2018年高考数学试题分类汇编之立体几何

2018年高考数学试题分类汇编之立体几何
一、选择题
1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）。

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
（A ）1 （B）2 （C）3 （D）4
3）是3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：
cm
2
1 1 正视图
2 侧视图
俯视图
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1 ，O2 ，过直线O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形，则该圆柱的表面积为
A ．12 2πB．12πC．8 2πD．10π
5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
A ．2 17 B．2 5
C．3 D．2
6．（全国卷一文）（10）在长方体ABCD A1B1C1D1 中，AB BC 2，A C1与平面BB1C1C 所成的角为
30 ，则该长方体的体积为
A ．8 B．6 2 C．8 2 D．8 3
7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
A．2 17 B．2 5 C．3 D．2
8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A ．3 3
4
B．
2 3
3
C．
3 2
4
D．
3
2
9．（全国卷二文）（9）在正方体A BCD A B C D 中， E 为棱
1 1 1 1 CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角
1
的正切值为
A．
2
2
B．
3
2
C．
5
2
D．
7
2
10．（全国卷二理）（9）在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB BC1，AA13，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为
A．1
5
B．
5
6
C．
5
5
D．
2
2
11．（全国卷三文）（3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则
咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
12．（全国卷三文）（12）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC体积的最大值为
A．123B．183C．243D．543
13．（全国卷三理）（3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则
咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
14．（全国卷三理）（10）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC体积的最大值为
A ．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 3
二、填空题
1．（江苏）（10）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．2．（天津文）（11）如图，已知正方体ABCD –A1B1C1D1 的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D 的体积为__________．
3．（天津理）(11) 已知正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M EFGH 的体积为.
4．（全国卷二文）（16）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30 ，若△S A B 的面积为8 ，则该圆锥的体积为__________．
5．（全国卷二理）（16）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为7
8
，SA与圆锥底面所成角
为45°，若△SAB的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题
1.（北京文）（18）（本小题14 分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ，PA⊥PD，PA=PD，E，F 分别为AD，PB 的中点.
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD .
2.（北京理）（16）（本小题14 分）
如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，CC1 平面ABC，D，E，F，G 分别为AA1 ，AC，A1C1 ，BB1 的中点，AB=BC = 5 ，AC= AA1 =2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF ；（Ⅱ）求二面角B-CD -C1 的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．
3.（江苏）（15）（本小题满分14分）
在平行六面体A BCD A B C D中，AA1AB,AB1B1C1．
1111
求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC．
4.（浙江）（19）（本题满分15分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，
∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
5.（天津文）（17）（本小题满分13分）
如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=23，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
6.（天津理）(17)(本小题满分13 分)
如图，AD∥BC 且AD =2BC，AD CD , EG∥AD 且EG=AD，CD∥FG 且CD =2FG，DG 平面ABCD ，DA =DC =DG =2.
（I）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN∥平面CDE ；
（II）求二面角 E BC F 的正弦值；
（III）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.
7.（全国卷一文）（18）（12 分）
如图，在平行四边形ABCM 中，AB AC 3 ，∠ACM 90 ，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB⊥DA ．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）Q为线段AD 上一点，P在线段BC 上，且
2
BP DQ DA ，求三棱锥Q ABP 的体积．3
8.（全国卷一理）（18）（12 分）
如图，四边形ABCD 为正方形，E,F 分别为AD, BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF .
（1）证明：平面PEF 平面ABFD ；
（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.
9.（全国卷二文）（19）（12 分）
如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 2 ，PA PB PC AC 4 ，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO 平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且MC 2MB ，求点C 到平面POM 的距离．
10.（全国卷二理）（20）（12 分）
如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 2 ，PA PB PC AC 4 ，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO 平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C 为30 ，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
P
O
A C
M
B
11.（全国卷三文）（19）（12分）
如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
12.（全国卷三理）（19）（12分）
如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
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