有限元分析及应用

j为自由指标，它们可以自由变化；在三维问题中， 分别取为1，2，3；在直角坐标系中，可表示三个 坐标轴x, y, z。
哑指标：在每项中有重复下标出现，如：aij x j bi，
j为哑指标。在三维问题中其变化的范围为1,2,3
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Einstein 求和约定：哑指标意味着求和
指标记法的应用：
对于方程组
. .
...
线性
二次
. . 线(弹簧，梁，杆，间隙)
.. .体..(三..维实.体..).............
线性
二次
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一维波传导问题 点 单元
线 单元
24
线 单元
点 单元
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面 单元
Y
Y
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
0
-0.001
-0.002
-0.003 0.054
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有限元法是最重要的工程分析技术之一。 它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流 体力学、热传导等领域。有限元法是60年 代以来发展起来的新的数值计算方法，是 计算机时代的产物。虽然有限元的概念早 在40年代就有人提出，但由于当时计算机 尚未出现，它并未受到人们的重视。
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随着计算机技术的发展，有限元法在各个 工程领域中不断得到深入应用，现已遍及 宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、 海洋等工业，是机械产品动、静、热特性 分析的重要手段。早在70年代初期就有人 给出结论：有限元法在产品结构设计中的 应用，使机电产品设计产生革命性的变化， 理论设计代替了经验类比设计。
有限元分析及应用
第一章 有限元法简介
2
有限元法介绍
有限元法的基本思想是将结构离散化，用
有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，
单元之间通过有限个结点相互连接，然后
根据变形协调条件综合求解。由于单元的
数目是有限的，结点的数目也是有限的，
所以称为有限元法(FEM，Finite Element
Method)。
2.1 变形体的描述与变量定义
(1) 变形体
变形体：即物体内任意两点之间可发生相对移动。 有限元方法所处理的对象：任意变形体
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(2) 基本变量的定义
可以用以下各类变量作为任意变形体的描述
量
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移、应变、应力
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目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程 和材料物理方程
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有限元法的孕育过程及诞生和发展
牛顿(Newton)
莱布尼茨(Leibniz G. W.) 6
大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积 分法，证明了该运算具有整体对局部的可加 性。虽然，积分运算与有限元技术对定义域 的划分是不同的，前者进行无限划分而后者 进行有限划分，但积分运算为实现有限元技 术准备好了一个理论基础。
-0.1 0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
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Y
Y
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
0
-0.001
-0.002
-0.003 0.054
-0.1 0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
各个方向上具有相同特性；
(4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状；
(5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方 程时，可以高阶小量（二阶以上）。
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
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2.3 基本变量的指标表达
指标记法的约定：
自由指标：在每项中只有一个下标出现，如 ij ，i，
有限元方法的思路及发展过程
思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有 力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方 便，一般人员可以使用。 实现办法：
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技术路线：
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发展过程： 如何处理
对象的离散化过程
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常用单元的形状
.点 (质量)
面 (薄壳, 二维实体,
..
轴对称实体)
. .
...
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受垂直载荷的托架
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体单元
•线性单元 / 二次单元 – 更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。
低阶单元
更高阶单元
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有限元分析的作用
复杂问题的建模简化与特征等效 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） 计算结果的评判 二次开发 工程问题的研究 误差控制
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第二章 有限元分析的力学基础
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瑞利(Rayleigh)
在19世纪末及 20世纪初，数 学家瑞利和里 兹（Rayleigh Ritz）首先提出 可对全定义域 运用展开函数 来表达其上的 未知函数。
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1915年，数学家伽辽金(Galerkin)提出了选 择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法 被广泛地用于有限元。1943年，数学家库 朗德第一次提出了可在定义域内分片地使 用展开函数来表达其上的未知函数。这实 际上就是有限元的做法。
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高斯(Gauss)
在牛顿之后约一百年， 著名数学家高斯提出了 加权余值法及线性代数 方程组的解法。这两项 成果的前者被用来将微 分方程改写为积分表达 式，后者被用来求解有 限元法所得出的代数方 程组。
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拉格朗日(Lagrange J.)
在18世纪，另 一位数学家拉 格朗日提出泛 函分析。泛函 分析是将偏微 分方程改写为 积分表达式的 另一途径。
(3) 研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变 形体）
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2.2 弹性体的基本假设
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在
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各（
力对
学象
学、
科变
分量
支、
的方
关程
系、
求
解
途
径
）
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任意变形体力学分析的基本变量及方程 研究对象：任意形状的变形体 几种典型的对象 (1) 桥梁隧道问题
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圆形隧道
三维模型 15
(2) 中华和钟 (3) 矿山机械
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(4) 压力容器的成形 17
变形体及受力情况的描述 18
求解方法 19
（2-1）
按一般的写法，可写为 若用指标记法：
（2-2） （2-3）
(2-3)式与(2-2)式等价，因为j为哑指标，意味着求和
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克罗内克符号