三重积分的计算方法介绍：
三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：
如果先做定积分⎰2
1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰D
d y x F σ),(，就是“投
影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D
z z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
=2
1]),,([),,(
如果先做二重积分⎰⎰z
D d z y x f σ),,(再做定积分⎰2
1
)(c c dz z F ，就是“截面
法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分⎰⎰z
D d z y x f σ),,(，完成
了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰2
1
)(c c dz z F ，完成“后
一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z
]),,([),,(2
1σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
=
当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)
（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲
面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）
（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22x
y
f y x f +时，
可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）
（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，
可选择球面坐标系计算
以上是一般常见的三重积分的计算方法。对Ω向其它坐标面投影或Ω不易作出的情形不赘述。
三重积分的计算方法小结：
1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Ω及被积函数f(x,y,z)
的情况选取。
一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；
截面法（先二后一）： z D 是Ω在z 处的截面，其边界曲线方
程易写错，故较难一些。
特殊地，对z D 积分时，f(x,y,z)与x,y 无关，可直接计算z D S 。因而Ω
中只要],[b a z ∈, 且f(x,y,z)仅含z 时，选取“截面法”更佳。
2.对坐标系的选取，当Ω为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲
面所围成的形体；被积函数为仅含z 或)(22y x zf +时，可考虑用柱面坐标计算。
三重积分的计算方法例题：
补例1：计算三重积分⎰⎰⎰Ω
=zdxdydz I ，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面
0,0,0===z y x 围成的闭区域。
解1“投影法” 1.画出Ω及在xoy 面投影域D. 2. “穿线”y x z --≤≤10
X 型 D ：
x
y x -≤≤≤≤101
∴Ω：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤10101
3.计算
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰-----Ω
+---=--===1
0103221
10
10
1
10
2]3
1)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dy
dx zdxdydz I x x
y
x x
241
]4123[61)1(6110
41
0323=-+-=-=⎰x x x x dx x
解2“截面法”1.画出Ω。2. ]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D 。
z D 是两直角边为x,y 的直角三角形，z y z x -=-=1,1
3.计算
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰====Ω
1
1
1
0][][z
z z
D D D dz zS dz dxdy z dz zdxdy zdxdydz I
⎰⎰⎰=
+-=--==1
03210
10241
)2(21)1)(1(21)21(dz z z z dz z z z dz xy z
补例2：计算⎰⎰⎰+dv y x 22，其中Ω是222z y x =+和z=1围成的闭区域。 解1“投影法”
1.画出Ω及在xoy 面投影域D. 由⎩⎨
⎧=+=122
2z y x z 消去z ，
得122=+y x 即D ：122≤+y x
2. “穿线”122≤≤+z y x ，
X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-2
2111
1x
y x x ∴ ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤≤+-≤≤--≤≤-Ω1
111
1:2222z y x x y x x
3.计算
⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰Ω
---+-----=
+-+=+=+x
x
y
x x x dy y x y x dx
dz y x dy
dx
dv y x 111
1
1
112222221
1
222
2
2
2
2
6
)1(π
注：可用柱坐标计算。
解2“截面法”
1.画出Ω。
2. ]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D ：222z y x ≤+
z D ： ⎩⎨⎧≤≤≤≤z
r 020π
θ
用柱坐标计算 ⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω10020:z z
r π
θ
3.计算
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰Ω
=
===+=+1
01020010
1
03032
2
2
2
2632]31[2][][z
D z z dz z dz r dz dr r d dz dxdy y x dv y x ππ
ππθ
补例3：化三重积分⎰⎰⎰Ω
=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中Ω：
222x 2z 2-=+=及y x z 所围成的闭区域。
解：1.画出Ω及在xoy 面上的投影域D.
由 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=22
222x
z y x z 消去z ，得122=+y x 即D ： 122≤+y x
