万能解题模型(13)解直角三角形的实际应用中的基本模型【2021中考数学二轮复习】

又∵BC＝221，即 CD＋BD＝221， ∴0.85x＋0.53x＝221， 解得 x≈160. 答：AB 的长约为 160 m.
模型 2 母子型(在三角形外部作高)
模型分析： 通过在三角形外作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边 是解题的关键．
等量关系： 在 Rt△ABC 和 Rt△DBC 中，BC 为公共边，AD＋DC＝AC. 图形演变 1：
2021中考数学第二轮复习
模型 1 背靠背型(在三角形内部作高)
模型分析： 通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边 是解题的关键．
等量关系： 在 Rt△ACD 和 Rt△BCD 中，CD 为公共边，AD＋BD＝AB. 图形演变：
1． (2020·自 贡 )如 图， 我市 在 建高 铁的某 段 路基 横断 面 为梯 形 ABCD，DC∥AB.BC 长 6 米，坡角 β 为 45°，AD 的坡角 α 为 30°， 则 AD 长为 6 2米(结果保留根号)．
图形演变 2：
3．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公楼顶 端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角 α 是 45°，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米，梯坎坡长 BC 是 12 米，梯坎坡度 i＝1∶ 3，则大楼 AB 的高度约为(精确 到 0.1 米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)( D )
A．30.6 米 B．32.1 米 C．37.9 米 D．39.4 米
4．(2019·德州)如图，一架长为 6 米的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时测得∠ABO＝70°.若梯子的底端 B 外移到 D，则梯子顶 端 A 下移到 C，这时又测得∠CDO＝50°，则 AC 的长度约为
1.02 米．(sin 70°≈0.94，sin 50°≈0.77， cos 70°≈0.34，cos 50°≈0.64)
6．(2020·菏泽)某兴趣小组为了测量大楼 CD 的高度，先沿着斜坡 AB 走了 52 米到达坡顶点 B 处，然后在点 B 处测得大楼顶点 C 的仰角 为 53°，已知斜坡 AB 的坡度为 i＝1∶2.4，点 A 到大楼的距离 AD 为 72 米，求大楼的高度 CD.(参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53 °≈43)
解：过点 B 作 BE⊥AD 于点 D，BF⊥CD源自文库于点 F. ∵CD⊥AD， ∴四边形 BEDF 是矩形． ∴FD＝BE，FB＝DE. 在 Rt△ABE 中，BE∶AE＝1∶2.4＝5∶12， 设 BE＝5x，AE＝12x， 根据勾股定理，得 AB＝13x， ∴13x＝52.
解得 x＝4. ∴BE＝FD＝5x＝20，AE＝12x＝48. ∴DE＝FB＝AD－AE＝72－48＝24. ∴在 Rt△CBF 中，CF＝FB·tan ∠CBF≈24×43＝32. ∴CD＝FD＋CF＝20＋32＝52. 答：大楼的高度 CD 约为 52 米．
2．(2020·天津)如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C， 连接 AC，BC.测得 BC＝221 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°.根据 测得的数据，求 AB 的长．(结果取整数，参考数据：sin 58°≈0.85， cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
解：过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D. ∵∠ACB＝45°， ∴AD＝CD. 设 AB＝x， 在 Rt△ADB 中，AD＝AB·sin 58°≈0.85x，BD＝AB·cos 58°≈ 0.53x，
5．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 78 m，从甲的顶部 A 处测得乙的顶部 D 处的俯角为 48°，测得底部 C 处的俯角为 58°， 求甲、乙建筑物的高度 AB 和 DC(结果取整数，参考数据：tan 48°≈ 1.11，tan 58°≈1.60)．
解：过点 A 作 AE⊥CD 交 CD 的延长线于点 E，则四边形 ABCE 是矩 形，
∴AE＝BC＝78，AB＝CE. 在 Rt△ACE 中，EC＝AE·tan 58°≈125， 在 Rt△AED 中，DE＝AE·tan 48°， ∴CD＝EC－DE＝AE·tan 58° －AE·tan 48°≈78×1.6－78×1.11≈38. 答：甲建筑物的高度 AB 约为 125 m， 乙建筑物的高度 DC 约为 38 m.
解：过点 N 作 EF∥AC 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F， 则 AE＝MN＝CF＝1.6， EF＝AC＝35， ∠BEN＝∠DFN＝90°， EN＝AM，NF＝MC， 则 DF＝DC－CF＝16.6－1.6＝15. 在 Rt△DFN 中，
∵∠DNF＝45°， ∴NF＝DF＝15. ∴EN＝EF－NF＝35－15＝20. 在 Rt△BEN 中， ∵tan ∠BNE＝EBNE， ∴BE＝EN·tan ∠BNE＝20×tan 55°≈20×1.43＝28.6. ∴AB＝BE＋AE＝28.6＋1.6≈30. 答：居民楼 AB 的高度约为 30 m.
模型 3 拥抱型
模型分析： 分别解两个直角三角形，其中公共边是解题的关键．
等量关系： 在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，BC＝BC. 图形演变：
7．(2020·聊城)如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知 识对某小区居民楼 AB 的高度进行测量，先测得居民楼 AB 与 CD 之间的距 离 AC 为 35 m，后站在 M 点处测得居民楼 CD 的顶端 D 的仰角为 45°，居 民楼 AB 的顶端 B 的仰角为 55°，已知居民楼 CD 的高度为 16.6 m，小莹 的观测点 N 距地面 1.6 m．求居民楼 AB 的高度(精确到 1 m，参考数据：sin 55°≈0.82， cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)．