第二节 二重积分的计算法

∀x 0 ∈ [ a , b ]
作平面 x = x0
6
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= ϕ (x) yy= ϕ22(x)
y y
ϕ2( x0 )
z
z
zz= ff((x, y) = x, y)
A((x) ) Ax0 0
o o
a a
ϕ1( x0 )
x00 x
xx = ϕ1( (x b b yy = ϕ1x) )
分析］ ［分析］ 当被积函数中有绝对值时， 当被积函数中有绝对值时，要考虑 积分域中不同范围脱去绝对值符号。 积分域中不同范围脱去绝对值符号。
2
∫∫ xydσ = ∫−1 dy ∫y D
2
y+2
∫∫ xydσ = ∫∫ D D
+ ∫∫ = ∫ dx ∫
D2
0
1
x
− x
xydy + ∫ dx ∫
1
4
x
x−2
xydy
=L
1
计算较繁
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本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！ 本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
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− 1 ≤ y ≤ 1 ［法2］ DY : ］ − 1 ≤ x ≤ y
－1 D
y
1 y y=x o －1 1
x
原式 = ∫ ydy ∫
−1
1
y
−1
1 + x 2 − y 2 dx
的积分较繁，故应用法1 注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便
注意两种积分次序的计算效果！ 注意两种积分次序的计算效果！
x=2
1
o
2 2 2
1
2
x
x2 2 ∫∫ xydσ = ∫1 dy ∫y xydx = ∫1 [ y ⋅ 2 ] y dy D
1 y3 = ∫ ( 2 y − )dy = 1 1 2 8
2
11
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【例2】 计算 ∫∫ y 1 + x 2 − y 2 dσ , D : 由y = x , x = −1, 】
为底， ∫∫ f ( x , y )dσ 的值等于以 D 为底，以曲面 z = D
则
f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积． 为曲顶柱体的体积．
方法】根据二重积分的几何意义以及计算 以及计算“ 【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求. 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.
D 1 D2 D3
D3
o
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x
9
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4. 【例题部分】
【例1】 计算 ∫∫ xydσ , 其中D：由y = 1, x = 2及 】
D
y = x所围闭区域 .
看作X－ 【解Ⅰ】 看作 －型域
y
y=x
D
1 ≤ x ≤ 2 DX : 1 ≤ y ≤ x
2 x
y=1
o
2
1 x
2
x
(1)［X－型域］ a ≤ x ≤ b, ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ). ［ －型域］
y = ϕ2 ( x )
y = ϕ2 ( x )
D
y = ϕ1 ( x)
a
b
D
y = ϕ1 ( x )
a
b
ϕ 上连续. 其中函数 ϕ1 ( x ) 、 2 ( x )在区间 [a , b] 上连续.
小结】 【小结】
以上三例说明， 以上三例说明，在化二重积分为二次 积分时， 积分时，为简便见需恰当选择积分次 既要考虑积分区域D的形状 的形状， 序；既要考虑积分区域 的形状，又要 考虑被积函数的特性(易积) 考虑被积函数的特性(易积)
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5.【简单应用】 【简单应用】
ϕ1( x0 )
b
ϕ2( x0 )
A( x0))= ∫∫ A( x =
即得
ϕ 2 2 ( x0 ) ϕ ( x)
ϕ 1 1 ( x0 ) ϕ( x)
f f xx0 ,)dydy ( ( , y y)
b
∴ V = ∫ A( x )dx
a
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫ dx ∫
a D
ϕ2 ( x)
(2)回顾一元函数定积分的应用 回顾一元函数定积分的应用 平行截面面积为已知的立体的体积的求法 在点x处的平行截面的面积为 A( x ) 体积元素 dV = A( x )dx 体积为
n
V = ∫ A( x )dx
a
2
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b
一、利用直角坐标系计算二重积分
1. 【预备知识】 预备知识】
D 1
D3
D2
在分割后的三个区域上分别都 型域) 是X－型域(或Y—型域) －型域( 型域
由二重积分积分区域的可加性得
∫∫ D
= ∫∫ + ∫∫ + ∫∫ .
D1 D2 D3
5
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2.【二重积分公式推导】 . 二重积分公式推导】
且设f ( x , y ) ≥ 0
a (1).若积分区域为 －型域： ≤ x ≤ b, ϕ1( x) ≤ y ≤ ϕ2( x). 若积分区域为X－型域： 若积分区域为
0 0
2
1
y
2 − y2
dx
=∫ e
0
1
−y
2
1 2 y3 y2 2 1 −y ⋅ dy = ∫ e ⋅ dy = (1 − ). 0 6 e 3 6
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2 【补例3 】计算积分 I = ∫∫ | y − x | dσ , 其中D为 : D
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1.
1
d
ψ2( y)
f ( x , y )dx
公式2 公式
即化二重积分为先对 x后对 y的二次积分 .
3.【二重积分的计算步骤可归结为】 画出积分域的图形，标出边界线方程； ①画出积分域的图形，标出边界线方程； ②根据积分域特征，确定积分次序； 根据积分域特征，确定积分次序； 根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。 ③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。
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【例3】 计算 ∫∫ xydσ , 其中D：由y = x及 】
2 D
y = x − 2所围闭区域
既是X—型域 既是 型域 【解】 D既是 又是Y—型域 型域 又是 先求交点
y2 = x 由 ⇒ (1,-1) 或 (4,2) y = x − 2
14
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D
和y = 1所围闭区域 .
既是X—型域又是 型域又是—Y型域 既是 型域又是 型域 【解】 D既是
1
y
D y=x
− 1 ≤ x ≤ 1 ［法1］ DX : ］ x ≤ y ≤ 1
1 1 2 2
－1
x
o
1
x
1 上式 = ∫ dx ∫ y 1 + x − y dy = L = −1 x 2
12
c
ψ1
o a
x
bx
为计算方便, 选择积分次序, 必要时还可交换积分次序 交换积分次序. 为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序.
(3) 若积分域较复杂 可将它分成若干 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域. -型域或 -型域.
y
D 1
D2
∫∫ D
= ∫∫ + ∫∫ + ∫∫
d
d
x = ψ 1( y)
D
x = ψ 2 ( y)
x = ψ 1( y)
D
c
c
x = ψ 2 ( y)
型区域的特点】 【Y—型区域的特点】穿过区域且平行于 轴的 型区域的特点 穿过区域且平行于x 直线与区域边界相交不多于两个交点. 直线与区域边界相交不多于两个交点.
4
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(3)［既非 －型域也非 －型域］如图 ［既非X－型域也非Y－型域］ 则必须分割. 则必须分割.
0≤ x ≤ 2 2≤ x ≤ 2 2 DX1 : , DX 2 : 2 2 1 2 0 ≤ y ≤ 2 x 0 ≤ y ≤ 8 − x y = 1 x2 2 D D2 1 将D = D1 + D2 视为 型区域 , 则 视为Y–型区域 o 22 0≤ y ≤ 2 D: 2 y ≤ x ≤ 8 − y2 8− y2 2 f ( x, y)dx I = ∫∫ f ( x, y)d xd y = ∫ dy∫
求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体 【例4】 】 求两个底圆半径都等于 的直交圆柱面所围成的立体 的体积V. z 的体积 【解】 设两个直圆柱方程为
x2 + y2 = R2 , x2 + z2 = R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 z = R − x
据二重积分的性质4（几何意义） 据二重积分的性质Байду номын сангаас（几何意义） σ = ∫∫ dxdy 【解】
y = x 交点 y = x + 2
2
D
( ⇒ ( −1,1) ，2,4)
− 1 ≤ x ≤ 2 DX : 2 x ≤ y ≤ x + 2
∴ σ = ∫ dx ∫
−1 2 x+2 x2
dy = ∫ ( x + 2 − x 2 )dx
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说明】 使用公式 必须是X－型域， 使用公式1必须是 公式2必须是 【说明】(1)使用公式 必须是 －型域， 公式 必须是 Y－型域 －型域. (2) 若积分区域既是 型区域又是 –型区域 , 若积分区域既是X–型区域又是 型区域 型区域又是Y y y = ϕ (x) 则有 ∫∫ f ( x, y)dxdy 2 d D ϕ2 ( x) x =ψ2 ( y) b x =ψ1( y) = ∫ d x ∫ ( x) f ( x, y)dy D ϕ1 a y ψ 2 ( y) d y = ϕ1(x) c = ∫ d y ∫ ( y) f ( x, y)dx ψ
−1
2
9 = 2
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6.【补充】 改变二次积分的积分次序例题 【补充】
补例1 【补例1】交换下列积分顺序
I = ∫ dx∫
0
2
x2 2 0
f ( x, y)dy +∫
2 2
2
dx∫
8− x2
0
f ( x, y)dy
y
x2 + y 2 = 8
积分域由两部分组成: 【解】 积分域由两部分组成
2 x
∫∫ D
0
2y
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【补例 2】求 ∫∫ x e 】
D
2 − y2
dxdy ，其中 D 是以
为顶点的三角形. ( 0,0), (1,1), ( 0,1)为顶点的三角形.
【解】Q ∫ e
− y2
dy 无法用初等函数表示
∴ 积分时必须考虑次序
∫∫ x e
D
2 − y2
dxdy = ∫ dy ∫ x e
− 1 ≤ y ≤ 2 ［法1］ DY : 2 ］ y ≤ x ≤ y+ 2
xydx = L 5 =5 8 型域 ［法2］ 视为 ］ 视为X—型域 则必须分割 D = D1 + D2 0 ≤ x ≤ 1 1 ≤ x ≤ 4 D1 : D2 : − x ≤ y ≤ x x − 2 ≤ y ≤ x
y2 x ∫∫ xydσ = ∫1 dx ∫1 xydy = ∫1 [ x ⋅ 2 ]1 dx D 3 2 x 1 x = ∫ ( − )dx = 1 1 2 2 8
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【解Ⅱ】 看作 －型域 看作Y－
2
y
x=y
y D
1 ≤ y ≤ 2 DY : y ≤ x ≤ 2
ϕ1 ( x )
f ( x , y )dy . 公式 公式1
上式称为先对 y后对x的二次积分
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y
(2).若积分域为 − 型域: Y
x = ψ1( y)
d
y
c ≤ y ≤ d,ψ1( y) ≤ x ≤ψ2( y).
c
o
D
x = ψ 2( y)
x
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫c dy ∫ψ ( y ) D
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、极坐标系下二重积分的计算 三、小结 思考题
1
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复习与回顾】 【复习与回顾】
∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆σ i (1)上节思考题 上节思考题 λ →0 i =1 D 不能用 ∆σ k → 0 代替 λ → 0 ？
2 2
R
o x
2
R
y
0 ≤ x ≤ R ( x, y) ∈ DX : 0 ≤ y ≤ R2 − x2
则所求体积为
= 8∫ = 8∫
R 2 0 R 0 2
R − x dx
2
∫0
R2 − x2
dy
17
16 3 (R − x )d x = R 3
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应用二重积分求由曲线 y = x 2 , y = x + 2 【例5】 】 所围区域 D的面积 σ
型区域的特点】 【X—型区域的特点】 穿过区域且平行于 轴的 型区域的特点 穿过区域且平行于y 直线与区域边界相交不多于两个交点. 直线与区域边界相交不多于两个交点.
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(2)［Y－型域］ c ≤ y ≤ d , ［ －型域］
ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ).