第5章 微分方程模型

微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。

微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。

建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。

2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。

()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。

这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。

第五章微分方程建模案例微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。

微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。

微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。

本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。

下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法：1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。

例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。

2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。

例如从几何观点看，曲线y=上某点的切线斜率即函数)yy=在该点的导数；力学中的牛顿第二运(x)(xy动定律：maF=，其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数等等。

从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。

例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。

对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m，空气阻209210力系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：0)0(=v . 由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：2kv mg dtdv m -= 求解模型可得：)1]2(exp[)1]2(exp[+-=mkg t k m kg tmg v 由上式可知，当+∞→t 时，物体具有极限速度：kmg v v t ==∞→lim 1， 其中，阻力系数s k αρ=，α为与物体形状有关的常数，ρ为介质密度，s 为物体在地面上的投影面积。

在解决实际问题时，弄清问题中的变量之间的函数关系或其转变趋势是相当重要的，而在一些较为复杂的转变进程中，变量之间的函数关系无法直接取得。

可是，在许多情形下，咱们往往能够在理论或体会的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间的关系。

也确实是找出一个或几个含有未知函数及其导数所知足的方程，那个（些）方程就称为微分方程（组）。

然后通过求解微分方程（组）取得变量之间的函数关系，或在微分方程（组）的基础上进行数值计算和渐进性态研究，从而了解整个系统的进展转变规律。

为了研究一些实际问题的转变规律，往往需要对所研究的问题进行适当的简化和假设，再成立数学模型，当问题中涉及变量的转变率时，就能够够通过微分方程来建模。

微分方程模型主若是解决与导数，也即转变率相关的问题，可是；实际问题中一样并非会直接显现“导数”或“转变率”等词语，这时，就需要咱们认真分析，从中找出这些信息，一样来讲，若是问题中涉及到“速度”、“增加”、“改变”、“转变”、“增加”、“减少”、“衰变”（在放射性问题中）、“扩散”、“边际的”（在经济学中）等问题时，往往就能够够用微分方程（组）来建模。

微分方程模型的类型很多，在解决实际问题时，要依照具体情形选择不同的模型，成立模型时，应第一将实际问题概念化为文字方程，许多问题都遵循下面的模式：总讯宗勋净转变率=净增加率━净减少率若是变量之间的关系能够用这种形式来描述，咱们就不难给出相应的微分方程（组）了。

在成立了微分方程模型以后，咱们固然希望能取得微分方程的解，可是，关于大多数微分方程而言，要想直接求解往往是困难的，乃至是不可能的，现在咱们能够通过对方程的定性分析取得有关的一些有效信息。

§1 确信性存贮模型为了使生产和销售有条不紊地进行，一样的工商企业总需要存贮必然数量的原料或商品，但是大量的库存不但积存了资金，而且会使仓库的保管费用增加。

因此，寻求合理的库存量乃是现代企业治理的一个重要课题。

需要注意的是，存贮问题的原型能够是真正的仓库存货，水库存水，也能够是运算机的存贮器的设计问题，乃至是大脑的存贮问题。

数学建模实验答案_微分⽅程模型实验07 微分⽅程模型（2学时）（第5章微分⽅程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt=-= 其中，i (t )是第t 天病⼈在总⼈数中所占的⽐例。

k 是每个病⼈每天有效接触的平均⼈数（⽇接触率）。

i 0是初始时刻（t =0）病⼈的⽐例。

1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最⼤值，并在曲线图上标注。

提⽰：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel 1）画曲线图⽤fplot 函数，调⽤格式如下： fplot(fun,lims)fun 必须为⼀个M ⽂件的函数名或对变量x 的可执⾏字符串。

若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。

若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。

本题可⽤fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最⼤值⽤求解边界约束条件下的⾮线性最⼩化函数fminbnd，调⽤格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为⼀个M⽂件的函数名或对变量x的可执⾏字符串。

返回⾃变量x在区间x1本题可⽤x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指⽰最⼤值坐标⽤线性绘图函数plot，调⽤格式如下：plot(x1,y1, '颜⾊线型数据点图标', x2,y2, '颜⾊线型数据点图标',…)本题可⽤hold on; %在上⾯的同⼀张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使⽤⽂本标注函数text，调⽤格式如下：格式1text(x,y,⽂本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注⽂本在图中添加的位置。

微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。

通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。

本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。

基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。

通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。

微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。

通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。

常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。

解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。

解析解是指能够用数学公式精确表示的解。

解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。

一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。

数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。