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CA(a)ωO(a)第10章动能定理及其应用10－1计算图示各系统的动能：1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。
在图示位置时，若已知圆盘上A、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，θ =45º（图a ）。
2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。
3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。
细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为ω（图c ）。
解：1．2222221632(2121)2(212121B B B C C C mv r v mr v m J mv T =⋅+=+=ω2．222122222214321(21212121vm v m r v r m v m v m T +=⋅++=3．22222222)2(212121ωωωωmR R m mR mR T =++=10－2图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。
现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。
当杆与铅垂线的夹角为ϕ时，试求系统的动能。
解：图（a ）BA T T T +=)2121(21222211ωC C J v g W v g W ++=21221121212211122]cos 22)2[(22ωϕω⋅⋅+⋅++++=l g W l l v l v l g W v g W ]cos 31)[(2111221222121ϕωωv l W l W v W W g +++=10－3重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。
齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。
曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。
试求行星齿轮机构的动能。
第6章 刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。
试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。
解：ϕc o s )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A +=（2）α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0221t αϕ=（3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过θϕϕ+=A因动齿轮纯滚，故有⋂⋂=CP CP 0，即 θϕr R = ϕθr R =， ϕϕrr R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A αϕαα6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。
试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。
解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。
作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。
则角速度杆AB 为6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。
试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。
解：RvR v A A ==ωR v R v B B 22==ωB A ωω2=6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。
设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30︒，ϕ＝60︒，BC ＝270mm 。
试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。
理论力学课后习题答案-第10章--动能定理及其应用-)(a)v ϕABC rv 1v 1v 1ωϕ(a)CCωCvωO第10章 动能定理及其应用10－1 计算图示各系统的动能：1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。
在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，θ = 45º（图a ）。
2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。
3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。
细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为ω（图c ）。
解：1．222222163)2(2121)2(212121BBB CCCmv r v mr v m J mv T =⋅+=+=ω 2．222122222214321)(21212121v m v m r v r m v m vm T +=⋅++= 3．22222222)2(212121ωωωωmR R m mR mR T =++=10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。
现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。
当杆与铅垂线的夹角为ϕ时，试求系统的动能。
解：图（a ） B AT T T +=)2121(21222211ωC CJ vgWv g W ++=21221121212211122]cos 22)2[(22ωϕωω⋅⋅+⋅++++=l gW l l v l v l g W v g W]cos 31)[(2111221222121ϕωωv l W l W v W W g +++=10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。
齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。
习题9－2图习题20-3图OxF Oy F gm gDdα习题20-3解图第9章动量矩定理及其应用9－1计算下列情形下系统的动量矩。
1.圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM =s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。
2.图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮心为A ，质心为C ，且AC =e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。
（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。
解：1、2s m L O ω=（逆）2、（1）1()(Remv e v m mv p A A C +=+==ω（逆）Rv me J R e R mv J e R mv L AA A C CB )()()(22-++=++=ω（2）)(e v m mv p A C ω+==ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++=9－2图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。
解：ω)(22r m R m J L B A O O ++=9－3图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。
若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。
不计铰链摩擦。
解：令m =m OA =50kg ，则m EC =2m 质心D 位置：（设l =1m)m6565===l OD d 刚体作定轴转动，初瞬时ω=0lmg lmg J O ⋅+⋅=22α222232)2(212131ml ml l m ml J O =+⋅⋅+=即mglml 2532=α2rad/s 17.865==g lαgl a D 362565t =⋅=α由质心运动定理：OyD F mg a m -=⋅33t4491211362533==-=mg g mmg F Oy N （↑）0=ω，0n=Da ，0=Ox F 习题9－1图（a ）（b ）习题9－5解图习题9－5图9－4卷扬机机构如图所示。
理论力学习题册答案班级＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿＿＿第1章 受力分析概述1－3 试画出图示各物体的受力图。
或(a-2)(a-1)(b-1)(c-1)或(b-2) (d-1)(e-1)(e-2)(f-1)(e-3)(f-2)(f-3)F AF BF A(b-3)(a-3)(a-2)(b-2)(b-1)(a-1)1－4* 图a 所示为三角架结构。
荷载F 1作用在铰B 上。
杆AB 不计自重，杆BC 自重为W 。
试画出b 、c 、d 所示的隔离体的受力图，并加以讨论。
习题1－4图1－7 画出下列每个标注字符的物体的受力图，各题的整体受力图未画重力的物体的自重均不计，所有接触面均为光滑面接触。
abe(d-2)(c-1)(b-1)(b-2) (b-3)(c-2)(d-1)i gj第2章 力系的等效与简化2－3 图示正方体的边长a =，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。
解：)(2)()(j i k i Fr F M +-⨯+=⨯=Fa A O m kN )(36.35)(2⋅+--=+--=k j i k j i Fam kN 36.35)(⋅-=F x M2－9 图示平面任意力系中F 1 = 402N ，F 2 = 80N ，F 3 = 40N ，F 4 = 110M ，M = 2000 N ·mm 。
各力作用位置如图所示，图中尺寸的单位为mm 。
求力系向O 点简化的结果。
FFFF (0,30)(20,20)(20,-30)(-50,0)45yxRF 'ooM yxoRF (0,-6)解：N 15045cos 421R -=--︒=∑=F F F F F x x 045sin 31R =-︒=∑=F F F F y yN 150)()(22'R =∑+∑=y x F F Fm m N 900305030)(432⋅-=--+=∑=M F F F M M O O F向O 点简化结果如图（b ）；合力如图（c ），其大小与方向为N 150'R R i F F -==Ar A(a)(b)（c）（d）第3章静力学平衡问题3－2图示为一绳索拔桩装置。
9－1在图示系统中，均质杆OA 、AB 与均质轮的质量均为m ，OA 杆的长度为1l ,AB 杆的长度为2l ，轮的半径为R ,轮沿水平面作纯滚动。
在图示瞬时，OA 杆的角速度为ω，求整个系统的动量.ω125ml ,方向水平向左题9－1图 题9－2图9－2 如图所示，均质圆盘半径为R ,质量为m ，不计质量的细杆长l ，绕轴O 转动，角速度为ω，求下列三种情况下圆盘对固定轴的动量矩： (a ）圆盘固结于杆；（b ）圆盘绕A 轴转动，相对于杆OA 的角速度为ω-； (c ）圆盘绕A 轴转动，相对于杆OA 的角速度为ω。
（a ）ω)l R (m L O 222+=;(b ）ω2ml L O =；（c ）ω)l R (m L O 22+= 9－3水平圆盘可绕铅直轴z 转动，如图所示，其对z 轴的转动惯量为z J 。
一质量为m 的质点,在圆盘上作匀速圆周运动，质点的速度为0v ，圆的半径为r ,圆心到盘中心的距离为l 。
开始运动时,质点在位置0M ，圆盘角速度为零。
求圆盘角速度ω与角ϕ间的关系，轴承摩擦不计。
9－4如图所示，质量为m 的滑块A ，可以在水平光滑槽中运动,具有刚性系数为k 的弹簧一端与滑块相连接，另一端固定。
杆AB 长度为l ,质量忽略不计,A 端与滑块A 铰接，B 端装有质量1m ，在铅直平面内可绕点A 旋转.设在力偶M 作用下转动角速度ω为常数.求滑块A 的运动微分方程。
t l m m m x m m kxωωsin 2111+=++9－5质量为m，半径为R的均质圆盘，置于质量为M的平板上，沿平板加一常力F。
设平板与地面间摩擦系数为f，平板与圆盘间的接触是足够粗糙的,求圆盘中心A点的加速度。
9－6均质实心圆柱体A 和薄铁环B 的质量均为m ，半径都等于r ，两者用杆AB 铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为θ，如图所示。
如杆的质量忽略不计，求杆AB 的加速度和杆的内力.θsin 74g a =； 9－7均质圆柱体A 和B 的质量均为m ，半径为r ，一绳缠在绕固定轴O 转动的圆柱A 上，绳的另一端绕在圆柱B 上，如图所示.摩擦不计。
习题9－2图习题20-3图OxF Oy F gm gm 2Ddα习题20-3解图第9章 动量矩定理及其应用9－1 计算下列情形下系统的动量矩。
1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。
2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。
（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。
解：1、2s m L O ω=（逆） 2、（1）)1()(Re mv e v m mv p A A C +=+==ωRv me J Re R mv J e R mv L A A AC C B )()()(22-++=++=ω（2）)(e v m mv p A C ω+==ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++=9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。
解：ω)(22r m R m J L B A O O ++=9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。
若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。
不计铰链摩擦。
解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6565===l OD d刚体作定轴转动，初瞬时ω=0 lm g l m g J O ⋅+⋅=22α222232)2(212131mlml l m ml J O =+⋅⋅+=即mglml 2532=α2r a d /s 17.865==g lαgl a D 362565t=⋅=α由质心运动定理： Oy D F mg a m -=⋅33t4491211362533==-=mg g mmg F Oy N （↑）=ω，0n=Da ， 0=Ox F(a)v (b)习题9－1图（b ）习题9－5解图J习题9－5图9－4 卷扬机机构如图所示。
可绕固定轴转动的轮B 、C ，其半径分别为R 和r ，对自身转轴的转动惯量分别为J 1和J 2。
被提升重物A 的质量为m ，作用于轮C 的主动转矩为M ，求重物A 的加速度。
解：对轮C ：r F M J C T 2-=α 对轮B 和重物A ：mgR R F mR J -'=+T 21)(α运动学关系：ααR r a C ==2222212)(rmR R J r J rRmgr M a ++-=9－5 图示电动绞车提升一质量为m 的物体，在其主动轴上作用一矩为M 动力偶。
已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件对各自转动轴的转动惯量分别为J 1和J 2；传动比r 2 : r 1 = i ；吊索缠绕在鼓轮上，此轮半径为R 。
设轴承的摩擦和吊索的质量忽略不计，求重物的加速度。
解：对轮1（图a ）： 111Fr M J -=α 对轮2（图b ）：mgR r F mR J -'=+2222)(α2211ααr r =；21ααi =21222iJ mRJ mgR Mi ++-=α重物的加速度：21222)(iJ mRJ R mgR Mi R a ++-==α9－6 均质细杆长2l ，质量为m ，放在两个支承A 和B 上，如图所示。
杆的质心C 到两支承的距离相等，即AC = CB = e 。
现在突然移去支承B ，求在刚移去支承B 瞬时支承A 上压力的改变量ΔF A 。
解：mge J A =α，mge me ml =+α)31(22A C F mg ma -=22233e l gee a C +==α22233e l mgemg F A +-=mg e l le mg el mgeF mg F A A )3(2323322222222+-=-+=-=∆习题9－6图习题9－4图题9-4解图习题9－6解图α习题9－7图习题9－8图(b) 习题9－7解图9－7 为了求得连杆的转动惯量，用一细圆杆穿过十字头销A 处的衬套管，并使连杆绕这细杆的水平轴线摆动，如图a 、b 所示。
摆动100次所用的时间为100s 。
另外，如图c 所示，为了求得连杆重心到悬挂轴的距离AC = d ，将连杆水平放置，在点A 处用杆悬挂，点B 放置于台秤上，台秤的读数F = 490N 。
已知连杆质量为80kg ，A 与B 间的距离l =1m ，十字头销的半径r = 40mm 。
试求连杆对于通过质心C 并垂直于图面的轴的转动惯量J C 。
解：图（a ），1<<θ时，θθ)(r d mg J A +-= 0)(=++θθr d mg J A 0)(=++θθAJ r d mgA J r d m g )(n +=ω)(π2π2nr d m g J T A+==ω （1）2)(r d m J J C A ++=（2）由图（b ）： 0=∑AM ，625.085===mgFl dm代入（1）、（2），注意到周期s2=T，得22222mkg 45.17)665.0π8.9(665.080)](π)[()(π)(⋅=-⨯⨯=+-+=+-+=r d g r d m r d m r d m g J C9－8 图示圆柱体A 的质量为m ，在其中部绕以细绳，绳的一端B 固定。
圆柱体沿绳子解开的而降落，其初速为零。
求当圆柱体的轴降落了高度h 时圆柱体中心A 的速度υ和绳子的拉力F T 。
解：法1：图（a ） T F mg ma A -= （1） r F αJ A T = （2） r αa A =（3）221mrJ A =解得 mgF 31T =（拉）ga A 32=（常量）（4）习题9－10图习题9－9图CTF(a)由运动学ghh a v A A 3322==（↓）法2：由于动瞬心与轮的质心距离保持不变，故可对瞬心C 用动量矩定理：m g r J C =ϕ （5） 2223m rm r J J A C =+=又 ra A =ϕga A 32=（同式（4））再由 TF mg maA-=得 mgF 31T =（拉）ghh a v A A 3322==（↓）9－9 鼓轮如图，其外、内半径分别为R 和r ，质量为m ，对质心轴O 的回转半径为ρ，且ρ2= R ·r ，鼓轮在拉力F 的作用下沿倾角为θ的斜面往上纯滚动，F 力与斜面平行，不计滚动摩阻。
试求质心O 的加速度。
解：鼓轮作平面运动，轴O 沿斜面作直线运动：θs i n f mg F F ma O --= （1） R F Fr m f 2+=αρ （2） 纯滚：αR a O = （3）代入（2） R F Fr Ra m O f 2+=⋅ρ（4）解（1）、（4）联立，消去F f ，得 )(s i n )(222ρθ+-+=R m m g R r R FR a O9－10 图示重物A 的质量为m ，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C 沿水平轨道滚动而不滑动。
绳子跨过不计质量的定滑轮D 并绕在滑轮B 上。
滑轮B 与滚子C 固结为一体。
已知滑轮B 的半径为R ，滚子C 的半径为r ，二者总质量为m ′，其对与图面垂直的轴O 的回转半径为ρ。
求：重物A 的加速度。
题9-9解图 f习题9－11图习题9－12图(a)解：法1：对轮： Fr TR J O -=α （1）TF a m O -=' （2）对A ： Tmgma A -=（3）又：t HH A a a a ==绳 以O 为基点： t n n tHOHOO HHaaa aa++=+ααα)(tt r R r R a a a O HO H -=-=-=（→）α)(r R a A -=（↓） （4）由上四式联立，得（注意到2ρm J O'=）1)()()()()(2222222+-+⋅'=-++'-=r R r m m gr R m r m r R mg a A ρρ法2：对瞬心E 用动量矩定理（本题质心瞬心之距离为常数）)(r R T J E -=α T mg ma A -= 又α)(r R a A -=)(222r m r m J J O E +'='+=ρ 可解得：1)()(222+-+⋅'=r R r m m ga Aρ9－11 图示匀质圆柱体质量为m ，半径为r ，在力偶作用下沿水平面作纯滚动。
若力偶的力偶矩M 为常数，滚动阻碍系数为δ，求圆柱中心O 的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。
解：fMM J D -=α（1）NfF Mδ=mgF =N 223mrJ D =ra =α代入（1），得mrmg M a 3)(2δ-=又：F ma=rmg M F 3)(2δ-=9－12 跨过定滑轮D 的细绳，一端缠绕在均质圆柱体A 上，另一端系在光滑水平面上的物体B 上，如图所示。
已知圆柱A 的半径为r ，质量为m 1；物块B 的质量为m 2。
试求物块B 和圆柱质心C 的加速度以及绳索的拉力。
滑轮D 和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。
解：对轮C ： r F J C T =αT 11F g m a m C -=对物块B ：T 2F a m B = 且：αr a a B C +=；2121r m J C =解得：gm m m a B2113+=；g m m m a C212132++=g m m m m F 2121T 3+=tHOaO a(b)gm F绳H a HT 'OαT(a)a AF·E题9-12解图T ′1(a)x(b)9－13 图示匀质圆轮的质量为m ，半径为r ，静止地放置在水平胶带上。
若在胶带上作用拉力F ，并使胶带与轮子间产生相对滑动。
设轮子和胶带间的动滑动摩擦因数为f 。
试求轮子中心O 经过距离s 所需的时间和此时轮子的角速度。
解：图（a ），轮O 平面运动： 1F ma O =（1） mg F -=N 0（2） rF J O 1=α（3）由（2），mgF =N动滑动时，fmgfF F ==N 1（4） （4）代入（1），得fg a O = （5）（4）代入（3），得（221m rJ O=）rfg 2=α （6）由（5）代入下式：221ta s O =得fgs t 2=fgsrt 22==αω（逆）9－14 图示匀质细杆AB 质量为m ，长为l ，在图示位置由静止开始运动。
