2019-2020 年中考数学专题23动态几何之单动点形成的函数关系问题（含解
析）
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的
观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形
的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就
问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解
这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以
动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问
题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和
图象问题。本专题原创编写单动点形成的函数关系问题模拟题。
在中考压轴题中，单动点形成的函数关系和图象问题命题形式主要有选择题和解答题。动点变化的载体可以是三角形、特殊四边形或圆等平面图形，也可以是直线、双曲线或抛物线等函数图象。
单动点形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
1. 如图，在正方形 ABCD中， AB=4cm，动点 M从 A 出发，以 1cm/s 的速度沿折线 AB﹣ BC 运动，同时动点 N 从 A 出发，以 2cm/s 的速度沿折线 AD﹣ DC﹣ CB运动， M， N第一次相遇时同时停止运动．设△ AMN的面积为y，运动时间为 x，则下列图象中能大致反映 y 与 x 的函数关系的是（）
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】
试题分析：首先根据题意，运用分类讨论的数学思想求出y 关于时间x 的函数关系式，问题即可解决．
点评：该命题主要考查了动点问题的函数图象及其应用问题；解题的关键是准确把握题意，运用分类讨论
的数学思想正确写出函数关系式．
2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 1 x 2 2x 4 交y轴于点C，对称轴与x轴交于点D，
2
设点 P（ x，y）是该抛物线在x 轴上方的一个动点（与点 C 不重合），△ PCD的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
【答案】令 y 0 ，即1 2
，解得 x 2 2 3 。
x 2x 4 0
2
设抛物线与x 轴交于点A、 B，（点 A 在点 B 的左边），则 A（2 2 3 ，0）、B（ 2 2 3 ，0）。
②当点 P 在 CM之间时，即 0＜x≤2，如答图2，
∵ P（x， y），且点 P 在第一象限，∴ PE=y，OE=x。
∴ DE OD OE 2 x 。
∴ S S梯形
PEOC
S
PDE S COD
1
4 y x
1
2 x y
1
2 4 y 2x 4。
2 2 2
将 y 1 x2 2x 4 代入上式得： S 1 x2 4x 。
2 2
1 x
2 4x 2 2 3综上所述， S 关于 x 的函数关系式为：S 2 。
1 x
2 4x 02
【考点】动点问题，抛物线与x 的交点问题，解一元二次方程，由实际问题列函数关系式，分类思想
和转换思想的应用。
3.在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y= 2x+2 的图象与 x 轴交于 A，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为（ a，
0），（其中 a＞ 0），直线 l 过动点 M（0， m）（ 0＜ m＜ 2），且与 x 轴平行，并与直线 AC、 BC分别相交于点D、E， P 点在 y 轴上（ P 点异于 C 点）满足 PE=CE，直线 PD与 x 轴交于点 Q，连接 PA．
（ 1）写出 A、 C两点的坐标；
（ 2）当 0＜m＜ 1 时，若△ PAQ是以 P 为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足 HN=2HK，则称△ HNK为以 H 为顶点的倍边三角形），求出 m的值；
（ 3）当 1＜ m＜ 2 时，是否存在实数m，使 CD?AQ=PQ?DE？若能，求出m的值（用含a 的代数式表示）；若不
能，请说明理由．
【答案】解：（ 1）在直线解析式y=2x+2 中，令 y=0，得 x= ﹣ 1； x=0，得 y=2，
∴ A（﹣ 1，0）， C（0， 2）。
（ 2）当 0＜ m＜ 1 时，依题意画出图形，如图1，
∵PE=CE，∴直线 l 是线段 PC的垂直平分线。
∴ MC=MP。
又 C（ 0，2）， M（ 0， m），∴ P（ 0， 2m
﹣ 2）。设直线 l 与 y=2x+2 交于点 D，
（3）当 1＜ m＜ 2 时，假设存在实数 m，使 CD?AQ=PQ?DE，依题意画出图形，如图 2，
由（ 2）可知， OQ=m ﹣ 1， OP=2m ﹣ 2，
由勾股定理得： PQ
5 m 1 。
∵ A （﹣ 1，0）， Q （m ﹣ 1， 0）， B （ a ，0）， ∴ AQ=m ， AB=a+1。
∵ OA=1， OC=2，由勾股定理得： CA= 5 。
∵直线 l ∥x 轴，∴△ CDE ∽△ CAB 。
∴
CD CA 。
DE AB
又∵ CD?AQ=PQ?DE ，∴
CD
PQ 。
DE
AQ
∴ CA PQ ，即 5 5 m 1
a 1 。
a 1
，解得： m
AB
AQ
m
a
∵ 1＜ m ＜ 2，∴当 0＜a ≤1时， m ≥2， m 不存在；当 a ＞1 时， m
a 1 。
a
∴当 1＜ m ＜ 2 时，若 a ＞ 1，则存在实数 m
a 1
，使 CD?AQ=PQ?DE ；若0＜ a ≤ 1，则 m 不存
在。
a
【解析】
4. 如图，梯形
ABCD 中， AB ∥DC ， DE ⊥ AB ， CB ⊥AB ，且
AE = EB = 5
， DE = 12
，动点 P 从点 A 出发，沿折
线 AD-DC-CB 以每秒
1个单位长的速度运动到点
B 停止。设运动时间为
t 秒，
y = S
△ EPB ，则 y 与 t 的函数图象大致
是【
】
