3-3曲线的凹凸性与拐点

的凹凸性，并求其拐点. 例3 讨论曲线 y = (x −1 3 x2 的凹凸性，并求其拐点 ) 解 所给函数 在−∞+∞ 内为连续函数 ( , )内为连续函数.
y′ =[(x −1 3 x2 ]′ = (x − x ) )
5 3 2 3
y′′ =
10 2 x + x 9 9
−1 3
−4 3
3 1 −4 10 3 1 10( x + 5 ) = x (x + )= 3 4 . 9 5 9 x
5 5 25
的凹凸性， 讨论曲线 y = x4 −6x3 +12x2 −10的凹凸性，并 练习1 练习 求其拐点. 求其拐点 解 所给函数 y = x4 −6x3 +12x2 −10在−∞ +∞内连续 ( , ) 内连续. y′ = 4x3 −18x2 +24x,
′ y′ =12x2 −36x +24 =12(x −1 x −2), )( ′ ( , ) 连 ， y y′在−∞+∞内 续 令 ′′ = 0 得 =1 x = 2. ， x ,
, 解 所给曲线在 (−∞ +∞)内为连续曲线 由于 内为连续曲线.由于 x , y′ = arctan x + 2 1+ x
x
(−∞1 ,)
+ ∪
1 0 拐点 (1,－ (1,－3)
( 1,2) － ∩
2 0 拐点 (2,6)
(2,+∞)
+ ∪
′ y′
y
为凸的. 可知所给曲线在(−∞1 与2,+∞ 内为凹的，在(1,2)为凸的 为凸的 ,) ( )内为凹的， 拐点为点 (1,－3)与点 (2,6). － 与点
练习2 判定曲线y=xarctan x的凹凸性 练习 判定曲线 的凹凸性. 的凹凸性
试判定点M(0,0)是否为 曲线 y = x 是否为 例2 试判定点 解
5 的拐点. 3 的拐点
所 函 为−∞ +∞内 连 函 . 给 数 ( , ) 的 续 数
5 2 10 − 1 10 ′ = x3 , y ′′ = x 3 = y , y′′在x = 0处不存在 3 9 93 x
.
当 0 ，< 0，曲线y = x 为凸的. x< 时y′′
故若y=f(x)在(a,b)内二阶可导，可利用二阶导数的符 在 内二阶可导， 故若 内二阶可导 号来判定曲线的凹凸性. 号来判定曲线的凹凸性 曲线凹凸性判定定理) 定理 (曲线凹凸性判定定理 设函数 曲线凹凸性判定定理 设函数y=f(x)在[a,b]上连 在 上连 内二阶可导. 续，在(a,b)内二阶可导 内二阶可导 +
(1) 若在 若在(a,b)内 f ′ (x) >0，则曲线 则曲线y=f(x)在[a,b]上为凹的 上为凹的. 内 ′ 在 上为凹的 (2) 若在 若在(a,b)内 f ′(x) <0 ，则曲线 则曲线y=f(x)在[a,b]上为凸的 上为凸的. 内 ′ 在 上为凸的 例1 判定曲线 y= x3的凹凸性并求其拐点 的凹凸性并求其拐点. 解 所给曲线在 (−∞ +∞)内为连续曲线 由于 , 内为连续曲线.由于
−π π
O
x
O
x
除了用定义判断曲线凹凸性外，还可用导数判断 观 除了用定义判断曲线凹凸性外，还可用导数判断.观 切线斜率随x变大逐渐增大 变大逐渐增大， 察到曲线f(x)在(a,b)内为凹时， 内为凹时， 察到曲线 在 内为凹时 切线斜率随 变大逐渐增大， 为凸时随x变大切线斜率逐渐变小 变大切线斜率逐渐变小. 为凸时随 变大切线斜率逐渐变小
当 0 ，y′′ > 0，曲线y = x 为凹的. x> 时
5 3
5 3
从 知 (0,0)为 线 = x 的 点 而 点 曲 y 拐 .
由上两例可知，二阶导数等于零和不存在的点都有可 由上两例可知，二阶导数等于零和不存在的点都有可 的点都有 能是拐点 能是拐点. 拐点
5 3
判断曲线拐点的步骤： 判断曲线拐点的步骤： (1) 求出 求出f(x)的定义域及二阶导数 f ′′(x) ； 的定义域及二阶导数
′ 不存在的点 ； ′ (2) 求出二阶导数 f ′(x) 为零及 f ′(x)
（3）判定上述点两侧， ′(x)是否异号 如果 f ′(x)在 x 的 ）判定上述点两侧， ′ 是否异号.如果 ′ f 两侧异号，则 (x, f (x)) 为曲线 为曲线y=f(x)的拐点 如果 f ′(x) 在 的拐点.如果 ′ 两侧异号， 的拐点 的两侧同号， 不为曲线 的拐点. 的拐点 x的两侧同号，则 (x, f (x)) 不为曲线y=f(x)的拐点 拐点是平面中的点，有两个坐标； 注 意 ⑴拐点是平面中的点，有两个坐标； ⑵并非所有满足二阶导数等于零和不存在的点都是拐 还要验证相应点左右两边二阶导数的符号. 点，还要验证相应点左右两边二阶导数的符号
§3.3曲线的凹凸性与拐点 3.3曲线的凹凸性与拐点
教学目标及要求
1、了解凹凸、拐点等概念； 了解凹凸、拐点等概念； 掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法， 2、掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法，会 求曲线的拐点* 求曲线的拐点* .
若函数f(x) 在(a,b)内，曲线总在它每一点切线 内 定义 若函数 ∪ 的上方，则称曲线在( 记为“ )内为凹 的上方，则称曲线在(a,b)内为凹的（记为“ ”） ； 若曲线f(x)总在它每一点切线的下方，则称此曲线在 总在它每一点切线的下方， 若曲线 总在它每一点切线的下方 记为“ （a,b）内为凸的（记为“ ”）； ）内为凸 ∩ 凹与凸的分界点称为曲线的拐点 凹与凸的分界点称为曲线的拐点. 拐点 y y
∪
∩ −
′ ′ =(x3)′ =3x2, y′ =(3x2)′ =6x. y
因此当x<0时， ′ <0 ，可知曲线 y= x3为凸的 时 y′ 为凸的. 因此当
y′ >Hale Waihona Puke Baidu ，可知曲线 y= x3 为凹的. 当x>0时， ′ 时 为凹的
故 知 点 可 ， (0,0)为 线 = x3的 点. 曲 y 拐
2 1 − 5 2 = x3 − x 3, ′
3
1 ′ = 0 可 x = − . 当 = 0 , y′不 在 ′ ， 得 令 y x 时 ′ 存 . 5 1 1 1 (0,+ ) ∞ ∞ (− ,0) 0 x (− ,− ) − 5 5 5 ′ y′ － + 0 不存在 + 拐点 ∪ 非拐点 1 6 ∩ ∪ y (− ,− 3 )