高一数学单元知识点专题讲解5---二次函数的最值问题

解题秘诀二次函数最值的4种解法二次函数是高中数学中的一个重要知识点，掌握了解题的秘诀和方法，就可以更好地解决与二次函数相关的各种问题。

本文将介绍四种解法来求解二次函数的最值问题。

一、二次函数的最值根据导数解法要求解二次函数的最值，可以通过求导数的方法来解决。

具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。

2. 对函数进行求导，得到导函数：f'(x) = 2ax + b。

3.导函数表示了二次函数的斜率，要求函数的最值，就是要求导函数为零点时的x值。

4. 解方程2ax + b = 0，求得x = -b / 2a。

5.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。

6.x和y的值就是二次函数的最值。

二、二次函数的最值根据顶点法解法顶点法也是求解二次函数的最值的一种方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。

2.求出二次函数的顶点坐标，顶点的x值为-x/2a。

3.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。

4.x和y的值就是二次函数的最值。

三、二次函数的最值根据平移法解法平移法是一种通过平移变换求解二次函数最值的方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。

2.将二次函数表示为顶点形式：f(x)=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

3.根据函数的几何性质，二次函数的最值就是顶点的纵坐标k。

四、二次函数的最值根据因式分解解法因式分解是一种求解二次函数最值的常用方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。

2.将二次函数进行因式分解：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的两个零点。

3.根据函数的几何性质，二次函数的最值为x轴与二次函数的拐点处的纵坐标。

通过以上四种解法，我们可以灵活地解决二次函数的最值问题。

二次函数的最值问题二次函数是高中数学中的重要内容之一。

在学习二次函数的过程中，最值问题是一个常见的考点。

了解和掌握二次函数的最值问题对于解决实际问题和应用数学知识具有重要的意义。

一、二次函数的定义二次函数是一种具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数类型，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

它的图像呈现出抛物线的形状。

二、最值问题的定义在二次函数中，最值是指函数的最大值和最小值。

最大值是图像的顶点，也叫抛物线的顶点；最小值是函数的最低点。

三、最值问题的求解方法要解决二次函数的最值问题，可以通过求导或通过抛物线的顶点来确定最值。

1. 求导法通过二次函数的导数来找到最值。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，先求导得到f'(x) = 2ax + b。

然后令f'(x) = 0，解方程得到x的值。

将解得的x代入原函数f(x)中，即可求得最值。

2. 抛物线的顶点法由于二次函数的图像是一个抛物线，抛物线的顶点是最值点。

可以通过顶点的坐标来求得最值。

a. 利用顶点的横坐标二次函数的顶点横坐标为x = -b/2a。

将这个横坐标代入原函数中，即可得到最值的纵坐标。

b. 完全平方公式对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过将其转化为完全平方的形式求得最值。

将二次幂的项进行完全平方，在此过程中求得顶点的纵坐标。

四、最值问题的实际应用二次函数的最值问题在现实生活中有着广泛的应用。

1. 最佳投影距离假设有一条铁丝长10米，我们需要利用它搭建一个人字形的支架，要求两边支架的高度和底座的宽度之和最小。

这个问题可以转化为求解二次函数的最小值问题。

2. 最大面积某地修建一个有围墙的公园，公园的一段外墙已经确定，剩余的三段墙需要设计。

已知外墙一段的长为10米，求其它三段的长度使园的面积最大。

以上只是二次函数最值问题的两个简单实际应用举例，实际问题种类繁多，只要问题可以用二次函数表示，就可以应用最值问题进行求解。

二次函数的最值问题与问题解决技巧二次函数是高中数学中一个重要的概念，它有许多实际应用并且涉及到最值问题。

解决这类问题需要一定的技巧和方法。

本文将介绍二次函数的最值问题以及解决这些问题的技巧。

一、二次函数的最值问题最值问题在数学中非常常见，它代表了在一定条件下，函数的最大值或最小值。

对于二次函数而言，最值问题可以通过确定二次函数的开口方向以及顶点位置来解决。

1. 二次函数的开口方向对于二次函数y=ax²+bx+c，其中a，b，c为常数，a不等于0。

通过a的正负可以判断二次函数的开口方向。

当a大于0时，二次函数的开口是向上的，形状像一个U；当a小于0时，二次函数的开口是向下的，形状像一个倒U。

2. 顶点的横坐标和纵坐标二次函数的最值就出现在顶点处，因此需要确定顶点的横坐标和纵坐标。

对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为x=-b/2a，可以通过对称轴求得；顶点的纵坐标为y=f(-b/2a)，即将x=-b/2a代入函数中计算得到。

3. 最值问题的解答根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以得到最值问题的解答。

当二次函数开口向上时，顶点是函数的最小值；当二次函数开口向下时，顶点是函数的最大值。

二、解决二次函数最值问题的技巧解决二次函数最值问题的技巧主要包括图像法、配方法、导数法等。

1. 图像法通过绘制二次函数的图像，可以直观地找出函数的最值。

根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以判断最值是最小值还是最大值。

2. 配方法当二次函数的系数a不为1时，可以使用配方法将其转化为完全平方的形式，从而更容易找到最值。

例如对于二次函数y=ax²+bx+c，可以将x²+bx转化为(x+b/2a)²-b²/4a，然后再根据顶点的位置判断最值。

3. 导数法通过对二次函数求导，可以得到导函数，进而求出极值点。

导数为0处的x值就是函数的极值点，通过计算可以得到相应的y值。

高中数学之二次函数最值知识点总结
高中数学中二次函数y=ax²+bx+c是一个基本模型，它是各个类型函数运用的基础之一，常见的是求解函数的值域或最值，解决二次函数这类问题的思路是：抓住“三点一轴”数形结合，三点指的是定义域区间两端点和区间中点，一轴指的是二次函数的对称轴，结合配方法根据二次函数单调性以及分类讨论的思想。

一、知识要点：
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
二、例题分析归类：
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：
（1）轴定，区间定；
（2）轴定，区间变；
（3）轴变，区间定；
（4）轴变，区间变。

二次函数最值问题解析二次函数最值问题是数学中的一个重要概念，通过分析二次函数的图像和相关性质，我们可以求得函数的最大值或最小值，从而解决实际问题。

本文将对二次函数最值问题进行详细解析。

一、二次函数的一般形式二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

通过这个一般形式，我们可以得到二次函数的图像特点。

二、二次函数图像的性质1. 对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴具有对称性，即对于任意x，有f(x) = f(-x)。

2. 开口方向：当a > 0时，二次函数的抛物线开口向上；当a < 0时，二次函数的抛物线开口向下。

3. 最值问题：二次函数的最大值或最小值出现在抛物线的顶点处。

三、二次函数最值的求解方法求解二次函数最值可以通过几种不同的方法。

1. 利用顶点公式：二次函数的顶点公式为x = -b/2a，将此值代入原函数，即可求得最值点的纵坐标。

这种方法适用于一般情况下的二次函数最值问题。

2. 利用完全平方公式：利用完全平方公式，将一般形式的二次函数转化为顶点形式，即y= a(x - h)^2 + k。

其中，(h, k)为顶点坐标，通过对此式的分析可以求得最值点的纵坐标。

这种方法适用于需要更详细分析二次函数图像的情况。

3. 利用导数：对二次函数进行求导，求得导函数并令其等于0，然后求解方程即可得到二次函数的最值点。

这种方法适用于需要更深入研究二次函数性质的情况。

四、实例分析为了更好地理解和应用二次函数最值问题的解法，我们来看一个实际问题的例子。

例：某工厂生产碳酸饮料，每瓶售价为10元。

市场调研显示，当售价为x元时，每天的销量（单位：万瓶）由二次函数y = -2x^2 + 20x + 5表示。

问该工厂能够获得最大利润时，每瓶碳酸饮料的售价和销量分别是多少？解：我们已知二次函数的表达式为y = -2x^2 + 20x + 5，该函数的最值即为该工厂的最大利润对应的售价和销量。

二次函数的最值与极值问题二次函数是数学中常见的一种函数类型，在很多实际问题中都可以用二次函数来描述。

在解决二次函数的最值与极值问题时，可以运用一些方法和技巧来求解。

本文将介绍一些常见的解题思路和方法。

一、二次函数的最值问题二次函数的最值指的是函数在定义域内的最大值或最小值。

当求解二次函数的最值时，可以利用二次函数的顶点和开口方向进行判断。

1. 定理1：对于开口向上的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a > 0，顶点的 y 值是函数的最小值。

使用该定理时，可以先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最小值。

2. 定理2：对于开口向下的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a < 0，顶点的 y 值是函数的最大值。

同样地，使用该定理时，先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最大值。

需要注意的是，二次函数的最大值或最小值可能在定义域内的某个点上出现，因此除了顶点外还需要考虑其他可能的极值点。

二、二次函数的极值问题二次函数的极值指的是函数在定义域内的局部最大值或最小值。

当求解二次函数的极值时，可以利用二次函数的导数和零点来寻找。

1. 求解极值的一般步骤如下：a) 求二次函数的导函数；b) 解二次函数的导函数为零的方程，得到零点；c) 将零点带入原函数，求得对应的函数值，得到极值。

2. 一个特殊情况是在二次函数的定义域 [a, b] 上求极值时，可以先求出导数，然后导数大于零的部分即是函数的递增区间，导数小于零的部分即是函数的递减区间。

接着，再对边界点和零点进行比较，得到极值。

三、综合练习与例题为了更好地理解二次函数的最值与极值问题，我们来进行一些练习和解题。

【练习题一】已知二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，1. 求二次函数的顶点及对应的最值；2. 求二次函数的极值。

【解答】1. 对于二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，a = -2 < 0，可以判断开口向下，顶点的 y 值是最大值。

二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。

一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。

例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。

分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。

c - b^2/4a)。

因此，对称轴为x = -b/2a。

当a。

0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。

结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。

2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。

当a < 0时，情况类似。

二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。

t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。

二次函数求最值方法总结二次函数是高中数学中一个非常重要的内容，它的研究主要是通过函数的图像和性质来分析。

求二次函数的最值是我们在解决实际问题时经常需要用到的一个重要问题，下面我将对二次函数求最值的几种常用方法进行总结。

一、求二次函数的最值的基本思路：求解二次函数的最大值或最小值，就是要找出二次函数图像上的顶点。

根据二次函数的解析式f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，顶点的横坐标为 x = -b/2a，纵坐标为 f(-b/2a)。

二、二次函数的变形：通过对二次函数的变形，将其转化为标准的完全平方形式，可以更方便地求解最值。

1.完全平方形式：f(x)=a(x-h)^2+k2.平移变形：f(x)=a(x-h)^2+k+c三、利用函数图像特征求解最值：1.如果a>0，则二次函数的图像开口向上，顶点为最小值；如果a<0，则二次函数的图像开口向下，顶点为最大值。

2.如果函数的常数项c>0，则函数的最小值为c；如果函数的常数项c<0，则函数的最大值为c。

四、利用导数的方法求解最值：1. 求二次函数的一阶导数 f'(x) = 2ax + b，并令其为零，求出顶点的横坐标 x = -b/2a。

2.将顶点的横坐标代入二次函数的解析式，求出纵坐标f(-b/2a)即可得到顶点的坐标。

五、利用求根公式求解最值：求根公式是指二次函数求根的公式，即二次函数的解为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

1. 如果二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac < 0，则二次函数没有实数解，从而也没有最值。

2. 如果二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac > 0，则二次函数有两个实数解 x1 和 x2，取其中更接近顶点的一侧的解作为最值。

3. 如果二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac = 0，则二次函数有且只有一个实数解 x = -b/2a，此时该解即为最值。

二次函数的最值二次函数是一种常见且重要的函数形式，在数学和实际问题中经常会遇到。

而对于二次函数来说，我们特别关注的是它的最值问题，即函数的最大值或最小值。

本文将围绕二次函数的最值问题展开讨论，并给出解决方法和实例。

一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数，且a≠0。

在这个形式中，x表示自变量，y表示因变量，a决定了二次函数的开口方向（向上为正，向下为负），b决定了二次函数的对称轴位置，c决定了二次函数的纵截距。

二、求要求二次函数的最值，我们需要关注其凸性和顶点位置。

对于开口向上的二次函数，顶点即为最小值点；对于开口向下的二次函数，顶点即为最大值点。

因此，我们可以通过求二次函数的顶点来解决最值问题。

1. 求解顶点坐标对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，顶点坐标可通过以下公式得到：其中，h和k分别表示顶点的横坐标和纵坐标。

通过计算可得到二次函数的顶点坐标。

2. 确定最大值或最小值通过观察二次函数的开口方向，我们可以判断出是求最大值还是最小值。

如果a>0，则二次函数开口向上，顶点即为最小值点；如果a<0，则二次函数开口向下，顶点即为最大值点。

三、实例分析为了更好地理解二次函数的最值问题，以下给出两个实例进行分析。

实例一：考虑二次函数y = x^2 - 4x + 3。

1. 求解顶点坐标：将a、b和c的值带入顶点公式：求得顶点坐标为(2, -1)。

2. 确定最大值或最小值：由于a>0，说明二次函数开口向上，因此顶点为最小值点。

综上所述，二次函数y = x^2 - 4x + 3的最小值为-1，对应的自变量为2。

实例二：考虑二次函数y = -2x^2 + 4x + 1。

1. 求解顶点坐标：将a、b和c的值带入顶点公式：求得顶点坐标为(1, 3)。

2. 确定最大值或最小值：由于a<0，说明二次函数开口向下，因此顶点为最大值点。

高中数学二次函数的最值问题解析二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、物理等领域有着广泛的应用。

而二次函数的最值问题是二次函数的重要考点之一，也是高中数学中的重点难点之一。

本文将从最值问题的基本概念入手，通过具体的例题分析，帮助读者理解和掌握二次函数的最值问题的解法和技巧。

一、最值问题的基本概念在解决最值问题之前，我们首先要了解什么是最值。

最值即最大值和最小值，是函数在定义域内取得的最大和最小的函数值。

对于二次函数来说，最值问题即求解二次函数的最大值和最小值。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上，最小值存在；当a<0时，抛物线开口向下，最大值存在。

二、求解最值问题的方法1. 利用顶点公式顶点公式是求解二次函数最值问题的常用方法。

对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)表示二次函数的值。

例如，考虑二次函数y=x^2-4x+3，我们可以通过顶点公式求解其最值问题。

首先，计算出顶点的横坐标x=-(-4)/(2*1)=2，然后代入函数得到纵坐标y=f(2)=2^2-4*2+3=-1。

因此，该二次函数的最小值为-1，即y=-1时取得最小值。

2. 利用导数对于二次函数，我们还可以利用导数的概念来求解最值问题。

通过求解导数为0的点，可以找到函数的极值点，从而确定最值。

考虑二次函数y=x^2-4x+3，我们可以求解其导数y'=2x-4。

令导数等于0，得到2x-4=0，解得x=2。

将x=2代入函数得到y=f(2)=2^2-4*2+3=-1。

因此，该二次函数的最小值为-1，与利用顶点公式的结果一致。

三、举一反三通过上述例题的分析，我们可以总结出一些解决二次函数最值问题的技巧和方法。

首先，我们可以利用顶点公式或导数的方法来求解最值问题。

二次函数的最值点与最值问题二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学建模、物理问题以及经济学中的应用广泛。

在研究二次函数的性质时，我们常常关注它的最值点和最值问题。

本文将重点讨论二次函数的最值点与最值问题，并探究如何求解。

一、二次函数的最值点二次函数的最值点是指在函数曲线上局部最高或局部最低的点。

这些点被称为顶点或拐点。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，顶点坐标可以通过以下公式求得：Vertex_x = -b / 2aVertex_y = f(Vertex_x)在求解最值点时，我们首先需要判断二次函数的开口方向。

当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。

知道开口方向后，我们可以通过计算顶点坐标来确定最值点的位置。

举个例子，考虑二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1。

首先，根据a的值为1，我们得知此函数开口向上。

然后，根据公式求解顶点坐标：Vertex_x = -2 / (2*1) = -1Vertex_y = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0因此，二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1的最值点为(-1, 0)，即顶点位于坐标系中点(-1, 0)的位置。

二、二次函数的最值问题除了求解最值点的坐标，我们还经常遇到二次函数的最值问题。

最值问题包括求解二次函数的最大值和最小值。

在数学建模和实际问题中，这些最值点往往代表了问题的极端点，具有重要的意义。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，最值问题可以通过以下步骤求解：1. 判断二次函数的开口方向。

当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。

2. 找到最值点的横坐标。

根据二次函数的最值点公式，我们可以计算顶点的横坐标，即Vertex_x = -b / 2a。

3. 根据二次函数的开口方向，确定最大值或最小值。

二次函数最值问题二次函数是高中数学中的重要概念之一。

它的研究包括函数的图像、平移、缩放等内容，而其中一个重要的研究方向就是二次函数的最值问题。

本文将介绍二次函数最值问题的求解方法及其应用。

一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。

二次函数的一些性质如下：1. 抛物线的开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

2. 最值点：对于开口向上的抛物线，最值点为最小值点；对于开口向下的抛物线，最值点为最大值点。

最值点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为f(-b/(2a))。

3. 对称轴：对于任意二次函数，存在一个与横坐标轴垂直的线，称为对称轴。

对称轴的方程为x = -b/(2a)，对称轴上的任意点关于对称轴对称。

二、二次函数最值问题的求解方法对于给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，求解最值问题的方法如下：1. 确定开口方向：根据二次函数的系数a的正负，确定抛物线的开口方向。

2. 求解最值点：根据最值点的横坐标公式x = -b/(2a)，求出横坐标x；然后将x带入函数f(x)中，计算得到纵坐标f(x)的值。

3. 判断最值类型：根据开口方向和最值点的值，判断最值类型是最小值还是最大值。

三、二次函数最值问题的应用二次函数最值问题的求解方法可以应用于各种实际问题。

以下是几个实际应用的例子：1. 抛物线的最大高度：若已知抛物线的高度函数为h(t) = -16t^2 + vt + h0，其中t为时间，v为初速度，h0为起始高度。

通过求解h(t)的最值点，可以确定抛物线的最大高度以及达到最大高度时的时间。

2. 成本最小化问题：假设某厂商制造商品的成本函数为C(x) = ax^2 + bx + c，其中x为产品数量，a、b、c为常数。

暑假新高一数学 第八讲二次函数最值问题一、要点提示：1.二次函数的图象和性质二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线，抛物线的对称轴是 ，顶点的坐标 ，因此对任意的实数x ，都有 。

当 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最小值 。

当 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最大值 。

2.求二次函数在给定区间上最值的步骤：（1）定向：根据二次项系数的正负确定其图像的开口方向；（2）求轴：求出图象的对称轴；（3）定性：根据对称轴与给定区间的关系，确定其单调性；（4）定值：根据单调性，确定二次函数在给定区间上的最值。

二、例题精析例1.求下列函数的最值：（1）241y x x =-+ （2）241y x x =-+，[3,4]x ∈（3）241y x x =-+，[0,1]x ∈ （4）y =例2.（1)求函数x x y 41312---=的值域（2）已知函数2()223f x x ax =-+在区间[1,1]-上有最小值()g a ，求()g a 的表达式.（3）已知函数2()3f x x ax a =++-，当[2,2]x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.例3.（1）函数a ax x x f -++-=12)(2在区间[0，1]上有最大值为2，求实数a 。

（2）函数12)(2++=ax ax x f 在]2,3[-上有最大值4，求实数a 的值。

拓展提高：已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在]2,23[-上有最大值为3，求实数a 的值。

例4.已知二次函数c bx ax x f ++=2)(和一次函数bx x g -=)(，其中a ，b ，c 满足c b a >>，),,(0R c b a c b a ∈=++。

（1）求证：两函数的图象交于不同的两点；（2）求线段AB 在x 轴上的射影11B A 之长的取值范围。

二次函数最值问题二次函数最值问题是数学中的重要内容。

二次函数的最值问题可以理解为求解二次函数的极值问题，包括最大值和最小值。

解决这类问题需要运用一些相关的数学知识和技巧，下面我们就来详细分析二次函数最值问题。

首先，我们需要明确二次函数的一般形式。

二次函数一般可表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

对于此类函数，其图像一般为抛物线，开口朝上或朝下，形状和位置由a的正负决定。

其次，我们需要了解到二次函数的最值出现的条件。

对于开口朝上的二次函数，其最小值出现在顶点上。

而开口朝下的二次函数没有最大值，其最大值为负无穷。

因此，我们主要关注开口朝上的二次函数。

接下来，我们来分析求解二次函数最值的具体步骤。

步骤一：确定二次函数的开口方向。

这一步骤主要是确定二次函数是开口朝上还是朝下，即确认a的正负。

步骤二：求解二次函数的顶点坐标。

顶点坐标即为二次函数的最值点，是最小值的位置。

首先，我们需要确定二次函数的顶点的横坐标x。

顶点的横坐标x = -b / (2a)。

这是由于二次函数的对称轴为直线x = -b / (2a)。

接着，我们可以将顶点的横坐标值代入二次函数中，求得顶点的纵坐标y。

即计算f(x)的值，其中x = -b / (2a)。

通过上述步骤，我们可以求得二次函数的最小值和对应的x坐标值。

需要注意的是，当a > 0时，二次函数开口朝上，其最小值为顶点的y坐标。

当a < 0时，二次函数开口朝下，没有最大值。

最后，我们来看一道具体的例题：例题：求函数y = x^2 + 4x + 3的最小值及对应的x坐标。

解：根据公式，我们可以求得顶点的横坐标x = -b / (2a)，其中a = 1，b= 4。

代入上述值，得x = -4 / (2 * 1) = -2。

然后，我们计算y的值，即y = f(x) = x^2 + 4x + 3，其中x = -2。

代入上述值，得y = (-2)^2 + 4 * (-2) + 3 = 1。