湖南省2016年普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案

湖南省2016年普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） （ ）1．设全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={5},则)(A C U ∪B=

A ．{5}

B ．{3,4,5}

C ．{3,4}

D ．{1,2,5}

【解析】∵{}5,4,3=A C U ，∴)(A C U ∪B={3,4,5}．故选B

（ ）2．

]2,1[,2)2

1()(-∈+=x x f x

的最大值为 A ．4 B ．3 C ．25 D ．4

9

【解析】∵函数

,2)2

1()(+=x

x f 是减函数，∴4)1(=-f 为该函数在区间[-1,2]上的最大值．故选A

（ ）3．“1-x ”是“1-

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 【解析】∵前者

后者,后者亦

前者．故选D

（ ）4．不等式512>+x 的解集为

A ．{}2>x x

B ．{}3-

C ．{}23<<-x x

D ．{}23>-+x ⇒512-<+x 或512>+x ,

解得3-x ．故选D

（ ）5．已知向量)3,2(=→

a ，),1(m

b =→

，且→

→

b a //，则m=

A ．

23 B ．2

3

- C ．3 D ．3-

【解析】由m 312=

⇒2

3

=

m ．故选A （ ）6．已知5

4

cos =α,

)0,2(πα-∈,则=αtan A ．53

B ．34-

C ．43-

D ．3

4

【解析】由54

cos =α,

)0,2(πα-∈⇒5

3cos 1sin 2-=--=αα， ∴4

3

cos sin tan -==

ααα．故选C （ ）7．已知定义在R 上的奇函数),(x f 当0>x 时,,2)(2x x x f +=则=-)1(f

A ．3

B ．1

C ．-1

D ．-3 【解析】依题意，知=-)1(f -=)1(f 3)121(2-=⨯+-．故选D （ ）8．设2

.07.1=a ，2.0log 3=b ，52.0=c ，则

A ．c b a <<

B ．c a b <<

C ．a b c <<

D ．a c b << 【解析】由指数及对数函数性质知b ﹤0，0﹤c ﹤1,a ﹥1．故选D （ ）9．已知点)5,4(P ,点Q 在圆4)1()1(:22=-+-y x C 上移动,则PQ 的取值范围为

A ．[1,7]

B ．[1,9]

C ．[3,7]

D ．[3,9] 【解析】∵],[,2,5r PC r PC PQ r PC +-∈==．故选C

（ ）10．已知c b a ,,为三条不重合的直线，给出下面三个命题： ①若c b c a b a //,,则⊥⊥；②若c b c a b a ⊥⊥⊥则,,；

③若c a c b b a ⊥⊥则,,//，其中正确的命题为 A ．③ B ．①② C ．①③ D ．②③ 【解析】由于①②都错，只有③才是对的．故选A 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．袋中有6个红色球，3个黄色球，4个黑色球，从袋中任取一个球，则取到的球不是黑球的概率为 ． 【解析】13

91341)(=-

=非黑p 12．已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 22+=，则=2a ． 【解析】538122=-=-=S S a

13．若不等式02≤-+c x x 的解集为{},12≤≤-x x 则c= ． 【解析】由212=⇒-=⨯-c c

14．6位同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻，共有 种不同的排法（用数字作答）． 【解析】用捆绑法2405522==P P N

15．已知A,B 为圆12

2=+y x 上的两点，O AB ,3=为坐标原点，则

=∙→

→OA AB ．

【解析】依题意，有21

112311cos -=⨯⨯-+=

∠AOB ，即0120=∠AOB ， ∴0

150>=∙<→→OA AB ，故=∙→→OA AB 2

3150cos 130-=⨯⨯

三、解答题(本大题共7小题，每小题都为10分，其中第21、22小题为选做

题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．已知函数)2(log )(2-=x x f ．(Ⅰ)求)(x f 的定义域；(Ⅱ)若

1)1()(=-+m f m f ，求m 的值．

【解析】(Ⅰ)由02>-x 2>⇒x ，即)(x f 的定义域为),2(+∞；

(Ⅱ) 依题意，有⎪⎩

⎪

⎨⎧=-->-->-2)3)(2(02)1(02m m m m ，解得4=m ．

17.在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知

3,323πA b a ==

=，．(Ⅰ)求B sin 的值；(Ⅱ)求)6

sin(B π

+的值． 【解析】(Ⅰ)由正弦定理得31

sin sin ==a A b B ； (Ⅱ)∵,a b <∴A B <，故3

2

2sin 1cos 2=-=B B ， ∴)6

sin(B π

+2

3

sin 6cos cos 6sin =

+=B πB π． 18．已知各项都为正数的等比数列{}n a 中，3,131==a a ．(Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设{}n a 的前n 项和为n S ，且)13(13+=n S ，求n 的值． 【解析】(Ⅰ)设公比为,q 依题意有0312>=⨯q q 且，解得3=q ，

∴{}n a 的通项公式为2

11

1

13

)

3(---===n n n n q

a a ；

(Ⅱ)∵1

31

)3(13]1)3[(11)1(1--=

--⨯=--=n n n n q q a S , 而)13(13+=n S 1

3261

3)

13)(13(13-=

--+=

,

∴261)3(=-n ,即27)3(=n ，解得6=n ．

19．如图1，在三棱柱111C B A ABC -中，A A 1⊥底面ABC ，,31=AA

AC AB AC AB ⊥==,1．(Ⅰ)证明：⊥BA 平面11A ACC ；(Ⅱ)求直线C B 1与

平面11A ACC 所成角的正弦值． 【解析】

(Ⅰ)证：∵A A 1⊥底面ABC ，∴A A BA 1⊥，

由⎪⎩⎪

⎨⎧=⊥⊥A AC A A AC BA A

A BA 1

1⇒⊥BA 平面11A ACC (Ⅱ)连C A 1，则11CA B ∠即为直线C B 1与平面11A ACC 所成的角，