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第5章函数概念与性质5.1 函数的概念和图象第2课时函数的概念和图象1. 了解构成函数的要素；2. 理解函数图象是点的集合，能熟练作出一些初等函数的图象；3.能求简单函数的定义域和值域．教学重点：熟练作出一些初等函数的图象．教学难点：求简单函数的定义域．课件．PPT一、新课导入问题1：1. 函数定义中的“三性”是指哪些？2．函数的三要素是指什么？师生活动：学生先回忆总结，老师补充．预设的答案：1.函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．2.定义域、值域与对应关系．【想一想】初中如何求一个函数中自变量的取值范围的？高中又如何求出函数的定义域？设计意图：承上启下，引入新课．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的概念和图象．（板书：5.1.1函数的概念和图象）【探究新知】问题2：画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题． (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：抛物线f (x )＝－x 2＋2x ＋3的顶点为(1，4)和x 轴交点为(－1，0)，(3，0)，和y 轴交点为(0，3)得函数图象如图．(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)． (2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． 问题3：如何求函数23()112x f x x x =+-的定义域． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由23()112x f x x x =++-可得：12010x x ->⎧⎨+≠⎩， 解得：12x <，且1x ≠- ， ∴函数23()112x f x x x =+-的定义域为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故答案为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．追问：（1）已知()y f x =的定义域为[0,1]，求函数2(1)y f x =+的定义域；（2）已知(21)y f x =-的定义域为[0,1]，求()y f x =的定义域；预设的答案：（1）∵2(1)y f x =+中的21x +的范围与()y f x =中的x 的取值范围相同．∴2011x +≤≤，∴0x =，即2(1)y f x =+的定义域为{0}．（2）由题意知(21)y f x =-中的[0,1]x ∈，∴1211x --≤≤． 又(21)y f x =-中21x -的取值范围与()y f x =中的x 的取值范围相同， ∴()y f x =的定义域为[1,1]-． 问题4：求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象，可得函数的值域为[2,6)．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 作出下列函数的图象．(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1，0，1，2}．∴图象为一直线上的孤立点(如图(1))．(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5．所画函数图象如图．∵x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))．反思与感悟：作函数y＝f(x)的图象分两种类型：(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y＝f(x)的图象上的一些关键点画出y＝f(x)的图象；(2)若y＝f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表，描点、连线，这些基本步骤作出y＝f(x)的图象．设计意图：明确函数的图象的画法．例2. 求下列函数的定义域：(1)y＝2(1)11xxx+-+；(2)y5x-.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足10,10,xx+≠⎧⎨-⎩≥解得x≤1且x≠－1，即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足50,||30.xx-⎧⎨-≠⎩≥解得x≤5且x≠±3，即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．设计意图：明确函数的定义域的求法．例3. 求下列函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝213xx+-．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y＝213xx+-＝2(3)73xx-+-＝2＋73x-，显然73x-≠0，所以y≠2．故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．设计意图：明确函数的值域的求法．【课堂小结】1．板书设计：5.1.1函数的概念和图象1. 函数的图象的画法例12. 求函数的定义域例23. 求函数的值域例32．总结概括：问题：1.求函数的定义域应关注哪些问题？2. 求函数值域的方法是什么？3.如何求复合函数定义域？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设的答案：1.求函数的定义域应关注四点：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0．(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2. 求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．3.（1）已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解；（2）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：求出()y g x =在[,]a b 上的值域即可得解；（3）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求(())f h x 的定义域：先用类型二求出()f x 的定义域，再用类型一求出(())f h x 的定义域．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的概念与图象的有关知识． 布置作业： 【目标检测】1. 函数()1x f x 的定义域为（ ）A ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭设计意图：巩固函数的定义域的求法。
内建函数len()的应用>>> st=”Python”>>> len(st)
6
>>> lst=[“huawei”,”oppo”,”vivo”]
>>>len(lst)
3
二、自定义函数
定义一个函数
你可以定义一个由自己想要功能的函数，以下是简单的规则：
•函数代码块以def关键词开头，后接函数标识符名称和圆括号()。
•任何传入参数和自变量必须放在圆括号中间。
圆括号之间可以用于定义参数。
•函数的第一行语句可以选择性地使用文档字符串—用于存放函数说明。
•函数内容以冒号起始，并且缩进。
•return [表达式]结束函数，选择性地返回一个值给调用方。
不带表达式的retur n相当于返回 None。
•Def <函数名>([参数列表])：
• <函数体>
• [return <返回值>]
函数名可以是任何有效的Python标识符；参数（可以有零个，一个或多个）称为形式参数，简称为“形参”。
当需要返回值时，使用return语句，否则函数可以没有return 语句，这样的函数返回None值。
首先，定义函数printme(),函数体就是打印一句话。
然后，调用该函数printme()。
3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念学习目标核心素养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3．能够正确使用区间表示数集．(易混点)1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.1．函数的概念定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f 与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞) [a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y＝1x＋1的定义域是()A．[－1，＋∞)B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0) C[由x＋1>0得x>－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]2．若f(x)＝11－x2，则f(3)＝________.－18[f(3)＝11－9＝－18.]3．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；(2){x|x>1}用区间表示为________．(1)[10,100](2)(1，＋∞)[结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．]函数的概念【例1】(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f 的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．1．下列四个图象中，不是函数图象的是()A B C DB[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]2．下列各组函数中是相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2B[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.]求函数值【例2】设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．[解]f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y ＝f (x ＋1)的定义域． [解] 由1≤x ＋1≤3得0≤x ≤2. 所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]．求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集. (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．函数符号y ＝f (x )是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y ＝f (x )”为y 是x 的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”.1．思考辨析(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( ) (2)数集{x |x ≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( ) (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( ) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝x 2 C ．y ＝|x |D ．y ＝3x 3D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝|x |对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]3．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________．(－∞，0)∪(0,1] [由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]4．已知函数f(x)＝x＋1 x，(1)求f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(2)的值；(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．[解](1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋1－1＝－2，f(2)＝2＋12＝52.(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋1a＋1.。
《对数函数》公开课教案对数函数公开课教案一、教学目标- 了解对数函数的概念和基本性质- 掌握对数函数的图像和常用性质- 能够灵活运用对数函数解决实际问题二、教学重点和难点重点- 对数函数的定义和基本性质- 对数函数的图像和变换- 对数函数在实际问题中的应用难点- 对数函数的解析表达式的推导- 自然对数函数和常用对数函数的区别三、教学内容和步骤内容1. 对数函数的引入和概念解释2. 对数函数的定义和基本性质的讲解3. 对数函数的图像和常用性质的展示和分析4. 对数函数的变换和图像的绘制5. 对数函数在实际问题中的应用举例步骤1. 导入：通过引入一个实际问题，引起学生对对数函数的兴趣2. 概念解释：简明扼要地介绍对数函数的概念和基本性质3. 示范分析：通过几个简单的例子，演示对数函数的计算和性质的验证4. 图像展示：展示对数函数的图像，并解析图像的特点和常用性质5. 变换绘制：教授对数函数的平移、伸缩和翻转等变换方法，并指导学生绘制变换后的图像6. 实际应用：给出一些实际问题，引导学生运用对数函数解决问题，并进行讨论和总结四、教学评价与反馈1. 教师评价：通过学生的课堂表现、作业完成情况和课堂互动等多方面进行评价2. 学生评价：鼓励学生积极参与，提供机会让学生表达对教学内容的理解和意见3. 教学反馈：根据学生的研究情况和反馈，及时调整教学方法，提升教学效果五、教学资源和参考书目1. 教学资源：投影仪、计算器、白板、教材、参考课件等2. 参考书目：《高中数学课程标准实验教科书》、《高中数学学科教学大纲解读与教案解析》等六、教学延伸1. 给学生布置相关的题，巩固对对数函数的理解和应用能力2. 提供拓展性的研究资源，鼓励有兴趣的学生进一步探究对数函数的高级性质。
