模电习题精讲
基本知识点:
1．本征半导体中的自由电子浓度_________空穴浓度
A.大于
B.小于
C.等于
2．当晶体管工作于饱和状态时，其_________。
A. 发射结正偏，集电结正偏
B. 发射结反偏，集电结反偏
C. 发射结正偏，集电结反偏
3．二极管的正向电压降一般具有_________温度系数。
A. 正
B. 负
C. 零
4. 射极输出器无放大_________的能力。
A. 电压
B. 电流
C. 功率
5. 根据反馈的极性，反馈可分为_______反馈。
A. 直流和交流
B. 电压和电流
C. 正和负
6．在图示功率放大电路中。二极管D1和D2的作用是_________。
7. 与空载相比，接上负载后，放大电路的动态范围一定_________。
A. 不变
B. 变大
C. 变小
8. 集成运放采用直接耦合的原因是_________。
A. 便于设计
B. 放大交流信号
C. 不易制作大容量的电容
9. 差分放大电路能够_________。
A. 提高输入电阻
B. 降低输出电阻
C. 克服温漂
10.电流负反馈可以_______。
A. 稳定输出电压
B. 稳定输出电流
C. 增大输出功率
1．稳压管通常工作于_________，来稳定直流输出电压。
A. 截止区
B. 正向导通区
C. 反向击穿区
2．晶体管能够放大的外部条件是_________。
A. 发射结正偏，集电结正偏
B. 发射结反偏，集电结反偏
C. 发射结正偏，集电结反偏
3. 可以放大电压，但不能放大电流的是_________放大电路。
A. 共射极
B. 共集电极
C. 共基极
4．在单级共射放大电路中，若输入电压为正弦波形，而输出波形则出现了底部被削平的现象，这种失真是
_________失真。
A. 饱和
B. 截止
C. 饱和和截止
5．乙类互补对称功率放大电路的能量转换效率最高是_________。
A. 50%
B. 78.5%
C. 100%
6．由两只晶体管组成的复合管电路如图所示。已知、管的电流放大系数分别为、，输入电阻分别为、。那么
复合后等效管子的电流放大倍数为 _________。
A. B. C. +
7.负反馈所能抑制的干扰和噪声是指_________。
A. 输入信号所包含的干扰和噪声
B. 反馈环外的干扰和噪声
C.反馈环内的干扰和噪声
8．利用微变等效电路可以计算晶体管放大电路的_________。
A. 输出功率
B. 静态工作点
C. 交流参数
9. 负反馈放大电路产生自激振荡的条件是_________。
A. B. C.
10. 并联负反馈可以_________电路的输入电阻。
A. 提高
B. 降低
1．P型半导体_________ 。
A. 带正电
B.带负电
C.呈中性
2．二极管的正向电压降一般具有_________温度系数。
A. 正
B. 负
C. 零
3．晶体管能够放大的外部条件是_________。
A. 发射结正偏，集电结正偏
B. 发射结反偏，集电结反偏
C. 发射结正偏，集电结反偏
4．对于电压放大器来说，_________越小，电路的带负载能力越强。 B
A. 输入电阻
B. 输出电阻
C. 电压放大倍数
5．对PNP型晶体管来说，当其工作于放大状态时，_________极的电位最低。
A. 发射极
B. 基极
C. 集电极
6．在单级共射放大电路中，若输入电压为正弦波形，而输出波形则出现了底部被削平的现象，这种失真的
主要原因是_________。
A. 输入电阻太小
B. 静态工作点偏低
C. 静态工作点偏高
7．与甲类功率放大器相比较，乙类互补对称功放的主要优点是_________。
A. 无输出变压器
B. 能量转换效率高
C. 无交越失真
8．由两只晶体管组成的复合管电路如图所示。已知、管的电流放大系数分别为、，输入电阻分别为、。那么
复合后等效管子的类型是_________。
A. NPN型
B. PNP型
C. 无法判断
9．集成运放最常见的问题是_________。
A. 输入电阻小
B. 输出电阻大
C. 温漂
10. 差分放大电路的共模信号是两个输入信号的_________。
A. 和
B. 差
C. 平均值
1．当PN结正向偏置时，耗尽层将。
A. 不变
B. 变宽小于
C. 变窄
2．测得晶体管三个电极对地的电压分别为-2V、-8V、-2.2V，则该管为_________。
A. NPN型锗管
B. PNP型锗管
C. PNP型硅管
3．稳压管通常工作于，来稳定直流输出电压。
A. 截止区
B. 正向导通区
C. 反向击穿区
4．硅二极管的完全导通后的管压降约为。
A. 0.3V
B. 0.5V
C. 0.7V
5. 射极输出器无_________放大的能力。
A. 电压
B. 电流
C. 功率
6.差分放大电路的共模抑制比的定义是_________之比。
A. 差模输入信号与共模输入信号
B. 差模输出信号与共模输出信号
C. 差模放大倍数与共模放大倍数（绝对值）
7.电流负反馈可以_______。
A. 稳定输出电压
B. 稳定输出电流
C. 增大输出功率
8．乙类互补对称功率放大电路的能量转换效率最高是_________。
A. 50%
B. 78.5%
C. 100%
9. 负反馈放大电路产生自激振荡的条件是_________。
A. B. C.
10. 电流源常用于放大电路，其作用是_________。
A. 提高放大倍数的稳定性
B. 提供静态偏置，提高放大倍数
C. 作为放大电路的输入信号
分析、计算题:
1-1、（10分）在一个放大电路中，三只三极管三个管脚①、②、③的电位分别如表所示，将每只管子所用材料（Si或Ge）、类型（NPN或PNP）及管脚为哪个极（e、b或c）填入表内。
解：
1-2、电路如图所示，设二极管为理想的，若Vi=6sinωt(v),E=3V,试画出输出V O的波形。
解：
(正半周导通2分，波形2分；负半周期截止1分，波形1分；坐标1分
)
1-3、电路如图所示，设二极管为理想的，若V sin 18i t u ω=，试画出 u o 的波形。
解：
D
R
u o u i + +
二极管阴极电位为8 V
u i > 8V，二极管导通，可看作短路u o = 8V
u i < 8V，二极管截止，可看作开路u o = u i
2-1、(15分) 电路如图2所示，已知晶体管的电流放大系数β=50，V BE=0.7V ，VCC=15V, R S=500Ω，R b1=60KΩ，R b2=24KΩ，R C=3KΩ，R e=3.6KΩ
(1) 画直流通路（2分），求静态工作点(3分)。
(2) 如电容值足够大，画微变等效电路(3分)。
(3) 求电压放大倍数A v（3分）、输入电阻和输出电阻（2分）。
(4) 考虑信号源内阻RS时，求信号源电压放大倍数A vs（2分）。
图2
解：(20分)
(1) 画直流通路（2分）
求静态工作点：
V V R R R V 3.41524
6024
CC b2b1b2B =?+=?+≈
mA R V V I I 16
.37
.03.4e BE B E C =-=-=
≈ (1分) uA I I 2050
1
C
B ==
=
β
(1分) V R R I V R I R I V V 4.8)6.33(115)(e c C CC e E c C CC CE =+?-=+-≈--= (1分)
（2）微变等效电路图(3分)
(3)求电压放大倍数A v 、输入电阻和输出电阻;
A v =-βR C ∕R be =(50×3)∕1.6=-94(倍)(发射极电阻被电容交流短路) (3分)
r be =300+(1+β)26（mV ）∕I E (mA)=1.6 ( kΩ) Ri=R b1//R b2// r be =60//24//1.6≈1.6 ( kΩ) (1分)
R O =R C =3( kΩ) (1分)
（5）考虑信号源内阻R S 时,电源电压放大倍数A vs =A v Ri ∕(R S + R i ) A vs =A v ? Ri ∕(R S + R i )= -94×1.6∕(0.5+1.6)=-71(倍) （2分）
2-2、（15分）分压式偏置电路如图所示，已知三极管3DG4的β＝50，U BE =0.7V ，电路其它
参数为：R b1=60kΩ, R b2=20kΩ，R c =3kΩ, R e =2kΩ，R L =6kΩ,V cc =16V 。 r be ＝＝1.06kΩ；
（1）估算电路的静态工作点（5分）。 （2）画出微变等效电路图（5分）。 （3）求A u ，R i ，R o （5分） 。 解：
Au ＝－βR L ’/ r be ＝－94.3； 其中R L ’＝R C //R L ； R i ＝R b1//R b2//r be ＝1kΩ ；Ro ＝Rc ＝3kΩ ；
2-3、（10分）在图示电路中，已知晶体管静态时B-E 间电压为U BEQ ，电流放大系数为β，B-E 间动态电阻为r be 。填空： 静态时，I BQ 的表达式为B
BEQ
CC BQ R U V I -=
，I CQ 的表
)A (5.27I I )
mA (65.1R U V I I )
V (4R R V R V C
B e
BE
B EQ CQ 2
b 1b CC
2b B μ=β
=
=-=≈=+
=
达式为BQ CQ I I β=，U CEQ 的表达式为C CQ CC CEQ R I V U -=；则电压放大倍数的表达式为 ，输入电阻的表达式为 ，输出电阻的表达式为 ；若减小R B ，则I CQ 将 ，r be 将 ，
u
A 将 。 答：be
L u
r R A '-=β ；be B i r R R //=；C R R =0；增大；减小；减小
4-1、在下图所示电路中，已知V CC ＝16V ，R L ＝4Ω，T 1和T 2管的饱和管压降│U CES │＝2V ，输入电压足够大。试问：
（1）最大输出功率P om 和效率η各为多少？ （2）晶体管的最大功耗P Tmax 为多少？
（3）为了使输出功率达到P om ，输入电压的有效值约为多少？
解：
（1）最大输出功率和效率分别为
%8.694πW
5.242)(CC
CES
CC L
2
CES CC om ≈-?=
=-=
U U U R U U P η
（2）晶体管的最大功耗 W 9.42|)|(2.02.0L
2
oM
Tmax =-?=≈R U U P P CES CC
（3）输出功率为P o m 时的输入电压有效值 V 9.92
CES
CC om i ≈-≈
≈U U U U
4-2、 OCL 互补对称电路如图8所示，已知三极管T 1、T 2的饱和和压降V CES ＝1V ，V CC ＝18V ，R L ＝8Ω。
（1）求最大不失真输出功率P omax （5分）。
（2）为保证电路正常工作，所选三极管的U (BR)CEO （5分）。
图8
解（10分）
W R V V P 1.182)(L
2
CES CC omax =-=（5分）
U (BR)CEO ＞2V CC ＝36V （5分）
5-1、 已知如下图所示，差放电路的V CC =V EE =+12V ，输入u i =10mV ，R C =R E =10kΩ，β=80。求：
（1） 静态工作点。
（2） 不接R L 时的差模电压放大倍数A ud 和输出u O 。
（3） 接R L =20 kΩ负载时的差模电压放大倍数Au d 和输出u O 。
解：
（1） 静态工作点
mA 576.0μA 2.780μA 2.781
mA 585.01mA
585.010
27.0122BQ CQ E BQ EE BE CC EQ =?====+=
=?-=-=I I I I R U V I ββ
V
54.610
585.0210576.012122E
E C C EE CC CEQ =??-?-+=--+=R I R I V V U
（2） 不接R L 时的输出u O
（3） 接R L 时的输出u O
5-2、差分放大电路如下图所示。已知V CC =V EE =12V ，R B =1kΩ，R C =12kΩ， R EE =11.3kΩ，R W =200Ω，R L =36kΩ，三极管的电流放大倍数β1=β2=60，U BE =0.7V ，r bb′=300Ω，试计算 （1）静态工作点。 （2）差模电压放大倍数 （3）输入电阻和输出电阻
( ) ( ) V 051 . 2 1 . 205
mV 10 mA 10 1 . 205 9
. 3 10 80 k Ω 9 . 3 mA 585 . 0 mV 26 81 300 mV 26 1 300 ud i o i be C
ud E be - = - ? = ? = = - = ? - = ? -
= = ? + = + + = A u u u r R A I r 时，输出为
β β ( ) V 026 . 1 6 . 102 mV 10 mA 10
6
. 102 9
. 3 2 20 // 10 80 2 //
k Ω 9 . 3 mA
585 . 0 mV 26 81 300 mV 26 1 300 ud
i o i be L C ud E be - = - ? = ? = = - = ?
? ? ? ? ? - = ? -
= = ? + = + + = A u u u r R R A I r 时，输出为 β β
( )
解答： (1)
EE CQ1CQ2W EE
CQ1BQ11W CEQ1CC EE CQ1C1EE 0.7()0.7(12)
0.5mA
200
211.3k 222
0.5mA 8.3A
60()2220012120.5mA 12k ΩΩ211.3k Ω 6.7V
2V I I R R I I R U V V I R R μβ------=≈
==+?+===??
≈---++ ?
????
=+-?++?= ???
（2）
（3）
k Ω242C od ==R r 输出电阻
( ) 2
1 2 //
W be1 B L C ud R r R R R A β β + + + ?
?
? ? ?
-
= ( ) 41
1
. 0 61 4 . 3 1 2 36 // 12 60 k Ω 4 . 3 μA 3 . 8 mA
26 300 mV 26 6mV 2 1 ud BQ1 bb' EQ1 bb' be1 - = ? + + ?
? ? ?
? ? - = = + = + = + + = A I r I r r β ( ) ( ) k Ω 21 1 . 0 61 4 . 3 1 2 2 1 2 W be1 B id = ? + + = ? ?
?
? ? ? + + + = R r R r β 输入电阻
6-1、判断下图1所示的电路中，反馈电阻Rf引入的反馈类型。
（1）正反馈还是负反馈？
（2）是电流反馈还是电压反馈？
（3）是串联反馈还是并联反馈？
图1
答：（1）负反馈（2）电流反馈（3）并联反馈
6-2、图2所示为高输出电压音频放大电路，R E1=4.7KΩ ，R F1=150KΩ，R F2=47KΩ。解答如下问题：
1）R F1引入了何种反馈，其作用如何？
2）R F2引入了何种反馈，其作用如何？
答：
1）R F1引入的是直流电流并联负反馈。其作用是：稳定静态电流I E2。
2）R F2引入的是交、直流电压串联负反馈。其作用是：引入交流电压串联负反馈可改善放大器的性能。引入直流电压串联负反馈可稳定静态电压U C2
6-3、如果要求某负反馈放大电路：（1）稳定静态工作点（2）稳定输出电压（3）稳定输出电流（4）提高输入电阻（5）降低输出电阻，应分别选用哪5种反馈？
答：
（1）稳定静态工作点：引入直流负反馈
（2）稳定输出电压：引入电压负反馈
（3）稳定输出电流：引入电流负反馈
（4）提高输入电阻：引入串联负反馈
（5）降低输出电阻：引入电压负反馈
例1：机器负荷分配问题 某公司新购进1000台机床，每台机床都可在高、低两种不同的负荷下进行生产，设在高负荷下生产的产量函数为g(x )=10x （单位：百件），其中x 为投入生产的机床数量，年完好率为a =0.7；在低负荷下生产的产量函数为h(y)=6y （单位：百件），其中y 为投人生产的机床数量，年完好率为b=0.9。计划连续使用5年，试问每年如何安排机床在高、低负荷下的生产计划，使在五年内生产的产品总产量达到最高。 例2：某企业通过市场调查，估计今后四个时期市场对某种产品的需要量如下表： 时期(k) 1 2 3 4 需要量(d k ) 2（单位） 3 2 4 假定不论在任何时期，生产每批产品的固定成本费为3(千元)，若不生产，则为零；生产单位产品成本费为1(千元)；每个时期生产能力所允许的最大生产批量为不超过6个单位，则任何时期生产x 个单位产品的成本费用为： 若 0＜x ≤6 ， 则生产总成本＝3十1·x 若 x ＝0 ， 则生产总成本＝0 又设每个时期末未销售出去的产品，在一个时期内单位产品的库存费用为0.5(千元)，同时还假定第1时期开始之初和在第4个时期之末，均无产品库存。现在我们的问题是；在满足上述给定的条件下，该厂如何安排各个时期的生产与库存，使所花的总成本费用最低？ 例3：设某企业在第一年初购买一台新设备，该设备在五年内的年运行收益、年运行费用及更换新设备的净费用如下表：（单位：万元） 年份(k) 役龄(t) 运行收益()k g t 运行费用()k r t 更新费用()k c t 第一年 0 22 6 18 第二年 0 1 23 21 6 8 19 22
因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值
一、填空： 1. 若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2. 22)(n x m x x -=++则m =____ n =____ 3. 若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 4. _____) )(2(2(_____)2++=++x x x x 5. 若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 6. 若6,422=+=+y x y x 则=xy ___ 。 二、选择题： 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=-12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、2 1， B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式： 1 、234352x x x -- 2 、 2 633x x - 3 、22414y xy x +-- 4、13-x
【例题19?综合题】 大华公司长期以来只生产甲产品，有关资料如下： 资料一：2017年度甲产品实际销售量为900万件，销售单价为45元，单位变动成本为24元，固定成本总额为4200万元，假设2018年甲产品单价和成本性态保持不变。 资料二：公司预测2018年的销售量为918万件。 资料三：为了提升产品市场占有率，公司决定2018年放宽甲产品销售的信用条件，延长信用期，预计销售量将增加180万件，收账费用和坏账损失将增加525万元，应收账款平均周转天数将由36天增加到54天，年应付账款平均余额将增加750万元，假设等风险投资的最低报酬率为6%。 资料四：2018年度公司发现新的商机，决定利用现有剩余生产能力，并添置少量辅助生产设备，生产一种新产品乙，为此每年增加专属成本900万元。预计乙产品的年销售量为450万件，销售单价为42元，单位变动成本为30元，与此同时，甲产品的销售会受到一定冲击，其年销售量将在原来基础上减少300万件。假设1年按360天计算。 要求： （1）根据资料一，计算2017年度下列指标：①边际贡献总额；②保本点销售量；③安全边际额；④安全边际率。 （2）根据资料一和资料二，完成下列要求：①计算2018年经营杠杆系数；②预测2018年息税前利润增长率。 （3）根据资料一和资料三，计算公司因调整信用政策而预计增加的相关收益（边际贡献）、相关成本和相关利润，并据此判断改变信用条件是否对公司有利。 （4）根据资料一和资料四，计算投产新产品乙为公司增加的息税前利润，并据此作出是否投产新产品乙的经营决策。 【答案】 （1）①边际贡献总额=900×（45-24）=18900（万元） ②保本点销售量=4200/（45-24）=200（万件） ③安全边际额=（900-200）×45=31500（万元） ④安全边际率=（900-200）/900=77.78% （2）①2018年的经营杠杆系数=18900/（18900-4200）=1.29 ②预计2018年销售量增长率=（918-900）/900×100%=2% 预测2018年息税前利润增长率=1.29×2%=2.58% （3）增加的相关收益=180×（45-24）=3780（万元） 增加的应收账款应计利息=（900+180）×45/360×54×（24/45）×6%-900×45/360×36×（24/45）×6%=103.68（万元）
动态规划是对最优化问题的一种新的算法设计方法。由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的没计法对不同的问题，有各具特色的表示方式。不存在一种万能的动态规划算法。但是可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行讨论，学会这一设计方法。 多阶段决策过程最优化问题 ——动态规划的基本模型 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。 【例题1】最短路径问题。图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少? 【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。具体计算过程如下： S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3 S2: K=3，有： F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8 F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8 F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11 F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6
动态规划讲解大全 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么
For personal use only in study and research; not for commercial use 1.）3a3b2c－12a2b2c2＋9ab2c3 2.）16x2－81 3.）xy＋6－2x－3y 4.）x2(x－y)＋y2(y－x) 5.）2x2－(a－2b)x－ab 6.）a4－9a2b2 7.）x3＋3x2－4 8.）ab(x2－y2)＋xy(a2－b2) 9.）(x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a) 10.）a2－a－b2－b 11.）(3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2 12.）(a＋3) 2－6(a＋3) 13.）(x＋1) 2(x＋2)－(x＋1)(x＋2) 2 14．）16x2－81 15.）9x2－30x＋25 16.）x2－7x－30 17.) x(x＋2)－x 18.) x2－4x－ax＋4a 19.) 25x2－49 20.) 36x2－60x＋25
21.) 4x2＋12x＋9 22.) x2－9x＋18 23.) 2x2－5x－3 24.) 12x2－50x＋8 25.) 3x2－6x 26.) 49x2－25 27.) 6x2－13x＋5 28.) x2＋2－3x 29.) 12x2－23x－24 30.) (x＋6)(x－6)－(x－6) 31.) 3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3) 32.) 9x2＋42x＋49 33.) x4－2x3－35x 34.) 3x6－3x2 35.）x2－25 36.）x2－20x＋100 37.）x2＋4x＋3 38.）4x2－12x＋5 39.）3ax2－6ax 40.）(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4) 41.）2ax2－3x＋2ax－3 42.）9x2－66x＋121
例题 1、选择图示电网1~6处定时限过电流保护的动作时限61~t t ，并确定其中哪些保护需装方向元件？（时差Δt 取0.5s ） 1题图 解：t 3= t 9+Δt=2+0.5=2.5s t 5= t 10+Δt=2.5+0.5=3s t 2= t 7+Δt=1+0.5=1.5s t 1= t 5+Δt=3+0.5=3.5s t 4= t 5+Δt=3+0.5=3.5s t 6= t 2+Δt=1.5+0.5=2s 保护2、3需装方向元件。
2、设km Z /45.01Ω=， 070=K ?， L1、L2上装三段式相间距离保护，用00接线方向阻抗继电器。 L1上A I L 350max .=， 9.0cos =?， 85.0=I rel K ，8.0=II rel K ，2.1=III rel K ，阻抗继电器返回系数15.1=re K ， 自启动系数3.1=Ms K ，母线最低正常工作电压N L U U 9.0min .=， L2距离三段的动作时限为2S 。求保护1的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ段的一次动作阻抗，二次整定阻抗及动作时限。 2 题图 解：（1）距离Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ段的动作阻抗 )(7047.11357045.085.000111.Ω∠=?∠?='='L Z K Z k dz )(2.111.dz k dz Z L Z K Z '+''='' )(703.15407045.085.000212.Ω∠=?∠?='='L Z K Z k dz )(7084.24)703.15357045.0(8.00001.Ω∠=∠+?∠=''dz Z )(3.163350/)3 1000 1109.0(min .Ω=?? =f Z ，018.259.0cos ==-f ? )(8.25913 .15.12.18.253.16300 min .1.Ω∠=??∠='''='''zq h k f dz K K K Z Z （2）各段的整定阻抗 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ段的zd ?均选为070，则
因式分解习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22 +-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。 15、方程042=+x x ，的解是________。
二、选择题：（10分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ） A 、1个， B 、2个， C 、3个， D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、20 11.,101.,201D C 三、分解因式：（30分） 1 、234352x x x -- 2 、 2633x x - 3 、 22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +-- 5、x x -5 6、13-x 7、2ax a b ax bx bx -++--2 8、81182 4+-x x 9 、24369y x -
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
15、方程X 2 +4x = 0 ,的解是 o 因式分解习题精选 一、填空：(30分) 若x 2 +2(m-3)x+16是完全平方式，则 m 的值等于 2 2 x +x +m =(x-n)贝U m= _____ n = 2 2 2 2 4 2 2 4 在多项式 m +n ,-a -b ,x +4y ,Vs +9t 中，可以用平方差公式分解因式的 ，其结果是 若x 2 + 2(m-3)x +16是完全平方式，则 m= 1、 2、 3、 3 2 6 2x y 与12x y 的公因式是— 4、 若 x m -y n =(x +y 2 )(x -y 2)(x 2 + y 4 )，贝H m= n= 5、 6、
7、 2 x +( )x +2 =(x +2)(x + —t A-r. /I J. 丄2 , . . . . 2004 , 2005 c urt 2006 已知1+x+x + +x +x =0,则x = 9、2 若16(a-b) +M +25是完全平方式M= 10、x +6x+ (_) = (x+3)2 , X2+(_)+ 9 = (x-3)2 11、若 2 2 9x + k + y是完全平方式，则k= 12、若 2 2 x +4x—4的值为0,贝U 3x + 12x—5的值是 13、若 2 x 一ax -15 =(X +1)(x -15)则a= _ o 2 2 14、若x + y =4,x +y =6则xy = ___ o 15、方程X2+4x = 0 ,的解是o
8 二、选择题：(10分) 1、多项式—a(a —x)(x —b)+ab(a —x)(b —x)的公因式是( ) A 、一 a 、 B 、一a(a — x)(x — b) C 、a(a — x) D 、一 a(x-a) 2 2 2、若 mx +kx + 9=(2x-3)，贝U m , k 的值分别是( A 、m= —2, k=6 , B 、m=2 , k=12 , C 、m= — 4, k= —12、 D m=4 , k=12、 3、下列名式：X 2 — y 2 ,—X 2 +y 2,—X 2 — y 2,(—X)2 +(—y)2,x 4 — y 4 中能用平方差公 式 分解因式的有( A 、1 个， B 、2 个， C 、3 个， D 、4 个 1 1 1 1 4、计算(1 - —)(1 …(1 _ —)(1 —市)的值是() 2 3 9 10 1 1 11 20,C .i0,D.20 三、分解因式：(30分) X 4 -2x 3 -35x 2 -6 - 2 3x -3x 4 2 x -18x +81 9x 4 -36y 2 25(x-2y)2 -4(2y-x)2 *4、 x 2 2 -4xy -1 +4y 5、 X 5 -X 6、 -1 *7、 ax 2 -bx 2 -bx +ax +b -a
动态规划经典教程 引言：本人在做过一些题目后对DP有些感想，就写了这个总结： 第一节动态规划基本概念 一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。 他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解： 如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。 下面举个例子： 要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。 一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。 经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。 下面在说说我对动态规划的另外一个理解： 用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。 二，动态规划的适用范围 动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？ 一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件： 最优子结构（最优化原理） 无后效性 最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答； 什么是无后效性呢？ 就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。 而求状态N时有用到了状态i这样求解状态的过程形成了环就没法用动态规划解答了，这也是上面用图论理解动态规划中形成的图无环的原因。 也就是说当前状态是前面状态的完美总结，现在与过去无关。。。 当然，有是换一个划分状态或阶段的方法就满足无后效性了，这样的问题仍然可以用动态规划解。 三，动态规划解决问题的一般思路。 拿到多阶段决策最优化问题后，第一步要判断这个问题是否可以用动态规划解决，如果不能就要考虑搜索或贪心了。当却定问题可以用动态规划后，就要用下面介绍的方法解决问题了：（1）模型匹配法： 最先考虑的就是这个方法了。挖掘问题的本质，如果发现问题是自己熟悉的某个基本的模型，就直接套用，但要小心其中的一些小的变动，现在考题办都是基本模型的变形套用时要小心条件，三思而后行。这些基本模型在先面的分类中将一一介绍。 （2）三要素法 仔细分析问题尝试着确定动态规划的三要素，不同问题的却定方向不同： 先确定阶段的问题：数塔问题，和走路问题（详见解题报告） 先确定状态的问题：大多数都是先确定状态的。 先确定决策的问题：背包问题。（详见解题报告） 一般都是先从比较明显的地方入手，至于怎么知道哪个明显就是经验问题了，多做题就会发现。 （3）寻找规律法： 这个方法很简单，耐心推几组数据后，看他们的规律，总结规律间的共性，有点贪心的意思。 （4）边界条件法 找到问题的边界条件，然后考虑边界条件与它的领接状态之间的关系。这个方法也很起效。 （5）放宽约束和增加约束 这个思想是在陈启锋的论文里看到的，具体内容就是给问题增加一些条件或删除一些条件使问题变的清晰。 第二节动态规划分类讨论
第七章动态规划 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划（dynamic programming）同前面介绍过的各种优化方法不同，它不是一种算法，而是考察问题的一种途径。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。当然，由于动态规划不是一种特定的算法，因而它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，动态规划必须对具体问题进行具体的分析处理。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。1961年贝尔曼出版了他的第二部著作，并于1962年同杜瑞佛思（Dreyfus）合作出版了第三部著作。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数学性质做出了巨大的贡献。 动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。许多规划问题用动态规划的方法来处理，常比线性规划或非线性规划更有效。特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。 动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法，并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。 §7.1 动态规划的基本理论 1.1多阶段决策过程的数学描述 有这样一类活动过程，其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策，以使整个过程达到最佳的活动效果。任何一个阶段（stage，即决策点）都是由输入（input）、决策（decision）、状态转移律（transformation function）和输出（output）构成的，如图7-1（a）所示。其中输入和输出也称为状态（state），输入称为输入状态，输出称为输出状态。
因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式． 三、因式分解： 1．m2(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；
3．x4－2y4－2x3y＋xy3；4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2； 5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；8．x2－4ax＋8ab－4b2； 9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)； 10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2； 11．(x＋1)2－9(x－1)2；12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2； 13．ab2－ac2＋4ac－4a；14．x3n＋y3n； 15．(x＋y)3＋125；16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；18．8(x＋y)3＋1；
19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；20．x2＋4xy＋3y2； 21．x2＋18x－144；22．x4＋2x2－8； 23．－m4＋18m2－17；24．x5－2x3－8x； 25．x8＋19x5－216x2；26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48； 四、证明(求值)： 1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值． 2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．
信息学竞赛中的动态规划专题 哈尔滨工业大学周谷越 【关键字】 动态规划动机状态典型题目辅助方法优化方法 【摘要】 本文针对信息学竞赛（面向中学生的Noi以及面向大学生的ACM/ICPC）中的动态规划算法，从动机入手，讨论了动态规划的基本思想和常见应用方法。通过一些常见的经典题目来归纳动态规划的一般作法并从理论上加以分析和说明。并介绍了一些解决动态规划问题时的一些辅助技巧和优化方法。纵观全文可知，动态规划的关键在于把握本质思想的基础上灵活运用。 【目录】 1.动态规划的动机和基本思想 1.1.解决重复子问题 1.2.解决复杂贪心问题 2.动态规划状态的划分方法 2.1.一维状态划分 2.2.二维状态划分 2.3.树型状态划分 3.动态规划的辅助与优化方法 3.1.常见辅助方法 3.2.常见优化方法 4.近年来Noi动态规划题目分析 4.1 Noi2005瑰丽华尔兹 4.2 Noi2005聪聪与可可 4.3 Noi2006网络收费 4.4 Noi2006千年虫 附录参考书籍与相关材料
1.动态规划的动机和基本思想 首先声明，这里所说的动态规划的动机是从竞赛角度出发的动机。 1.1 解决重复子问题 对于很多问题，我们利用分治的思想，可以把大问题分解成若干小问题，然后再把各个小问题的答案组合起来，得到大问题的解答。这类问题的共同点是小问题和大问题的本质相同。很多分治法可以解决的问题（如quick_sort，hanoi_tower等）都是把大问题化成2个以内的不相重复的小问题，解决的问题数量即为∑(log2n / k)。而考虑下面这个问题： USACO 1.4.3 Number Triangles http://122.139.62.222/problem.php?id=1417 【题目描述】 考虑在下面被显示的数字金字塔。 写一个程序来计算从最高点开始在底部任意处结束的路径经过数字的和的最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 1 在上面的样例中，从7到3到8到7到5的路径产生了最大和：30。 【输入格式】 第一个行包含R(1<= R<=1000) ,表示行的数目。后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。所有的被供应的整数是非负的且不大于100。 【输出格式】 单独的一行包含那个可能得到的最大的和。 【样例输入】 5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 1 【样例输出】 30 显然，我们同样可以把大问题化成小问题来解决。如样例中最底层的6就可以从次底层
球习题精选精讲 球面距离的计算经典范例 1．位于同一纬度线上两点的球面距离 例1 已知，B两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，B的球面距离．
分析：要求两点，B的球面距离，过，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离． 解作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结，，，，．由于地轴平面． ∴与为纬度，为二面角的平面角． ∴（经度差）． △中，． △中，由余弦定理， ． △中，由余弦定理： ， ∴． ∴的球面距离约为． 2．位于同一经线上两点的球面距离 例2 求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，B的球面距离．（设地球半径为）．（见图3） 解经过两地的大圆就是已知经线． ，． 3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离 例3 地位于北纬，东经，B地位于北纬，东经，求，B两地之间的球面距离．（见图4）
解设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，，． △中，由纬度为知， ∴， ． △中，， ∴， ∴． 注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式． （为经度差） ． △中， ． ∴． ∴的球面距离约为． 球面距离公式的推导及应用 球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离，常见问题是求地球上两点的球面距离。对于地球上过A、B两点大圆的劣弧长由球心角AOB的大小确定，一般地是先求弦长AB，然后在等腰△AOB 中求∠AOB。下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。
因式分解练习题（100题） 1、323 812a b ab c + 2、2()3()a b c b c +-+ 3、2 82m n mn + 4、2 2 129xyz x y - 5、2a(y-z)-3b(z-y) 6、p(a 2 +b 2 )-q(a 2 +b 2 ) 7、4x 2-9 8、(x+p) 2-(x+q) 2 9、4 4 x y - 10、3 a b ab - 11、a 22 125 b - 12、9a 2-4b 2 13、x 2 y-4y 14、4 16a -+ 15、16x 2+24x+9 16、-x 2+4xy-4y 2
17、3ax 2+6axy+3ay 2 18、(a+b) 2 -12(a+b)+36 19、x 2 +12x+36 20、-2xy-x 2-y 2 21、a 2 +2a+1 22、4x 2 -4x+1 23、ax 2+2a 2x+3 a 24、-3x 2+6xy-3y 2 25、3 2 1510a a 26、12abc-3bc 2 27、6p(p+q)-4q(p+q) 28、m(a-3)+2(3-a) 29、1-36b 2 30、12x 2 -3y 2 31、2 32、(2x+y) 2 -(x+2y) 2 33、1+10t+25t 2 34、m 2 -14m+49
35、y2+y+ 36、(m+n) 2-4m(m+n)+4m2 37、25a2-80a+64 38、a2+2a(b+c)+(b+c) 2 39、(a-b) 2+4ab 40、(p-4)(p+1)+3p 41、4xy2-4x2y-3y 42、3ax2-3ay2 43、x2-16944、5x2-20 45、x2-3x+2 46、x2+7x+10 47、x2-2x-8 48、x2-7x+12 49、x2+7x-18 50、25x2-16y2 51、(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)
动态规划经典案例详解之背包问题 【摘要】本文主要从动态规划经典案例——背包问题的动态规划设计思路出发，结合具体实例，对动态规划在程序设计中的典型应用以及衍生拓展进行详细分析。 【关键字】动态规划信息学奥赛0/1背包问题 动态规划并非一个算法，而是一种解题的思路，其核心思想是通过使用大量的存储空间把中间结果记录下来，大大减少重复计算的时间，从而提高的程序的执行效率，因为信息学奥林匹克复赛题目的解决程序一般是有时间限制的，对于某些用搜索必然耗费大量时间的题目，动态规划几乎是唯一的选择。但是动态规划并没有一个简单的模型可以套用，对于每个不同的题目都有对应的不同规划思路，我们只能通过对一些动态规划经典案例的学习来训练自己的动态规划思维能力，从而以不变应万变，应付各种复杂的程序设计，本文通过对动态规划经典案例之一的背包问题进行详细阐述，旨在让学生了解动态规划和搜索的不同设计思路以及动态规划的优越性。 【原型例题】 从n个物品中选取装入背包的物品，每件物品i的重量为wi，价值为pi。求使物品价值最高的选取方法。 【输入文件】 第一行一个数c，为背包容量。 第二行一个数n，为物品数量 第三行n个数，以空格间隔，为n个物品的重量 第四行n个数，以空格间隔，为n个物品的价值 【输出文件】 能取得的最大价值。 【分析】 初看这类问题，第一个想到的会是贪心，但是贪心法却无法保证一定能得到最优解，看以下实例： 贪心准则1：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品，如此继续下去。这种策略不能保证得到最优解。例如，考虑n=2,w=[100,10,10],p=[20,15,15],c=105。当利用价值贪婪准则时，获得的解为x=[1,0,0]，这种方案的总价值为20。而最优解为[0,1,1]，其总价值为30。 贪心准则2：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。虽然这种规则对于前面的例子能产生最优解，但在一般情况下则不一定能得到最优解。考虑n=2,w=[10,20], p=[5,100],c=25。当利用重量贪婪策略时，获得的解为x=[1,0],比最优解[0,1]要差。