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代入原方程, 得 P f ( x , P ( x )).
5
( 3)
y f ( y , y ) 型
不显含自变量x .
令 y P ( x ),
dp y P , dy
dp 代入原方程, 得 P f ( y , P ). dy
6
2、线性微分方程解的结构
（1 ） 二阶齐次线性方程解的结构: y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1)
r pr q 0
通解的表达式
2
特征方程为
特征根的情况
实根 r 1 实根 r
1
r2 r2
复根 r
1, 2
i
y C1 e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
(1) m ( 2) m
; 0 i不是特征方程的根时 k . 1 i是特征方程的单根时
12
第八章 空间解析几何与向量代数
（一）向量代数
1、向量的坐标表示法 向量的分解式： a a x i a y j a z k 在三个坐标轴上的分向量： a x i , a y j , a z k
y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
* * 的特解, 那么 y1 y2 就是原方程的特解.
代入即可证得.
解的叠加原理
8
3、二阶常系数齐次线性方程解法
二阶常系数齐次线性方程
y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程
解法
待定系数法.
(1)
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
设 y x k e ห้องสมุดไป่ตู้ Qm ( x ) ,
0 不是根 k 1 是单根 2 是重根
,
Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( 2 p q )Q( x ) Pm ( x )
xe
P ( y )dy
[ Q( y )e
P ( y ) dy
dy C ]
4
高阶微分方程
1、可降阶的高阶微分方程的解法
(1)
y( n) f ( x ) 型
接连积分n次，得通解．
( 2)
y f ( x , y ) 型
不显含未知函数y.
令 y P ( x ),
y P ,
向量的坐标表示式：
a (ax , a y , az )
向量的坐标： a x , a y , a z
其中 a x ,a y , a z 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影.
13
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
（bx , by , bz ） a （ax , ay , az ） b
2
9
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0 特征方程的根
若有 k 重实根 r
若有 k 重共轭 复根 i
通解中的对应项
(Q( x ) x k Qm ) 11
( 2)
f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
x
(1) ( 2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
m maxl , n 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
a b （ax bx , ay by , az bz ）
a b （ax bx , ay by , az bz ）
(a x bx )i (a y by ) j (az bz )k
a （ax , ay , az ）
(a x bx )i (a y by ) j (az bz )k
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y 是二阶非
齐次线性微分方程(2)的通解.
7
定理 3
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x )
* * 而 y1 与 y2 分别是方程,
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
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4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
《高等数学》（下）总 复习
第七章
一阶微分方程
1
1 可分离变量的微分方程
形如 g( y )dy f ( x )dx
g( y )dy f ( x )dx
2 齐次方程
分离变量法
令
y u x
dy y 形如 f( ) dx x
du 1 dx f ( u) u x
2
对称情况 x 令 v y
通解
dx x g( ) dy y
dv dy g v v y
3
3 一阶线性微分方程
dy P ( x ) y Q( x ) dx
ye
P ( x )dx
[ Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ]
对称情况
dx P ( y ) x Q( y ). dy
定理 1：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无关
的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解.
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2)
*
定理 2
设 y * 是( 2) 的一个特解, Y 是与(2)对应
