高一数学单元知识点专题讲解5---二次函数的最值问题

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【例 3】当 x ≥ 0时，求函数 y = −x(2 − x)的取值范围．
解：作出函数 y = −x(2 − x) = x2 − 2x 在 x ≥ 0 内的图象．
可以看出：当 x = 1时， ymin = −1，无最大值． 所以，当 x ≥ 0时，函数的取值范围是 y ≥ −1．
【例 4】当t ≤ x ≤ t +1时，求函数 y = 1 x2 − x − 5 的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于 x 所给的范围随着t 的变化而2变化，所以2需要比较对称轴与其范围的相对位置．
ymax = 37
当 时， ；当 时， ． (2) a ≥ 0 ymax = 27 + 10a a < 0 ymax = 27 −10a
． ． 2 −2 ≤ m ≤ −1 ． ． 3 a = 2,b = −2
4． a = − 1 或 a = −1． 4
5．当t ≤ 0 时， ymax = 2 − 2t ，此时 x = 1；当t > 0 时， ymax = 2 + 2t ，此时 x = −1．
解：函数 y = 1 x2 − x − 5 的对称轴为 x = 1．画出其草图．
2
2
(1) (2)
当对称轴在所给范围左侧．即t 当对称轴在所给范围之间．即t
> 1时：
当 时， x = t
ymin
时： ≤ 1 ≤ t + 1 ⇒ 0 ≤ t ≤ 1
=
1 t2 2
−t
−
5 2
；
(3)
当当对x称=轴1时在，所给ym范in 围= 右12 ×侧1．2 −即1t−+521
； (1) y = 2x2 − 4x + 5
． (2) y = (1− x)(x + 2)
4．求二次函数 y = 2x2 − 3x + 5在−2 ≤ x ≤ 2 上的最大值和最小值，并求对应的 x 的值．
5．对于函数 y = 2x2 + 4x − 3 ，当 x ≤ 0时，求 y 的取值范围．
6．求函数 y = 3 − 5x − 3x2 − 2 的最大值和最小值． 7．已知关于 x 的函数 y = x2 + (2t +1)x + t2 −1，当t 取何值时， y 的最小值为 0？
高一数学单元知识点专题讲解
第五讲 二次函数的最值问题
二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初 中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况(当a > 0 时，函数在
x
=
−
b 2a
处取得最小值
4ac − b2 4a
与每件的销售价 x (元)满足一次函数 m = 162 − 3x,30 ≤ x ≤ 54 ．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式； 多少(？2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为
解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(x − 30) 元，
那么 m 件的销售利润为 y = m(x − 30) ，又 m = 162 − 3x ．
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∴ y = (x − 30)(162 − 3x) = −3x2 + 252x − 4860,30 ≤ x ≤ 54
(2) 由(1)知对称轴为 x = 42 ，位于 x 的范围内，另抛物线开口向下 当 时， ∴ x = 42 ymax = −3× 422 + 252 × 42 − 4860 = 432 ∴当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为 432 元．
，无最大值；当
a
<
0 时，函数在
x
=
−
b 2a
处取得最大值
4ac − b2
4a ，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时 还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．
【例 1】当 −2 ≤ x ≤ 2 时，求函数 y = x2 − 2x − 3的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函 数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值． 解：作出函数的图象．当 x = 1时， ymin = −4 ，当 x = −2 时， ymax = 5．
B组
1．已知关于 x 的函数 y = x2 + 2ax + 2 在 −5 ≤ x ≤ 5 上．
(1) (2)
当a 当a
= −1时，求函数的最大值和最小值； 为实数时，求函数的最大值．
2．函数 y = x2 + 2x + 3 在 m ≤ x ≤ 0 上的最大值为 3，最小值为 2，求m 的取值范围．
3．设 a > 0 ，当 −1 ≤ x ≤ 1时，函数 y = −x2 − ax + b +1的最小值是 −4 ，最大值是 0，求 a,b 的 值． 4．已知函数 y = x2 + 2ax +1在 −1 ≤ x ≤ 2 上的最大值为 4，求 a 的值．
= <
−3 ；
1⇒ t
<
0 时：
当 时， ． x = t +1
ymin
=
1 (t 2
+ 1)2
− (t
+ 1) −
5 2
=
1 t2 2
−3
综上所述： 1
2
t2
−
3, t
<
0
y = −3, 0 ≤ t ≤ 1
1 2t2−Fra bibliotekt−
5 2
,t
>1
在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m 件( )
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5．求关于 x 的二次函数 y = x2 − 2tx +1在 −1 ≤ x ≤ 1上的最大值(t 为常数)．
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．1 4 14 或 2， 3 2
第五讲 二次函数的最值问题答案
A组
．2 l2 m2 16
．3 (1) 有最小值 3，无最大值；(2) 有最大值 9 ，无最小值． 4
．当 时， ；当 时， ． 4 x = 3 4
【例 2】当1 ≤ x ≤ 2 时，求函数 y = −x2 − x +1的最大值和最小值．
解：作出函数的图象．当 x = 1时， ymin = −1，当 x = 2 时， ymax = −5． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那 么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常 见情况：
ymin
=
31 8
x = −2
ymax = 19
．5 y ≥ −5
．当 时， ；当 或 时， ． 6 x = 5 6
ymin = 3 −
3 6
x=2 1 3
ymax = 3
．当 时， ． 7 t = − 5 4
ymin = 0
B组
． 当 时， ；当 时， ． 1 (1) x = 1
ymin = 1
x = −5
练习
A组
1．抛物线 y = x2 − (m − 4)x + 2m − 3 ，当 m = _____ 时，图象的顶点在 y 轴上；当 m = _____ 时，
图象的顶点在 x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点． 32．．用求一下长列度二为次函l 米数的的铁最丝值围：成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．