大学物理(下)典型题

1 q1 q2 (2) 由： 1 r R 0 4 0 2
O
R1 R2
q1 6.7 1010 可得 r R2 20 10cm 9 q2 1.3 10
10.在均匀磁场中放置一半径为R的半圆形导线，电流强 度为I，导线两端连线与磁感应强度方向夹角=30°，求 此段圆弧电流受的磁力。
d D/ 2 d D/ 2
qint 2dS , qint DS ,
E-d 曲线如图
0 D E 2 0
E
d
D/ 2
D 2 0
E
D/ 2
O
D 2 0
d
8 两个同心金属球壳，内球壳半径为R1，外球壳半径为 R2，中间充满相对介电常数为 r 的均匀介质，构成一个 球形电容器。 (1) 求该电容器的电容； (2)设内外球壳上 分别带有电荷+Q和-Q，求电容器储存的能量。
解: (1) 已知内球壳上带正电荷Q，则 两球壳中间的场强大小为 ：
E Q /(4 0 r r )
2
r
O
R1 R2
两球壳间电势差
U 12 E d r
R1 R2
Q 1 1 ( ) Q( R2 R1 ) /(4 0 r R1 R2 ) 4 0 R1 R2
dq

r
x
不变，可以提到积分号外，即
cos q cos E dq 2 4 0 r 4 0 r 2
P dE // x dE dE
x cos , r R 2 x 2 r qx E 2 2 3/ 2 4 0 ( R x )
qx E 2 2 3/ 2 4 0 ( R x )
2 R13 2 b b1 b ห้องสมุดไป่ตู้ ( 3 R2 rb2 ) 6 0 rb
2 rdr ( R2 rb2 ) 0 2 0
4：有一块大金属平板，面积为S，带有总电量 Q，今 在其近旁平行地放置第二块大金属平板，此板原来不 带电。(1)求静电平衡时，金属板上的电荷分布及周围 空间的电场分布。(2)如果把第二块金属板接地，最后 情况又如何？（忽略金属板的边缘效应。） 解：（1）由于静电平衡时导 体内部无净电荷，所以电 荷只能分布在两金属板的 表面上。设四个表面上的 面电荷密度分别为σ 1、 σ 2、σ 3和σ 4。
dq
a d
R2
R1
2 rdr ( R2 R12 ) 0 2 0
对b点，当球壳半径r < rb时，其 产生的电势为
4r 2dr 2 d r dr 4 0 rb 4 0 rb 0 rb
dq
rb
R2 a O r R1 b
ra
r
I I dI dl d R
它在轴线上一点产生的 磁感应强度:
d

dI x
R
dB
y
I
I
0 d I 0 Id dB 2 2R 2 R
方向如图
由电流分布的对称性可知：
By 0
B Bx dBx dB sin I 0 I 0 sind 2 2 0 2R R
(4) 积分求解:
由于对称性

r
x
P dE //
dE
dE
x
E dE 0
dq E E // dE // cos 2 4 0 r
R 在积分过程中，r和 cos 保持 O
dq E E // dE // cos 2 4 0 r
rb
2 R b1 d r dr ( rb ) R1 r 3 0 rb 0 b
2 3 1

dr
当球壳半径r > rb时，其产生的电势为 dq 4r 2dr d rdr 4 0 r 4 0 r 0
b 2 d
R2 rb
1 2
3 4
（2）如果把第二块金属板接地， σ 1 Sσ 2 σ 3 其右表面上的电荷就会分散到地 球表面上，所以
σ
4
4 0
第一块金属板上的电荷守恒仍给出
E Ⅱ
I Ⅱ
Q 1 2 S
由高斯定律仍可得
P III
2 3 0
金属板内P点的场强为零，所以
1 2 3 0
q内
R O E
O
R
r
3：均匀带电球层，内半径为R1，外半径为 R2，体电荷密度为 。求图中a点和b点电势。
解： 取薄球壳，半径为r，厚为 dr，可视为均匀带电球面， 其带电量为
R2
O R1 a r b dr rb
ra
r
dq 4r dr
2
对a点，此带电球面产生的电势为
4r 2dr d rdr 4 0 r 4 0 r 0
d
O/
导 体 板

+λ
直线
O
x
E2 ，由总电场 EO E1 E2 0 得 2 0 2 d
6 一圆柱形电容器，两个极面的半径分别为R1 和R2， 两极面间充满相对介电常数为 r 的电介质。求此电容 器带有电量Q时所储存的电能。
解：两极面间的电场 E
Q 2 0 r rL
Q σ
1
σ
2
σ
3
σ
4
S
由电荷守恒定律可知：
Q
Q 1 2 S 3 4 0
σ
(1) (2)
1
Sσ 2 σ 3
σ
4
选一个两底分别在两个金属 P 板内而侧面垂直于板面的封 闭曲面作为高斯面。由于板间电场与板面垂直，且板 内的电场为零，所以通过此高斯面的电通量为零。
2 3 0
Q σ
1
S σ
2
σ
3
σ
4
E Ⅰ
E Ⅱ
Ⅱ
E Ⅲ
III
I 有 电场的分布为： 由 E 0 Q 在Ⅰ区， EⅠ 方向向左 2 0 S Q 在Ⅱ区， EⅡ 方向向右 2 0 S Q 在Ⅲ区， EⅢ 方向向右 2 0 S
Q Q E1 E2 2 0 2 S 2 0 2 S
(3)
金属板内任一点P的场强是4个带电平面的电场的叠 加，并且为零，所以
1 2 3 4 0 (4) 2 0 2 0 2 0 2 0
即： 1 2 3 4 0 联立求解可得： Q Q 1 , 2 , 2S 2S Q Q 3 , 4 2S 2S
讨论
dq R
O

r
x
(1) 环心处，x=0，E=0； (2) 当q>0时，E 沿轴线指向远离轴线的方向， E 当q<0时， 沿轴线指向环心；
P dE // x dE dE
(3) 当x>>R时， E
q 4 0 x 2
即远离环心处的电场相当于一个点电荷 产生的电场。 思考 如果把圆环去掉一半， P点的场强是否等于 原来的一半？
解：在电流上任取电流元 Idl b Idl b F Id l B B a I b a I ( dl ) B a Iab B F I ab B sin I 2 R B sin 30 IBR
方向

11. 如图所示，在均匀磁场中，半径为R的薄圆盘以角速 度ω 绕中心轴转动，圆盘电荷面密度为σ 。求它的磁矩、 所受的磁力矩以及磁矩的势能。 ω S R 解：取半径为r的环状面元，圆盘转动 时，它相当于一个载流圆环，其电流： B
L
R2
R1
在电场中取体积元 dV ( 2rL)dr
则在 dV 中的电场能量为：
εr
+Q
–Q
dW
0 r
2
E dV
2
R2 dr 1 Q2 W dW 2 2 0 r L R1 r
1 Q2 R2 1 Q 2 ln 2 2 0 r L R1 2 C
2 0 r L C ln( R2 / R1 )
解: (1)以q1和q2分别表示内外球所带电量，由电势叠加 原理：
1 q1 q2 1 q1 q2 30 60 2 1 4 0 R2 4 0 R1 R2 q1 6.7 1010 C q2 1.3 109 C 联立可得
（一）电磁学
共 23 题
（二）相对论
（三）量子物理
共 3题
共 6题
共23题
1 均匀带电圆环轴线上一点的场强。设半径为R的细 圆环均匀带电，总电量为q，P是轴线上一点，离圆心 O的距离为x ，求P点的场强。 (1) 解： 在圆环上任意取一线 元dl，其带电量为dq
dq R O
dq (2) dE 2 4 0 r (3) 将 dE 分解为 dE // dE cos dE dE sin
7 一无限大均匀带电厚壁，壁厚为D，体电荷密度为ρ， 求其电场分布，并画出 E-d 曲线，d为垂直于壁面的 坐标，原点在厚壁的中心。
解: 根据电荷分布对壁的平分面的 面对称性，可知电场分布也具有这 种对称性。由此可选平分面与壁的 平分面重合的立方盒子为高斯面， 如图所示，高斯定理给出：
D
S d
E 2 S qint / 0
方向沿x轴
d
dl

dI x
dB
y
0 I 2 F BI 2 R
方向沿y轴，是斥力
(2)另一无限长直导线应平行放置于y轴负半轴上，以d表 示两直导线间的距离，则 0 I 2 0 I 2 d R / 2 2 R 2d
13. 将一均匀分布着的电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，电 流方向与此磁场垂直。已知平面两侧的磁感应强度分别为 B1 和 B2 ，如图所示，求该载流平面单位面积所受磁场力的大小和方向。
2 求均匀带电无限长圆柱体 (λ, R) 的电场分布。 解：在柱体内 (r R), 选长为 l 的 同轴柱形高斯面，利用高斯定律 E dS E 2 rl 0 0
S
l
1 r 2 l lr 2 l R2l R2 0 0 0 在柱体外 (r > R)，取同样高斯面， q内 l SE dS E 2 rl 0 0 0 0 r 所以得电场分 2 R 2 , r R 0 E 布的矢量表达 ˆ r, r R 2 0 r
12.一半径为R的无限长半圆柱面导体，其上电流与其轴 线上一无限长直导线的电流等值反向。电流I在半圆柱 面上均匀分布。(1)求轴线上导线单位长度所受的力；(2) 若将另一无限长直导线(通有大小、方向与半圆柱面相 同的电流I)代替圆柱面，产生同样的作用力，该导线应 放在何处？ 解：(1)在半圆柱面上沿母线取宽为dl dl 的窄条，其电流
Q Q 联立求解可得： 1 0, 2 , 3 , 4 0 S S Q 电场的分布为： EⅠ =0， EⅡ 方向向右 EIII=0 0S
5 如图，求 O 点处感应电荷密度 σ 。
解：取导体板内很邻近O点的 O/点，直线在O/点产生的电场 dx E1 d 4 x 2 40d 0 感应电荷在 O/ 点产生的电场
dI 2rdr rdr 2 磁矩：dm r 2dI r 3dr
r
dr
3
圆盘磁矩： m dm
4 M R 4 B 受的力矩：M mB sin mB 4 m 方向向上
0


R
r dr
R
4
B
磁矩的势能为 Wm m B 0
电容 C Q / U12 4 0 r R1 R2 /( R2 R1 )
Q 2 Q 2 ( R2 R1 ) (2) 电场能量：W 2C 8 0 r R1 R2
9 两个同心的均匀带电球面，半径分别为R1=5.0cm， R2=20.0cm，已知内球面的电势为 1 60 V，外球面的 电势为 2 30V 。 (1) 求内外球面所带电量； (2)两个 球面之间何处电势为零。