三角函数图象的平移和伸缩
函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．
既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩
sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)
平移个单位长度
得sin()y x ϕ=+的图象()
ωωω
−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)
1
到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)
k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ϕ=++的图象．
先伸缩后平移
sin y x =的图象(1)(01)
A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)
x
y sin =)
3sin(π
+=x y )
3
2sin(π
+=x y )
3
2sin(3π
+=x y 纵坐标不变 横坐标向左平移π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的1/2 横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍
得sin y A x =的图象(01)(1)
1
()
ωωω
<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象
(0)(0)
ϕϕϕω
><−−−−−−−→向左或向右平移
个单位
得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)
k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ωϕ=++的图象．
例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象．
解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象；②将所得
图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得
π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象．
（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐
标缩小到原来的
12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的
图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象．
)
3
2sin(3π
+=x y x
y sin =x
y 2sin =)
3
2sin(π
+=x y 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移π/6 个单位
横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍
说明：无论哪种变换都是针对字母x而言的．由sin2
y x
=的图象向左平移π
8
个单位长度得到的函数图象
的解析式是
π
sin2
8
y x
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
而不是
π
sin2
8
y x
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
，把
π
sin
4
y x
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
的图象的横坐标缩小到原来的
1
2
，得到
的函数图象的解析式是
π
sin2
4
y x
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
而不是
π
sin2
4
y x
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
．
对于复杂的变换，可引进参数求解．
例2将sin2
y x
=的图象怎样变换得到函数
π
cos2
4
y x
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
的图象．
分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．
解：
ππsin2cos2cos2
22
y x x x
⎛⎫⎛⎫
==-=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
在
π
cos2
2
y x
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
中以x a
-代x，有
ππ
cos2()cos22
22
y x a x a
⎡⎤⎛⎫
=--=--
⎪
⎢⎥
⎣⎦⎝⎭
．
根据题意，有
ππ
222
24
x a x
--=-，得
π
8
a=-．
所以将sin2
y x
=的图象向左平移π
8
个单位长度可得到函数
π
cos2
4
y x
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
的图象．
