第二章析取范式与合取范式讲解学习

(p→q)→r的析取范式和合取范式(p→q)→r的析取范式是指将(p→q)和r两个命题进行析取，得到p →(q→r)。

析取范式是逻辑学中常用的一种形式化语言，表示的意思是：如果p命题成立，则q命题也必须成立，如果q命题成立，则r命题也必须成立。

例如，如果p命题表示“今天是周五”，q命题表示“今天是工作日”，r命题表示“今天有课”，则(p→q)→r的析取范式表示的意思是：如果今天是周五，则今天一定是工作日；如果今天是工作日，则今天一定有课。

(p→q)→r的合取范式是指将(p→q)和r两个命题进行合取，得到(p →q)∧r。

合取范式是逻辑学中常用的一种形式化语言，表示的意思是：p 命题和q命题同时成立，且r命题也必须成立。

例如，如果p命题表示“今天是周五”，q命题表示“今天是工作日”，r命题表示“今天有课”，则(p→q)→r的合取范式表
继续讲 (p→q)→r 的析取范式和合取范式。

在逻辑学中，析取范式是一种常用的形式化语言，表示的意思是：如果p命题成立，则q命题也必须成立，如果q命题成立，则r命题也必须成立。

例如，假设有一个命题p表示“今天下雨”，一个命题q表示“今天湿滑”，一个命题r表示“今天需要带伞”，则(p→q)→r的析取范式表示的意思是：如果今天下雨，则今天一定湿滑；如果今天湿滑，则今天一定需要带伞。

同样的，(p→q)→r的合取范式也是一种常用的形式化语言，表示的意思是：p命题和q命题同时成立，且r命题也必须成立。

例如，假设有一个命题p表示“今天下雨”，一个命题q表示“今天湿滑”，一个命题r表示“今天需要带伞”，则(p→q)→r的合取范式表示的意思是：今天下雨，今天湿滑，且今天需要带伞。

希望这些信息能帮到你！。

2.2析取范式与合取范式一、析取范式与合取范式定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。

仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。

仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。

例如，文字：p,┐q,r,q.简单析取式: p,q,p∨q,p∨┐p∨r,┐p∨q∨┐r.简单合取式: p,┐r,┐p∧r,┐p∧q∧r,p∧q∧┐q.定理2.1（1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定。

（2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定。

定义2.3（1）由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。

（2）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。

（3）析取范式与合取范式统称为范式。

例如，析取范式：（p┐∧q）∨r, ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r.合取范式:(p∨q∨r)∧(┐q∨r), ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r.定理2.2（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式。

（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式。

范式的特点：（1）范式中不出现联结词→、↔，求范式时可消去：A→B⇔┐A∨BA↔B⇔(┐A∨B)∧(A∨┐B)（2）范式中不出现如下形式的公式：┐┐A, ┐(A∧B), ┐(A∨B)因为：┐┐A⇔A┐(A∧B)⇔┐A∨┐B┐(A∨B)⇔┐A∧┐B（3）在析取范式中不出现如下形式的公式：A∧(B∨C)在合取范式中不出现如下形式的公式：A∨(B∧C)因为：A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)定理2.3 (范式存在定理)任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式。

求范式的步骤：1．消去联结词→、↔；2．消去否定号┐；3．利用分配律。

命题公式的析取范式与合取范式都不是唯一的。

例2.7 求公式(p→q)↔r的析取范式与合取范式。

解: (1)合取范式：(p→q)↔r ⇔(┐p∨q)↔ r⇔((┐p∨q)→ r)∧(r→(┐p∨q))⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q))⇔ ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r)⇔ (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)(2) 析取范式(p→q)↔r ⇔ ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r)⇔ (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)⇔ (p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)下面介绍命题公式的唯一规范化形式的范式：主析取范式与主合取范式。

符号逻辑中的析取范式和合取范式在符号逻辑中，析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）和合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）是对命题逻辑或布尔逻辑中命题的特定形式的转换表示。

它们在逻辑推理和计算机科学中起着重要作用。

本文将详细介绍析取范式和合取范式的概念、转换过程以及其在逻辑推理中的应用。

一、析取范式（DNF）1.概念及表示方式析取范式是指一个布尔逻辑表达式的每个子表达式都是一个析取式（由多个合取项通过逻辑或（∨）连接而成）。

通常用以下形式表示一个析取范式：DNF = (P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn) ∨ (Q1 ∧ Q2 ∧ … ∧ Qm) ∨ …其中，每个Pi和Qj都是合取项，合取项由多个命题原子或其否定连接而成。

2.转换过程析取范式可以通过逻辑运算的规则进行转换，以下是常用的两个转换规则：–吸收律：P ∨ (P ∧ Q) = P–分配律：P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)通过这些规则，我们可以逐步化简一个逻辑表达式，直至获得其最简析取范式。

3.示例考虑一个逻辑表达式：(P ∧ Q) ∨ (R ∧ ¬T) ∨ (¬S)根据上述转换规则，我们可以将其化简为析取范式：(P ∨ R ∨ ¬S) ∧ (Q ∨ R ∨ ¬S) ∧ (P ∨ ¬T ∨ ¬S)这就是给定逻辑表达式的析取范式。

4.应用析取范式在逻辑推理和计算机科学中应用广泛。

它可以用于逻辑回路的设计、命题逻辑的定理证明和布尔代数的计算等。

二、合取范式（CNF）1.概念及表示方式合取范式是指一个布尔逻辑表达式的每个子表达式都是一个合取式（由多个析取项通过逻辑与（∧）连接而成）。

通常用以下形式表示一个合取范式：CNF = (P1 ∨ P2 ∨ … ∨ Pn) ∧ (Q1 ∨ Q2 ∨ … ∨ Qm) ∧ …其中，每个Pi和Qj都是析取项，析取项由多个命题原子或其否定连接而成。

2.2 析取范式与合取范式1.简单析取式与简单合取式定义2.2: 命题变项及其否定统称为文字. 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式. 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式.*解释: 析取, 合取.例子: p, ┐q, p∨┐p, ┐p∨q, p∨┐q∨r, p∨┐p∨r都是简单析取式.┐p, q, p∧┐p, p∧┐q, p∧q∧┐r, ┐p∧p∧q都是简单合取式.定理2.1: (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及其的否定式; (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及其否定式.*举例说明: p∨┐p∨q∨r, p∨┐q∨rp∧┐p∧┐q∧r, ┐p∧q∧r2.合取范式与析取范式定义 2.3: 由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称为析取范式. 由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称为合取范式. 析取范式与合取范式统称为范式.*析取范式的一般形式为A1∨A2∨…∨A s, 其中, A i为简单合取式, i =1, 2, …,s.合取范式的一般形式为B1∧B2∧…∧B t, 其中, B j为简单析取式, j = 1, 2, …, t.例如: (p∧┐q)∨(┐q∧r)∨p是析取范式.(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r∧(┐p∨┐r∨s)为合取范式.定理 2.2: (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式; (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式;例如: (p∧┐p∧q)∨(q∧┐q∧p∧r)∨(p∧┐p∧┐r)是矛盾式;(p∨r∨q∨┐q)∧(p∨┐q∨r∨┐r)∧(┐p∨p∨q∨┐r)是重言式.3. 将合式公式转化为析取范式与合取范式命题公式有5个联结词{∧,∨,┐,→,↔}, 如何把包含这5个联结词的公式转化为合取范式或析取范式?(1) 蕴涵式与等值式A→B⇔┐A∨BA↔B⇔(A→B)∧(B→A)⇔(┐A∨B)∧(┐B∨A)(2) 公式中的否定┐┐A⇔A┐(A∧B)⇔┐A∨┐B┐(A∨B)⇔┐A∧┐B(3) 析取范式与合取范式互换A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)定理 2.3: (范式存在定理) 任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式.求给定公式范式的步骤为:(1) 消去联结词→和↔;(2) 用双重否定律消去双重否定符, 用德∙摩根律内移否定符;(3) 使用分配律: 求析取范式时使用∧对∨的分配律; 求合取范式时, 使用∨对∧的分配律.例2.8: 求公式(p→q)↔r的合取范式与析取范式.解: (1) 先求合取范式:(p→q)↔r⇔(┐p∨q)↔r 消去→⇔((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) 消去↔⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) 消去→⇔((┐┐p∧┐q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) 否定符内移⇔((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 消去双重否定⇔((p∨r)∧(┐q∨r))∧(┐p∨q∨┐r) ∨对∧的分配律⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 结合律(2)求析取范式(p→q)↔r⇔(┐p∨q)↔r 消去→⇔((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) 消去↔⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) 消去→⇔((┐┐p∧┐q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) 否定符内移⇔((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 消去双重否定,交换律⇔(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)∨(r∧┐r)∧对∨的分配律⇔0∨0∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)∨0 矛盾律⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) 同一律定义2.4: 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中,若每个命题变项和它的否定式恰好出现一次且仅出现一次,而且命题变项或它的否定式按下标从小到大或按字典序排列, 称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).*由于每个命题变项在极小项中以原形式或否定形式出现且仅出现一次, 因而n个命题变项共产生2n个不同的极小项(或极大项). 每个极小项有且仅有一个成真赋值, 每个极大项有且仅有一个成假赋值. (见下表格)例如: 含p和q的极小项和极大项极小项极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称┐p∧┐q 0 0 m0p∨q 0 0 M0┐p∧q 0 1 m1p∨┐q 0 1 M1 p∧┐q 1 0 m2┐p∨q 1 0 M2 p∧q 1 1 m3┐p∨┐q 1 1 M3 例如: 含p, q, r的极小项与极大项极小项极大项成真名成假名公式赋值称公式赋值称┐p∧┐q∧┐r 0 0 0 m0p∨q∨r 0 0 0 M0 ┐p∧┐q∧r 0 0 1 m1p∨q∨┐r 0 0 1 M1 ┐p∧q∧┐r 0 1 0 m2p∨┐q∨r 0 1 0 M2┐p∧q∧r 0 1 1 m3p∨┐q∨┐r 0 1 1 M3 p∧┐q∧┐r 1 0 0 m4┐p∨q∨r 1 0 0 M4 p∧┐q∧r 1 0 1 m5┐p∨q∨┐r 1 0 1 M5 p∧q∧┐r 1 1 0 m6┐p∨┐q∨r 1 1 0 M6 p∧q∧r 1 1 1 m7┐p∨┐q∨┐r 1 1 1 M7*解释极小项与极大项的不同, 成真赋值与成假赋值.定理2.4: 设M i和m i是含命题变项p1, p2, …, p n的极大项和极小项, 则有┐m i⇔M i和┐M i⇔m i .定义 2.5: 所有简单合取式(简单析取式)都是极小项(极大项)的析取范式(合取范式)称为主析取范式(主合取范式).定理 2.5: 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是唯一的.证明: 这里只证主析取范式的存在性和唯一性.首先证明存在性. 设A是任一含n个命题变项的公式. 由定理2.3可知, 存在与A等值的析取范式A’, 即A⇔A’. 若A’的某个简单合取式A i中既不含命题变项p j, 也不含它的否定式┐p j, 则将A i展开成如下等值式:A i∧(p j∨┐p j)⇔(A i∧p j)∨(A i∧┐p j)继续这个过程, 直到所有的简单合取式都含有所有的命题变项或它的否定式.若在演算过程中出现的命题变项在极小项中出现矛盾式, 则应消去.如用p代替p∧p, m i代替m i∨m i,0代替矛盾式等. 最后, 就将A化为与之等值的主析取范式A”.下面再证明唯一性. 假设命题公式A等值于两个不同的主析取范式B和C, 那么必有B⇔C. 由于B和C是不同的主析取范式, 不妨设极小项m i只出现在B中, 而不出现在C中. 于是,角标i的二进制表示为B的成真赋值, 而为C的成假赋值, 这与B⇔C矛盾.主合取范式的存在性和唯一性可类似证明.例2.9: 求公式(p→q)↔r的主析取范式和主合取范式.解: (1) 求主析取范式在例2.8中已求出(p→q)↔r⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r), 因此(p→q)↔r⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r∧(q∨┐q))∨(q∧r∧(p∨┐p))⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)∨(q∧r∧p)∨(q∧r∧┐p)⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m4∨m7(2) 求主合取范式在例2.8中, 已求出(p→q)↔r⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r), 因此,(p→q)↔r⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨r∨(q∧┐q))∧(┐q∨r∨(p∧┐p))∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨r∨q)∧(p∨r∨┐q)∧(┐q∨r∨p)∧(┐q∨r∨┐p)∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r) ⇔M0∧M2∧M5∧M64.主析取范式和主合取范式与真值表的一一对应关系例2.10: 给出合式公式: (p→q)↔r.它的真值表见下图.p q r p→q (p→q)↔r0 0 0 1 00 0 1 1 10 1 0 1 00 1 1 1 11 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 1 01 1 1 1 1主析取范式:(p→q)↔r⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m4∨m7主合取范式(p→q)↔r⇔(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r) ⇔M0∧M2∧M5∧M6*从主析取范式求主合取范式(或从主合取范式求主析取范式)*判断公式的类型:重言式或矛盾式的主析取范式和主合取范式是什么样的?设公式A中含n个命题变项, 容易看出:(1)A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小项.(2)A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项,此时, 记A的主析取范式为0.(3)A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极小项.例2.11: 用公式的主析取范式判断下列公式的类型.(1) ┐(p→q)∧q(2) p→(p∨q)(3) (p∨q)→r解: 公式(1), (2)只含两个命题变项, 而(3)中含3个命题变项.(1) ┐(p→q)∧q⇔┐(┐p∨q)∧q⇔(┐┐p∧┐q)∧q⇔p∧┐q∧q⇔0, 故(1)式是矛盾式.*矛盾式的主析取范式与主合取范式(2) p→(p∨q)⇔┐p∨(p∨q)⇔(┐p∧(q∨┐q))∨(p∧(q∨┐q))∨(q∧(p∨┐p))⇔(┐p∧q)∨(┐p∧┐q)∨(p∧q)∨(p∧┐q)∨(q∧p)∨(q∧┐p)⇔(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q)⇔m0∨m1∨m2∨m3故(2)式是重言式.也可以按如下方式:p→(p∨q)⇔┐p∨(p∨q)⇔┐p∨p∨q⇔1∨q⇔1⇔m0∨m1∨m2∨m3*重言式的主析取范式与主合取范式.(3) (p∨q)→r⇔┐(p∨q)∨r⇔(┐p∧┐q)∨r⇔(┐p∧┐q∧(r∨┐r))∨(r∧(p∨┐p))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(r∧p)∨(r∧┐p)⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧r∧(q∨┐q))∨(┐p∧r∧(q∨┐q))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧r∧q)∨(p∧r∧┐q)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)⇔(┐p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q ∧r)∨(p∧q∧r)⇔m0∨m1∨m3∨m5∨m7故(3)式是可满足式.*判定两个合式公式是否等值.两个合式公式等值当且仅当它们有相同的主析取范式(主合取范式).例2.12: 某科研所要从3名科研骨干A, B, C中挑选1至2名出国进修. 由于工作需要, 选派时要满足以下条件:(1)若A去, 则C同去.(2)若B去, 则C不能去.(3)若C不去, 则A或B可以去.问所里有哪些选派方案?解: 设p: 派A去; q: 派B去; r: 派C去.由已知条件可得公式: (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q))该公式的成真赋值即为可行的选派方案. 经演算得到(p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)⇔m1∨m2∨m5故有三种选派方案:(1)C去, A和B都不去; (2) B去, A和C都不去;(3) A和C同去, B不去.作业:1.用等值演算求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值.(1) (┐p→q)→(┐q∨p)(2) (┐p→q)∧(q∧r)(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)2.用等值演算求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值.(1) (p→(p∨q))∨r(2) ┐(q→┐p)∧┐p3.求下列公式的主析取范式, 再用主析取范式求主合取范式.(1) (p→q)∧(q→r)4.用真值表求下列公式的主析取范式与主合取范式.(1) (p q)→r(2) ┐(q→┐p)∧┐p。

离散数学主析取范式和主合取范式好嘞，今天我们来聊聊离散数学里的主析取范式和主合取范式。

别看这名字听起来有点高大上，其实它们就像是数学里的两个小伙伴，各自有各自的特长。

先说主析取范式。

想象一下，你正在和朋友们讨论晚餐吃什么。

有人说吃披萨，有人说吃汉堡，还有人提议中餐。

每个人都在表达自己的想法，你得把这些意见整合在一起。

这就是主析取范式的味道。

它把不同的逻辑表达式用“或者”连接起来，形成一个大的表达式。

简单来说，就是“要么…要么…”的那种感觉。

就像我们平时说的“你要是去超市，就顺便帮我买点牛奶。

”这里的“要么”就是一个选项，让我们感觉选择的乐趣满满。

再看看主合取范式。

这个听起来就像个正式的聚会，但实际上，它和主析取范式有点像过年的团圆饭，大家一起吃个团圆。

主合取范式是把各种条件用“而且”连接起来，形成一个综合的表达式。

比如，你想去爬山，得有天气好、朋友愿意去、车子开得了，这样才能顺利出发。

“如果天气好，而且朋友愿意去，而且车子也没问题，那我们就去爬山！”这就是主合取范式的魅力所在。

它把多个条件紧紧相连，就像一个不可分割的整体，让人觉得踏实。

咱们说说这两者的区别。

主析取范式就像是在众多选择中找到你最喜欢的，简简单单的“或”就能让你感到满足。

而主合取范式呢，就像在拼图一样，每一块都得恰如其分地嵌进去，缺一不可。

这就让人觉得，逻辑的世界真是千变万化，特别有趣。

就像生活中的各种选择，有时候你要在“吃披萨”或者“吃汉堡”中做决定，但有时候却需要“天气好而且朋友有空而且车能开”这种条件，才敢下定决心。

说到这里，很多人可能会觉得，这些范式好像没什么太大用处。

它们就像数学中的调味料，能让复杂的逻辑问题变得清晰。

通过主析取范式和主合取范式，我们能把复杂的逻辑表达式化繁为简，抓住问题的核心。

试想一下，生活中遇到的各种选择和条件，常常让人头大。

用这些范式整理思路，真的是帮了大忙。

就像做菜时，调料一加，味道立马提升。

更有趣的是，这两个范式还可以互相转换。

主析取范式和主合取范式的求法
主析取范式和主合取范式是布尔代数中的两个重要概念，主要用于将一个逻辑表达式转化为某些变量的与或组合形式。

本文将简要介绍主析取范式和主合取范式的求法。

一、主析取范式
主析取范式指将逻辑表达式转换为若干个变量的析取项的与式。

例如，对于逻辑表达式（A∨B）∧（C∨D∨E），它的主析取范式为（A∧C∧D∧E）∨（B∧C∧D∧E）∨（A∧C∧E）∨（B∧C∧E）∨
（A∧C∧D）∨（B∧C∧D）。

求解主析取范式的方法一般为：
1.先将逻辑表达式写成最简合取范式。

2.将最简合取范式中的每一项转化为主析取范式的一个子式。

3.将所有子式放在一起，用“∨”连接。

二、主合取范式
主合取范式指将逻辑表达式转换为若干个变量的合取项的或式。

例如，对于逻辑表达式（A∨B）∧（C∨D∨E），它的主合取范式为（A∨B)∨C)∨(A∨B)∨D)∨(A∨B)∨E)。

求解主合取范式的方法一般为：
1.先将逻辑表达式写成最简析取范式。

2.将最简析取范式中的每一项转化为主合取范式的一个子式。

3.将所有子式放在一起，用“∧”连接。

需要注意的是，主析取范式和主合取范式并非每个逻辑表达式都有。

当逻辑表达式已经是主析取范式或主合取范式时，无需再进行转化。

总之，主析取范式和主合取范式的求法是布尔代数中的基础知识，掌握这两个概念对于理解和应用逻辑表达式非常重要。

1析取范式与合取范式这是命题公式的两种特殊的简明形式。

一个重要的结论是，任何命题公式都可以等价地转化为这两种形式。

我们将学习这种转化方法及其应用。

1. 析取范式定义1.1 命题变元及其否定统称为文字（literal ）。

由有限个文字组成的合取式称为简单合取式。

由有限个简单合取式组成的析取式称为析取范式（disjunction normal form ），简称DNF 。

例1.2 求下列公式的析取范式。

(1) ()(2) () ()p q pp q p q →∧⌝∨∧⌝∧方法小结：（1） 将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。

（2） 用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。

（3） 用分配律将析取联结词移到括号之外。

（4） 最后化简，即消除简单合取式中重复出现的变元（用幂等律、矛盾律、零律）练习1.3定理1.4 任何命题公式都有等值的析取范式。

2. 合取范式定义2.1由有限个文字组成的析取式称为简单析取式，也称为子句（clause ）。

由有限个简单析取式组成的合取式称为合取范式（conjunction normal form ），简称CNF 。

例2.2 求下列公式的合取范式。

(1) ()(2) () ()p q pp q p q ⌝→∨∧∨⌝∨方法小结：（1）将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。

（2）用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。

（3）用分配律将合取联结词移到括号之外。

（4）最后化简，即消除简单析取式中重复出现的变元（用幂等律、排中律、同一律）练习2.3定理2.4 任何命题公式都有等值的合取范式。

3.极小项为了进一步规范析取范式与合取范式，我们引入极小项与极大项这一对概念。

符号的次序：在符号表中，符号是有先后次序的。

在一个命题逻辑语言中，所有的命题变元来自于一个符号表，称为命题变元符号表。

我们约定：命题公式中所使用的英文字母在命题变元符号表中的次序与其在英文字母表中的次序相同。

第四节 主析取范式与主合取范式n 个命题变项虽然可以构成无穷多个形式各异的命题公式，但就其真值而言，只有22n种。

对应每种真值情况虽然又有无穷多个等值的公式，但这些公式却有相同的标准形式。

本节将给出规范公式的概念，这种规范的公式能表达真值表所能给出的一切信息。

定义4.1 命题变项及其否定统称为文字。

如p ，q ，¬p ，¬q ，L 都是文字，即每个命题变项产生两个文字。

（1）仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。

（2）仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。

例如，p ∧q ，p ∧¬q ∧r ，L 都是简单合取式。

p ∨q ， ¬p ∨q ∨r ，L 都是简单析取式。

单个文字既是简单析取式，又是简单合取式。

定义4.2 （1）仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式； （2）仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取式。

例如，p ，¬q ，p ∧q ，（p ∧¬q ）∨（p ∧q ），L 都是析取范式。

p ，¬r ，p ∨q ，（p ∨q ）∧（q ∨¬r ），L 都是合取范式。

注意，两个文字构成的简单合取式与析取式都既是析取范式又是合取范式。

例如，p ∨q 是析取范式，它是由两个简单的合取式p 与q 析取而成。

同时它也是合取范式，看成是一个简单析取式构成的合取范式。

定义 4.3 （1）n 个命题变项1p ，2p ，L ，n p （1n ≥）构成的简单合取式中，若每个i p （1,2,,i n =L ）都以文字的形式出现一次且仅出现一次，而且出现在左起的第i 位上，则称它为极小项。

（2）n 个命题变项1p ，2p ，L ，n p （1n ≥）构成的简单析取式中，若每个ip （1,2,,i n =L ）以文字的形式出现一次且仅出现一次，而且出现在左起的第i 位上，则称它为极大项。

两个命题变项p ，q 共可形成4个极小项：¬p ∧¬q ，¬p ∧q ，p ∧¬q ，p ∧q 。

析取范式和合取范式
析取范式和合取范式是两种逻辑式的最简形式。

析取范式指的是多个逻辑式之间通过“或”进行连接，其中每个逻辑式由多个命题变量和它们的否定组成，每个逻辑式中命题变量的取值都相同。

合取范式指的是多个逻辑式之间通过“与”进行连接，其中每个逻辑式由多个命题变量和它们的否定组成，每个逻辑式中命题变量的取值都相反。

简单来说，析取范式表示为多个式子的“或”逻辑关系，每个式子由多个变量“与”它的否定组成；合取范式表示为多个式子的“与”逻辑关系，每个式子由多个变量“或”它的否定组成。

例如，下面的式子分别是一个命题变量的析取范式和合取范式：
析取范式：(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
合取范式：(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q)。

合取范式与析取范式
我们知道在离散数学中，有主合取范式与主析取范式的概念。

本文分享什么是主合取范式与主析取范式，以及如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式。

首先，我们需要了解一下数学概念。

简而言之，
主合取范式，就是若干个极大项的合取（交集）。

如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
主析取范式，就是若干个极小项的析取（并集）。

如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
而所谓的极大项，就是包含全部数目的命题变元的析取表达式
比如：
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
所谓的极小项，就是涵盖全部数目的命题变元的谓词表达式
例如：
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
下面言归正传，我们看如何按步骤求解命题公式的主合取范式与主析取范式。

常用的方法存有两种，等值演算法和真值表法
等值演算法，就是按照步骤推导公式，最终得到主合取范式或者主析取范式
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
下面，我们来举个例子，求出命题公式的主合取范式与主析取范式
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
最后，我们看看如何采用真值表方法，谋命题公式的主合取范式与主析取范式。

如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
我们来看这样一个具体内容例子。

根据真值表，我们取值为0的指派，得到最大项从而写下最小项的谓词，获得主合取范式
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式。

合取和析取范式一、合取和析取范式的基本概念说到合取和析取范式，很多人可能会一头雾水，觉得这是什么高大上的东西。

其实呢，它们也没有那么复杂。

咱们可以把它想成两个小工具，专门用来处理逻辑命题的。

这就像是厨房里的刀叉，虽然不起眼，但一旦有了它们，做饭就能轻松不少。

合取范式和析取范式，说白了，就是逻辑学家用来整理、表示和简化逻辑命题的两种方法。

举个简单例子，假设你有个命题，“今天是周末，或者明天放假”。

用逻辑语言表达出来就会变得复杂，但通过合取和析取的范式，就能把它变得清晰明了，简直是“化繁为简”的魔法。

合取范式，听起来是不是很高大上？实际上它就是把多个命题用“与”（也就是“AND”）的方式连接起来。

想象一下，你有一堆条件，比如“今天是晴天”，“明天有考试”，“我能休息”。

如果你把这些条件都放在一起，合取范式就是把这些条件用“与”连接，意思就是说，只有在所有条件都成立的情况下，整个命题才成立。

所以，如果我今天晴天，明天放假，我就可以说“我心情好”。

但如果明天考试，那我心情就不好，整个命题就不成立啦。

听着有点像谜语，对吧？而析取范式，就不一样了。

它讲究的是“或”（也就是“OR”）。

这就像是我们平时说的，“今天是周末，或者明天有空”，只要其中一个条件成立就行。

简而言之，你可以看成一个“选择题”，只要你选中了其中的一个选项，答案就对了。

析取范式就是把不同的命题条件用“或”连接起来，只要有一个条件成立，整个命题也就成立。

比如，你今天能看电影，或者能去聚会，哪怕其中有一个条件满足，你也可以开心地去做自己的事情了。

二、为什么要使用合取和析取范式？那你肯定会问了，这些逻辑范式有什么用呢？听起来就像是有点儿深奥的数学语言，跟我们日常生活有啥关系啊？它们可大有用处。

咱们从一个简单的例子入手，生活中的各种决策、选择、推理，不都离不开这些东西吗？比如你决定去哪里旅游，你的决策就能用逻辑来表示。

如果你说，“我可以去海边，或者去山区”，那就是析取范式；如果你说，“我要去海边，且天气得好，且假期要长”，那就是合取范式。

析取范式与合取范式在逻辑学和数学的领域中，析取范式与合取范式是两个非常重要的概念。

它们帮助我们以一种清晰、系统的方式来理解和处理逻辑表达式。

咱们先来说说析取范式。

析取范式呢，简单来讲，就是把一个逻辑表达式写成若干个简单合取式的析取。

那什么是简单合取式呢？就是由一些命题变元或者它们的否定通过“与”运算连接起来的式子。

比如说，“p 且q”，“非 p 且q”，这就是简单合取式。

而析取范式就是把几个这样的简单合取式用“或”连接起来。

举个例子，假设我们有个逻辑表达式是（p ∨ q) ∧（¬p ∨ r) 。

那我们可以把它转化为析取范式。

先看（p ∨ q) ，这可以看作一个简单合取式；再看（¬p ∨ r) ，这也是一个简单合取式。

然后把这两个简单合取式用“或”连接起来，就得到了析取范式：（p ∧ ¬p) ∨（p ∧ r) ∨（q ∧ ¬p) ∨（q ∧ r) 。

析取范式有啥用呢？它能让我们更清楚地看到一个逻辑表达式的结构，帮助我们进行逻辑推理和判断。

比如说，要判断一个逻辑表达式是不是永真式或者永假式，通过把它转化为析取范式，往往能更容易得出结论。

接下来再聊聊合取范式。

合取范式跟析取范式正好相反，它是把一个逻辑表达式写成若干个简单析取式的合取。

那啥又是简单析取式呢？就是由一些命题变元或者它们的否定通过“或”运算连接起来的式子。

比如“p 或q”，“非 p 或q”，这就是简单析取式。

合取范式就是把几个这样的简单析取式用“与”连接起来。

还是用上面那个例子，（p ∨ q) ∧（¬p ∨ r) 。

我们把它转化为合取范式：（p ∨ q ∨ r) ∧（p ∨ q ∨ ¬p) 。

合取范式同样在逻辑推理和判断中发挥着重要作用。

它能帮助我们分析逻辑表达式的性质，找到满足条件的解等等。

那析取范式和合取范式之间有啥关系呢？其实它们是可以相互转化的。

通过一些逻辑运算规则和方法，我们可以把一个析取范式转化为合取范式，反之亦然。