第一套：满分150分
2020-2021年呼和浩特市第二中学初升高
自主招生数学模拟卷
一．选择题（共8小题，满分48分）
1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，
则BH：HG：GM=（）
A．3：2：1 B．5：3：1
C．25：12：5 D．51：24：10
2.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3；②1
> ；
m
4
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是【】
A.0
B.1
C.2
D.3
3.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）
A. B. C. D.
4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，
D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1
E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.
31003 B.320136 C.310073 D.
671
4
7．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．≤a ≤1
B ．≤a ≤2
C ．≤a ≤1
D ．≤a ≤2
8．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边
形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）
A.
n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 2
3
二．填空题：（每题7分，满分42分）
9．（7分）方程组
的解是 ．
10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．
11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．
12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．
13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．
14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，
P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．
三．解答题：（每天12分，满分60分）
15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且
222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)
4x y y z z x xy yz zx
------++= .
(1) 求
111
xy yz zx
++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.
16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
求证：
222MN AM BN =+。
17．（12分）在0与21之间插入n 个正整数1a ，2a ，…，n a ，使其满足12021n a a a <<<<<L 。
若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，1a ，2a ，…，n a ，21这2n +个数中某两个数的差。
求n 的最小值。
18．（12分）如图，已知BC 是半圆O 的直径，BC=8，过线段BO 上一动点D ，作AD ⊥BC 交半圆O 于点A ，联结AO ，过点B 作BH ⊥AO ，垂足为点H ，BH 的延长线交半圆O 于点F ． （1）求证：AH=BD ；
（2）设BD=x ，BE •BF=y ，求y 关于x 的函数关系式；
（3）如图2，若联结FA 并延长交CB 的延长线于点G ，当△FAE 与△FBG 相似时，求BD 的长度．
19.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．
（1）求直线AB的表达式；
（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；
（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE 时，请直接写出满足条件的所有k2的值．
第一套：满分150分
2020-2021年呼和浩特市第二中学初升高自主招生
数学模拟卷参考答案
一.选择题：
1.【解答】解：连接EM，
CE：CD=CM：CA=1：3
∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3
∴AH=（3﹣）ME，
∴AH：ME=12：5
∴HG：GM=AH：EM=12：5
设GM=5k，GH=12k，
∵BH：HM=3：2=BH：17k
∴BH=K，
∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10
故选D．
2.【答案】C 。
解答：①∵一元二次方程实数根分别为x 1、x 2，
∴x 1=2，x 2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。
②一元二次方程（x －2）（x －3）=m 化为一般形式得：x 2－
5x ＋6－m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x 1、x 2，
∴△=b 2－4ac=（－5）2－4（6－m ）=4m ＋1＞0，解得：1m 4
>-。
故结论②正确。
③∵一元二次方程x 2－5x ＋6－m=0实数根分别为x 1、x 2，
∴x 1＋x 2=5，x 1x 2=6－m ∴二次函数y=（x －x 1）（x －x 2）+m=x 2－（x 1＋x 2）x ＋x 1x 2＋m=x 2－5x ＋（6－m ）＋m=x 2－5x ＋6=（x －2）（x －3）。
令y=0，即（x －2）（x －3）=0，解得：x=2或3。
∴抛物线与x 轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。
综上所述，正确的结论有2个：②③。
故选C 。
3.【答案】B 。
【分析】∵根据题意，得xy=20，∴()20
y=x>0,y>0x。
故选B 。
4.【答案】B 。
【分析】如图，在y x 2=-中，令x=0，则y=－2 ；令y=0，则x=
2 ，
∴A （0，－2），B （2，0）。
∴OA=OB= 2 。
∴△AOB是等腰直角三角形。
∴AB=2，
过点O作OD⊥AB，则OD=BD=1
2AB=1
2
×2=1。
又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径。
∴直线y=x- 2 与⊙O相切。
故选B。
5.【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S=，
又∵r=，∴a+b=2r+c，
将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B．
【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．
6.解答：解：∵Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AC==BC=6，
∴S△ABC=AC•BC=6，
∵D1E1⊥AC，
∴D1E1∥BC，
∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，
∵D1是斜边AB的中点，
∴D1E1=BC，CE1=AC，
∴S1=BC•CE1=BC×AC=×AC•BC=S△ABC；
∴在△ACB中，D2为其重心，
∴D2E1=BE1，
∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=××AC•BC=S△ABC，
∴D3E3=BC，CE2=AC，S3=S△ABC…；
∴S n=S△ABC；
∴S 2013=×6=．
故选C．
7.【分析】此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决【解答】解：由右图知：A（1，2），B（2，1），
再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，
把A点代入y=ax2得a=2，
把B点代入y=ax2得a=，
则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2．
故选D．
【点评】此题考查学生的观察能力，把函
数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．
8.解答：解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，
∴平行四边形ABC1O1的面积为，
∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，
∴平行四边形ABC2O2的面积为×=，
…，
依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．故选B．
二、填空题
9．【分析】根据式子特点，设x+1=a，y﹣1=b，然后利用换元法将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组解答．
【解答】解：设x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，
由②式又可变化为=26，
把①式代入得=13，这又可以变形为（+）2﹣3 =13，
再代入又得﹣3=9，
解得ab=﹣27，
又因为a+b=26，
所以解这个方程组得或，
于是（1），解得；
（2），解得．
故答案为和．
【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握．
10．【分析】分a=0，a≠0两种情况分析．
【解答】解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的，
∴a=0，则左边式子ax=0，
∴b＜0一定成立，
∴a，b的取值范围为a=0，b＜0．
【点评】本题是利用了反证法的思想
11．【分析】先根据﹣1≤x≤2，确定x﹣2与x+2的符号，在对x的符号进行讨论即可．
【解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，
∴当2≥x≥0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；
当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，
当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，
则最大值与最小值之差为1．
故答案为：1
【点评】本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简，即可求解．
12．【分析】要求出|P2007Q2007|的值，就要先求|Qy2007﹣Py2007|的值，因
为纵坐标分别是1，3，5 …，共2007个连续奇数，其中第2007个奇数是2×2007﹣1=4013，所以P2007的坐标是（Px2007，4013），那么可根据P点都在反比例函数y=上，可求出此时Px2007的值，那么就能得出P2007的坐标，然后将P2007的横坐标代入y=中即可求出Qy2007的值．那么|P2007Q2007|=|Qy2007﹣Py2007|，由此可得出结果．
【解答】解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），
又∵P2007在y=上，
∴Px2007=．
而Qx2007（即Px2007）在y=上，所以Qy2007===，
∴|P2007Q2007|=|Py2007﹣Qy2007|=|4013﹣|=．
故答案为：．
【点评】本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P2007的横坐标，进而求出Q2007的值，从而可得出所求的结果．
13．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦的长的问题．
【解答】解：∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=
∴n=120°即扇形的圆心角是120°
∴弧所对的弦长是2×3sin60°=3
【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．【分析】首先由勾股定理求出AC的长，设AC的中点为E，折线与AB交于F．然后求证△AEF∽△ABC求出EF的长．
【解答】解：如图，由勾股定理易得AC=15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，（折线垂直平分对角线AC），AE=7.5．
∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，
∴△AEF∽△ABC，
∴==．
∴EF=．
∴折线长=2EF=．
故答案为．
【点评】本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似，全等等知识点．
三、解答题
15.【解析】
（1）解：由等式
222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)
4x y y z z x xy yz zx
------++=， 去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，
222222222222
()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦
()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，
∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ，
()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式=
1.x y z
xyz
++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又Q ,,x y z 为正实数,
9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++ 9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++ 222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++- 222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥
∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.
【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++
222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++
222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++
222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】
16.【答案】如图，作点A 关于直线MC 的对称点D ，连结DA 、DM 、DC ，DN ，则
MDC MAC △≌△。
∵ ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，且45NCM ∠=︒， ∴ 45DCN DCM MCA ACN DCM ∠=∠+∠+∠=∠+︒，
90(45)4545BCN BCA NCA MCA MCA DCM ∠=∠-∠=︒-︒-∠=︒+∠=︒+∠。
∴ DCN BCN ∠=∠。
又CD CA CB ==，CN CN =。
∴ DCN BCN △≌△。
∴ ND NB =，45CDN CBN ∠=∠=︒。
又由MDC MAC △≌△，知
180********CDM CAM CAB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒。
∴ 1354590MDN MDC NDC ∠=∠-∠=︒-︒=︒。
∴ MD DN ⊥。
又MD MA =，∴ 22222MN DM DN AM BN =+=+。
另解：如图，CBN △沿CN 翻折得CDN △，则DCN BCN △≌△。
∴ CD CB CA ==，DN BN =，45CDN CBN ∠=∠=︒，DCN BCN ∠=∠。
∵ 45NCM ∠=︒，
∴ 459045DCM DCN MCN BCN ACN ∠=∠-∠=∠-︒=︒-∠-︒
45ACN ACM =︒-∠=∠。
又CD CA =，CM CM =。
∴ DCM ACM △≌△。
∴ MA MD =，135CDM CAM ∠=∠=︒，90MDN CDM NDC ∠=∠-∠=︒。
∴ 22222MN DM DN AM BN =+=+。
17.【解答】 ∵ 2n +个数至多可以表示
(1)(2)
(1)(1)212
n n n n n +++++-+++=
L 个不同的且为正数的差。
∴ 依题意有，(1)(2)
212
n n ++≥，即(5)(8)0n n -+≥。
∴ 5n ≥。
下面证明5n =不符合要求。
若5n =符合要求，则由5n =时，
(1)(2)
212
n n ++=知，
由0，1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，21这7个数两两之差（大数减去小数）所得的下列21
个数：1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，21，21a a -，31a a -，41a a -，51a a -，121a -，
32a a -，42a a -，52a a -，221a -，43a a -，53a a -，321a -，54a a -，421a -，521a -互不相同。
于是它们是1，2，3，…，21的一个排列。
记这21个数的和为S ，则
1122334455(5)(24)(33)(42)(5)621S a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+⨯
12454224621a a a a =--+++⨯。
可见S 为偶数。
另一方面，2122
123212312
S ⨯=++++==L 为奇数，与S 为偶数矛盾。
∴ 5n =不符合要求。
6n =符合要求。
如插入2，5，8，12，19，20。
（不唯一） 可以验证：用0，2，5，8，12，19，20，21这8个数中某两个数的差可以表示1，2，3，…，21中任意一个数。
（12120=-，22119=-，385=-，4128=-，550=-，682=-，
71912=-，82012=-，92112=-，10122=-，11198=-，12208=-，13218=-，14195=-，15205=-，16215=-，17192=-，18202=-，
19190=-，20200=-，21210=-。
）
可见n的最小值为6。
18.【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；
（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；
（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，
∴∠ADO=∠BHO=90°，
在△ADO与△BHO中，
，
∴△ADO≌△BHO（AAS），
∴OH=OD，
又∵OA=OB，
∴AH=BD；
（2）解：连接AB、AF，如图1所示，
∵AO是半径，AO⊥弦BF，
∴∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
在Rt△ADB与Rt△BHA中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），
∴∠ABF=∠BAD，
∴∠BAD=∠AFB，
又∵∠ABF=∠EBA，
∴△BEA∽△BAF，
∴=，
∴BA2=BE•BF，
∵BE•BF=y，
∴y=BA2，
∵∠ADO=∠ADB=90°，
∴AD2=AO2﹣DO2，AD2=AB2﹣BD2，∴AO2﹣DO2=AB2﹣BD2，
∵直径BC=8，BD=x，
∴AB2=8x，
则y=8x（0＜x＜4）；
方法二：∵BE•BF=y，BF=2BH，∴BE•BH=y，
∵△BED∽△BOH，
∴=，
∴OB•BD=BE•BH，
∴4x=y，
∴y=8x（0＜x＜4）；
（3）解：连接OF，如图2所示，
∵∠GFB是公共角，∠FAE＞∠G，
∴当△FAE∽△FBG时，∠AEF=∠G，
∵∠BHA=∠ADO=90°，
∴∠AEF+∠DAO=90°，∠AOD+∠DAO=90°，∴∠AEF=∠AOD，
∴∠G=∠AOD，
∴AG=AO=4，
∵∴∠AOD=∠AOF，
∴∠G=∠AOF，
又∵∠GFO是公共角，
∴△FAO∽△FOG，
∴=，
∵AB2=8x，AB=AF，
∴AF=2x，
∴=，
解得：x=3±，
∵3+＞4，舍去，
∴BD=3﹣．
19.【分析】（1）先通过解直角三角形求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）作DE∥OA，根据题意得出==，求得DE，即D的横坐标，代入AB的解析式求得纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k1；
（3）根据勾股定理求得AB、OE，进一步求得BE，然后根据相似三角形的性质求得EF的长，从而求得FM的长，得出F的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k2．
【解答】解：（1）∵A（3，0）、B（0，m）（m＞0），
∴OA=3，OB=m，
∵tan∠BAO==2，
∴m=6，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
代入A（3，0）、B（0，6）得：
解得：b=6，k=﹣2
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6；
（2）如图1，∵AD=2DB，
∴=，
作DE∥OA，
∴==，
∴DE=OA=1，
∴D的横坐标为1，
代入y=﹣2x+6得，y=4，
∴D（1，4），
∴k1=1×4=4；
（3）如图2，∵A（3，0），B（0，6），∴E（，3），AB==3，
∵OE是Rt△OAB斜边上的中线，
∴OE=AB=，BE=，
∵EM⊥x轴，
∴F的横坐标为，
∵△OEF∽△OBE，
∴=，
∴，
∴EF=，
∴FM=3﹣=．
∴F （，）， ∴k 2=×=．
第二套：满分150分
2020-2021年呼和浩特市第二中学初升高
自主招生数学模拟卷
一．选择题（每小题6分，满分48分）
1．（6分）如图，在锐角△ABC 中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是（ ）
A.26
B.6
C.23
D.3
2．（6分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（ ） A ．1.2元 B ．1.05元 C ．0.95元 D ．0.9元 3．（6分）已知0<mn 且10-1-1++>>>n m n m ，那么n ，m ，n
1，m
n 1+的大小关系是（ ）
A ．n m
n n
m <+<<11
B ．n n
m
n m <<+<11
C.n n m m n 11<<<+ D ．n
n m n m 11<<+< 4．（6分）如图，在△ABC 中∠A=60°，BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM ，PN ，则下列结论：①PM=PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC ．其中正确
的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 5. （6分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，∠BOC =60°，顶点C 的坐标为(m ,)，反比例函数的图像与菱形对角线AO 交于D 点，连接BD ，当BD ⊥x 轴时，k 的值是（ ）
A. C. D. 6. （6分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90º，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′
F 的长为（ ）
A. B. C. 7．（6分）已知关于x 的不等式组{0
320
23>+≥x a x a 恰有3个整数解，则a
的取值范围是（ ）
33k
y x
=363-33-3
545233
A ．2332
≤≤a B ．23≤≤34a C ．23≤34a < D ．2
3≤34<a 8．（6分）正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 边长为4，则△DEK 的面积为（ ）
A.10
B.12
C.14
D.16
二．填空题（每小题7分，满分42分）
9. （7分）若直线y ＝m （m 为常数）与函数y ＝
⎩⎨⎧x 2（x ≤2）
4x
（x ＞2）的图像恒有三个不同的交点，
则常数m 的取值范围是 。
10. （7分）如图，四边形ABCD 是矩形，A ，B 两点在x 轴的正半轴上，C ，D 两点在抛物线2y x 6x =-+上，设OA=m （0＜m ＜3），矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为 。
11．（7分）已知3，a ，4，b ，5这五个数据，其中a ，b 是方程x 2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的标准差是 ．
12．（7分）若抛物线y=2x 2﹣px+4p+1中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为 ．
13．（7分）有五张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后
从中任取一张，将卡片上的数记为a ，则使关于x 的方程2--1x ax +2=x
-21
有正整数解的概率为
14．（7分）已知：对于正整数n ，有()1
1-1111+=+++n n n n n n ，
若某个正整数k 满足：
()32
111 (4)
33413223121121=++++++++++k k k k ，则
k= ．
三．解答题（每题12分，满分60分）
15.（12分）如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.
16．（12分）已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，
),(22y x ，且3222
2
21-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；
（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.
17．（12分）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为；
（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos ∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．
18．（12分）已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan ∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）
（1）求BC的长；
（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；
（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．
19．（12分）如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x 轴，交y轴与点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
第二套：满分150分
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答案解析
一、选择题
1.解答：解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=4，∠BAC=45°，
∴BH=AB•sin45°=6×=3．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=3．
故选C
2.【分析】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y ，
z 元，建立三元一次方程组，两个方程相减，即可求得x+y+z 的值． 【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x ，y ，z 元， 根据题意得，②﹣①得x+y+z=1.05（元）．
故选：B ．
【点评】解答此题关键是根据题意列出方程组，同时还要有整体思想． 3．解：∵mn ＜0，∴m ，n 异号，
由1﹣m ＞1﹣n ＞0＞n+m+1，可知m ＜n ，m+n ＜﹣1，m ＜0，0＜n ＜1，|m|＞|n|，|m|＞2，
假设符合条件的m=﹣4，n=0.2则n
1
=5，n+m 1=0.2﹣4
1
=﹣201 则﹣4＜﹣
201＜0.2＜5故m ＜n+m 1＜n ＜n
1
．故选：D ． 4.解答： 解：①∵BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点， ∴PM=BC ，PN=BC ，
∴PM=PN ，正确； ②在△ABM 与△ACN 中， ∵∠A=∠A ，∠AMB=∠ANC=90°， ∴△ABM ∽△ACN ， ∴
，正确；
③∵∠A=60°，BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ， ∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC 中，∠BCN+∠CBM ═180°﹣60°﹣30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，正确；
④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P为BC边的中点，
∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形
∴BN=PB=PC，正确．
故选D
5.【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；菱形的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.
【分析】如答图，AC交轴于点H，则CH⊥轴.
∵∠BOC=60°，∴∠COH=30°，
∵点C的坐标为(m,)
∴.
∴.
∵四边形ABOC是菱形，∴，∠BOD=30°.
∵BD⊥x轴，∴.
∴点D的坐标为.
∵点D在反比例函数的图像上，∴.故选D．【考点】翻折变换（折叠问题）；折叠的性质；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理．
6.【分析】根据折叠的性质可知
，
∴.
∵，∴. ∴是等腰直角三角形. ∴
.
∴. ∴.
∵，∴.
在中，根据勾股定理，得A B=5，∴.∴.
在中，根据勾股定理，得，∴. ∴.
在中，根据勾股定理，得.故选B．
7．解：由于不等式组有解，则2
332-a
x a ≤<，必定有整数解0， ∵
3
2-23a
a >，∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．
若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解； 若三个整数解为0，1，2，则
；
解得2
33
4≤≤a ．故选：B ．
8.解答： 解：如图，连DB ，GE ，FK ，则DB ∥GE ∥FK ，
在梯形GDBE 中，S △DGE =S △GEB （同底等高的两三角形面积相等），
同理S △GKE =S △GFE ． ∴S 阴影=S △DGE +S △GKE ， =S △GEB +S △GEF ， =S 正方形GBEF ， =4×4 =16 故选D ．
二、填空题
9.【考点】矩形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】求l 与m 的函数解析式就是把m 当作已知量，求l ，先求AD ，它的长就是D 点的纵坐标，再把D 点纵坐标代入函数解析式求C 点横坐标，C 点横坐标与D 点横坐标的差就是线段CD 的长，用l=2（AD+AB ），建立函数关系式：
把x=m 代入抛物线2y x 6x =-+中，得AD=2m 6m -+，
把y=2m 6m -+代入抛物线2y x 6x =-+中，得22m 6m x 6x -+=-+，
解得x 1=m ，x 2=6－m 。
∴C 的横坐标是6－m 。
∴AB=6－m －m=6－2m 。
∴矩形的周长是22l 2m 6m 262m 2m 8m 12=-++-=-++（）（）。
10.【答案】0＜m ＜2。
【考点】二次函数的图象，反比例函数的图象。
【分析】分段函数y ＝⎩⎨⎧x 2
（x ≤2）
4x
（x ＞2）的图象如右图
所示：
故要使直线y ＝m （m 为常数）与函数y ＝
⎩⎨⎧x 2（x ≤2）
4x
（x ＞2）的图象恒有三个不同的交点，常数m 的取值
11．【分析】先解方程得到a ，b 的值，计算出平均数和方差后，再计算方差的算术平方根，即为标准差． 【解答】解：由方程x 2﹣3x+2=0 解方程的两个根是1，2，即a=1，b=2
故这组数据是3，1，4，2，5 其平均数
（3+1+4+2+5）=3
方差S 2=[（3﹣3）2+（1﹣3）2+（4﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]=2 故五个数据的标准差是S==
故本题答案为：
．
【点评】计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是： （1）计算数据的平均数；
（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差； （3）计算偏差的平方和； （4）偏差的平方和除以数据个数． 标准差即方差的算术平方根； 注意标准差和方差一样都是非负数．
12．【分析】把含p 的项合并，只有当p 的系数为0时，不管p 取何
值抛物线都通过定点，可求x 、y 的对应值，确定定点坐标． 【解答】解：y=2x 2﹣p x+4p+1可化为y=2x 2﹣p （x ﹣4）+1， 分析可得：当x=4时，y=33；且与p 的取值无关； 故不管p 取何值时都通过定点（4，33）．
【点评】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断． 13．解：∵
()32
111 (4)
33413223121121=++++++++++k k k k ，
∴3211-1...41-3131-2121-11=+++++k k ，即1﹣3211=+k ， ∴
3
1
11=+k ，解得k=8．故答案为：8． 14．解：解分式方程得：x=
a
-22
， ∵分式方程的解为正整数， ∴2﹣a ＞0， ∴a ＜2， ∴a=0，1，
∵分式方程的解为正整数， 当a=1时，x=2不合题意， ∴a=0，
∴使关于x 的分式方程有正整数解的概率为6
1， 故答案为：6
1． 三、解答题
15.【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =Q ABD ACB ∴∠=∠
Q
点C 关于直线
AD
的对称点为点
E
,
,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠
,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周
角相等)
BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠
,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AF
AD AB
∴=2
2 5.AD AF AB ∴⋅==
=
（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）
16.解：（1）联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程
2(21)0
x t x c --+=
①
有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以
222
1212121
[()()]2
c x x x x x x ==+-+=221[(21)(23)]
2t t t --+- ＝21
(364)2
t t -+． ② 把②式代入方程①得
221
(21)(364)02
x t x t t --+-+=． ③
t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④
且方程③有实数根，即
22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤
解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 2-
t ≤2+所以，t 的取值范围为
2≤t ≤2+⑥ (2) 由②式知221
31(364)(1)222
c t t t =-+=-+.
由于23
1(1)2
2
c t =-+在2-
t ≤2+
所以，当2t =,2min 31(21)22c =+=. 17.【分析】（1）如图①，过A 作AE ⊥BC ，可得出四边形AECD 为矩形，得到EC=AD ，BE=BC ﹣EC ，在直角三角形ABE 中，求出AE 的长，即为三角形BMC 的高，求出三角形BMC 面积即可；
（2）如图②，作点C 关于直线AD 的对称点C ′，连接C ′N ，C ′D ，C ′B 交AD 于点N ′，连接CN ′，则BN+NC=BN+NC ′≥BC ′=BN ′+CN ′，可得出△BNC 周长的最小值为△BN ′C 的周长=BN ′+CN ′+BC=BC ′+BC ，求出即可；
（3）如图③所示，存在点P ，使得cos ∠BPC 的值最小，作BC 的中垂线PQ 交BC 于点Q ，交AD 于点P ，连接BP ，CP ，作△BPC 的外接圆O ，圆O 与直线PQ 交于点N ，则PB=PC ，圆心O 在PN 上，根据AD 与BC 平行，得到圆O 与AD 相切，根据PQ=DC ，判断得到PQ 大于BQ ，可得出圆心O 在BC 上方，在AD 上任取一点P ′，连接P ′B ，P ′C ，P ′B 交圆O 于点M ，连接MC ，可得∠BPC=∠BMC ≥∠BP ′C ，即∠BPC 最大，cos ∠BPC 的值最小，连接OB ，求出即可． 【解答】解：（1）如图①，过A 作AE ⊥BC ， ∴四边形AECD 为矩形，
∴EC=AD=8，BE=BC ﹣EC=12﹣8=4， 在Rt △ABE 中，∠ABE=60°，BE=4， ∴AB=2BE=8，AE==4，
则S △BMC =BC •AE=24；
故答案为：24
；
（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，
∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，
∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8，
∴BE=4，AE=BE•tan60°=4，
∴CC′=2CD=2AE=8，
∵BC=12，
∴BC′==4，
∴△BNC周长的最小值为4+12；
（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，
作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC 的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，∵AD∥BC，
∴圆O与AD相切于点P，
∵PQ=DC=4＞6，
∴PQ＞BQ，
∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，
在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，
∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，
∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，
连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，
∵OB=OP=4﹣OQ，
在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ2+62=（4﹣OQ）2，
解得：OQ=，
∴OB=，
∴cos∠BPC=cos∠BOQ==，
则此时cos∠BPC的值为．
18.【分析】（1）如图1中，根据AB是直径，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图2中，只要证明△OBC≌△OCD得BC=CD，即可解决问题．（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H，先求出BG，根据tan∠HBG=2，利用勾股定理求出线段HB、HG，再利用CG∥DO得，由此即可解决．
【解答】解；（1）如图1中，连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=2，
∴可以假设AC=2k，BC=k，
∵AB=6，AB2=AC2+BC2，
∴36=8k2+k2，
∴k2=4，
∵k＞0，
∴k=2，BC=2．
（2）如图2中，
∵△MBC与△MOC相似，
∴∠MBC=∠MCO，
∵∠MBC+∠OBC=180°，∠MCO+∠OCD=180°，∴∠OBC=∠OCD，
∵OB=OC=OD，
∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，
在△OBC和△OCD中，
，
∴△OBC≌△OCD，
∴BC=CD=2．
（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H．
∵BC∥OD，
∴∠DOG=∠OGB=∠GOB，
∴BO=BG=3，
∵tan∠HBG=，设GH=2a，HB=a，
∵BG2=GH2+HB2，
∴8a2+a2=9，
∴a2=1，
∵a＞0，
∴a=1，HB=1，GH=2，OH=2，OG==2，
∵GC∥DO，
∴=，
∴ON=×=．
19.【分析】（1）把A、C两点的坐标代入抛物线的解析式可求b、c 的值，然后利用配方法可求得点M的坐标；
（2）先求得直线AC的解析式，然后再求得抛物线的对称轴，设直线x=1与△ABC的两边分别交于点E与点F，然后求得点E和点F的坐标，然后依据平移后抛物线的顶点在△BAC的内部列不等式组求解即可；
（3）先证明∠PCM为直角，然后分为△MPC∽△CBD、BDC∽△MCP，两种情况求得PC的长，然后再求得点P的坐标即可．
【解答】解：（1）把A、C两点的坐标代入得：，
解得：．
∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣4．
配方得：y=（x﹣1）2﹣5．
∴点M的坐标为（1，﹣5）．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，把点A、C的坐标代入得：，解得：，
∴直线AC的解析式为y=x﹣4．
抛物线的对称轴方程为x=﹣=1．
如图1所示，直线x=1与△ABC的两边分别交于点E与点F，则点F 的坐标为（1，﹣1）．
将x=1代入直线y=x﹣4得：y=﹣3．
∴E（1，﹣3）．
∵抛物线向上平移m个单位长度时，抛物线的顶点在△BAC的内部，∴﹣3＜﹣5+m＜﹣1．
∴2＜m＜4．
（3）如图2所示：
把y=﹣1代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣4=﹣1，解得x=﹣1或x=3，∴B（﹣1，﹣1）．
∴BD=1．
∵AB∥x轴，A（4，﹣1），
∴D（0，﹣1）
∴AD=DC=3．
∴∠DCA=45°．
过点M作ME⊥y轴，垂足为E．
∵C（0，﹣4），M（1，﹣5）．
∴CE=ME=1．
∴∠ECM=45°，MC=．
∴∠ACM=90°．
∴∠PCM=∠CDB=90°．
①当△MPC∽△CBD时，，即=，解得PC=．
∴CF=PF=sin45°•PC=×=．
∴P（﹣，﹣）．
如图3所示：点P在点C的右侧时，过点P作PF⊥y轴，垂足为F．
∵CP=，∠FCP=45°，∠CFP=90°，
∴CF=FP=×=．
∴P（﹣，﹣）．
②当BDC∽△MCP时，=，即=，解得PC=3．
如图4所示：当点P在AC的延长线上时，过点作PE⊥y轴，垂足为E．
∵PC=3，∠PCE=45°，∠PEC=90°，
∴CE=PE=3×=3．
∴P（﹣3，﹣7）．
如图5所示：当点P在AC上时，过点P作PE⊥y轴，垂足为E．
∵PC=3，∠PCE=45°，∠PEC=90°，
∴CE=PE=3×=3．
∴P（3，﹣1）．
综上所述，点P的坐标为（﹣3，﹣7）或（3，﹣1）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．
第三套：满分150分
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自主招生数学模拟卷
一．选择题（每小题6分，满分48分）
1．（6分）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A． B． C．D．
2.（6分）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）
A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
3．（6分）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，
∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；
④AD ≥EF ；⑤AD 与EF 可能互相平分，其中正确结论的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.（6分）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
5.（6分）已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ）
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 1＜y 2＜y 3
C ．y 2＞y 3＞y 1
D ．y 2＜y 3＜y 1 6．（6分）如图，点O 为正方形ABCD 的中心，B
E 平分∠DBC 交DC 于点E ，延长BC 到点
F ，使FC=EC ，连接DF 交BE 延长线于点H ，连接OH 交DC 于点
G ，连接HC ．则以下四个结论中正确结论个数为（ ）
①OH=BF ；②∠CHF=45°；③GH=BC ；④DH2=HE •HB ．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 7. （6分）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正
方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ，的中点分别是M ，N ，P ，Q. 若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB 的长
2y ax bx =+y bx a =+»
»AC BC ，
是（ ）
A. B.
C. 13
D. 16
8.（6分）如图，已知正△ABC 的边长为2，E ，F ，G 分别是AB ，
BC ，CA 上的点，且AE =BF =CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长
为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二.填空题（每小题7分，满分42分）
9.（7分）若x 是不等于1的实数，我们把1
1x
-称为x 的差倒数，如2
的差倒数是1112=--，1-的差倒数为111(1)2=--，现已知11x 3
=-，2x 是1
x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的差倒数，……，依次类推，则
2012x = ．
10.（7分）如图，在四边形ABCD 中，AC=BD=6，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则EG 2+FH 2= 。
11.（7分）如果关于x 不等式组：3x-a 0
2x-b 0≥⎧⎨
≤⎩
，的整数解仅有1，2，
那么适合这个不等式组的整数a ，b 组成有序数对（a ，b ） 共有 个。
297
90。
