A
第五章 相交线与平行线
一、典型例题
例1．如图(1)，直线a 与b 平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,
求∠3的度数。
图(1)
例2．已知：如图(2)， AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°，
图(2)
例3．如图（3），已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。
图（3）
例4．平面上n 条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？
G
例5．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？
例6．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
例7．两条直线相交于一点，所形成的的角中有2对对顶角，4对邻补角，那么，三条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？四条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？n 条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？
二、巩固练习
1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条 A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9
2．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ）
A ．3
B ．1或3
C ．1或2或3
D ．不一定是1，2，3
3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A ．36条 B ．33条 C ．24条 D ．21条
4．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12
5．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ） A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对
6．如图，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠3=( )
F A ．90° B ．135° C ．150° D ．180°
第 5 题
第 6 题
7．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系 ； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点
9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。
10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，PS ⊥GH 于P ，∠FRG=110°，则∠PSQ ＝ 。
11．已知A 、B 是直线L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是 。 12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。 13．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B
14．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G
第13题 第14题
15．如图，已知CB ⊥AB ，CE 平分∠BCD ，DE 平分∠CDA ，
∠EDC+∠ECD =90°， 求证：DA ⊥AB
16．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？
例题答案
1、解：∵ a ∥b ，
∴ ∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
第 15 题
∵ ∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义) ∴ ∠1＝∠2 (等式性质)
则 3x+70＝5x+22 解得x=24 即∠1＝142°
∴ ∠3＝180°-∠1＝38° 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。
∠B -∠D=24°，求∠GEF 的度数。 2、解：∵AB ∥EF ∥CD
∴∠B=∠BEF ，∠DEF=∠D （两直线平行，内错角相等） ∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知） 即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°
∴2（∠B+∠D ）=192°（等量代换） 则∠B+∠D=96°（等式性质）
∵∠B -∠D=24°（已知） ∴∠B=60°（等式性质） 即∠BEF=60°（等量代换） ∵EG 平分∠BEF （已知）
∴∠GEF=
2
1
∠BEF=30°（角平分线定义） 3、解：过E 作EF ∥AB ∵ AB ∥CD （已知） ∴ EF ∥CD （平行公理）
∴ ∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠DEB=∠DEF -∠BEF ∴ ∠DEB =∠D -∠B=30°
评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。 4、解：2条直线产生1个交点，
第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点； 第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点； … 则 n 条直线共有交点个数：1+2+3+…+ (n-1)=
2
1
n(n-1) 评注：此题是平面上n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。
5、解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直
线为15-2=13条。
另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×3=9条直线，加上3点
所在的直线共有：3+9+1=13条 评注：一般地，平面上n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)=
2
1
n(n-1) 6、解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；
3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域； 同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；
…
∴ 10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域
