2012年现代控制理论考试试卷
一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，
（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （ √ ）2. 若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。
（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。
（ √ ）4. 对线性定常系统x Ax =，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。
（ √ ）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。
（ × ）6. 对一个系统，只能选取一组状态变量；
（ √ ）7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；
（ × ）8. 若传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；
（ × ）9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；
（ × ）10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性。
二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。（10分）
解：（1）由电路原理得：
112
212
1111
222
11
111L L c L L c c L L di R i u u dt L L L di R i u dt L L du i i dt c c
=-
-+=-+=-
222R L u R i =
11221111
2221011000110L L L L c c R i i L L L R i i u L L u u c
c
⎡⎤
--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢
⎥⎣⎦
[]1222
00L R L c i u R i u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
二．（10分）图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。
解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。
以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：
12
,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：
22210R C x x L x ∙
∙
+-=
1121()0R x C x L x u ∙∙
++-=
从上述两式可解出1x ∙
，2x ∙
，即可得到状态空间表达式如下：
121121212()()R R x R R L R x R R C
∙
∙⎡-⎡⎤⎢
+⎢⎥⎢=⎢⎥⎢-⎣⎦⎢
+⎣
121121221212()()11
()()R R x R R L R R L u x R R C R R C ⎤⎡⎤⎥⎢⎥
++⎡⎤⎥⎢⎥+⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦-⎥⎢⎥++⎦⎣⎦
⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡
++-2112
12110R R R R R R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x +u R R R ⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡+21
20
三、（每小题10分共40分）基础题
（1）试求32y y y u u --=+的一个对角规范型的最小实现。（10分）
23232
2()(1)(1)11111()21
32(1)(2)2Y s s s s s s s U s s s s s s s s s s +-++-+-====++-+--+----…………4分 不妨令
1()1()2X s U s s =-，2()
1()1
X s U s s -=+…………2分 于是有
11222x x u x x u =+=--
又
12()()()
1()()()
X s X s Y s U s U s U s =++，所以12()()()()Y s U s X s X s =++，即有 12y u x x =++…………2分
最终的对角规范型实现为
1122122x x u x x u y x x u
=+=--=++ 则系统的一个最小实现为：
[]201, 11011u y ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦
x x x +u …………2分
（2）已知系统[]011, 12232u y ⎡⎤⎡⎤
=+=-⎢
⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
x x x ，写出其对偶系统，判断
该系统的能控性及其对偶系统的能观性。（10分） 解答：
021132u -⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x x …………………………2分 []12y =x
……………………………………2分
[]562,323C rankU rank b
Ab rank -⎡⎤===⎢⎥
-⎣⎦
系统状态完全能控分
3则对偶系统能观
分
（3）设系统为
()()()1011, (0)0211t t u t x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x
试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应（10分）。 解
()200
t
t e t e --⎡⎤=⎢
⎥
⎣⎦Φ……………………………..…….……..3分
()()0
()(0)()d τ
t t t t u τ=+⎰x x B ΦΦ……….….……….……..3分
(
)
()22010
10d τ110
t t t t t e
e e e ττ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰….……..2分 ()()220d τ
t t t t t e e e e τ
τ------⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰.……….…………………..…..1分
()()()22211==111122t t t t t e e e e e -----⎡⎤+-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-⎢⎥⎣⎦⎣⎦………………..1分
