由传递函数转换成状态空间模型——方法多 SISO 线性定常系统
高阶微分方程化为状态空间表达式
SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211
)(2
211110n
n n n m
m m a s a s a s b s b s b s G +++++++=--- 假设1+=m n
外部描述
←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统
内部描述
SISO ⎩⎨⎧+=+=du
cx y bu Ax x
实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。 一、
直接分解法
因为
1
0111
11()()()()
()()()()
1m m m m
n n n n
Y s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----⨯=⨯
=⨯++++++++
⎩⎨⎧++++=++++=----)
()()()
()()(11
11110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m 对上式取拉氏反变换，则
⎩⎨⎧++++=++++=----z a z a z
a z u z
b z b z b z b y n n n n m m m m 1)
1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x z
x z x ，于是有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+----===-u x a x a x a x
x x
x x
n n n n 12113
221
写成矩阵形式
式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。只要系统状态方程的系数阵A 和输入阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。 则输出方程
121110x b x b x b x b y m m n n ++++=--
写成矩阵形式
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--n n m m x x x x b b b b y 12101
1][ 分析c b A ,,阵的构成与传递函数系数的关系。
在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A 、b 、c 矩阵的所有元素。
例：已知SISO 系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。
4
2383)()(23++++=s s s s
s U s Y 解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即
u x x x u x x x a a a x x x ⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100324100010
100100010321321123
321 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32132101
2
]083[][x x x x x x b b b y
若选择状态变量[]T
n x x x x 21=满足下列条件（如何考虑？）
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎨
⎧----+++=----+++=--++=-+==------------u b u b u b y a y a y x u b u b u b y a y a y x u b u b y a y a y x u b y a y x y x m m m n n n m m m n n n n n n
)2(1)1(0)2(1)1(11)3(1)2(02)3(1)2(210212011 考虑式
()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211
设系统的输出n x y =，依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并带入第三式；依次类推，便得到
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨
⎧+-=+-=+-=+-=-----u b x a x x u b x a x x u b x a x x u
b x a x n n n
n n n m n n m n n 0111221
11121 写成矩阵形式
u b b b b x x x x a a a a x x x x m m n n n n n n n I
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----011121121
11210
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n n x x x x y 121]1000[
式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵。只要系统状态空间表达式的A 阵和c 阵具有上式的形式，b 阵的形式可以任意，则称之为能观标准型
从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵A 是互为转置，能控标准型输入阵b 和能观标准型输出阵c 互为转置，这种互为转置的关系被称为对偶关
