距离成正比 ? y? 8 3、 静力关系 待解决问题 横截面上内力系为垂直于横截面的 空间平行力系 这一力系简化,得到三个内力分量 M 中性轴的位置 中性层的曲率半径 O y dA Mz z x dA FN FN AdFN dA 0 A (1) My y M y AdM y zdA 0 A (2) Mz AdMz ydA M A (3) F A B a 危 险 点 单 max M ymax IZ [ ] 向 应 力 状 a 态 材 [ ]= jx 料 的 n 试 验 a 结 果 1)对塑性材料等截面梁: M max [ ] max WZ 2)对塑性材料变截面梁: M max WZ max [ ] 3)对脆性材料等截面梁: M y max [ + ] max IZ M y max [ _ ] 11 讨论 (1) 应用公式时,一般将 M, y 以绝对值代入.根据梁变形的情况直接 判断 的正负号. 以中性轴为界,梁变形后凸出边的应力为拉应力 ( 为正号).凹入边的应力为压应力( 为负号). (2) 最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处 max M y max Iz M I z/ ymax (3) 当中性轴为对称轴时 20kN/m 解:1、外力分析(略) 2、 内力分析(作M图) A 2m |Mmax|源自文库40kN.m M O_ 40kNm max M max WZ x 3、 [ ]应力max分析WMW及Z Zm强ax度M[计[m]a算x] Wz M max [ ] 235 103 mm3 20 ①圆截面: Wz 引用记号 W Iz ——抗弯截面系数 ymax 则公式改写为 max M W My Iz M 12 常见截面的抗弯截面系数 实心圆截面 W Iz d 4 / 64 d 3 d / 2 d / 2 32 空心圆截面 W D3 (1 4 ) 32 α d D 矩形截面 W Iz bh3 / 12 bh2 h/2 h/2 6 x y y My 1、几何关系 Iz ) ) ) ) x A1B1 AB AB A1B1 OO1 OO1 ( y)dq dq y dq x y 7 2、物理关系 M 纵向纤维互不挤压。 于是,任 意一点均处于单向应力状态。 z O x y x x x E x Ey x Ey 应力分布规律 1 直梁纯弯曲时横截面上任意一 点的正应力,与它到中性轴的 Iz 14 §5-3 横力弯曲时的正应力 1、横力弯曲正应力计算公式 F 弹性力学精确分析表明,当跨度 A l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 (细长梁)时,纯弯曲正应力公 l 式对于横力弯曲近似成立。 FS 弯曲正应力 My IZ 横力弯曲最大正应力 F M max Mmax ymax IZ B x 15 x 2、弯曲正应力公式适用范围 回顾与比较 内力 应力 FN A T IP M 弯矩,垂直于横截面的内力系的合力偶矩。 FS 剪力,平行于横截面的内力系的合力。 ? ? 2 第五章 弯曲应力 §5-1 纯弯曲概念 §5-2 纯弯曲梁横截面上的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-5 提高弯曲强度的措施 习题解答 M l/2 IZ bh3 12 ql 2 +8 bh2 WZ 6 h 3) 应力分析: x : y : 2 K maKx M max IZ yKK 6MPa (压) M max max WZ 9MPa 4) 强度校核:max 9MPa [] 10MPa 19 例5-2、钢质悬臂梁如图所示, []=170MPa,若横截面为: ①圆形,②正方形,③h/b=2的矩形,④工字钢;试分别选择尺 寸,并比较耗费的材料。 max IZ 18 例5-1、矩形等截面梁,L=3m,h=150mm,b=100mm,q=3kN/m, yk=50mm,[]=10MPa,求危险截面上K点的正应力k,并校核梁 的正应力强度。 解:1、外力分析 FA q A FB Bh K qL yK z FA FB 4.5kN 2 2、内力分析(M图): l b 危险截面在l/2处 弯曲正应力: My IZ •纯弯曲或细长梁的横力弯曲 •横截面惯性积 Iyz =0 •弹性变形阶段 •抗拉与抗压的弹性模量相同 16 4、强度条件的应用(塑性材料) (1) 强度校核 x M max W [ ] (2)设计截面 W Mmax [ ] (3)确定许可载荷 Mmax W [ ] 17 3、弯曲正应力强度条件 曲线,且上缩下伸;横向线与纵向线变形后仍正交。 平面假设:横截面变形后仍为平面,只是绕中性轴发生转动, 距中性轴等高处,变形相等。 单向受力假设:纵向纤维互不挤压,只受单向拉压。 横截面上只有正应力。 6 §5-2 纯弯曲梁横截面上的正应力 一、正应力公式推导 dq a b O A c O1 B d x O A1 O1 B1 dFN dA dM y z dA dMz y dA 9 将应力表达式代入(1)式,得 FN E ydA 0 A E A ydA 0 E y Sz ydA 0 A dA 0 (1) A 中性轴通过横截面形心 将应力表达式代入(2)式,得 z dA 0 (2) A M y zE ydA 0 A E A yzdA h d z y D d z y b z y 13 (4) 对于中性轴不是对称轴的横截面 σ cmax yc max σt max Myt max Iz yt max Mz σc max Myc max Iz y σ t max 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 yt max 和 ycmax 直接代入公式 My 求得相应的最大正应力 0 I yz yzdA 0 A 自然满足 10 将应力表达式代入(3)式,得 y Mz yE dA M A E y2dA M E y A E Iz M y dA M (3) A 1M E Iz 纯弯曲时横截面上正应力的计算公式: My M为梁横截面上的弯矩 Iz M y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离 Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩 3 §5-1 纯弯曲 F F F FS F M F F x x + 梁段CD上,只有弯矩,没有剪力--纯弯曲 梁段AC和BD上,既有弯矩,又有剪力--横力弯曲 4 梁的弯曲实验 凹入一侧纤维缩短 凸出一侧纤维伸长 中间一层纤维长 度不变 --中性层 中间层与横截面 的交线 --中性轴 纵向对称面 中性层 中性轴 5 横向线(a b、c d)变形后仍为直线,但有转动;纵向线变为