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第十七讲平面几何中的定值问题
定值问题的证明或计算，一般是通过图形的定量，如线段和定角来讨论的．如果问题中已明确给出定值，那么一般通过线段和角的和、差、倍、分的推导或计算来解决；如果问题中未给出定值，可以利用特殊的方法推测出定值，然后再加以一般化的证明．下面举几个例题，说明上述思考方法．
例1 如图3－80．已知△ABC中，AB=AC，P是其底边BC上任一点，设AP交△ABC的外接圆于Q点，求证：AP·AQ为定值．
分析欲证AP·AQ为定值，我们先用特殊化方法找出这个定值是什么，
然后再给以一般化的证明．为此，我们取P与B(或C)重合，则Q点也必与B(或C)重合，则AP·AQ应等于AB2(定值)，以下证明这个推测．证连
结BQ．因为AB=AC，所以
∠ABC=∠ACB．
又因为∠ACB=∠AQB，所以
∠ABC=∠AQB．
又因为∠BAQ=∠PAB，所以
所以 AP·AQ=AB2(定值)．
注意如果连结QC，将怎样证明？请读者思考．
例2 如图3－81．已知△ABC中，AB=AC，如果直线EF，MN都垂直于BC，试证明：不论MN，EF怎样平行移动，只要MN，EF之间的距离不变，五边形AMNFE的周长是一个定值．
分析从图3－81中可以发现，如果引AD⊥BC于D，由已知条件可知AB(或AC)，AD，NF，BD(或CD)都为定值，因此，若五边形AMNFE的周长转化为以上各线段的表达式，则可判定其为定值．
证作AD⊥BC于D，则
所以
所以
又因为
所以
所以
所以
由于△ABC为确定的等腰(AB=AC)三角形，所以AD，BD，CD，AB为定值，又因为EF，MN之间距离为定长，所以NF为定值．所以五边形AMNFE的周长为定值．
例3 设OA，OB是已知圆O的任意两条半径，过B引BE⊥OA于E，过E作EP⊥AB于P．求证：OP2+EP2为定值(图3－82)．
分析由已知A，B为⊙O上任意两点，如果固定A，让B在圆上移动，当B点移动到半圆中点时，BE变成了半径r，E与O重合，
证延长OP交⊙O于C，D(图3－82)．因为在直角三角形AEB中，∠AEB=90°，EP⊥AB于P，所以
EP2=AP·PB=CP·PD
＝(OC-OP)·(OD+OP)
＝r2-OP2，
