一、函数与几何综合的压轴题
1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；
(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程.
(3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交
于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.
[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）
方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴
,EO DO EO BO AB DB CD DB ''''
==
又∵DO ′+BO ′=DB ∴
1EO EO AB DC
''
+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵
DO EO DB AB ''=，∴2
316
EO DO DB AB ''=⨯=⨯=
∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上
图①
图②
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0
2
x y =⎧⎨
=-⎩
∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上
（2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）
E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-⎧⎪
++=-⎨⎪=-⎩
解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2
（3）（本小题给出三种方法，供参考）
由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。
同（1）可得：
1E F E F
AB DC
''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '⇒=
，∴1
3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112
2223
DC DB DC DF DC DB •-•=•
=1
3
DC DB •=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式
方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11
32322
BD E F k k '=
•=+⨯=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式.
证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2
同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221
3992
AE C ABCD S S AB CD BD k '∆=
=⨯+•=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式.
2. （2015广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直
径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标；
（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；
（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若
4
21h
S S =，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.
[解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，
在Rt △AOM 中，AO ＝
122=-OM AM ，
∴点A 的坐标为A （0，1）
（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y ＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B （—1，0）， AB ＝2112
2
2
2
=
+=+AO BO
在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝2
222224)2()2(BM AM AB ==+=+
∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线
（3）解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝22， ∴BC ＝
10)22()2(2222=+=+AC AB
∵∠BAC ＝90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，
∴π
ππ2
5)210()2(221=•=•=BC S
而πππ2)222()2(2
22=•=•=AC S
421h S S =Θ，
5,4225
=∴=h h 即 ππ
设经过点B （—1，0）、M （1，0）的抛物线的解析式为：
y ＝a （＋1）（x －1），（a≠0）即y ＝ax 2－a ，∴－a ＝±5，∴a ＝±5 ∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法二：（接上） 求得∴h ＝5
由已知所求抛物线经过点B （—1，0）、M （1、0），则抛物
线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）
∴抛物线的解析式为y ＝a （x －0）2±5
又B （－1,0）、M （1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a ＝±5
∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法三：（接上）求得∴h ＝5
因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）
由已知得⎪⎩⎪
⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
±=-=+-=++5
055c 0b 5544002c b a a a
b a
c c b a c b a 或 ＝－ 解得
∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.
3.(2015湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2
>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧⌒
AB 的长； (2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD
若不存在，请说明理由.
[解] （1）如图，连结PB ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为
在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB ＝60°，∴∠APB ＝120°
