量子力学期末复习完美总结
一、 填空题
1．玻尔-索末菲的量子化条件为：
pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，
2．德布罗意关系为：h
E h p k γωλ
==
=
=； 。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：
21
2
mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()
2
r t ψ
，代表t 时刻，粒子在
空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。这
是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。
5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。 6．
，
为单位矩阵，则算符
的本征值为：
1± 。
7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。
8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。即
()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或
。
9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写
的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。
10.
i ；
ˆx
i L ；
0。
11．如两力学量算符
有共同本征函数完全系，则
_0__。
12．坐标和动量的测不准关系是： ()
()
2
2
2
4
x x p ∆∆≥
。
自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒
13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA
不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。
14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。 15． 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。
16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2
n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的
耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。
17．设体系的状态波函数为 ，如在该状态下测量
力学量
有确定的值
，则力学量算符
与态矢量
的关系为：ˆF
ψλψ
=。
18．力学量算符 在态 下的平均值可写
为
的条件为：力学量算符的本征
值组成分立谱，并且()r ψ是归一化波函数。 19．希尔伯特空间：量子力学中Q 的本质函数有无限多
个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空间。
20．设粒子处于态
，
为
归一化波函数， 为球谐函数，则系数c 的取值为：
1
6
， 的可能值为：
13
，
本征值为 出现
的几率为：
1
2
。
21．原子跃迁的选择定则为：101l m ∆=±∆=±；， 。
22．自旋角动量与自旋磁矩的关系为：S e M S μ
=-
；
式中S M 是自旋磁矩，S 是自旋角动量，e -是电子的电荷，μ是电子的质量。
23．
为泡利算符，则
=2ˆσ
3
0 ，
ˆ2z i σ
。 24． 为自旋算符，则
2
34
，
0 ，
ˆz
i S 。 25．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是:
（1）每个电子具有自旋角动量ˆS
，它在空间任何方向上的投影只能是两个数值：1
2
z s =±
；（2）每个电子具有自旋磁矩S M ，它和它的自旋角动量S 的关系式是：
S e
M S μ
=-，式中e -是电子的电荷，μ是电子的质
量。S M 在空间任意方向上的投影只能取两个数值：
2z S B e
M M μ
=±
=±。 26．轨道磁矩与轨道角动量的关系是：2L e
M L μ
=-
。 27．证明电子具有自旋的实验有：斯特恩-革拉赫实验。 28．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_反对称性__，玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____对称性_____。
29． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为
（已归一化），则在态 下，自旋算符
对自旋的平均可表示为：
()111211221222ˆG G G G G G ψψψψψψ+
**⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，，，；对坐标和
自旋同时求平均的结果可表示为:ˆG G d ψψτ+=⎰
。
30． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为
（已归一化），则 的意
义为:表示在t 时刻，在（x,y,z ）点周围单位体积内找
到自旋1
2
z s =
的电子的几率。 _1__。
31.量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__；算符
是希尔伯特空间的__算符__。
力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的 32、2
),,,(t z y x ψ的物理意义： 发现粒子的几率密度与之成正比 。
33、dr r r 22
),,(⎰
ϕθψ表示 在r —r+dr 单位立体角
的球壳内发现粒子的几率 。
34、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波函数 完全描述；力学量用 厄密算符 表示。
二、 问答题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。
(简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？)
答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连
