sin60°+︒-60tan 11答案：-215.(2003年内蒙古赤峰)计算；2-3-(0032+π)0-cos60°-211-. 答案：-283+教学目标 (一)教学知识点1.经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算.3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.(二)能力训练要求1.借助计算器，解决含三角函数的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力.2.发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐.2.形成实事求是的严谨的学习态度.教学重点1.用计算器由已知三角函数值求锐角.2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.教学难点用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.教具方法探究——引导——发现.教学准备计算器多媒体演示教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建10 m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道.(如图所示，用多媒体演示)这条斜道的倾斜角是多少[生]在Rt△ABC中，BC=10 m，AC＝40 m，sinA＝.可是我求不出∠A.[师]我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗 为什么[生]我们曾学习过两个直角三角形的判定定理——HL定理.在上图中，斜边AC和直角边BC是定值，根据HL定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的，当然∠A 的大小也是唯一确定的.[师]这位同学能将前后知识联系起来很有条理地解释此问题，很不简单.我们知道了sinA=时，锐角A是唯一确定的.现在我要告诉大家的是要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器来完成.这节课，我们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.Ⅱ.讲授新课1.用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.[师]已知三角函数求角度，要用到、键的第二功能、、”和键.键的第二功能“sin-1,cos-1,tan-1”和 键例如：已知sinA=0.9816，求锐角A，已知cosA＝0.8607，求锐角A；已知tanA：0.1890，求锐角A；已知tanA＝56.78，求锐角A.按键顺序如下表.(多媒体演示)sinA=0.9816tanA=0.1890tinA=0.56.78上表的显示结果是以“度”为单位的.再按键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.(教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤)[师]你能求出上图中∠A的大小吗[生]sinA=＝0.25.按键顺序为，显示结果为14.47751219°，再按键可显示14°28′39′.所以∠A=14°28′39′.[师]很好.我们以后在用计算器求角度时如果无特别说明，结果精确到1′即可.你还能完成下列已知三角函数值求角度的题吗 (多媒体演示)1.根据下列条件求锐角θ的大小：(1)tanθ＝2.9888；(2)sinθ=0.3957；(3)cosθ＝0.7850；(4)tanθ＝0.8972；(5)sinθ＝；(6)cosθ＝；(7)tanθ=22.3；(H)tanθ=；(9)sinθ＝0.6；(10)cosθ＝0.2.2.某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角.(请同学们完成后，在小组内讨论、交流.教师巡视，对有困难的学生予以及时指导) [生)1.解：(1)θ＝71°30′2′；(2)θ＝23°18′35′；(3)θ＝38°16′46′；(4)θ＝41°53′54′；(5)θ＝60°；(6)θ=30°；(7)θ=87°25′56′；(8)θ＝60°；(9)θ＝36°52′12′；(10)θ＝78°27′47′.2.解：设坡角为α，根据题意，sinα＝=0.04，α＝2°17′33′.所以这段公路的坡角为2°17′33′.2.运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.多媒体演示[例1]如图，工件上有-V形槽.测得它的上口宽加20 mm深19.2mm。

1.2 30°，45°，60°角的三角函数值1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算；(重点)3．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小．(难点)一、情境导入在直角三角形中(利用一副三角板进行演示)，如果有一个锐角是30°(如图①)，那么另一个锐角是多少度？三条边之间有什么关系？如果有一个锐角是45°呢(如图②)？由此你能发现这些特殊锐角的三角函数值吗？二、合作探究探究点一：30°，45°，60°角的三角函数值【类型一】利用特殊角的三角函数值进行计算计算：(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°；(2)sin30°－sin45°cos60°＋cos45°.解析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：(1)原式＝2×12×12－6×22×32＝12－32＝－1；(2)原式＝12－2212＋22＝22－3.方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．变式训练：见《课堂内外》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】已知三角函数值求角的取值范围若cosα＝23，则锐角α的大致范围是()A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝32，cos45°＝22，cos60°＝12，且12＜23＜22，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．变式训练：见《课堂内外》本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型三】已知三角函数值，求角度根据下列条件，确定锐角α的值：(1)cos(α＋10°)－32＝0；(2)tan2α－(33＋1)tanα＋33＝0.解析：(1)根据特殊角的三角函数值来求α的值；(2)用因式分解法解关于tanα的一元二次方程即可．解：(1)cos(α＋10°)＝32，α＋10°＝30°，∴α＝20°；(2)tan 2α－(33＋1)tan α＋33＝0，(tan α－1)(tan α－33)＝0，tan α＝1或tan α＝33，∴α＝45°或α＝30°. 方法总结：熟记特殊角的三角函数值以及将“tan α”看作一个未知数解方程是解决问题的关键．变式训练：见《课堂内外》本课时练习“课后巩固提升” 第8题探究点二：特殊角的三角函数值的应用 【类型一】 特殊角的三角函数值与其他知识的综合已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，试判断△ABC 的形状．解析：根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．解：∵(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，∴tan A ＝1，sin B ＝32，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC 是锐角三角形．方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.变式训练：见《课堂内外》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型二】 利用特殊角的三角函数值求三角形的边长如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，若AC ＝3，求线段AD 的长．解析：首先根据直角三角形的性质推出∠BAC 的度数，再求出∠CAD ＝30°，最后根据特殊角的三角函数值求出AD 的长度． 解：∵△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠BAC ＝60°.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠CAD ＝30°，∴在Rt △ADC中，AD ＝AC cos30°＝3×23＝2.方法总结：解决此题的关键是利用转化的思想，将已知和未知元素化归到一个直角三角形中，进行解答．变式训练：见《课堂内外》本课时练习“课后巩固提升”第9题【类型三】构造三角函数模型解决问题要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，斜边AB ＝2，直角边AC ＝1，那么BC ＝3，∠ABC ＝30°，∴tan30°＝AC BC ＝13＝33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD 的长，进而得出tan15°＝CD BC，tan75°＝BCCD. 解：作∠B 的平分线交AC 于点D ，作DE ⊥AB ，垂足为E .∵BD 平分∠ABC ，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE .设CD ＝x ，则AD ＝1－x ，AE ＝2－BE ＝2－BC ＝2－ 3.在Rt △ADE 中，DE 2＋AE 2＝AD 2，x 2＋(2－3)2＝(1－x )2，解得x ＝23－3，∴tan15°＝23－33＝2－3，tan75°＝BC CD ＝323－3＝2＋ 3.方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．变式训练：见《课堂内外》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计 30°，45°，60°角的三角函数值2.应用特殊角的三角函数值解决问题课程设计中引入非常直接，由三角板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．设计引题开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便．在讲解特殊角三角函数值时也很细，可以说前部分的教学很成功，学生理解的很好.。

30度45度60度的三角函数值表
网络空间时代已经来临，在这个高科技氛围浓厚的互联网文化背景下，三角函
数也渐渐引入了广大网友的视野。

所谓三角函数，即以三角形的边长和弧度计算出的函数值，主要用于指定角度的算术运算，所以考生们常常需要掌握30度45度
60度，以及其他各种角度的三角函数值，如下：
30°：三角函数值分别表示为sin 30°=½，cos 30°=√3/2，tan
30°=1/√3
45°：三角函数值分别表示为sin 45°=√2/2，cos 45°=√2/2，tan
45°=1
60°：三角函数值分别表示为sin 60°=√3/2，cos 60°=½，tan 60°=√3
通过计算出上述三角函数值以后，网友们就可以更加便捷和容易地解决数学题
目中有关三角函数的问题，从而加强对三角函数的掌握。

除此之外，现代大量的软件应用也大量依赖这套带角度的三角函数计算，比如
各种数字图像处理、室内结构设计等均会大量运用这套数学原理。

例如设计人员在利用CAD软件制作建筑设计时，就会根据三角函数来设定角度，以让设计图更加符合实际情况。

因此，三角函数真是使我们现代网络文化生活更加简易快捷的一个神奇数学工具，不管是学习、研究还是实际应用，三角函数值的珍贵性相信每个网民无不明了。

最后，作为一名网民，仅有者对三角函数的此类数学公式的基础掌握是不够的，必须要经常加强自己的实践练习，积累更多的应用实例，以期用中真正发挥三角函数和它衍生函数在网络生活中的无穷优势。