1-1线性空间

第1课时 空间向量及其线性运算学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律．知识点一 空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 4．几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量思考 空间中的两个向量是不是共面向量？答案 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 知识点二 空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a ＋b ＝OA →＋ AB → ＝OB →减法a －b ＝OA →－OC →＝CA →数乘当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ →； 当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →；当λ＝0时，λa ＝0运算律 交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ；分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 思考2 由数乘λa ＝0，可否得出λ＝0? 答案 不能．λa ＝0⇔λ＝0或a ＝0.1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ) 2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ )3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．( × ) 4．向量AB →与AC →是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上．( √ )一、向量概念的应用例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．方向相反的两个向量是相反向量 B ．空间中任意两个单位向量必相等C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD →D ．相等向量其方向必相同 答案 D解析 A 中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B 中，单位向量模都相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)(多选)下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的加法满足结合律D ．任一向量与它的相反向量不相等 答案 BC解析 |a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确；空间向量的加法满足结合律，C 正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC.反思感悟 空间向量的概念问题在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1 下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________． ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． 答案 ①解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确． 二、空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′———→.解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AA ′—→＋A ′D ′———→＝AD ′—→. (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′———→＝AA ′—→＋A ′B ′———→＋B ′C ′———→ ＝AB ′—→＋B ′C ′———→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．延伸探究试把本例中的体对角线所对应向量AC ′—→用向量AA ′—→，AB →，AD →表示． 解 在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′—→＝AC →＋AA ′—→， 在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →. 故AC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→.反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2 (多选)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1—→的是( )A.A 1D 1—→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→C.AD →－AB →－DD 1—→D.B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→ 答案 AB解析 A 中，A 1D 1—→－A 1A —→－AB →＝AD 1—→－AB →＝BD 1—→； B 中，BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→＝BC 1—→＋C 1D 1—→＝BD 1—→；C 中，AD →－AB →－DD 1—→＝BD →－DD 1—→＝BD →－BB 1—→＝B 1D —→≠BD 1—→；D 中，B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→＝BD →＋AA 1—→＋DD 1—→＝BD 1—→＋AA 1—→≠BD 1—→.故选AB. 三、空间向量的线性运算例3 在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC 的中点，化简下列各表达式． (1)AG →＋13BE →＋12CA →；(2)12(AB →＋AC →－AD →)．解 (1)因为G 是△BCD 的重心，所以|GE →|＝13|BE →|，所以13BE →＝GE →，又因为12CA →＝EF →，所以由向量的加法法则，可知AG →＋13BE →＋12CA →＝AG →＋GE →＋EF →＝AE →＋EF →＝AF →.从而AG →＋13BE →＋12CA →＝AF →.(2)如图所示，分别取AB ，AC 的中点P ，Q ，连接PH ，QH ，则四边形APHQ 为平行四边形，且有12AB →＝AP →，12AC →＝AQ →，而AP →＋AQ →＝AH →，12AD →＝AF →，所以12(AB →＋AC →－AD →)＝AP →＋AQ →－AF →＝AH →－AF →＝FH →.反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的注意点(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．跟踪训练3 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A —→＝c ，则下列向量中与B 1M —→相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c答案 A解析 B 1M —→＝B 1B —→＋BM →＝A 1A —→＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .1．“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B2．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案 D解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反，故选D. 3．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝CB → D.AB →＝－BA → 答案 B4．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形答案 A解析 ∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →， ∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．5．化简：5(3a －2b )＋4(2b －3a )＝________. 答案 3a －2b1．知识清单： (1)向量的概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)． (3)向量的线性运算的运算律． 2．方法归纳：三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想． 3．常见误区：对空间向量的理解应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列说法中，正确的是( ) A ．模为0是一个向量方向不确定的充要条件B ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向，则AB →＞CD →C ．若两个非零向量AB →，CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →互为相反向量 D.AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合 答案 AC解析 A 正确，模不为0的向量方向是确定的． B 错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小． C 正确，由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，所以AB →，CD →互为相反向量．D 错误，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合． 2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0 D.MN →答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0，故选C. 3．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( ) A.OA → B.AB → C.OC →D.AC →答案 C4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1—→＋C 1A 1—→ B.AB →－AC →＋BB 1—→ C.AB →＋AD →＋AA 1—→ D.AC →＋CB 1—→答案 A解析 在A 选项中，AB →＋A 1D 1—→＋C 1A 1—→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0. 5．如果向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →同向 D.AC →与CB →同向 答案 D6．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________. 答案 AD →解析 AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________． 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.8．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 29.如图所示的是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列各式：(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1—→－AB →＋BC →.解 (1)AB →＋AD →＋AA 1—→＝AC →＋AA 1—→＝AC 1—→.(2)DD 1—→－AB →＋BC →＝AA 1—→－AB →＋BC →＝BA 1—→＋BC →＝BD 1—→.10．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解 AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.因为E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点， 所以BE →＝EC →，EF →＝GD →.所以AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →. 故所求向量为AD →，AF →，如图所示．11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AB → C.AC → D.BA →答案 D解析 方法一 DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →. 方法二 DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.12．在三棱锥A －BCD 中，E 是棱CD 的中点，且BF →＝23BE →，则 AF →等于( )A. 12AB →＋34AC →－34AD →B. AB →＋34AC →－34AD →C ．－5AB →＋3AC →＋3AD →D.13AB →＋13AC →＋13AD → 答案 D解析 因为 E 是棱 CD 的中点，BF →＝23BE →，所以 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BE →＝AB →＋23(AE →－AB →)＝23AE →＋13AB →＝13(AC →＋AD →)＋13AB →＝13AB →＋13AC →＋13AD →. 13．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________. 答案 －c －a ＋b 解析 如图，A 1B —→＝B 1B —→－B 1A 1—→＝B 1B —→－BA →＝－CC 1—→－(CA →－CB →) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b .14．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简A 1O —→－12AB →－12AD →＝________.(2)用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝________. 答案 (1)A 1A —→ (2)12AB →＋12AD →＋AA 1—→解析 (1)A 1O —→－12AB →－12AD →＝A 1O —→－12(AB →＋AD →)＝A 1O —→－AO →＝A 1O —→＋OA →＝A 1A —→.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12AD →＋AA 1—→.15．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→，则x ＋y ＋z ＝________.答案 6解析 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′——→＝AB →＋BC →＋CC ′——→，又AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y 2＝1，z 3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.16.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →.解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1—→＋A 1D 1——→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP → ＝－12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .。

1-1线性空间的性质与定义一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一，线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是线性空间是为了解决实际问题而引入的，某一类事物从量的方面的一个抽象，某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．问题．定义１是一个非空集合，为实数域．定义１设V是一个非空集合，R 为实数域．如果对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一个元与之对应，的和，素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ=α+β若对于任一数λ∈R与任一元素α∈V总有唯，与之对应，的积，一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的积，记作δ=λα如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那上的向量空间（或线性空间）．么V就称为数域R上的向量空间（或线性空间）．设α,β,γ∈V;λ,μ∈R(1)α+β=β+α;(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(3)在V中存在零元素0,对任何α∈V,都有α+0=α;(4)对任何α∈V,都有α的负元素β∈V,使α+β=0;(5)1α=α;(6)λ(μα)=(λμ)α;(7)(λ+μ)α=λα+μα;(8)λ(α+β)=λα+λβ.说明1．凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，．凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算线性运算．称为线性运算．2．向量空间中的向量不一定是有序数组．向量空间中的向量不一定是有序数组．3．判别线性空间的方法：一个集合，对于定判别线性空间的方法：一个集合，义的加法和数乘运算不封闭，义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．线性空间的判定方法（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运一个集合，算是通常的实数间的加乘运算，算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．算的封闭性．例１实数域上的全体m某n矩阵，对矩阵的加法矩阵，和数乘运算构成实数域上的线性空间，和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作Rm某n．∵Am某n+Bm某n=Cm某n,λAm某n=Dm某n,∴Rm某n是一个线性空间.例2次数不超过n的多项式的全体,记作P[某]n,即P[某]n={p=an某n++a1某+a0an,,a1,a0∈R},对于通常的多项式加法。

一维线性空间的概念和特点一维线性空间是线性代数中最简单的一种情形。

它是指一个只包含一个维度的向量空间。

一维线性空间中的向量可以用一个实数或复数表示，因此其向量空间的基可以由任何非零的标量向量生成。

在这种情况下，一维线性空间中的向量可以表示为实数或复数的线性组合。

以下将详细讨论一维线性空间的概念和特点。

概念：一维线性空间是指一个只包含一个维度的向量空间。

一维线性空间中的向量可以用一个实数或复数表示。

一维线性空间中的向量可以通过对标量进行线性组合来表示。

在一维线性空间中，任何一个向量都可以用一个实数或复数乘以基向量来表示。

所以，一维线性空间中的基向量可以是任意一个非零的向量。

特点：1. 唯一的维度：一维线性空间只包含一个维度。

这意味着它的所有向量可以由一个实数或复数表示。

2. 基向量的选择：一维线性空间中的基向量可以是任意一个非零的向量。

因为只有一个维度，所以只需要一个基向量就可以生成整个空间。

3. 线性组合的表示：在一维线性空间中，每个向量可以表示为一个实数或复数与基向量的乘积。

这可以简化向量的表示和运算。

4. 向量的标量乘法：在一维线性空间中，向量可以与实数或复数相乘。

这意味着向量可以进行缩放或伸缩，同时保持在同一个线性空间中。

5. 零向量：一维线性空间中的零向量是一个特殊的向量，它的所有分量都是零。

它是在向量空间中的加法单位元，并且它与任何向量的加法都得到原始向量。

6. 向量的相等性：在一维线性空间中，如果两个向量在大小和方向上相等，则它们是相等的。

这是因为一维线性空间中的向量可以表示为一个实数或复数与基向量的乘积，而不考虑方向。

总结：一维线性空间是线性代数中最简单的一种情形。

它只包含一个维度，其中的向量可以用一个实数或复数表示。

一维线性空间的特点包括唯一的维度、基向量的选择、线性组合的表示、向量的标量乘法、零向量以及向量的相等性。

一维线性空间可以帮助我们理解和解决线性方程组、向量运算以及线性代数中其他相关的问题。

⎪⎩⎪⎨⎧↓映射集合线性空间的同构直和和并子空间与子空间的运算与坐标变换过度矩阵线性空间的基变换坐标基线性空间的维数→→→→,,:)(,,,同构映射、同构映射的六个性质，两个线性空间同构 二．习题举例例1：求线性空间的维数1）数域P 上所有反对称矩阵组成的线性空间。

2)1(-n n 2）数域P 上所有上三角形矩阵组成的线性空间。

2)1(+n n例2：证明：P n 的任意一个真子空间都是若干个n-1维子空间的交。

证明：设V 是P n 的任意一个真子空间，不仿设 V=L(r ααα ,,21)，)(n r < 它是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+++=+++--,0,0,0)(11)(22221211212111n n r n r n nn n n x b x b x b x b x b x b x b x b 的解空间， 记k W 为线性方程组02211=+++n kn k k x b x b x b ，k=1,2,…,n -r 的解向量空间,显然是P n 的n-1维子空间，且V 恰好是这n-r 个n-1维子空间的交。

例3设n ααα ,,21是n 维线性空间V 中的n 个向量，V 中的每个向量都可以由它们线性给出，求证：n ααα ,,21是V 的一组基。

证明：只须证明n ααα ,,21线性无关，事实上，如果rk r r ααα ,,21是n ααα ,,21的一个极大线性无关组，则rk r r ααα ,,21是V 的一组基，所以n k =，向量组rk r r ααα ,,21就是向量组n ααα ,,21，是线性无关。

例4：在5R 中求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-+-=+-+-02203224022543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x ，的解空间的维数与一组基。

解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211213224111122A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→533605336021121⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→0000035112021121 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→00000351120310001；解空间的维数是3，一组基是 )6,0,0,5,2()0,2,0,1,0(),0,0,2,1,0(321=-==βββ例5：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110A ，证明：实数域上矩阵A 的全体实系数多项式)(A f 组成的空间⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==0110|)(A A f V 与 复数域C 作为实数域R 上的线性空间},|{R b a bi a V ∈+='同构。