二次函数图像的平移

X ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 Y 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
-4
y
9
y=2x2
8 7 6 5 4 3 2 1
函数 y=2x2的 图象是什 么形状? 它的开口 方向对称 轴和顶点 坐标分别 是什么?
o
1 2 3 4
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x
-3
-2 -1
做一做
在同一坐标系中作出函数y=3x² ,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象,它们之间有何关系.？
1、完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之 间有何关系? x
y 3x 2
y 3x 1
2
2
-4
-3
27
-2
12 27 29
-1
3 12 14
x
y=3x² y=3(x-1)²
-2 12
-1
0
1 3 0
y 3x
2
2 12 3
3
3 0 12 3
12
y 3x 1
2
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2、观察图象,回答问题
(1) 函 数 y=3(x-1)2 的 图象与 y=3x2 的图象有 什么关系?
y 3x 2
y 3x 1
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思维与拓展
1. 一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中 的大致图象是（ B ） y
抛物线
向下
（-1，0） 直线x=-1
以直线x=-1为界线
理由是：它们分别和y=3x² ,y=3(x-1)² , y=3(x+1)² 互为相反数
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二次函数y=a(x-h)2的性质
抛物线 y=a(x-h)2 (a>0) （h，0） y=a(x-h)2 (a<0) （h，0） 直线x=h 向下
猜一猜,函数y=-3(x-1)² ,y=-3(x+1)2和y=-3x² 的图象的位置和形状.
函数 图像 抛物线 开口 方向 向下
顶点坐标 对称轴 y随x变化规律
y=-3x²
（0，0） 直线x=1
以直线x=0为界线
y=-3(x-1)2
抛物线
向下
（1，0） 直线x=1
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以直线x=1为界线
y=-3(x+1)2
0.
0.25.
0.5.
0.75.
1
x
-0.25. -0. 5. -0.75. -1.
y=3x2-1
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二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？
二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象 当c > 0 时 向上平移c个单位得到. 当c < 0 时 向下平移-c个单位得到.
顶点坐标
对称轴
直线x=h
开口方向
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 y随x 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 变化规律 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.
最值 开口大小
当x=h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=h时,最大值为0.
2、画出函数 y=2x2+1的图象
x
-2
-1.5
y
9
y=2x2+1
y=2x2
y=2x2+1
9
5.5
8 7 6 5 4 3 2 1
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-1 -0.5 0 0.5
1 1.5 2
3 1.5 1 1.5
3 5.5 9
-4
函数y=2x2+1 的图象是什 么形状? 它的 开口方向,对 称轴和顶点 坐标分别是 什么?
顶点分别是 (1,2)和(1,-2).
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2+2的图象可以 看作是抛物线y=-3x2 X=1 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上(或 向下)平移2个单位后得到的. 对称轴仍是平行于y轴的直线
a 越小,开口越大.
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二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象可以看作是抛 物线y=ax2先沿着x轴向右平移后得到的 • 当h < 0 时 向左平移∣h∣个单位得到. • 当h > 0 时 向右平移∣h∣个单位得到.
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先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中 2-2,会是什么样? 作二次函数 y=3(x-1) www.1230.org 初中数学资源网
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象与抛物线y=3x2和 y=3(x-1)2有何关系?它的 开口方向、对称轴和顶点 坐标分别是什么?
y 3x 1 2
y 3x2
0 0 3
1 3 0
2 12 3
3 27 12
4
y 3x 1 y 3x 1
2
27
2
27
12
3
0
3
12
27
y=3(x-1)² 的值比y=3x² 的值落后， y=3(x+1)² 的值比y=3x² 的值提前。
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画图看一看
把y=3x² 的图像沿轴向右平 y 3x 1 移1个单位就得到y=3(x-1)² 的图像 把y=3x² 的图像沿轴向左平 移1个单位就得到y=3(x+1)² 的图像
0
0 3 5
1
3 0 2
2
12 3 5
3
27 12 14
4
27 29
y 3x 1 2
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二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
图象和抛物线y=3x² ,y=3(x1)2有什么关系?它的开口 方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?
y 3x 1 2
2
-2 12
27
-1 3
12
0 0
3
1 3
0
2 12
3
3 27
12
4
y 3x 2
y 3x 1
27
比较y=3x² 和y=3(x-1)² 的值,它们之间有什么关系? y=3(x-1)² 的值比y=3x² 的值落后 www.1230.org 初中数学资源网
在下列平面直角坐标系中，做出y=（3x-1）² 的图像
函数 图像 开口 方向
y 3x 2
2
y 3x 1
2
顶点坐 标
对称轴
y随x变化规律
y=3x²
抛物 线
抛物 线
向上
（0，0）直线x=1 以直线x=0为界 线
（1，0）直线x=1 以直线x=1为界 线 以直线x=-1为界 线
y=3(x-1)2
向上
y=3(x+1)2
向上 初中数学资源网 （-1， 直线x=抛物 www.1230.org 1 线 0）
例题讲解
下 1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平 ___ 移 个单位 . 1
2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图 y=-3x2-2 象的函数解析式为_______. 3.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（- m,n ） 在 （在，不在）y=ax2+a的图象上. _____ 4. 若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则 K_______ ＞ 0.5
2 (1,-2). 顶点是
y 3x 1
2
二次函数y=3(x-1)2-2 2 y 3 x 1 2 的图象可以看作是抛物 线y=3x2先沿着x轴向 X=1 右平移1个单位,再沿直 对称轴仍是平行于y轴的直线 开口向上, 线x=1向下平移2个单 (x=1);增减性与y=3x2类似. 当x=1时y有 位后得到的 最小值:且
-1
-0.75.
-0.5. -0.25
0.
0.25.
0.5.
0.75.
1
-0.25.
-0. 5.
-0.75.
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-1.
这两函数的图像有什么关系？ 二次函数 y=3x2-1图像可以由y=3x2 的 图象向下平移一个单位得到
y=3x2
0.25.
-1
-0.75.
-0.5. -0.25
上加下减
函数
y=ax2
开口方向 a>0时,向上 a<0时,向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标
（0,0）
（0,c）
a>0 时 , 向上 y=ax2+c a<0时,向下
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函数y=3(x-1)² 的图像是什么? 它与y=3x² 的图像有什么关系？ 1、完成下表
x -3 27
顶点坐标 是点(1,0) . www.1230.org 初中数学资源网
猜一猜,在同一坐标系中作 二次函数y=3(x+1)2的图象, 会在什么位置?
y 3x 2
y 3x 1
2
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列表看一看
x
y 3x 2
-4
-3 27
-2 12 27
-1 3 12
(x=1);增减性与y= -3x2类似.
开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值=-2).
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函数y=3(x-1)² +1的图像有什么特点 ？
图像是
开口方向
向上
顶点是
对称轴 直线x=1
抛物线
（1.1）
+1的图像可以看成是y=3(x-1)² 平移得到的 理由是 y=3(x-1)²
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=ax2 (a>0) 抛物线 顶点坐标 对称轴
y ax2
y= ax2 (a<0)
（0，0）
（0，0）
y轴 在x轴的上方(除顶点外) 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
2
把y=3x² 的图像沿轴向右 平移1个单位就得到 y=3(x-1)² 的图像
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(2)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什 么共同点？其对称轴和顶点坐标分别是什么 ?
y 3x 1
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
2
y 3x 2
函数y=-3(x+1)² +1的图像呢？
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二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
1. (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (3)都有最(大或小)值. (2)都是轴对称图形. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称 轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都 随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2. 只是位置不同 (1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= -h和y轴.
y轴
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
位置
开口方向 增减性 最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
开口大小
www.1230.org 初中数学资源网 a 越大,开口越小 a 越小,开口越大. .
做一做 1、画出函数y=2x2 的图象
o
x
1 2 3 4
-3
-2
-1
y
y=2x2+1与
y=2x2的图 象有什么关 系?
5 4. 3. 2. 1.
y=2x2+1
y=2x2
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
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想一想
你知道 函数 y=3x2-1的大 致图象和位 置吗?
y 1.
y=3x2
0.75. 0.5. 0.25.
(3)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以由y=ax² 的图象平移得到。 先 沿 x轴 整体向左(右)平移 |h| 个单位(当h>0时,向右平移;当 h<0时,向左平移),再沿 对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时 www.1230.org 初中数学资源网 向上平移;当k<0时,向下平移 )得到的.
最小值= -2.
想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x² ,y=3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对 www.1230.org 初中数学资源网 ?再作图看一看． 称轴和顶点坐标分别是什么
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线 y=-3x² ,y=-3(x-1)2有什么关 系? 它的开口方向,对称轴和 顶点坐标分别是什么?
2
y 3x 1
2
二次函数y=3(x1)2+2的图象可以看作 X=1 2 是抛物线y=3x 先沿着 对称轴仍是平行于y轴的直 开口向上,当 2 x轴向右平移1个单位, 线(x=1);增减性与y=3x 类似. X=1时有最小 再沿直线x=1上平移2 值:且最小值=2. 个单位后得到的
顶点是(1,2).